(1) El documento presenta problemas resueltos relacionados con elementos geométricos de la sección transversal y distribuciones de velocidad y presiones en canales abiertos. (2) Incluye problemas para calcular la presión en el fondo para flujos paralelos y no paralelos, así como expresiones para calcular áreas, perímetros y otros parámetros geométricos de secciones transversales circulares y triangulares con fondo redondeado. (3) También presenta la solución a un problema que involucra el cálculo de la vel
Este documento presenta cuatro problemas relacionados con el cálculo de parámetros hidráulicos de canales. El primer problema pide calcular el gasto y la velocidad de un canal trapecial dado sus dimensiones y pendiente. El segundo problema pide determinar las dimensiones de un canal rectangular para transportar un caudal específico con un perímetro mojado mínimo. El tercer problema pide diseñar la sección de un canal trapecial para transportar un caudal dado. El cuarto problema pide calcular las dimensiones óptimas de un canal trapecial para transportar
Este documento describe un canal trapezoidal con un ancho de solera de 0.30m y pendientes laterales de 1:1 que transporta un caudal de 0.8 m3/s con una velocidad de 2 m/s. Se pide determinar si el flujo es subcrítico o supercrítico.
1. Se calcula la profundidad normal de un canal trapezoidal de 3m de base para transportar un caudal de 10 m3/s. La profundidad obtenida es de 1.02m.
2. Se diseña un canal trapezoidal de sección máxima eficiente para conducir 17 m3/s a 0.9 m/s. Los resultados son: profundidad de 4.47m, ancho de base de 1.74m y pendiente de 0.00017.
3. Se determina el caudal en un canal trapezoidal a la salida de un depósito, obten
El documento describe el fenómeno del resalto hidráulico. 1) Se produce cuando un flujo pasa rápidamente de supercrítico a subcrítico, como al encontrarse con una pendiente menor. 2) Esto ocurre de forma violenta y turbulenta, con gran pérdida de energía. 3) Se explica mediante el análisis de la energía específica del flujo y las ecuaciones que rigen las profundidades conjugadas antes y después del resalto.
Este documento describe los conceptos básicos de los canales de flujo. Explica que los canales son conductos abiertos o cerrados por los que fluye el agua impulsada por la gravedad. Describe las características de la sección transversal de un canal, como el área, perímetro mojado y radio hidráulico. También explica los diferentes estados de flujo, como laminar, turbulento y transicional, y los números de Reynolds y Froude que los representan. Finalmente, analiza los elementos geométricos de diferentes secciones de canal, como rectangular
Este documento contiene la resolución de 7 ejercicios de hidráulica aplicada sobre canales. Los ejercicios involucran el cálculo de parámetros hidráulicos como la sección, pendiente y caudal para canales de diferentes geometrías considerando la fórmula de Manning.
Este documento presenta los resultados de un experimento sobre el estudio de orificios realizado por estudiantes de ingeniería civil. El objetivo era medir coeficientes como el de velocidad, contracción y descarga para diferentes caudales usando un aparato de trayectoria de chorro y un banco hidráulico. Se midieron parámetros como la altura del agua, tiempo de llenado, diámetros y se calcularon valores teóricos y experimentales para luego compararlos.
La energía específica en un canal abierto depende de la profundidad y de la velocidad del flujo. La profundidad crítica es aquella en la que la energía específica es mínima y el número de Froude es igual a 1, indicando flujo crítico. Si el número de Froude es mayor que 1 es flujo supercrítico y si es menor que 1 es flujo subcrítico. El caudal unitario máximo en un canal depende de la energía específica y de la profundidad crítica.
Este documento presenta cuatro problemas relacionados con el cálculo de parámetros hidráulicos de canales. El primer problema pide calcular el gasto y la velocidad de un canal trapecial dado sus dimensiones y pendiente. El segundo problema pide determinar las dimensiones de un canal rectangular para transportar un caudal específico con un perímetro mojado mínimo. El tercer problema pide diseñar la sección de un canal trapecial para transportar un caudal dado. El cuarto problema pide calcular las dimensiones óptimas de un canal trapecial para transportar
Este documento describe un canal trapezoidal con un ancho de solera de 0.30m y pendientes laterales de 1:1 que transporta un caudal de 0.8 m3/s con una velocidad de 2 m/s. Se pide determinar si el flujo es subcrítico o supercrítico.
1. Se calcula la profundidad normal de un canal trapezoidal de 3m de base para transportar un caudal de 10 m3/s. La profundidad obtenida es de 1.02m.
2. Se diseña un canal trapezoidal de sección máxima eficiente para conducir 17 m3/s a 0.9 m/s. Los resultados son: profundidad de 4.47m, ancho de base de 1.74m y pendiente de 0.00017.
3. Se determina el caudal en un canal trapezoidal a la salida de un depósito, obten
El documento describe el fenómeno del resalto hidráulico. 1) Se produce cuando un flujo pasa rápidamente de supercrítico a subcrítico, como al encontrarse con una pendiente menor. 2) Esto ocurre de forma violenta y turbulenta, con gran pérdida de energía. 3) Se explica mediante el análisis de la energía específica del flujo y las ecuaciones que rigen las profundidades conjugadas antes y después del resalto.
Este documento describe los conceptos básicos de los canales de flujo. Explica que los canales son conductos abiertos o cerrados por los que fluye el agua impulsada por la gravedad. Describe las características de la sección transversal de un canal, como el área, perímetro mojado y radio hidráulico. También explica los diferentes estados de flujo, como laminar, turbulento y transicional, y los números de Reynolds y Froude que los representan. Finalmente, analiza los elementos geométricos de diferentes secciones de canal, como rectangular
Este documento contiene la resolución de 7 ejercicios de hidráulica aplicada sobre canales. Los ejercicios involucran el cálculo de parámetros hidráulicos como la sección, pendiente y caudal para canales de diferentes geometrías considerando la fórmula de Manning.
Este documento presenta los resultados de un experimento sobre el estudio de orificios realizado por estudiantes de ingeniería civil. El objetivo era medir coeficientes como el de velocidad, contracción y descarga para diferentes caudales usando un aparato de trayectoria de chorro y un banco hidráulico. Se midieron parámetros como la altura del agua, tiempo de llenado, diámetros y se calcularon valores teóricos y experimentales para luego compararlos.
La energía específica en un canal abierto depende de la profundidad y de la velocidad del flujo. La profundidad crítica es aquella en la que la energía específica es mínima y el número de Froude es igual a 1, indicando flujo crítico. Si el número de Froude es mayor que 1 es flujo supercrítico y si es menor que 1 es flujo subcrítico. El caudal unitario máximo en un canal depende de la energía específica y de la profundidad crítica.
El documento describe las secciones más comunes en canales de conducción, como la sección trapezoidal y rectangular. Explica las fórmulas para calcular el área, perímetro y eficiencia hidráulica máxima de un canal trapezoidal. También presenta ejemplos de cálculos para diseñar la sección de un canal dada una zona irrigable y caudal, así como para encontrar la pendiente crítica de un colector.
CALCULO DE CAUDAL - FORMULA DE MANNING-Canal hidraulicaEdwin Gualan
Este documento describe cómo calcular el caudal (Q) en un canal trapezoidal abierto revestido de hormigón mediante la fórmula de Manning. Explica los pasos para medir las dimensiones de la sección transversal del canal, calcular los parámetros hidráulicos como el área, perímetro, radio hidráulico y pendiente, y luego aplicar la fórmula de Manning para determinar el caudal de 12.08 m3/seg. Finalmente, verifica los resultados utilizando un programa de modelado hidráulico.
Este documento describe las propiedades hidráulicas de los suelos, incluyendo la permeabilidad, la ley de Darcy, y los métodos para medir el coeficiente de permeabilidad. Explica conceptos como la velocidad de descarga, filtración y real, y los suelos anisótropos. Finalmente, detalla métodos directos e indirectos para medir la permeabilidad en el laboratorio y en situ, como el permeámetro de carga variable y constante.
Se define el concepto de Energía Específica (E) y se presenta la curva de energía específica (E vs y), esencial para definir el concepto de tirante crítico e identificar las regiones asociadas a flujo subcrítico y flujo supercrítico.
Se analiza las aplicaciones prácticas más usuales de la curva de energía específica, como es el caso de presencia de gradas o de angostamiento (o ensanchamiento) de la sección de un canal.
Se analiza luego la curva de descarga (Q vs y) determinada para energía especifica constante.
Finalmente, se revisa la aplicación de la curva de descarga en la determinación del caudal (Q) y tirante (y) en un canal alimentado por un reservorio.
