Conceptos fundamentales de trigonometría

1. ααaa
bb
tantan αα == aa
bb
ConceptosConceptos
BásicosBásicos
dede
TrigonometríaTrigonometría

2. TrigonometríaTrigonometría, rama de las, rama de las
matemáticas que estudia lasmatemáticas que estudia las
relaciones entre los lados y losrelaciones entre los lados y los
ángulos de los triángulos.ángulos de los triángulos.
Etimológicamente significaEtimológicamente significa
“medida de triángulos”.“medida de triángulos”.
Las dos ramas fundamentalesLas dos ramas fundamentales
de la trigonometría son lade la trigonometría son la
trigonometría plana y latrigonometría plana y la
trigonometría esférica.trigonometría esférica.

4. La historia de la trigonometríaLa historia de la trigonometría
se remonta a las primerasse remonta a las primeras
matemáticas conocidas, enmatemáticas conocidas, en
Egipto y Babilonia. Los egipciosEgipto y Babilonia. Los egipcios
establecieron la medida de losestablecieron la medida de los
ángulos en grados, minutos yángulos en grados, minutos y
segundos. Sin embargo, hastasegundos. Sin embargo, hasta
los tiempos de la Grecia clásicalos tiempos de la Grecia clásica
no empezó a haberno empezó a haber
trigonometría en lastrigonometría en las
matemáticas.matemáticas.

5. En el siglo II a.C. el astrónomoEn el siglo II a.C. el astrónomo
Hiparco de Nicea compiló unaHiparco de Nicea compiló una
tabla trigonométrica paratabla trigonométrica para
resolver triángulos.resolver triángulos.
Los astrónomos de la IndiaLos astrónomos de la India
habían desarrollado tambiénhabían desarrollado también
un sistema trigonométricoun sistema trigonométrico
basado en la función seno enbasado en la función seno en
vez de cuerdas como losvez de cuerdas como los
griegos.griegos.

6. Esta función seno, al contrarioEsta función seno, al contrario
que el seno utilizado en laque el seno utilizado en la
actualidad, no era unaactualidad, no era una
proporción, sino la longitud delproporción, sino la longitud del
lado opuesto a un ángulo en unlado opuesto a un ángulo en un
triángulo rectángulo detriángulo rectángulo de
hipotenusa dada. Loshipotenusa dada. Los
matemáticos indios utilizaronmatemáticos indios utilizaron
diversos valores para ésta endiversos valores para ésta en
sus tablas.sus tablas.

7. A finales del siglo VIII losA finales del siglo VIII los
astrónomos árabes habíanastrónomos árabes habían
recibido la herencia de lasrecibido la herencia de las
tradiciones de Grecia y de latradiciones de Grecia y de la
India, y prefirieron trabajarIndia, y prefirieron trabajar
con la función seno.con la función seno.

8. En las últimas décadas delEn las últimas décadas del
siglo X ya habían completadosiglo X ya habían completado
la función seno y las otrasla función seno y las otras
cinco funciones y habíancinco funciones y habían
descubierto y demostradodescubierto y demostrado
varios teoremasvarios teoremas
fundamentales de lafundamentales de la
trigonometría tanto paratrigonometría tanto para
triángulos planos comotriángulos planos como
esféricos.esféricos.

9. El occidente latino se familiarizóEl occidente latino se familiarizó
con la trigonometría árabe acon la trigonometría árabe a
través de traducciones de librostravés de traducciones de libros
de astronomía arábigos, quede astronomía arábigos, que
comenzaron a aparecer en elcomenzaron a aparecer en el
siglo XII. El primer trabajosiglo XII. El primer trabajo
importante en esta materia enimportante en esta materia en
Europa fue escrito por elEuropa fue escrito por el
matemático y astrónomo alemánmatemático y astrónomo alemán
Johann Müller, llamadoJohann Müller, llamado
Regiomontano.Regiomontano.

10. SeaSea ∆∆ ABC:ABC:
rectángulorectángulo
en Cen C
AA
CC
BB
αα
aa
bb
cc
sensen αα
==
aa
cc
coscos αα
==
bb
cc
tantan αα
==
aa
bb
cotcot αα
bb
aa
≤≤ 11
≤≤ 11

11. 300
450
600
sen x
cos x
tan x
cot x
Razón
trig.
√ 3
3
1 √ 3
√ 3
3
1√ 3
√ 3
2
√ 2
2
1
2
√ 3
2
√ 2
2
1
2

12. Conclusión:Conclusión:
Si dos ángulos son complemen-Si dos ángulos son complemen-
tarios entonces se cumple:tarios entonces se cumple:
sen (sen (909000
–– αα ) = cos) = cos αα
cos (cos (909000
–– αα ) = sen) = sen αα
tan (tan (909000
–– αα ) = cot) = cot αα
cot (cot (909000
–– αα ) = tan) = tan αα

13. EjercicioEjercicio 11
Si en unSi en un ∆∆ABC rectángulo en C,ABC rectángulo en C,
el ánguloel ángulo αα = 30= 3000
. ¿. ¿Qué relaciónQué relación
existe entre los catetos y laexiste entre los catetos y la
hipotenusa?hipotenusa?
AA
BB
CC
cc
aa
bb
αα
sensen αα == aa
cc
sensen 303000
==
11
22
aa
cc
==
11
22
a =a = cc

14. EjercicioEjercicio 22
SeanSean αα yy ββ las amplitudeslas amplitudes
de los ángulos agudos de unde los ángulos agudos de un
triángulo rectángulo ABC.triángulo rectángulo ABC.
Calcula:Calcula:
coscos αα , tan, tan αα y seny sen ββ
si sensi sen αα ==
44
55

15. a) cosα, tanα y sen β
si sen α =
4
5
C A
B
αα
ββ
c=
5
a=4
b = ?
Por el Teorema dePor el Teorema de
Pitágoras tenemos:Pitágoras tenemos:
cc22
= a= a22
+ b+ b22
b2
= c2
– a2
b2
= 52
– 42
b2
= 25 – 16
b2
= 9
b = 3
b = 3
cos α =
5
3b
c
tan α = a
b3
4
sen β
=
b3
5c

16. Para el estudio individualPara el estudio individual
SeanSean αα yy ββ las amplitudeslas amplitudes
de los ángulos agudos de unde los ángulos agudos de un
triángulo rectángulo ABC.triángulo rectángulo ABC.
Calcula:Calcula:
sensen ββ , tan, tan ββ y cosy cos αα
si cossi cos ββ == 88
1717
1515
1717 88
1515 1515
1717
Resp: ; ;Resp: ; ;