Este documento describe diferentes tipos de simuladores de reservorios. Explica que los simuladores pueden clasificarse según el tipo de fluido (gas, petróleo, etc.), el tipo de roca (convencional, fracturada, etc.) y el proceso simulado (desplazamiento, formación de cono, etc.). También describe los modelos Black-Oil y Composicional, las ecuaciones matemáticas que rigen el flujo multifásico en medios porosos y cómo estas ecuaciones se discretizan numéricamente en los simuladores comercial

1. Simulación Matemática de
Reservorios
MSc. Luz Diana Torrez C.
Santa Cruz -Bolivia
PET 226
1

2. Tipos de Simuladores
2

3. Tipos de Simuladores
A. En cuanto al tipo de fluido:
– Gas: mono o bifásico (gas + agua)
– Petróleo- modelo Black-Oil
– Petróleo-volátil o condensado - Modelo
composicional
• (Modelos pseudo-composicionales)
B. En cuanto al tipo de roca:
– Convencionales
– Doble porosidad (depósitos fracturados)
– Doble permeabilidad (depósitos fracturados)
3

4. Tipos de Simuladores
C. En cuanto al proceso a ser simulado:
– Desplazamiento inmiscible (petróleo-agua)
– Desplazamiento miscible
– Formación de cono
– Modelos térmicos
– Modelos químicos
4
Modelos Térmicos
• Temperatura no es constante →Balance de Energía

5. Tipos de Simuladores – Tipo de Fluido
Modelos Black-Oil
• Son más simples que los modelos composicional
• Atienden muchas aplicaciones de la Ingeniería de
Reservorios
• Sólo 2 hidrocarburos: petróleo y gas
• El petróleo y el agua se encuentran siempre en la
fase líquida
5

6. Tipos de Simuladores – Tipo de Fluido
Modelos Black-Oil
• El gas puede estar libre en la fase gas o disuelto en la
fase líquida
• El gas no condensa líquidos en el reservorio
– Algunos simuladores de reservorio adaptan este
modelo permitiendo que el gas condense líquidos
– La condensación de líquidos se la introduce como
tablas. No existe correlación
6

7. Tipos de Simuladores – Tipo de Fluido
Modelos Black-Oil
• A presiones menores el petróleo coexiste con
gas asociado que se ha liberado en el
reservorio
– Presiones menores a la presión de burbuja
(presión de vaporización)
– Una fracción del gas asociado continua en
solución
7

8. Tipos de Simuladores – Tipo de Fluido
Modelos Black-Oil
• Se lo emplea
– Reservorios de Petróleo (mayormente )
– Reservorios de Gas Húmedo y Gas Seco (
ocasionalmente)
• Fases: petróleo negro, gas seco y agua salina
8

9. 9
Modelo Black-Oil
Condiciones
de
Reservorio
Fases Componentes
Gas Oil
Agua
+
+
+
+
+ +
Condiciones Standard

10. Tipos de Simuladores – Tipo de Fluido
Modelos Black-Oil
• Las propiedades de cada fase se pueden estimar en
base a propiedades de cada producto
• Estas propiedades que son medidas en la superficie
• Existen métodos gráficos y modelos de correlaciones
para calcular las principales propiedades de cada fase
10

11. Tipos de Simuladores – Tipo de Fluido
Modelos Black-Oil
11
Propiedades dependientes de la presión- Comportamiento típico

12. Tipos de Simuladores – Tipo de Fluido
Modelos Black-Oil
En los modelos "Black-Oil" más utilizados, también se
consideran despreciables
– La solubilidad del petróleo en el gas (Rog = 0) y
– La solubilidad del gas en el agua (Rgw = 0)
12

13. Tipos de Simuladores – Tipo de Fluido
Modelos Composicional
• Consideran la existencia de más de dos
hidrocarburos
• Indicados para:
– Simulación de gas condensado
– Aceite volátil
– Fluidos miscibles
13

14. Simuladores Comerciales
• Simuladores Black-Oil (Isotérmicos)
– 3 Fases e 3 Componentes (óleo, água, gás)
– IMEX, ECLIPSE 100, NEXUS ...
• Simulador Térmico
– Stars
• Simuladores Composicionales
– GEM, ECLIPSE 300
• Preparación de datos
– Winprop, PVTp
14