Este documento presenta información sobre la distribución de esfuerzos en masas de suelo. Explica conceptos como esfuerzo efectivo, esfuerzos causados por cargas puntuales, lineales y de franja. También describe la variación de esfuerzos totales, presión de poros y esfuerzos efectivos con la profundidad, así como factores que influyen en la distribución de esfuerzos bajo cargas de diferentes geometrías.
El documento presenta las propiedades, índices y relaciones fundamentales de los suelos, incluyendo volúmenes, pesos, peso específico, porosidad, grado de saturación, humedad, densidad relativa y más. Define cada término y presenta fórmulas para calcular valores como peso específico húmedo, seco y saturado usando datos como peso de la muestra, volumen de sólidos, agua y vacíos. Incluye tres ejercicios de aplicación de las fórmulas.
Material correspondiente a la asignatura de Hidráulica; el tema hace referencia a Canales Abiertos. Documento facilitado por el Ing. Luis Muñoz, de la Universidad Tecnológica de Panamá.
Este documento presenta varios problemas de ingeniería hidráulica relacionados con canales de agua. Proporciona 23 problemas resueltos que cubren temas como la velocidad del flujo, la pendiente, la sección transversal y la capacidad de canales rectangulares, trapezoidales y otras formas, considerando factores como la rugosidad, el caudal y el tipo de flujo. Cada problema contiene la descripción del caso, las ecuaciones utilizadas y la solución.
Este documento presenta preguntas de teoría y práctica resueltas sobre mecánica de suelos II. En las primeras preguntas se definen conceptos clave como esfuerzo efectivo y esfuerzo cortante máximo. Luego, se explican fórmulas para calcular esfuerzos verticales totales, efectivos y presión de poros. Finalmente, se pide determinar y graficar diagramas de esfuerzos para un perfil de suelo compuesto por varias capas.
Tarea 2 Deducción de elementos geométricosMiguel Rosas
El documento describe los procedimientos para calcular las características geométricas fundamentales de diferentes secciones transversales de canales, incluidas las secciones trapezoidales, rectangulares, triangulares y circulares. Para cada sección, se explican las fórmulas para calcular el perímetro mojado, el área hidráulica, el radio hidráulico y el tirante hidráulico.
Este documento describe el estudio y patronamiento de vertederos. Explica que los vertederos son estructuras hidráulicas utilizadas para controlar niveles y medir caudales. Define la ecuación de patronamiento de un vertedero de cresta delgada y clasifica los vertederos según su forma geométrica (rectangular, triangular, trapezoidal, circular) y ancho de cresta (delgada, ancha). Finalmente, analiza cómo se ven afectados los caudales cuando el funcionamiento del vertedero es ahogado.
Este problema resuelve las propiedades básicas de un suelo saturado a partir de datos de pesos. Se calcula la humedad natural en un 20%, el índice de poros en un 0.54, la porosidad en un 35% y las densidades natural y seca en 2.10 gr/cm3 y 1.75 gr/cm3 respectivamente.
El documento presenta los resultados de una prueba para determinar la gravedad específica de los sólidos de una muestra de suelo tomada en la Urb. La Florida en El Tambo. Se midió la gravedad específica de dos muestras alteradas tomadas a una profundidad de 2.10 m, obteniendo valores promedio de 1.0388225. El documento también incluye la introducción, objetivos, aspectos generales, marco teórico y procedimiento de la prueba.
Este documento describe los conceptos básicos del flujo permanente y uniforme en canales. Explica que este tipo de flujo ocurre cuando las fuerzas de gravedad que impulsan el flujo se equilibran con las fuerzas de fricción. También presenta las principales fórmulas utilizadas para el análisis y diseño de canales, como las fórmulas de Manning, Chezy y Darcy-Weisbach. Finalmente, cubre consideraciones de diseño como materiales, pendiente, talud y margen libre.
A pandemia de COVID-19 causou impactos econômicos e sociais significativos em todo o mundo. Muitos países implementaram lockdowns e medidas de distanciamento social para conter a propagação do vírus, mas isso teve um custo econômico alto na forma de aumento do desemprego e queda no PIB. À medida que as vacinas são desenvolvidas e distribuídas, espera-se que a economia global se recupere gradualmente nos próximos anos.
El documento describe las secciones más utilizadas en canales de conducción, la trapezoidal y rectangular. Explica que el canal trapecial de máxima eficiencia hidráulica es aquel con un ángulo de 30 grados, y proporciona las fórmulas correspondientes. También presenta un ejemplo numérico de diseño de canal trapecial para abastecer una zona irrigable.
Este documento describe el procedimiento para realizar una prueba de California Bearing Ratio (CBR) para determinar la capacidad de soporte de un suelo. La prueba involucra la preparación de muestras de suelo compactadas en moldes cilíndricos a diferentes niveles de humedad y densidad, y luego someter las muestras a cargas de penetración para medir la resistencia. El objetivo es determinar el índice CBR del suelo y evaluar su calidad para uso en subrasantes, sub-bases y bases de pavimento.
El documento describe un experimento de flujo uniforme en canales rectangulares realizado en el laboratorio de Mecánica de Fluidos e Hidráulica de la Universidad Señor de Sipán. El experimento midió los niveles de agua a lo largo de un canal rectangular para diferentes caudales y pendientes. Los datos recolectados se utilizaron para calcular parámetros hidráulicos como el número de Froude y determinar el régimen de flujo.
El documento describe diferentes fórmulas hidráulicas para el cálculo de tuberías de alcantarillado, incluyendo las fórmulas de Manning, Darcy-Weisbach y Chezy. Explica cómo calcular el área, perímetro mojado y radio hidráulico para tuberías total y parcialmente llenas usando estas fórmulas. También presenta la corrección de Thormann para mejorar la precisión de los cálculos de gasto en tuberías parcialmente llenas. Finalmente, incluye ejemplos numéric
Este documento presenta información sobre el flujo de agua en canales, incluyendo las ecuaciones de Chezy y Manning para calcular la velocidad del flujo. Explica conceptos como flujo uniforme, flujo gradualmente variado, pendiente hidráulica y número de Froude. También incluye dos problemas resueltos como ejemplos para diseñar un canal trapecial y calcular su profundidad, ancho, pendiente y número de Froude.
El documento describe las secciones más comunes en canales de conducción, como la sección trapezoidal y rectangular. Explica las fórmulas para calcular el área, perímetro y eficiencia hidráulica máxima de un canal trapezoidal. También presenta ejemplos de cálculos para diseñar la sección de un canal dada una zona irrigable y caudal, así como para encontrar la pendiente crítica de un colector.
CALCULO DE CAUDAL - FORMULA DE MANNING-Canal hidraulicaEdwin Gualan
Este documento describe cómo calcular el caudal (Q) en un canal trapezoidal abierto revestido de hormigón mediante la fórmula de Manning. Explica los pasos para medir las dimensiones de la sección transversal del canal, calcular los parámetros hidráulicos como el área, perímetro, radio hidráulico y pendiente, y luego aplicar la fórmula de Manning para determinar el caudal de 12.08 m3/seg. Finalmente, verifica los resultados utilizando un programa de modelado hidráulico.
Este documento describe las propiedades hidráulicas de los suelos, incluyendo la permeabilidad, la ley de Darcy, y los métodos para medir el coeficiente de permeabilidad. Explica conceptos como la velocidad de descarga, filtración y real, y los suelos anisótropos. Finalmente, detalla métodos directos e indirectos para medir la permeabilidad en el laboratorio y en situ, como el permeámetro de carga variable y constante.
Se define el concepto de Energía Específica (E) y se presenta la curva de energía específica (E vs y), esencial para definir el concepto de tirante crítico e identificar las regiones asociadas a flujo subcrítico y flujo supercrítico.
Se analiza las aplicaciones prácticas más usuales de la curva de energía específica, como es el caso de presencia de gradas o de angostamiento (o ensanchamiento) de la sección de un canal.
Se analiza luego la curva de descarga (Q vs y) determinada para energía especifica constante.
Finalmente, se revisa la aplicación de la curva de descarga en la determinación del caudal (Q) y tirante (y) en un canal alimentado por un reservorio.
Este documento presenta información sobre la distribución de esfuerzos en masas de suelo. Explica conceptos como esfuerzo efectivo, esfuerzos causados por cargas puntuales, lineales y de franja. También describe la variación de esfuerzos totales, presión de poros y esfuerzos efectivos con la profundidad, así como factores que influyen en la distribución de esfuerzos bajo cargas de diferentes geometrías.
El documento presenta las propiedades, índices y relaciones fundamentales de los suelos, incluyendo volúmenes, pesos, peso específico, porosidad, grado de saturación, humedad, densidad relativa y más. Define cada término y presenta fórmulas para calcular valores como peso específico húmedo, seco y saturado usando datos como peso de la muestra, volumen de sólidos, agua y vacíos. Incluye tres ejercicios de aplicación de las fórmulas.
