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96 Aritmética

Fracciones equivalentes
Fracciones equivalentes
Reflexiones
adicionales
Fracción unitaria. Es aquella
fracción cuyo numerador es
igual a 1.
Fracciones equivalentes. Son
las que representan la misma
cantidad, aun cuando el numerador y el denominador
sean distintos, por ejemplo:
2 = 4
6
3
A partir de multiplicar o dividir por un mismo número
al numerador y denominador
pueden generarse fracciones
equivalentes, por ejemplo:
1 = 1x2 = 2 y
5 x 2 10
5
15 = 15 ÷ 2 = 3
20 20 ÷ 5 4

En las páginas 23 a 25 del Tomo V, Vol.
2, se aborda el tema que corresponde a las
fracciones equivalentes.
Desde el primer grado se ha propiciado que
los alumnos construyan y descompongan los
números naturales a partir de la unidad (por
ejemplo: 1+1+1=3, 1+1+3=5 y 7=1+1+5).
Con base en esta experiencia, en la lección
se les pide que dividan a la unidad en partes
iguales para construir fracciones unitarias
(en el caso de la figura 2
1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 y 1 ).
2
3 4 5
6 7
8
9

Fig.2

Fig.1
A partir de fracciones unitarias pueden generar fracciones con el mismo denominador;
por ejemplo, con 1 generan 2 , 3 , 4
4
4
4
4
1
con 9 las fracciones 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ,
9
9
9
9
9
etc. Con el apoyo de representaciones gráficas, como las tiras graduadas que aparecen
en el cubo de la página 23, el alumno compara las fracciones que generó y puede deter1
1
minar equivalencias entre ellas como 4 y 4 	
2 y que ésta es equivalente a 1 .
y forman
4
2
Con rectas numéricas paralelas, como las de
la figura, elabora listados
( 5 , 5 , 5 , 5 , 5 , 5
			
8
5
9 10
6
7
1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6
y 6
6
6
6
6 6 ) para establecer
relaciones entre las fracciones.

El primer listado contiene fracciones construidas (Fig. 2) con la misma cantidad de
fracciones unitarias (para compararlas en la
figura pueden unir con una línea las marcas
que corresponden a cada fracción). La segunda lista tiene fracciones construidas con
una cantidad distinta de fracciones unitarias
(para compararlas pueden hacer una lectura
horizontal en la recta numérica correspondiente). Los alumnos también pueden observar que al trazar una línea vertical, las marcas en las rectas numéricas corresponden a
fracciones equivalentes construidas con diferente cantidad y tipo de fracciones unitarias.
Uno de los propósitos de esta actividad es
que los alumnos noten que:
• Cuando el numerador es el mismo, una
fracción disminuye su valor si el denominador aumenta.
• Cuando el denominador es el mismo, una
fracción incrementa su valor si el numerador
aumenta.
• Algunas fracciones tienen el mismo valor,
incluso si sus denominadores y numeradores
son diferentes.
Aritmética 97

Actividades que se sugieren para los futuros docentes

1. ¿Cuál es la relevancia de la noción de fracción unitaria en esta lección? Explica 	
con claridad tu respuesta y discútela con tus compañeros y tu profesor.
2. Escribe 5 fracciones mayores que 7 que tengan el mismo numerador.
9
3. Escribe 5 fracciones menores que 7 que tengan el mismo numerador.
9
4. ¿Para qué valores de a, b, c y d se cumple que a = c ? Considera que b y d
b
d
deben ser diferentes de cero. Justifica tus respuestas.
7
a
5. ¿Para qué valores de a, a es igual, mayor o menor que 7 ? Considera que 	
a debe ser diferente de cero. Justifica tus respuestas.
6. Analiza las fracciones a y
b
a < c ? ¿Cuándo
¿Cuándo
d
b

b donde a y b son diferentes de cero.
a
a = b ? Justifica tus respuestas.
a
b

7. ¿Por qué al multiplicar el numerador y el denominador de una fracción por un
número distinto de cero no se altera el valor de la fracción? Justifica tu respuesta y
discútela con tus compañeros y tu profesor.
98 Aritmética

Suma y resta de fracciones
Fracciones equivalentes
Reflexiones
adicionales
La suma y resta de aquellas
fracciones que tienen igual
denominador se resuelven de
la siguiente manera:
a + c
b
b