15. Ecuaciones Matemáticas
15

16. Flujo en Medios Porosos
• Comenzamos con la formulación general pero
ésta se simplificará para el caso específico del
modelo Black-Oil tradicional
– 3 componentes (petróleo, agua y gas)
– 3 fases (petróleo, agua y gas).
• Además, veremos sólo la formulación
totalmente implícita.
16

17. Flujo en Medios Porosos
• Para simplicidad, también se asume
condiciones isotérmicas
– Ecuaciones válidas para sistema isotérmico y sin
reacciones químicas.
• En lo posterior, veremos otros tipos de
modelos, las diferencias entre ellos y cuándo
ser aplicarlos
17

18. Flujo en Medios Porosos
• Las ecuaciones de flujo para flujo en medios
porosos están basados en:
– Ley de Conservación de Masa
– Ley de Conservación de Momento
– Ley de Conservación de Energía
Buscar definición y un ejemplo físico real
+
Simuladores Comerciales. Resumen
18

19. Flujo en Medios Porosos
Conservación de la Masa
• Se asume que no existen interacciones químicas que
consuman masa del sistema o agreguen masa
19

20. Flujo en Medios Porosos
Conservación de la Masa
Flujo unidimensional 20

21. Flujo en Medios Porosos
Conservación de la Masa
21
Flujo
unidimensional
Masa que
entra
al elemento
x
-
Masa que
sale del
elemento x +∆x
𝑇𝑇𝑎𝑎𝑠𝑠𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑒𝑒 cambio
de masa
dentro del elemento

22. Flujo en Medios Porosos
Conservación de la Masa
22
Flujo
unidimensional
uρA
{ }x
− uρA
{ }x+∆x
=
∂
∂t
φA∆xρ
{ }

23. Flujo en Medios Porosos
Conservación de la Masa
23
uρA
{ }x
− uρA
{ }x+ ∆x
=
∂
∂t
φA∆xρ
{ }
• Dividiendo por Δx, y tomando el límite cuando Δx
tiende a cero, obtenemos la conservación de la masa,
o ecuación de continuidad:
( ) ( )
φρ
ρ
t
A
u
A
x ∂
∂
=
∂
∂
−

24. Flujo en Medios Porosos
Conservación de la Masa
24
uρA
{ }x
− uρA
{ }x+ ∆x
=
∂
∂t
φA∆xρ
{ }
• Para un área de sección transversal constante, la
ecuación de continuidad se simplifica para:
( ) ( )
φρ
ρ
t
u
x ∂
∂
=
∂
∂
−
Eq. 1

25. Flujo en Medios Porosos
Conservación de Momento
• La conservación del momento normalmente se
simplifica para velocidad en materiales porosos y es
descrita por la ecuación semi-empírica de Darcy
– Para un flujo uni-dimensional y horizontal es:
25
x
P
k
u
∂
∂
−
=
µ Eq. 2

26. Flujo en Medios Porosos
Ecuación constitutiva para materiales porosos
• Para incluir la dependencia de presión en la
porosidad, utilizamos la definición de
compresibilidad de roca:
T
r
P
c 





∂
∂








=
φ
φ
1

27. Flujo en Medios Porosos
Ecuación constitutiva para fluidos
• Recordemos la conocida definición de
compresibilidad de fluidos, que se aplica a
cualquier fluido a temperatura constante
T
f
P
V
V
c 





∂
∂






−
=
1

28. Flujo en Medios Porosos
Ecuación constitutiva para fluidos
• Para gases reales
• Densidad del gas
PV = nZRT
ρg = ρgS
P
Z
ZS
PS
* S: condiciones de superficie (estándar).

29. Flujo en Medios Porosos
Ecuación constitutiva para fluidos
• El modelo estándar de Black-Oil incluye
– Factor de Volumen de Formación, B, para cada
fluido, y
– Relación Gas-Petróleo en Solución (gas disuelto en
petróleo) , Rso
– Viscosidad para cada fluido
* S: condiciones de superficie (estándar).