Material correspondiente a la asignatura de Hidráulica; el tema hace referencia a Canales Abiertos. Documento facilitado por el Ing. Luis Muñoz, de la Universidad Tecnológica de Panamá.
Este documento presenta varios problemas de ingeniería hidráulica relacionados con canales de agua. Proporciona 23 problemas resueltos que cubren temas como la velocidad del flujo, la pendiente, la sección transversal y la capacidad de canales rectangulares, trapezoidales y otras formas, considerando factores como la rugosidad, el caudal y el tipo de flujo. Cada problema contiene la descripción del caso, las ecuaciones utilizadas y la solución.
Este documento presenta preguntas de teoría y práctica resueltas sobre mecánica de suelos II. En las primeras preguntas se definen conceptos clave como esfuerzo efectivo y esfuerzo cortante máximo. Luego, se explican fórmulas para calcular esfuerzos verticales totales, efectivos y presión de poros. Finalmente, se pide determinar y graficar diagramas de esfuerzos para un perfil de suelo compuesto por varias capas.
Tarea 2 Deducción de elementos geométricosMiguel Rosas
El documento describe los procedimientos para calcular las características geométricas fundamentales de diferentes secciones transversales de canales, incluidas las secciones trapezoidales, rectangulares, triangulares y circulares. Para cada sección, se explican las fórmulas para calcular el perímetro mojado, el área hidráulica, el radio hidráulico y el tirante hidráulico.
Este documento describe el estudio y patronamiento de vertederos. Explica que los vertederos son estructuras hidráulicas utilizadas para controlar niveles y medir caudales. Define la ecuación de patronamiento de un vertedero de cresta delgada y clasifica los vertederos según su forma geométrica (rectangular, triangular, trapezoidal, circular) y ancho de cresta (delgada, ancha). Finalmente, analiza cómo se ven afectados los caudales cuando el funcionamiento del vertedero es ahogado.
Este problema resuelve las propiedades básicas de un suelo saturado a partir de datos de pesos. Se calcula la humedad natural en un 20%, el índice de poros en un 0.54, la porosidad en un 35% y las densidades natural y seca en 2.10 gr/cm3 y 1.75 gr/cm3 respectivamente.
El documento presenta los resultados de una prueba para determinar la gravedad específica de los sólidos de una muestra de suelo tomada en la Urb. La Florida en El Tambo. Se midió la gravedad específica de dos muestras alteradas tomadas a una profundidad de 2.10 m, obteniendo valores promedio de 1.0388225. El documento también incluye la introducción, objetivos, aspectos generales, marco teórico y procedimiento de la prueba.
Este documento describe los conceptos básicos del flujo permanente y uniforme en canales. Explica que este tipo de flujo ocurre cuando las fuerzas de gravedad que impulsan el flujo se equilibran con las fuerzas de fricción. También presenta las principales fórmulas utilizadas para el análisis y diseño de canales, como las fórmulas de Manning, Chezy y Darcy-Weisbach. Finalmente, cubre consideraciones de diseño como materiales, pendiente, talud y margen libre.
A pandemia de COVID-19 causou impactos econômicos e sociais significativos em todo o mundo. Muitos países implementaram lockdowns e medidas de distanciamento social para conter a propagação do vírus, mas isso teve um custo econômico alto na forma de aumento do desemprego e queda no PIB. À medida que as vacinas são desenvolvidas e distribuídas, espera-se que a economia global se recupere gradualmente nos próximos anos.
El documento describe las secciones más utilizadas en canales de conducción, la trapezoidal y rectangular. Explica que el canal trapecial de máxima eficiencia hidráulica es aquel con un ángulo de 30 grados, y proporciona las fórmulas correspondientes. También presenta un ejemplo numérico de diseño de canal trapecial para abastecer una zona irrigable.
Este documento describe el procedimiento para realizar una prueba de California Bearing Ratio (CBR) para determinar la capacidad de soporte de un suelo. La prueba involucra la preparación de muestras de suelo compactadas en moldes cilíndricos a diferentes niveles de humedad y densidad, y luego someter las muestras a cargas de penetración para medir la resistencia. El objetivo es determinar el índice CBR del suelo y evaluar su calidad para uso en subrasantes, sub-bases y bases de pavimento.
El documento describe un experimento de flujo uniforme en canales rectangulares realizado en el laboratorio de Mecánica de Fluidos e Hidráulica de la Universidad Señor de Sipán. El experimento midió los niveles de agua a lo largo de un canal rectangular para diferentes caudales y pendientes. Los datos recolectados se utilizaron para calcular parámetros hidráulicos como el número de Froude y determinar el régimen de flujo.
El documento describe diferentes fórmulas hidráulicas para el cálculo de tuberías de alcantarillado, incluyendo las fórmulas de Manning, Darcy-Weisbach y Chezy. Explica cómo calcular el área, perímetro mojado y radio hidráulico para tuberías total y parcialmente llenas usando estas fórmulas. También presenta la corrección de Thormann para mejorar la precisión de los cálculos de gasto en tuberías parcialmente llenas. Finalmente, incluye ejemplos numéric
Este documento presenta información sobre el flujo de agua en canales, incluyendo las ecuaciones de Chezy y Manning para calcular la velocidad del flujo. Explica conceptos como flujo uniforme, flujo gradualmente variado, pendiente hidráulica y número de Froude. También incluye dos problemas resueltos como ejemplos para diseñar un canal trapecial y calcular su profundidad, ancho, pendiente y número de Froude.
Este documento discute conceptos clave relacionados con la energía específica, cantidad de movimiento y niveles de flujo dentro de un canal. Define la energía específica como la energía por kilogramo de agua que fluye a través de una sección del canal. Explica cómo se pueden resolver problemas complejos de transición usando la energía específica. También analiza la cantidad de movimiento y cómo se puede usar para predecir diferentes situaciones de flujo dentro de un canal. Finalmente, revisa varias ecuaciones como las de Manning, Chezy, Kutter y Bazin para
El documento describe el dimensionamiento de una obra de desvió de un río que incluye el cálculo de las dimensiones de un canal trapezoidal y un túnel circular. Se calculan las dimensiones del canal trapezoidal para un gasto de diseño de 100 m3/seg considerando una pendiente que genere un flujo lento. Para el túnel circular se calcula el diámetro requerido para manejar un gasto de 150 m3/seg considerando la ecuación de Darcy-Weisbach y el diagrama de Moody. La obra de desvió usará un canal mixto
Análisis Comparativo del Método Laplace con el Software.pptxjhoselyngarabito1
El documento describe el análisis de filtraciones a través de una presa de tierra utilizando el método de diferencias finitas. Explica la ecuación de Laplace, el método de diferencias finitas para aproximar derivadas parciales, y las condiciones de frontera de Dirichlet y Neumann. Luego, presenta los resultados de modelar una presa de tierra específica usando el software Geostudio y comparando los resultados con el método de cinco puntos de diferencias finitas.
Este documento describe un experimento para estudiar la evacuación de fluidos a través de un orificio. Se aplican los teoremas de Torricelli y Bernoulli para modelar matemáticamente el fenómeno. El experimento propone medir el tiempo de evacuación de un recipiente, la velocidad del fluido al salir, y comprobar si las relaciones predichas por los modelos teóricos se ajustan a los datos experimentales.
El documento describe los conceptos fundamentales de la convección forzada en flujo interno, incluyendo consideraciones hidrodinámicas y térmicas. Explica que en la región completamente desarrollada, la velocidad, presión, temperatura y coeficiente de convección se mantienen constantes a lo largo del tubo. También presenta correlaciones para calcular el número de Nusselt en flujos laminar y turbulento.
El documento presenta la deducción de las ecuaciones para calcular el empuje hidrostático sobre superficies planas. Se deduce primero la ecuación para una pared vertical rectangular, considerando el volumen de la cuña de presiones y el centro de gravedad. Luego se extiende a superficies inclinadas y con líquido en ambos lados, deduciendo fórmulas para cada caso mediante el uso de conceptos de geometría, trigonometría e hidrostática. Finalmente se presenta la ecuación general para calcular el empuje hidrostático
Este documento presenta las ecuaciones fundamentales para el cálculo de flujo uniforme en canales abiertos, incluyendo las ecuaciones de Chezy, Manning y Darcy-Weisbach. Explica los conceptos de flujo laminar y turbulento, y cómo calcular el coeficiente de Manning para diferentes tipos de canales. También cubre temas como canales de sección compuesta, conductos parcialmente llenos y canales con múltiples rugosidades.
Este documento describe conceptos clave relacionados con el flujo de agua a través del suelo y presas, incluyendo la ley de Darcy, gradiente hidráulico, líneas de flujo y equipotenciales, y métodos para determinar la línea de saturación en presas de tierra. También cubre el cálculo de filtraciones y diseño preliminar de presas.