= a+c
b

a - c
b
b

=

En las páginas 26 a 28 del Tomo V, Vol. 2, se estudian la suma y la resta de fracciones con
igual denominador. Las situaciones que se presentan están acompañadas de imágenes con
recipientes que tienen la misma graduación (Fig. 1), cada marca representa una fracción
unitaria, a partir de ésta se determina la fracción que indica el nivel del líquido.

a-c
b

En todos los casos b ≠ 0.
Fig.1
La acción de poner el líquido de los dos recipientes en un tercer recipiente induce la idea
de la suma de fracciones ( 2 = 1 + 1 ).
5
5
5

Fig.2
1
2
3
Los alumnos observan que 5 + 5 = 5 porque se trata de fracciones generadas por la
misma fracción unitaria (Fig. 2). Es decir, el caso de la suma de fracciones se reduce a un
problema previamente resuelto: sumar números enteros. A partir de este tipo de situaciones
los alumnos suman y restan fracciones con igual denominador y generan la regla: “Cuando
hacemos una suma (resta) de fracciones con el mismo denominador, sumamos (restamos)
los numeradores y dejamos los denominadores igual”. En la página 28 se aborda también el
proceso inverso al mostrar en primer término la operación con fracciones y enseguida las
imágenes de los recipientes correspondientes (Fig. 3).

Fig.3
En la lección se sugieren diversas estrategias de solución; para la primera resta, las fracciones
pueden descomponerse en la fracción unitaria 1 y restarlas una a una quedando 2 , también
3
3
puede reescribirse 4 como 2 + 2 y al restarle 2 obtener el resultado. Para la segunda resta,
3
3
3
3
la unidad está formada por siete fracciones unitarias de 1 que al restarle 5 quedan 2 o que
7
7
7
a 5 le faltan dos fracciones unitarias de 1 para completar la unidad.
7
7
Aritmética 99

Actividades que se sugieren para los futuros docentes

1. ¿Cuál es la relevancia de acudir al concepto de fracción unitaria para abordar la
suma de fracciones con igual denominador?
2. ¿Por qué al trabajar con fracciones representadas mediante expresiones como 	 a
b
es necesario establecer que b ≠ 0 ? Justifica tu respuesta.
3. ¿Qué procedimiento(s) puedes usar para realizar sumas como a + b ?
c
4. Encuentra diversas formas de resolver las siguientes operaciones que creas que
pueden proponer los alumnos de quinto grado. Justifica tu respuesta y discútela con tus
compañeros y tu profesor.
		

11 - 3 =
4 	4

8 5 1=

7 + 9 =
6
6

5. ¿Qué limitaciones tendría el abordar el aprendizaje del algoritmo para la suma y la
resta de fracciones si antes los alumnos no han dominado el concepto de fracciones
equivalentes? Discute ampliamente tu respuesta con tus compañeros y tu profesor.
100 Aritmética

Fracciones como cocientes y como números decimales
Fracciones equivalentes
Reflexiones
adicionales
El cociente de dos números
enteros a y b es la fracción 	 a
b
con b ≠ 0.
El cociente puede tener como
resultado un número entero,
un decimal finito o un decimal
periódico.

En las páginas 29 a 33 del Tomo V, Vol. 2, se aborda el estudio del significado de la fracción
como cociente de enteros a partir de dividir 2 ÷ n con n = 1,2,3,4,5.
La operación 2 ÷ 3 = 0.666 = 0.6 permite introducir números cuyas cifras decimales son infinitas
y periódicas y discutir las ventajas de expresarlos como fracción. Por ejemplo, resulta conveniente
expresar 2 ÷ 3 como 2 .Con esto se introduce la idea de que el cociente de dos números enteros
3
puede escribirse como una fracción : a ÷ b = a ,b ≠ 0. Esta idea se refuerza mediante actividab
des como la propuesta en la página 30: si una cinta de 3 metros se divide en cuatro partes, ¿cuál
es la medida de cada una? Puede calcularse el cociente de 3 ÷ 4 o expresarse como: 3 , por
4
lo que se concluye que cada parte mide tres cuartos de metro (Fig. 1).