30. Flujo en Medios Porosos
Ecuación constitutiva para fluidos
• La densidad del petróleo en las condiciones
del reservorio es entonces, en términos de
estos parámetros y las densidades de petróleo
y gas, definidas como:
* S: condiciones de superficie (estándar).
ρo =
ρoS + ρgsRso
Bo

31. Flujo en Medios Porosos
• Las ecuaciones de flujo :
– Ley de Conservación de Masa
– Ley de Conservación de Momento
– Ecuaciones constitutivas
31

32. Flujo en Medios Porosos
Las ecuaciones de flujo :
• Para el flujo monofásico, en un sistema horizontal
unidimensional, suponiendo que la ecuación de
Darcy sea aplicable y que el área de la sección
transversal sea constante, la ecuación del flujo se
convierte en:
32






∂
∂
=








∂
∂
∂
∂
B
t
x
P
B
k
x
φ
µ

33. Flujo en Medios Porosos
Condiciones de Contorno/Frontera (BC's)
• Una vez que han sido definidas las ecuaciones que
servirán para describir el proceso físico que ocurre
en el yacimiento, es necesario establecer ciertas
condiciones en el sistema que permitan la solución
de dichas ecuaciones.
33
Sistema

34. Flujo en Medios Porosos
Condiciones de Contorno/Frontera (BC's)
Dos tipos,
• Condiciones de presión (condiciones de Dirichlet)
• Condiciones de velocidad (condiciones de
Neumann)
34

35. Flujo en Medios Porosos
Condiciones de Contorno/Frontera (BC's)
• Condiciones de presión (condiciones de Dirichlet)
35
( )
( ) R
L
P
t
L
x
P
P
t
x
P
=
>
=
=
>
=
0
,
0
,
0

36. Flujo en Medios Porosos
Condiciones de Contorno/Frontera (BC's)
• Condiciones de velocidad (condiciones de
Neumann)
36
L
x
L
x
P
kA
Q
=






∂
∂
−
=
µ
0
=






∂
∂
−
=
x
L
x
P
kA
Q
µ
• Especificaríamos los caudales en las caras finales del sistema en
cuestión

37. Flujo en Medios Porosos
Condiciones Inicial (IC)
• En simulación la variable dependiente es con
frecuencia la presión y para calcular su
distribución en un reservorio a cualquier
tiempo se debe tener la condición inicial
37

38. Flujo en Medios Porosos
Condiciones Inicial (IC)
• La condición inicial especifica el estado inicial
de las variables primarias del sistema.
– Una presión inicial constante se puede especificar
como:
38
P(x, t = 0) = P0

39. Flujo en Medios Porosos-3D
39

40. Flujo en Medios Porosos-3D
40

41. Flujo en Medios Porosos-3D
• Notación-VECTOR
• Un vector tiene dirección y magnitud, pero una
forma más general es pensar que un vector es una
columna de números
• La columna longitud tiene tres números en el
espacio tridimensional
41

42. Flujo en Medios Porosos-3D
• Notación-Operador NABLA
• operador llamado delta (u operador nabla), que se
escribe ∇
• En notación vectorial esto es equivalente a la
derivada
42
Espacio tridimensional x, y, z, donde el operador
delta se usa junto con un escalar

43. Flujo en Medios Porosos-3D
43

44. Flujo en Medios Porosos-3D
44
Ley de Darcy

45. Flujo en Medios Porosos-3D
45
• Para el flujo de varios fluidos es necesario considerar que
el medio poroso estará sujeto a variaciones en la
saturación
• La ecuación de difusividad para flujo multifásico emplea kf
que representa la permeabilidad efectiva al fluido en
cuestión

46. Flujo en Medios Porosos-3D
46
• Para la solución de esta ecuación es necesario utilizar
una ecuación de estado que relaciona la densidad con
la presión

47. Ecuaciones del Simulador
• Las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
de flujo se transforman en la solución numérica
• A su vez, se cambia el carácter continuo en espacio y
tiempo por un carácter discreto
Dominio Continuo Dominio Discreto 47

48. Ecuaciones del Simulador
Discretización en el tiempo
48

49. Ecuaciones del Simulador
Ecuaciones
Diferenciales
Método de
Diferencias
Finitas
Ecuaciones en
Diferencias
49
Se aplican a
toda ( x, y, z, t )
en el dominio
del problema
Ecuaciones en Diferencias
Se aplican a valores discretos en el
dominio (xi, yj, zk, tn)