Este documento trata sobre aplicaciones de la integral para calcular áreas, longitudes de curvas, volúmenes y centroides. Explica cómo usar la integral definida para calcular el área bajo la gráfica de una función, entre gráficas de funciones, y de sólidos de revolución. También cubre el cálculo de la longitud de una curva, volúmenes de sólidos y coordenadas del centro de masa usando integrales. Proporciona ejemplos ilustrativos de cada aplicación.
Este documento presenta las ecuaciones fundamentales para calcular el flujo a través de diferentes tipos de medidores, incluyendo tubos Venturi, placas de orificio y tubos Pitot. Explica cómo usar el coeficiente de descarga y otros factores para determinar el flujo real teniendo en cuenta las pérdidas. También proporciona ejemplos numéricos y gráficos para ilustrar cómo aplicar las ecuaciones y calcular propiedades como el diámetro del medidor y la caída de presión.
Este documento presenta las ecuaciones fundamentales para calcular el flujo a través de diferentes tipos de medidores, incluyendo tubos Venturi, placas de orificio y tubos Pitot. Explica cómo usar el coeficiente de descarga y otros factores para determinar el flujo real teniendo en cuenta las pérdidas. También proporciona ejemplos numéricos y gráficos para ilustrar cómo aplicar las ecuaciones y calcular propiedades como la velocidad del flujo y el diámetro efectivo del medidor.
Este documento describe los conceptos fundamentales de la energía en canales, incluida la energía específica, la energía total y la ecuación de energía. También explica los pasos para determinar las dimensiones de la sección de un canal no erodable, como estimar el caudal, seleccionar el coeficiente de rugosidad, asumir un ancho de base y resolver para la profundidad del flujo.
Este documento presenta varios ejemplos de aplicaciones de la derivada para resolver problemas de razón de cambio, máximos y mínimos. Se explican conceptos como razón de cambio, volumen, distancia, área y cómo usar la derivada para encontrar el valor óptimo que maximice o minimice una función en problemas prácticos como determinar las dimensiones de un recipiente, caja o área de un triángulo.
Este documento discute dos métodos para determinar coeficientes de difusividad gaseosa usando el tubo de Stefan: el método de Winkelmann y el método de Wilke-Lee. Se aplican ambos métodos a una serie de valores experimentales para el sistema Tetracloruro de Carbono-Aire. El documento también analiza los posibles errores en los métodos y cómo corregirlos.
Este documento presenta información sobre conceptos hidráulicos como flujo libre, flujo uniforme, ecuaciones como las de Chezy, Manning, Darcy-Weisbach, Colebrook-White, Kutter y Bazin. Explica las características del flujo libre, flujo libre uniforme y variables asociadas. También describe experimentos de laboratorio para medir variables como caudal, altura y rugosidad en un canal abierto.
Este documento describe diferentes conceptos relacionados con el flujo en canales abiertos. Define flujo a superficie libre y explica cómo la variación de la profundidad clasifica los flujos en uniformes o no uniformes. También cubre temas como números de Reynolds, ondas de superficie, consideraciones energéticas, variación de la profundidad de un canal, flujo permanente y gradualmente variable, y el coeficiente de Manning.
Este documento discute varios factores hidrológicos y geológicos que afectan el diseño de drenaje, incluido el tamaño de la cuenca, la presencia de aguas subterráneas y las propiedades de las rocas y suelos. También describe el método racional para estimar caudales máximos y el método del número de curva para modelar la relación entre precipitación e escorrentía. Finalmente, enfatiza la importancia de realizar estudios de campo para obtener datos e identificar problemas que afectan la infra
El documento presenta 8 ejemplos de problemas de dinámica de fluidos resueltos. El Ejemplo 1 calcula la velocidad de salida de agua de una manguera. El Ejemplo 2 explica cómo medir la velocidad de flujo en un tubo de Venturi. El Ejemplo 3 calcula la velocidad de salida de un tanque con un agujero.
Similar a 2. problemas resueltos propiedades geométricas (1) (20)
Klohn Crippen Berger es una consultoría
especializada que presta servicios al
sector minero en estudios geotécnicos,
geoquímicos, hidrotécnicos y de
asesoramiento ambiental, reconocida por
su trayectoria, calidad y ética profesional.
1. 2. ELEMENTOS GEOMÉTRICOS DE LA SECCIÓN TRANSVERSAL
Y DISTRIBUCIONES DE VELOCIDAD Y PRESIONES
Universidad Nacional de Colombia Ramiro Marbello Pérez
Sede Medellín Escuela de Geociencias y Medio Ambiente
13
2. ELEMENTOS GEOMÉTRICOS DE LA SECCIÓN TRANSVERSAL
Y DISTRIBUCIONES DE VELOCIDAD Y PRESIONES
Problema 2.1
Para un flujo paralelo, en un canal de pendiente favorable, como el mostrado en la figura, probar que la
presión en el fondo se puede calcular con la expresión pF = γ y cos2
θ ; siendo γ, el peso específico del
líquido, θ, el ángulo que forma la rasante del fondo con la horizontal, y y, la profundidad del flujo en la
sección vertical.
Solución:
Atendiendo la geometría de la figura siguiente, y partiendo del hecho de que la distribución de presiones
del flujo paralelo, en un canal abierto, sigue la ley hidrostática de presiones, la presión en el fondo se
puede expresar de la siguiente manera:
pF = γ h (1)
2. PROBLEMAS RESUELTOS DE HIDRÁULICA DE CANALES ABIERTOS
Universidad Nacional de Colombia Ramiro Marbello Pérez
Sede Medellín Escuela de Geociencias y Medio Ambiente
14
En el triángulo rectángulo STF, se tiene:
cos
FT d
yFS
θ = = (1)
∴ cosd y θ= (2)
Así mismo, en el triángulo rectángulo TRF, se tiene:
d
h
FT
FR
==θcos (3)
∴ cosh d θ= (4)
Reemplazando (3) en (5), se tiene:
( )cos cosh y θ θ= (5)
2
cosh y θ= (6)
Finalmente, reemplazando el valor de h dado por (7) en (1), se obtiene:
2
cosFP yγ θ= (7)
3. 2. ELEMENTOS GEOMÉTRICOS DE LA SECCIÓN TRANSVERSAL
Y DISTRIBUCIONES DE VELOCIDAD Y PRESIONES
Universidad Nacional de Colombia Ramiro Marbello Pérez
Sede Medellín Escuela de Geociencias y Medio Ambiente
15
Problema 2.2
Para un flujo no paralelo, en un canal de pendiente favorable, como el mostrado en la figura, probar que la
presión en el fondo se puede calcular con la expresión
θφ
γ
tantan1
1
⋅+
= ypF ; siendo γ, el peso
específico del líquido, φ es el ángulo que forma la línea de la superficie libre con la horizontal, θ, el ángulo
que forma la rasante del fondo con la horizontal, y y, la profundidad del flujo en la sección vertical.
Solución:
Como en el caso del flujo paralelo, para el flujo convergente se puede suponer que la variación de la
presión sigue la ley hidrostática de presiones, por lo cual la presión en el fondo también será:
pF = γ h (1)
En el triángulo rectángulo TRF, se tiene:
cos
FR h
dFT
θ = = (1)
4. PROBLEMAS RESUELTOS DE HIDRÁULICA DE CANALES ABIERTOS
Universidad Nacional de Colombia Ramiro Marbello Pérez
Sede Medellín Escuela de Geociencias y Medio Ambiente
16
cos
h
d
θ
= (2)
Además, sen
n
d
θ =
senn d θ= (3)
En el triángulo rectángulo SRT, se tiene:
sen
SR m y h
l lST
φ
−
= = = (4)
senm y h l φ= − = (5)
senh y l φ= − (6)
Además,
cos
n
l
φ =
∴ cosn l φ= (7)
Combinando (4) y (8), se tiene:
sen cosd lθ φ= (8)
sen
cos
l d
θ
φ
= (9)
Reemplazando (10) en (7)
sen
sen sen tan
cos
h y d y d
θ
φ θ φ
φ
= − = −
(10)
Reemplazando en (11) el valor de d hallado en (3)
sen tan
cos
h
h y θ φ
θ
= − (11)
5. 2. ELEMENTOS GEOMÉTRICOS DE LA SECCIÓN TRANSVERSAL
Y DISTRIBUCIONES DE VELOCIDAD Y PRESIONES
Universidad Nacional de Colombia Ramiro Marbello Pérez
Sede Medellín Escuela de Geociencias y Medio Ambiente
17
( )
tan tan
tan tan
1 tan tan
h y h
h h y
h y
θ φ
θ φ
θ φ
= −
+ =
+ =
1 tan tan
y
h
θ φ
=
+
(12)
Finalmente reemplazamos h dado por (13) en (1):
1 tan tan
F
y
P γ
θ φ
=
+
(13)
Obsérvese que para flujo paralelo ( φ θ= ), sustituyendo tanφ = tanθ en (14), se tiene:
2 2
2
2
1 tan sec
1
cos
sec
y y
h
h y y
θ θ
θ
θ
= =
+
= =
θ2
cosyh =
Resultado idéntico al encontrado en el problema inmediatamente anterior.