Los números decimales periódicos tienen una cantidad infinita de cifras decimales con una
parte periódica, por ejemplo:
68 = 0.412121212...
165
El periodo es 12 y puede escribirse como 0.412.
Los números que se pueden
escribir como el cociente de
dos números enteros con:b ≠ 0
se llaman números racionales.
Por ejemplo:
•

7= 21 = 14
3
2

•

0.5= 3 = 5
6
10

•

0.4= 4 = 12
9
27

Fig.1
Para escribir una fracción como número decimal debe dividirse el numerador entre el denominador ( 3 = 3 ÷ 4 = 0.75 ). Para escribir un decimal como fracción se acude al concepto
4
de fracción unitaria trabajado en lecciones anteriores. Por ejemplo: 0.4 está compuesto por
1
cuatro unidades de un décimo y como 0.1 = 10 se muestra a los alumnos que:
1
1
1
4 . De la misma manera 0.12 compuesto por doce unidades de
1
0.4 =
10 + 10 + 10 + 10 = 10
1 y por esto se puede escribir como 12 .
100
100
En la lección se usa la recta numérica para comparar fracciones con números decimales. En la
página 31 (Fig. 2) , para comparar 3 con 0.7 se acude a una representación gráfica que sugiere
5
la escritura de 3 en forma decimal.
5

Fig.2
3
Para escribir 5 como decimal se acude a la operación 3 ÷ 5 = 0.6 y se observa que 0.6 es
menor que 0.7. La figura refuerza esta idea, en el recipiente se observa que 7 es mayor que 3 .
10
5
Aritmética 101

Actividades que se sugieren para los futuros docentes
1. Escribe tres fracciones cuyo cociente sea un número entero.

2. Escribe tres fracciones cuyo cociente sea un número decimal finito.
3. Escribe tres fracciones cuyo cociente sea un número decimal periódico.
4. Escribe los siguientes números como el cociente de dos números enteros:
	
0.3	
0.3	
0.1	
0.75	
0.75 	
	
	
	
5. Representa en la recta numérica los números del inciso anterior.

	

6. Escribe el número 0.205 como el cociente de dos números enteros.
7. Un alumno afirma que los números decimales finitos son decimales periódicos
cuyo periodo es cero. ¿Estás de acuerdo con lo que dice este alumno? Justifica tu
respuesta y discútela con tus compañeros y tu profesor.
8. Todo número decimal periódico puede representarse como el cociente de dos
números enteros. Indaga cuál es el procedimiento que puedes aplicar para escribir
cualquier decimal periódico como cociente de dos números enteros y elabora un
reporte para presentarlo a tu profesor.