50. Diferencias finitas
50
• El domínio es
discretizado en
pequeños volúmenes y
la equación algébrica es
resuelta para cada uno
de estos elementos
Volumen
de Control

51. Diferencias finitas
51
• Volumen de control
Volumen pequeño utilizado
en la derivación de la
ecuación de continuidad
Volumen
de Control

52. Ecuaciones del Simulador
52

53. Ecuaciones del Simulador
53

54. Ecuaciones del Simulador
Notación
• C: componente
• P: fase
54
Componentes : petróleo, gas, agua
Fases: liquido, vapor, acuosa
Modelo “Black-Oil”
Cada componente
puede existir en
cualquier fase
(ej. gas disuelto en
petróleo)

55. Ecuaciones del Simulador
55

56. Ecuaciones del Simulador
56
Ecuación Final para cada componente
y ycp es la fracción molar del co
la fase p
Por unidad de volumen
pozos

57. Ecuaciones del Simulador
57
y
• Sp es la saturación de la fase
• ycp es la fracción molar del componente c em la fase p
Por unidad de volumen
pozos

58. Ecuaciones del Simulador
58
• ycp es la fracción molar del componente c em la fase p

59. Ecuaciones del Simulador
Volúmenes Finitos
59
Conservación de la masa

60. Ecuaciones del Simulador
Volúmenes Finitos
60
Conservación de la masa

61. Ecuaciones del Simulador
Volúmenes Finitos
61
Conservación de la masa

62. Ecuaciones del Simulador
Volúmenes Finitos
• Definiendo la transmisibilidad
62
Conservación de la masa
• Coeficiente de flujo de transmisibilidad en ecuaciones
discretas, cuando se multiplica con la diferencia de
presión entre bloques de la malla produce caudal

63. Ecuaciones del Simulador
Volúmenes Finitos
63
Conservación de la masa

64. Ecuaciones del Simulador
Volúmenes Finitos
• Discretizando la ecuación
64
+
-
p,i+1
-
n+1 n
p, i
p,i-1 p, i

65. Ejemplo
• Como puede escribirse la ecuación discretizada
de petróleo en términos de transmisibilidad y
diferencias de presión?
65

66. Ecuaciones del Simulador
Volúmenes Finitos
• Discretizando la ecuación
66
+
-
p,i+1
-
n+1 n
p, i
p,i-1 p, i

67. Ecuaciones del Simulador
Volúmenes Finitos
• Discretizando la ecuación- Notación Simplificada
Donde:
67

68. Ecuaciones del Simulador
Volúmenes Finitos
• Discretizando la ecuación- Notación Simplificada
68

69. Ecuaciones del Simulador
Volúmenes Finitos
69
Bidimensional

70. Ecuaciones del Simulador
Volúmenes Finitos
• Discretizando la ecuación- Notación Simplificada
• Esta última ecuación puede ser generalizada para 2 o 3
dimensiones, donde transmisibilidades serian
definidas como:
70

71. Ecuaciones del Simulador
Volúmenes Finitos
– PVT: Notación Simplificada
• Esta última ecuación puede ser generalizada para 2 o 3
dimensiones, donde transmisibilidades serian
definidas como:
71

72. Ecuaciones del Simulador
Volúmenes Finitos
– PVT: Notación Simplificada
72
Fases en las condiciones
estándar (o componentes)

73. Ecuaciones del Simulador
Volúmenes Finitos
– Solubilidad
– Densidades
73

74. Ecuaciones del Simulador
Volúmenes Finitos
– Lo que genera:
74

75. Ecuaciones del Simulador
Volúmenes Finitos
– Lo que genera:
75
Al substituir, todas estas expresiones en la ecuación
final (balance de masa) se tiene:

76. Ecuaciones del Simulador
Observaciones:
• En la convención de signos de la ecuación de
arriba, la producción debe ser positiva y la
inyección negativa
76

77. Ecuaciones del Simulador
Observaciones:
• Esta ecuación se obtiene después de una
división de la densidad del componente @ CS
• En la ecuación superior ,la transferencia de
masa por difusión y dispersión fueron
despreciadas
77