Problema 2.3.
Deduzca las expresiones que permiten calcular el área mojada, el perímetro mojado, el ancho superficial, la
profundidad hidráulica y la profundidad centroidal de la sección vertical de una canal circular, en términos
de su diámetro, ., y de la profundidad del flujo, y.
Caso a.
Figura 1. Geometría del canal circular, caso a.
6. PROBLEMAS RESUELTOS DE HIDRÁULICA DE CANALES ABIERTOS
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18
1. Expresión para el ángulo, .
De la simetría circular y a partir de la figura 1 vemos que:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Por otro lado, a partir de la figura 1 vemos que:
(6)
Reemplazando (6) en (5):
(6)
(7)
(8)
(9)
2. Expresión para el área mojada, A
Figura 2. Composición de áreas del canal circular, caso a.
Como se puede ver en la figura, el área se obtiene como la suma del área del sector circular y del triángulo
mostrado, de esta manera:
- Área del sector circular:
Empleando coordenadas polares, se tiene:
(10)
(11)
7. 2. ELEMENTOS GEOMÉTRICOS DE LA SECCIÓN TRANSVERSAL
Y DISTRIBUCIONES DE VELOCIDAD Y PRESIONES
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19
(12)
- Área del triángulo:
La base y la altura del triángulo están dadas por las siguientes expresiones:
(13)
(14)
Además:
(15)
(16)
(17)
(18)
Luego el área se calcula de la siguiente manera:
(19)
(20)
Reemplazando (13) y (14) en (20).
(21)
(22)
(23)
- Área total:
(24)
(25)
3. Expresión para el ancho superficial, T.
De la figura se puede apreciar
(26)
(27)
(28)
(29)
Reemplazando (27) en (24)
(30)
(31)
8. PROBLEMAS RESUELTOS DE HIDRÁULICA DE CANALES ABIERTOS
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20
Caso b.
Figura 3. Geometría del canal circular, caso a.
1. Expresión para el ángulo, .
Igualmente, gracias a la simetría del círculo y haciendo uso ahora de la figura 3, se encuentra:
(32)
(33)
(34)
2. Expresión para el cálculo del área mojada, A.
Figura 4. Composición de áreas del canal circular, caso a.
- Área del sector circular:
Usando coordenadas polares:
(35)
(36)
9. 2. ELEMENTOS GEOMÉTRICOS DE LA SECCIÓN TRANSVERSAL
Y DISTRIBUCIONES DE VELOCIDAD Y PRESIONES
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21
(37)
- Área del triángulo:
La base y la altura del triángulo están dadas por las siguientes expresiones:
(38)
(39)
Reemplazando en la fórmula para el cálculo del área, se obtiene:
(40)
(41)
(42)
- Área total:
(43)
(44)
3. Expresión para el cálculo del ancho superficial, T.
De la figura se observa que:
(45)
(46)
Obsérvese que las ecuaciones resultantes para el cálculo del ángulo; (9) y (34), el área; (25) y (44), y el
ancho superficial; (31) y (46) son idénticas sin importar el caso, por tanto se puede afirmar que estas tres
ecuaciones son válidas siempre para el canal circular.
4. Expresión para el cálculo del perímetro mojado, P
El perímetro se encuentra con la fórmula de la longitud de arco del sector circular, dicha fórmula es válida
sin importar en donde se halle el nivel de la superficie libre.
5. Expresión para el cálculo del radio hidráulico, RH
El radio hidráulico se calcula como el cociente del área sobre el perímetro, debido a que las fórmulas para
el área y el perímetro son igual en los casos a y b entonces la del radio hidráulico también lo es.
10. PROBLEMAS RESUELTOS DE HIDRÁULICA DE CANALES ABIERTOS
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22
6. Expresión para calcular el factor de sección, Z
Problema 2.4
La sección transversal de un canal triangular con fondo redondeado se compone de dos taludes redondeados
en el fondo, según el arco de círculo , como se muestra en la figura. Deducir las expresiones para
calcular el área, el perímetro mojado, el ancho superficial, el radio hidráulico, la profundidad hidráulica, el
factor de sección y la profundidad centroidal.
Por tratarse de un círculo tangente a los taludes laterales del canal, el radio de aquel es perpendicular a
éstos en los puntos C y D.
Por otro lado, observando los triángulos rectángulos EFB y ODE, se deduce que el ángulo EOD es igual al
ángulo FBE (= ), por tener sus lados respectivamente perpendiculares entre sí. Además, por simetría de la
sección del canal, el ángulo COE también es igual a .
11. 2. ELEMENTOS GEOMÉTRICOS DE LA SECCIÓN TRANSVERSAL
Y DISTRIBUCIONES DE VELOCIDAD Y PRESIONES
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23
Deducción de una expresión para la expresión para el perímetro mojado, P:
De la figura:
(1)
Por simetría, ; por lo tanto:
(2)
(3)
Del triángulo rectángulo ODE, se tiene:
(4)
(5)
Del triángulo rectángulo EFB, se tiene:
(6)
Además, en el mismo triángulo: (7)
(8)
Sustituyendo (5) y (6) en (3), se tiene:
(9)
Por otra parte:
(10)
Dado que:
(11)
12. PROBLEMAS RESUELTOS DE HIDRÁULICA DE CANALES ABIERTOS
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24
(12)
Reemplazando (9) y (12) en (2), se obtiene una expresión para el perímetro mojado; así:
(13)
(14)
(15)
Deducción de una expresión para el área mojada, A:
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
(22)
Deducción de una expresión para el ancho superficial, T:
De la figura, se tiene:
(23)
(24)
(25)
Luego,
(26)
(27)
(28)
(29)
Así,
(30)
Finalmente,
(31)
13. 2. ELEMENTOS GEOMÉTRICOS DE LA SECCIÓN TRANSVERSAL
Y DISTRIBUCIONES DE VELOCIDAD Y PRESIONES
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25
(32)
Así la expresión para el ancho superficial, T, es:
(33)
PROBLEMA 2.5
Por un canal rectangular, de ancho B = 5.36 m, circula cierto caudal con una profundidad yo = 1.89 m, y
una distribución de velocidades dada por:
y2.5y0.75v
2
+−= ; [ ]oyy0 ≤≤ ; con v (m/s), y (m)
Se pide calcular:
a. La velocidad máxima del flujo y el punto donde se produce.
b. El caudal y la velocidad media del flujo.
c. La energía cinética y la cantidad de movimiento de la masa de agua que atraviesa la sección, por
unidad de tiempo, ρagua = 1000 kgm/m3
.
d. Los coeficientes de Coriolis y Boussinesq.
e. El número de Froude.
Solución:
Figura 2.5.a. Perfil de velocidades del flujo en el canal
Para dar solución a este problema se cuenta con los siguientes datos:
v = - 0.75 y2
+2.5 y; con v en (m/s) y y en m. (1)
Además [ ]oyy0 ≤≤
yo = 1.89 m; y B = 5.36 m
14. PROBLEMAS RESUELTOS DE HIDRÁULICA DE CANALES ABIERTOS
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26
a. Para determinar la velocidad máxima se deriva la función de la velocidad con respecto a y, y se iguala
a cero, para hallar los puntos críticos.
( ) 2.5y0.752
dy
dv
+−=
(2)
02.5y1.5
dy
dv
=+−=
(3)
Despejando y de la ecuación (2), se tiene:
m1.6667
1.5
2.5
y == (4)
Sustituyendo el valor de y = 1.6667 m en la ecuación (1), resulta el valor de la velocidad máxima, así:
( ) ( )
s
m
2.0833331.66672.51.66670.75VV
2
m1.6667ymáx =+−== =
Por tanto, la velocidad máxima del flujo es:
s
m
2.083vmáx = (5)
y ocurre para: y = 1.667 m, véase la Figura 2.5.b.
Figura 2.5.b. Perfil de velocidades
b. Para el cálculo del caudal y la velocidad media del flujo se utilizará la ecuación de continuidad. Véase
la Figura 2.5.c.