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  • 1. 96 Aritmética Fracciones equivalentes Fracciones equivalentes Reflexiones adicionales Fracción unitaria. Es aquella fracción cuyo numerador es igual a 1. Fracciones equivalentes. Son las que representan la misma cantidad, aun cuando el numerador y el denominador sean distintos, por ejemplo: 2 = 4 6 3 A partir de multiplicar o dividir por un mismo número al numerador y denominador pueden generarse fracciones equivalentes, por ejemplo: 1 = 1x2 = 2 y 5 x 2 10 5 15 = 15 ÷ 2 = 3 20 20 ÷ 5 4 En las páginas 23 a 25 del Tomo V, Vol. 2, se aborda el tema que corresponde a las fracciones equivalentes. Desde el primer grado se ha propiciado que los alumnos construyan y descompongan los números naturales a partir de la unidad (por ejemplo: 1+1+1=3, 1+1+3=5 y 7=1+1+5). Con base en esta experiencia, en la lección se les pide que dividan a la unidad en partes iguales para construir fracciones unitarias (en el caso de la figura 2 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 y 1 ). 2 3 4 5 6 7 8 9 Fig.2 Fig.1 A partir de fracciones unitarias pueden generar fracciones con el mismo denominador; por ejemplo, con 1 generan 2 , 3 , 4 4 4 4 4 1 con 9 las fracciones 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 9 9 9 9 9 etc. Con el apoyo de representaciones gráficas, como las tiras graduadas que aparecen en el cubo de la página 23, el alumno compara las fracciones que generó y puede deter1 1 minar equivalencias entre ellas como 4 y 4 2 y que ésta es equivalente a 1 . y forman 4 2 Con rectas numéricas paralelas, como las de la figura, elabora listados ( 5 , 5 , 5 , 5 , 5 , 5 8 5 9 10 6 7 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 y 6 6 6 6 6 6 ) para establecer relaciones entre las fracciones. El primer listado contiene fracciones construidas (Fig. 2) con la misma cantidad de fracciones unitarias (para compararlas en la figura pueden unir con una línea las marcas que corresponden a cada fracción). La segunda lista tiene fracciones construidas con una cantidad distinta de fracciones unitarias (para compararlas pueden hacer una lectura horizontal en la recta numérica correspondiente). Los alumnos también pueden observar que al trazar una línea vertical, las marcas en las rectas numéricas corresponden a fracciones equivalentes construidas con diferente cantidad y tipo de fracciones unitarias. Uno de los propósitos de esta actividad es que los alumnos noten que: • Cuando el numerador es el mismo, una fracción disminuye su valor si el denominador aumenta. • Cuando el denominador es el mismo, una fracción incrementa su valor si el numerador aumenta. • Algunas fracciones tienen el mismo valor, incluso si sus denominadores y numeradores son diferentes.
  • 2. Aritmética 97 Actividades que se sugieren para los futuros docentes 1. ¿Cuál es la relevancia de la noción de fracción unitaria en esta lección? Explica con claridad tu respuesta y discútela con tus compañeros y tu profesor. 2. Escribe 5 fracciones mayores que 7 que tengan el mismo numerador. 9 3. Escribe 5 fracciones menores que 7 que tengan el mismo numerador. 9 4. ¿Para qué valores de a, b, c y d se cumple que a = c ? Considera que b y d b d deben ser diferentes de cero. Justifica tus respuestas. 7 a 5. ¿Para qué valores de a, a es igual, mayor o menor que 7 ? Considera que a debe ser diferente de cero. Justifica tus respuestas. 6. Analiza las fracciones a y b a < c ? ¿Cuándo ¿Cuándo d b b donde a y b son diferentes de cero. a a = b ? Justifica tus respuestas. a b 7. ¿Por qué al multiplicar el numerador y el denominador de una fracción por un número distinto de cero no se altera el valor de la fracción? Justifica tu respuesta y discútela con tus compañeros y tu profesor.
  • 3. 98 Aritmética Suma y resta de fracciones Fracciones equivalentes Reflexiones adicionales La suma y resta de aquellas fracciones que tienen igual denominador se resuelven de la siguiente manera: a + c b b = a+c b a - c b b = En las páginas 26 a 28 del Tomo V, Vol. 2, se estudian la suma y la resta de fracciones con igual denominador. Las situaciones que se presentan están acompañadas de imágenes con recipientes que tienen la misma graduación (Fig. 1), cada marca representa una fracción unitaria, a partir de ésta se determina la fracción que indica el nivel del líquido. a-c b En todos los casos b ≠ 0. Fig.1 La acción de poner el líquido de los dos recipientes en un tercer recipiente induce la idea de la suma de fracciones ( 2 = 1 + 1 ). 5 5 5 Fig.2 1 2 3 Los alumnos observan que 5 + 5 = 5 porque se trata de fracciones generadas por la misma fracción unitaria (Fig. 2). Es decir, el caso de la suma de fracciones se reduce a un problema previamente resuelto: sumar números enteros. A partir de este tipo de situaciones los alumnos suman y restan fracciones con igual denominador y generan la regla: “Cuando hacemos una suma (resta) de fracciones con el mismo denominador, sumamos (restamos) los numeradores y dejamos los denominadores igual”. En la página 28 se aborda también el proceso inverso al mostrar en primer término la operación con fracciones y enseguida las imágenes de los recipientes correspondientes (Fig. 3). Fig.3 En la lección se sugieren diversas estrategias de solución; para la primera resta, las fracciones pueden descomponerse en la fracción unitaria 1 y restarlas una a una quedando 2 , también 3 3 puede reescribirse 4 como 2 + 2 y al restarle 2 obtener el resultado. Para la segunda resta, 3 3 3 3 la unidad está formada por siete fracciones unitarias de 1 que al restarle 5 quedan 2 o que 7 7 7 a 5 le faltan dos fracciones unitarias de 1 para completar la unidad. 7 7