78. Ecuaciones del Simulador
78
Aplicaciones

79. Modelo Numerico
• La discretización del modelo matemático lleva a un
conjunto de ecuaciones cuya solución ofrece una
respuesta aproximada en los puntos discretos del
dominio (reservorio)
79

80. Modelo Numerico
• El valor de pn es conocido al tiempo tn en cada
celda
• Se requiere conocer pn+1 al tiempo tn+1
80
Flujo lineal
horizontal

81. Modelo Numerico
• La técnica de discretización más utilizada en la
simulación numérica de reservorios es el
método de las diferencias finitas
• Existen varias formas de hacer esta
discretización.
• El Método basado en las series de Taylor
– conceptos de estabilidad, convergencia y
consistencia.
81

82. Modelo Numérico
• Discretización de espacio
82

83. Modelo Numérico
• Discretización de espacio
83
Ecuación
Diferencias
finitas
Error
Aproximación
(Ei ~ 0)
Flujo lineal
horizontal

84. Modelo Numérico
• Discretización de tiempo
84
Aproximación
progresiva
Error
Ecuación

85. Modelo Numérico
• Discretización de tiempo
85
Error
Error
∆t ~ 0
∆x ~ 0 Ei ~ 0
Solución exacta
Solución numérica

86. Modelo Numérico
Explícito
• Se resuelve una incógnita para el tiempo n+1
• Se resuelve únicamente para pn+1
• Es conocido p al tiempo tn
86

87. Modelo Numérico
Explícito
87
• Se evalúa p al
tiempo tn
• Se resuelve
únicamente para
pn+1

88. Modelo Numérico
• Explícito
• Esta formulación tiene estabilidad limitada,
raramente es utilizada
• El método es estable cuando
donde:
88
condicionalmente estable!!!!

89. Modelo Numérico
IMPES (Implicit Pressure and explicit saturation)
• Es un método de solución aproximada para
ecuaciones de dos o tres fases donde todos
los coeficientes y presiones capilares se
calculan a nivel de tiempo del step (tiempo)
previo cuando se genera la matriz de
coeficientes

90. Modelo Numérico
• Implícito
• Todos los valores de p en la derivada en espacio son
evaluados al tiempo tn+1
• Por lo tanto, se tienen tres incógnitas en cada paso
de tiempo
90

91. Modelo Numérico
• Implícito
91
Todos los
valores de p en
la derivada en
espacio son
evaluados al
tiempo tn+1

92. Modelo Numérico
• Implícito
• Por lo tanto, se tienen tres incógnitas en cada paso
de tiempo
• Esta formulación es incondicionalmente estable
92

93. Implícito (Fully implicit -Totalmente implícito )
• Es un método de solución para ecuaciones de
dos o tres fases donde todos los coeficientes y
presiones capilares se calculan en el nivel de
tiempo actual generando la matriz de
coeficientes. Por lo tanto, se requieren
iteraciones en la solución
93

94. Consistencia, Convergencia,
Estabilidad
• Consistencia + Estabilidad → Convergencia
• La consistencia de una aproximación por diferencias
finitas es asegurada se los términos no utilizados en
la aproximación tiende a cero a medida que el
tamaño de la malla se aproxima a cero
94

95. Consistencia, Convergencia,
Estabilidad
• Consistencia + Estabilidad → Convergencia
• La aproximación en diferencias finitas debe ser
idéntica a la solución que proporciona la ecuación en
derivadas parciales para que una formulación o
esquema sea convergente
• La Convergencia el error de discretización puede ser
definido como
95

96. Consistencia, Convergencia,
Estabilidad
• Consistencia + Estabilidad → Convergencia
• La estabilidad es un concepto que aplica a
problemas dependientes del tiempo.
• Un algoritmo o esquema numérico es estable, si
cualquier error introducido en alguna etapa de los
cálculos, no se amplifica en cálculos subsecuentes
96

97. Consistencia, Convergencia,
Estabilidad
• Consistencia + Estabilidad → Convergencia
97

98. PREGUNTAS?,
INQUIETUDES?,
COMENTARIOS?