15. 2. ELEMENTOS GEOMÉTRICOS DE LA SECCIÓN TRANSVERSAL
Y DISTRIBUCIONES DE VELOCIDAD Y PRESIONES
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27
Figura 2.5.c. Sección del canal rectangular
∫==
A
dAAVQ v (6)
( ) dyBy2.5y0.75Q
oy
0
2
∫ +−= (7)
∫∫ +−=
oo y
0
y
0
2
dyyB2.5dyyB0.75Q
( )
+−=
+−=
+= 2
o
3
o
2
o
3
o
y
0
2
y
0
3
y
4
5
y
4
1
By
22
5
y
4
1
B
2
y
2.5
3
y
0.75-BQ
oo
( ) ( ) ( )
s
m
3
88636954.1489.1
4
5
89.1
4
1
m36.5Q
23
=
+−=
s
m
14.8864Q
3
= (8)
Ahora, despejando v de la ecuación de continuidad, (6), se tiene:
oyB
Q
A
Q
V == (9)
s
m
1.469475
m1.89m5.36
s
m
414.8863695
V
3
=
×
=
s
m
1.47V = (10)
c. Cálculo de la energía cinética y la cantidad de movimiento de la masa de agua que atraviesa la sección
por unidad de tiempo:
Sean:
qk: Flujo de energía cinética que atraviesa la sección.
qm: Flujo de momentum lineal (o de cantidad de movimiento) que atraviesa la sección.
16. PROBLEMAS RESUELTOS DE HIDRÁULICA DE CANALES ABIERTOS
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28
c.1 Cálculo del flujo de energía cinética, qk
∫∫∫ ===
A
3
A
2
kk dAυρ
2
1
dA υυρ
2
1
qdq (11)
( )∫ +−=
oy
0
32
k dyBy2.5y0.75ρ
2
1
q (12)
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
+−+
+−+−=
∫∫
∫∫
oo
oo
y
0
33
y
0
22
y
0
42
y
0
63
k
dyy2.5dyy2.5y0.753
dyy2.5y0.753dyy0.75Bρ
2
1
q
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
+−+
−+−=
oooo y
0
4
3
y
0
5
2
y
0
6
2
y
0
7
3
k
4
y
2.5
5
y
2.50.753
6
y
2.50.753
7
y
0.75Bρ
2
1
q
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
+−+−+−=
4
y
2.5
5
y
2.50.753
6
y
2.50.753
7
y
0.75Bρ
2
1
q
4
o3
5
o2
6
o2
7
o3
k (13)
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )( )
( )
( )
( )
m
s
m
4
1.89
2.5
5
1.89
2.50.753
6
1.89
2.50.753
7
1.89
0.75m5.36
m
kg
1000
2
1
q
3
34
3
5
2
6
2
7
3
3
m
k
+−+
+
−+−
=
(14)
( )( )
=
s
m
s
m
kg518.87289262m5.36500q 2mk
s
mN
35523779.3522qk
⋅
=
s
J
23779.35qk =
W23779.35qk =
kW23.78qk = (15)
c.2 Cálculo del flujo cantidad de movimiento, qm:
17. 2. ELEMENTOS GEOMÉTRICOS DE LA SECCIÓN TRANSVERSAL
Y DISTRIBUCIONES DE VELOCIDAD Y PRESIONES
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29
( ) ( )∫∫∫ υ=υυ==
A
2
A
mm dAρdAρdqq (16)
( )∫ +−=
oy
0
22
m dyBy2.5y0.75ρq
( ) ( ) ( ) ( )
+−+−=
∫∫∫ dyy2.5dyy2.5y0.752dyy0.75Bρq
ooo y
0
22
y
0
2
y
0
42
m
( ) ( )( ) ( )
+−+−=
ooo y
0
3
2
y
0
4
y
0
5
2
m
3
y
2.5
4
y
2.50.752
5
y
0.75Bρq (17)
( ) ( )( ) ( )
+−+−=
3
y
2.5
4
y
2.50.752
5
y
0.75Bρq
3
o2
4
o
5
o2
m (18)
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) m
s
m
3
1.89
2.5
4
1.89
2.50.752
5
1.89
0.755.36m
m
kg
1000q 2
23
2
45
2
3
m
m
+−+−
= (19)
( ) 2m2mm
s
m
kg7544105.81225
s
m
kg28158123900.43605q ==
N75.81225qm = (20)
d. Cálculo de los coeficientes de Coriolis, α, y de Boussinesq, β:
d.1 Coeficiente de Coriolis, α:
∫υ=
A
3
3
dA
VA
1
α (21)
Sustituyendo el resultado de a integración de le ecuación (13) en (21), se tiene:
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
+++−
=
4
y2.5
5
y0.752.5
3
6
y0.752.5
3
7
y0.75
B
VA
1
α
4
o
35
o
26
o
27
o
3
3
(22)
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
+++−
=
4
y2.5
5
y0.752.5
3
6
y0.752.5
3
7
y0.75
B
VyB
1
α
4
o
35
o
26
o
27
o
3
3
o
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
+++−
=
4
y2.5
5
y0.752.5
3
6
y0.752.5
3
7
y0.75
Vy
1
α
4
o
35
o
26
o
27
o
3
3
o
18. PROBLEMAS RESUELTOS DE HIDRÁULICA DE CANALES ABIERTOS
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30
( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
m
s
m
4
1.892.5
5
1.890.752.5
3
6
1.890.752.5
3
7
1.890.75
s
m
1.469475m1.89
1
α
3
34352
6273
3
++
+
+−
=
( )( )
1021.47950629
1.4694751.89
518.87289262
α 3
=
= (23)
1.4795α = (24)
Otra forma más rápida de calcular α sería de la siguiente manera:
kk qαq ′=
( ) ( )( )
8831.47950628
m1.895.36
s
m
1.469475
m
k
1000
2
1
s
N.m
23779.3522
dAVρ
2
1
dAρ
2
1
q
q
α
2
3
3
3
3
g3
3
k
k
=
=
υ
=
′
=
∫
1.4795α =
d.2 Coeficiente de Boussinesq
∫υ=
A
2
2
dA
VA
1
β (25)
Reemplazado el resultado de la integración
( ) ( )( ) ( )
+
−
+
−
=
3
y2.5
4
y0.752.5
2
5
y0.75
Vy
1
β
3
o
24
o
5
o
2
2
o
(26)
( ) ( )( ) ( )
+−
=
3
y2.5
4
y0.752.5
2
5
y0.75
Vy
1
β
3
o
24
o
5
o
2
2
o
(27)
Reemplazando los valores numéricos, se tiene
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
m
s
m
3
1.892.5
4
1.890.752.5
2
5
1.890.75
s
m
1.469475m1.89
1
β 2
232452
2
+
−
+
= (28)
( )( )
3111.18000365
1.4694751.89
0024.81581239
β 2
=
=
19. 2. ELEMENTOS GEOMÉTRICOS DE LA SECCIÓN TRANSVERSAL
Y DISTRIBUCIONES DE VELOCIDAD Y PRESIONES
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31
1.18β = (29)
Otra forma más rápida de calcular β sería:
mm qβq ′=
( ) ( )( )
1.18
m1.895.36
s
m
1.469475
m
k
1000
2
1
s
mK
10525812.7544
dAVρ
dAρ
q
q
β
2
2
2
2
3
g
2
g
3
3
k
k
=
=
υ
=
′
=
∫
1.18β =
e. Cálculo del número de Froude, F
Dg
V
F = (30)
55980.34126896
s
m
7014.30591453
s
m
1.469475
m1.89
s
m
9.81
s
m
1.469475
yg
V
F
2
o
==
×
== (31)
10.34F = (32)
PROBLEMA 2.6
En la sección transversal de un puente, las velocidades medias, en m/s, correspondientes a nueve sub-áreas,
son las que aparecen en la Figura 2.2.
Calcular los valores de α y β para dicha sección.
Solución:
Como ayuda auxiliar para la resolución de este problema, se construirá la siguiente tabla, en la cual se
registrarán los datos y los resultados parciales requeridos en la determinación de los coeficientes α y β.