  • 4. Aritmética 99 Actividades que se sugieren para los futuros docentes 1. ¿Cuál es la relevancia de acudir al concepto de fracción unitaria para abordar la suma de fracciones con igual denominador? 2. ¿Por qué al trabajar con fracciones representadas mediante expresiones como a b es necesario establecer que b ≠ 0 ? Justifica tu respuesta. 3. ¿Qué procedimiento(s) puedes usar para realizar sumas como a + b ? c 4. Encuentra diversas formas de resolver las siguientes operaciones que creas que pueden proponer los alumnos de quinto grado. Justifica tu respuesta y discútela con tus compañeros y tu profesor. 11 - 3 = 4 4 8 5 1= 7 + 9 = 6 6 5. ¿Qué limitaciones tendría el abordar el aprendizaje del algoritmo para la suma y la resta de fracciones si antes los alumnos no han dominado el concepto de fracciones equivalentes? Discute ampliamente tu respuesta con tus compañeros y tu profesor.
  • 5. 100 Aritmética Fracciones como cocientes y como números decimales Fracciones equivalentes Reflexiones adicionales El cociente de dos números enteros a y b es la fracción a b con b ≠ 0. El cociente puede tener como resultado un número entero, un decimal finito o un decimal periódico. En las páginas 29 a 33 del Tomo V, Vol. 2, se aborda el estudio del significado de la fracción como cociente de enteros a partir de dividir 2 ÷ n con n = 1,2,3,4,5. La operación 2 ÷ 3 = 0.666 = 0.6 permite introducir números cuyas cifras decimales son infinitas y periódicas y discutir las ventajas de expresarlos como fracción. Por ejemplo, resulta conveniente expresar 2 ÷ 3 como 2 .Con esto se introduce la idea de que el cociente de dos números enteros 3 puede escribirse como una fracción : a ÷ b = a ,b ≠ 0. Esta idea se refuerza mediante actividab des como la propuesta en la página 30: si una cinta de 3 metros se divide en cuatro partes, ¿cuál es la medida de cada una? Puede calcularse el cociente de 3 ÷ 4 o expresarse como: 3 , por 4 lo que se concluye que cada parte mide tres cuartos de metro (Fig. 1). Los números decimales periódicos tienen una cantidad infinita de cifras decimales con una parte periódica, por ejemplo: 68 = 0.412121212... 165 El periodo es 12 y puede escribirse como 0.412. Los números que se pueden escribir como el cociente de dos números enteros con:b ≠ 0 se llaman números racionales. Por ejemplo: • 7= 21 = 14 3 2 • 0.5= 3 = 5 6 10 • 0.4= 4 = 12 9 27 Fig.1 Para escribir una fracción como número decimal debe dividirse el numerador entre el denominador ( 3 = 3 ÷ 4 = 0.75 ). Para escribir un decimal como fracción se acude al concepto 4 de fracción unitaria trabajado en lecciones anteriores. Por ejemplo: 0.4 está compuesto por 1 cuatro unidades de un décimo y como 0.1 = 10 se muestra a los alumnos que: 1 1 1 4 . De la misma manera 0.12 compuesto por doce unidades de 1 0.4 = 10 + 10 + 10 + 10 = 10 1 y por esto se puede escribir como 12 . 100 100 En la lección se usa la recta numérica para comparar fracciones con números decimales. En la página 31 (Fig. 2) , para comparar 3 con 0.7 se acude a una representación gráfica que sugiere 5 la escritura de 3 en forma decimal. 5 Fig.2 3 Para escribir 5 como decimal se acude a la operación 3 ÷ 5 = 0.6 y se observa que 0.6 es menor que 0.7. La figura refuerza esta idea, en el recipiente se observa que 7 es mayor que 3 . 10 5
  • 6. Aritmética 101 Actividades que se sugieren para los futuros docentes 1. Escribe tres fracciones cuyo cociente sea un número entero. 2. Escribe tres fracciones cuyo cociente sea un número decimal finito. 3. Escribe tres fracciones cuyo cociente sea un número decimal periódico. 4. Escribe los siguientes números como el cociente de dos números enteros: 0.3 0.3 0.1 0.75 0.75 5. Representa en la recta numérica los números del inciso anterior. 6. Escribe el número 0.205 como el cociente de dos números enteros. 7. Un alumno afirma que los números decimales finitos son decimales periódicos cuyo periodo es cero. ¿Estás de acuerdo con lo que dice este alumno? Justifica tu respuesta y discútela con tus compañeros y tu profesor. 8. Todo número decimal periódico puede representarse como el cociente de dos números enteros. Indaga cuál es el procedimiento que puedes aplicar para escribir cualquier decimal periódico como cociente de dos números enteros y elabora un reporte para presentarlo a tu profesor.