20. PROBLEMAS RESUELTOS DE HIDRÁULICA DE CANALES ABIERTOS
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32
Sub-
sección
Base
(m)
Altura
(m)
Área, Ai
(m2
)
Veloc. media,
vi (m/s)
Caudal
parcial, qi
(m3
/s)
Vi
2
.Ai
(m3
/s2
)
Vi
3
.Ai
(m3
/s2
)
1 16 8 64 3 192 576 1728
2 10 8 80 3.1 248 768.8 2383.28
3 10 8 80 3.2 256 819.2 2621.44
4 10 8 80 3.3 264 871.2 2874.96
5 10 8 80 3.3 264 871.2 2874.96
6 10 8 80 3.2 256 819.2 2621.44
7 10 8 80 3.1 248 768.8 2383.28
8 10 8 80 3 240 720 2160
9 16 8 64 3 192 576 1728
Sumatorias ∑= 688 ∑= 2160 ∑= 6790.4 ∑= 21375.36
i. Cálculo del área total, A:
2
m688
n
1i iAA =∑
=
=
(1)
ii. Cálculo del caudal total, Q:
( )
s
m
2160
n
1i iViA
n
1i iqQ
3
=∑
=
=∑
=
=
(2)
iii. Cálculo de la velocidad media, v :
De la ecuación de continuidad
AVQ = (3)
s
m
3.1395
m688
s
m
2160
A
Q
V 2
3
===
(4)
iv. Cálculo del coeficiente de Coriolis, α:
( )
( )
1.004
m688
s
m
43.13953488
m
s
m
21375.36
AV
n
1i
AV
α
2
3
3
3
2
3
3
3
i
3
i
=
⋅
=
∑
==
(5)
v. Cálculo del coeficiente de Boussinesq, β:
21. 2. ELEMENTOS GEOMÉTRICOS DE LA SECCIÓN TRANSVERSAL
Y DISTRIBUCIONES DE VELOCIDAD Y PRESIONES
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33
( )
( )
1.001
m688
s
m
43.13953488
m
s
m
6790.4
AV
n
1i
AV
β
2
2
2
2
2
2
2
2
i
2
i
=
⋅
=
∑
== (6)
PROBLEMA 2.7
El salto de esquí, o cubeta de escurrimiento, del canal de descarga mostrado en la Figura 1.5, tiene un radio
de 20 m. Si el perfil de velocidades en la sección B-B’ es v = 0.4 + 0.6 y/h, y la profundidad del flujo es
de 5.0 m, calcule la presión en los puntos C, D y E. D está en el punto medio. Además, γagua = 1000
kgf/m3
.
Figura 2.7
Solución:
Para hallar las presiones en canales cóncavos o convexos, se empleará la siguiente fórmula:
±=
rg
υ
1θcosyγp
2
2
(1)
Donde h
y
0.60.4υ +=
(2)
cos2
θ por estar la sección en la parte más baja de la curva del fondo del canal, el cual es cóncavo hacia
arriba.
g = 9.81 m/s2
;
r: radio de curvatura. r = 20 m
y ( m )
22. PROBLEMAS RESUELTOS DE HIDRÁULICA DE CANALES ABIERTOS
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34
El cálculo de la velocidad de la corriente, en los puntos C, D y E se hará empleando la ecuación (2),
teniendo en cuenta que sus respectivas posiciones son: yC = 0.0 m; yD = 2.5 m; yE = 5.0 m.
Los resultados son los siguientes:
PUNTO y (m) υ [m/s]
C 0.0 0.4
D 2.5 0.7
E 5.0 1.0
Para el cálculo de la presión, se empleará la ecuación (1), teniendo en cuenta que los radios de curvatura se
miden desde el centro de curvatura hasta la línea de flujo correspondiente. Los resultados son los
siguientes:
Punto y (m) υ [m/s] r (m) p (kgf/m2
)
E 5.0 1.0 15.0 5033.98
D 2.5 0.7 17.5 2507.14
C 0.0 0.4 20.0 0.00
PROBLEMA 2.8
Calcular el radio hidráulico, RH, la profundidad hidráulica, D, y el factor de sección, Z, de la sección del
canal mostrado en la Figura 2.8.
6 m
6 0 °
4 m
6 0 °
X
Figura 2.8
23. 2. ELEMENTOS GEOMÉTRICOS DE LA SECCIÓN TRANSVERSAL
Y DISTRIBUCIONES DE VELOCIDAD Y PRESIONES
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35
La profundidad del flujo es dada y es: y = 4,00 m
Para calcular los valores de los demás elementos geométricos de la sección transversal, es necesario
conocer el valor de s. Para ello, se procede de la siguiente manera. Véase la siguiente figura auxiliar:
m4.6188
60sen
m4
60sen
h
s
s
4
s
h
60sen
=
°
=
°
=∴
==°
a. Cálculo del perímetro mojado, P:
( ) m15.24m6.0m4.61882B2yP =+=+=
(1)
b. Cálculo del área mojada, A:
El cálculo del área mojada precisa conocer el valor del ancho superficial; T. Para ello, debe calcularse,
primero, el valor de x.
m2.3094
60tan
m4.0
60tan
h
x
x
h
60tan ===∴= (2)
c. Cálculo del ancho superficial, T:
( ) m1.38m2.30942m6.0x2BT =−=−= (3)
d. Cálculo del área mojada, A
El área mojada, corresponde al área de un trapecio:
2
m14.76m4.00
2
m1.38m6.00
h
2
TB
A =
+
=
+
=
(4)
e. Cálculo del radio hidráulico, RH:
m0.9685
m15.24
m14.76
P
A
R
2
H
===
(5)
f. Cálculo de la profundidad hidráulica, D:
m10.6956
m1.38
m14.76
T
A
D
2
===
(6)
24. PROBLEMAS RESUELTOS DE HIDRÁULICA DE CANALES ABIERTOS
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36
g. Cálculo del factor de sección, Z:
2
5
2
m48.2812m10.70m14.76DAZ ===
(7)
PROBLEMA 2.9
El área mojada y el perímetro mojado de un canal trapecial, de taludes laterales 2H:1V y 1H:1V, son
12.835 m2
y 11.1294 m, respectivamente. Si el caudal de agua que fluye por el canal es 8.4711 m3
/s y la
viscosidad cinemática del agua es ν = 1.02x10-6
m2
/s, ¿qué tipo de flujo se tiene?
Figura 2.9. Sección del canal trapecial
Datos:
2m1 = ; 1m2 = ; 2
m835.12A = ; m1294.11P = ;
s
m
4711.8Q
3
= ;
s
m
1002.1
2
6−
×=ν
Solución:
De acuerdo con la Figura 2.9, se tiene:
321 AAAA ++= (0)
2
yx
2
yx
ByA 21
++= (1)
donde:
ymx 11 = (2)
ymx 22 = (3)
Reemplazando las ecuaciones (2) y (3) en (1), se tiene:
y
2
ym
2
ym
BA 21
++= (4)
y
2
mm
yBA 21
+
+= (5)
De la ecuación (5), se tiene:
25. 2. ELEMENTOS GEOMÉTRICOS DE LA SECCIÓN TRANSVERSAL
Y DISTRIBUCIONES DE VELOCIDAD Y PRESIONES
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37
5.1
2
12
2
mm
m 21
=
+
=
+
= (6)
Reemplazando (6) en (5), resulta:
( )yymBA +=
( )( ) yyB 5.1835.12 += (7)
Por otra parte, el perímetro mojado se obtiene de la siguiente manera:
2
2
2
1 m1ym1yBP ++++= (8)
ym1m1BP
2
2
2
1
++++= (9)
( )yB 11211294.11 22
+++−= (10)
Resolviendo (7) y (10) simultáneamente, se tienen los siguientes resultados:
m734.1y1 = , m798.4B1 =
m441.3y2 = , m432.1B2 −=
Se descarta y2, porque produce un ancho B negativo, lo cual es físicamente imposible; por lo tanto:
m734.1y = m798.4B = (11)
Para el cálculo del número de Froude, F, se tiene:
2
3
2
1
Ag
TQ
T
A
gA
Q
DgA
Q
Dg
V
F ==== (12)
Donde
ymymBT 21 ++=
( ) ymmBT 21 ++=
( ) y
2
mm2
BT 21 +
+=
ym2BT += (13)
Además,
26. PROBLEMAS RESUELTOS DE HIDRÁULICA DE CANALES ABIERTOS
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38
( )
( )[ ]2
3
2
1
yymBg
ym2BQ
F
+
+
= (14)
Reemplazando los valores numéricos en la ecuación (14), se tiene:
( )( )( )
( )( )( )[ ]2
3
2
2
13
m1.734m1.7341.5m4.798
s
m
9.8
m1.7341.52m4.798
s
m
8.4711
+
+
=F (15)
1861.0F = (16)
Como 11861.0F <= , entonces el flujo es subcrítico.
Para el cálculo del número de Reynolds, R, se tiene:
νP
Q
ν
Rv
R
H
=
==
ν
P
A
A
Q
(17)
ν
++++
=R
2
2
2
1 m1m1yB
Q
(18)
Reemplazando los valores numéricos, se tiene:
×
++++
=
−
s
m
1002.11121m734.1m798.4
s
m
4711.8
2
622
3
R (19)
7191.746221=R (20)
Como 125007191.746221 >=R , entonces el flujo es turbulento.
En conclusión el tipo de flujo que se tiene es flujo turbulento y subcrítico.
PROBLEMA 2.10
El área y el perímetro mojados de la sección transversal de un flujo, en una canal circular, son 1.0374 m2
y
2.5948 m, respectivamente. Si el caudal que fluye por dicho canal es 5.5 m3
/s, y ν = 1.02x10-6
m2
/s ,
¿Cuánto valen los números de Reynolds y de Froude?
27. 2. ELEMENTOS GEOMÉTRICOS DE LA SECCIÓN TRANSVERSAL
Y DISTRIBUCIONES DE VELOCIDAD Y PRESIONES
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39
Figura 2.10
Datos:
ν = 1.02x10-6
m2
/s; Q = 5.5 m3/s; A = 1.0374 m2
; P = 2.5948 m
Con estos datos y con las fórmulas geométricas características de un canal circular, es fácil hallar la
información requerida en este problema: el número de Reynolds, R, y el número de Fraude, F.
Solución:
Ángulo, θ:
−= −
o
1
d
y
212cosθ (1)
Área, A: ( )θsenθ
8
d
A
2
o
−= (2)
Ancho superficial, T: ( )
2
θ
sendydy2T oo =−= (3)
Perímetro mojado, P: odθ
2
1
P = (4)
Radio hidráulico, RH:
P
A
RH = (5)
Profundidad hidráulica, D:
T
A
D = (6)
a. Cálculo del Número de Reynolds, R:
ν
RV
ν
LV
R H
== (7)
Donde,
V: velocidad media del flujo
L: longitud característica; en este caso es el RH
υ :viscosidad cinemática.
28. PROBLEMAS RESUELTOS DE HIDRÁULICA DE CANALES ABIERTOS
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40
νP
Q
ν
P
A
A
Q
ν
RV
R H
=
== (8)
Reemplazando valores numéricos en (8), se tiene:
( )( )
092078062.61
s
m
101.02m2.5948
s
m
5.5
R
2
6
3
=
=
−
2078062.61=R
b. Cálculo del Número de Froude, F:
2
3
2
1
2
1
2
1
2
1
Ag
TQ
T
A
gA
Q
Dg
A
Q
Dg
V
F ====
(9)
Para hallar el valor de número de Froude es necesario conocer el ángulo θ y el diámetro del canal, para ello
se resolverán simultáneamente las ecuaciones (2) y (4).
Entonces, de (2) se tiene que:
θsen-θ
A8
do = (10)
Sustituyendo (10) en (4), se tiene:
( ) ( ) 2
1
2
1
2
1
senθθ
θ
A2
senθθ
θA2
θsenθ
A8
θ
2
1
P
−
=
−
=
−
= (11)
( ) 2
1
θsenθ
θ
A2
P
−
=
( ) θ
P
A2
senθθ 2
1
=− (12)
Elevando al cuadrado la ecuación (12), se tiene:
29. 2. ELEMENTOS GEOMÉTRICOS DE LA SECCIÓN TRANSVERSAL
Y DISTRIBUCIONES DE VELOCIDAD Y PRESIONES
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41
2
2
θ
P
A2
θsenθ
=−
0θsenθθ
P
A2 2
2
=+−⋅
(13)
Reemplazando los valores de numéricos de A y P, en la la ecuación (13), se tiene:
( )
0senθθθ
m2.5948
m1.03742 2
2
2
=+−⋅
×
(14)
0θsenθθ1540.30814462 2
=+−
Resolviendo el polinomio anterior, se obtiene: θ = 2.5946047261 rad
Reemplazando el valor de θ en la ecuación (10), se obtiene:
m00.2
6192.59460472sen-6192.59460472
m1.03748
d
2
o =
×
= (15)
Reemplazando (15) en (39), se tiene:
( ) m9257.1
2
6192.59460472
senm2.000T =
= (16)
Finalmente, reemplazando (16) en la ecuación (9), se tiene:
( )
( )
31.2
2
3
2
1
2
1
2
3
2
1
2
1
2m1.0374
2
81.9
9257.1
3
5.5
Ag
TQ
==
=
s
m
m
s
m
F
31.2=F
PROBLEMA 2.11
Para el canal de la Figura 2.11.a, en términos de los elementos señalados en la misma, demuestre que el
radio hidráulico y la profundidad centroidal se pueden expresar, respectivamente, como:
30. PROBLEMAS RESUELTOS DE HIDRÁULICA DE CANALES ABIERTOS
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42
y
B
T
αα
Figura 2.11.a
( )
αcsc2yB
αcotyBy
RH
+
+
= (A)
( )αcotyB6
αcot2y3By
y
22
G
−
−
= (B)
Solución:
αα
B
y
T
A2
A1
A3
l l
xx
Figura 2.11.b
a. Cálculo del ancho superficial, T
De acuerdo con la Figura 2.11.b, se tiene
x2BT −= (1)
y
x
y
tan =α
α
=
tan
y
x (2)
Reemplazando la ecuación (2) en (1), se obtiene:
αtan
y2
BT −= (3)
b. Cálculo del área, A
31. 2. ELEMENTOS GEOMÉTRICOS DE LA SECCIÓN TRANSVERSAL
Y DISTRIBUCIONES DE VELOCIDAD Y PRESIONES
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43
y
2
TB
A
+
= (4)
Reemplazando la ecuación (3) en (4), se tiene:
y
2
αtan
y2
BB
A
−+
=
α
−=
tan
y
ByA (5)
c. Cálculo del perímetro, P
l2BP += (6)
Donde
22
yx +=l (7)
Sustituyendo la ecuación (2) en (7), se obtiene:
+
α
=+
α
=
2
2
2
2
2
y
tan
y
y
tan
y
l
α
+= 2
2
tan
1
1yl
α
+= 2
tan
1
1yl (8)
Ahora, reemplazando la ecuación (8) en (6):
α
++= 2
tan
1
1y2BP (9)
d. Cálculo del radio hidráulico, RH
P
A
RH = (10)
Reemplazando las ecuaciones (5) y (9) en (10), se tiene:
αtan
1
1y2B
tan
y
By
R
2
H
++
α
−
=
32. PROBLEMAS RESUELTOS DE HIDRÁULICA DE CANALES ABIERTOS
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44
( ) ( )
αcscy2B
αcotyBy
αcot1y2B
αcotyBy
R
22
H
+
−
=
++
−
=
Finalmente, se obtiene el resultado esperado en la ecuación (A):
( )
α+
α−
=
cscy2B
cotyBy
RH (11)
e. Cálculo de la profundidad centroidal
( )∑=
=
3
1i
i2iT AyAy
A
AyAy2
AAA
AyAyAy
y 2211
321
332211
G
+
=
++
++
= (12)
−
−+
=
tanα
y
By
y
tanα
y2
B
2
y
y
tanα
y
y
3
2
yG (13)
−
−+
=
tanα
y
By
tanα
2y
By
2
1
tanα
y
3
2
y
2
3
G
ycotαB
cotαyyB
2
1
cotαy
3
2
tanα
y
B
tanα
y2
By
2
1
tanα
y
3
2
y
22
2
G
−
−+
=
−
−+
=
αcotyB
6
αcoty2yB3
αcotyB
yB
2
1
αcoty
3
1
y
2
2
G
−
−
=
−
+−
= (14)
Finalmente, se obtiene lo solicitado en la ecuación (B):
( )αycotB6
αcoty2yB3
y
22
G
−
−
= (16)
PROBLEMA 2.12
Para el canal de sección circular, mostrada en la Figura 2.12, dados los valores de dos de sus elementos,
calcular y completar los restantes elementos, solicitados en la Tabla 2.6.
Nota: los problemas relacionados con secciones circulares, deberán resolverse empleando los valores de
los ángulos en radianes.
33. 2. ELEMENTOS GEOMÉTRICOS DE LA SECCIÓN TRANSVERSAL
Y DISTRIBUCIONES DE VELOCIDAD Y PRESIONES
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45
Figura 2.12
CASO
No.
y
(m)
α
( rad.) 2
θ
(º)
d0
(m)
RH
(m)
Z
( m2.5
)
yG
(m)
T
(m)
1 80.406 1.183
2 1.0853 1.5
3 2 0.6
Tabla 2.12.1. Datos de elementos geométricos
a. Caso No. 1:
o
80.406
2
θ
= : La superficie libre está por debajo de la mitad del círculo, es decir
2
d
y o
<
m183.1T = (1)
oo
160.812)80.406(2θ ==
rad72.80669887θ = (2)
En la Figura 2.12, es fácil observar que:
o
180
2
θ
α =+
o
99.59480.406180
2
θ
180α =−=−=
°°°
rad51.73824321α = (3)
34. PROBLEMAS RESUELTOS DE HIDRÁULICA DE CANALES ABIERTOS
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46
2
θ
sen
2
d
2
T 0
=
( )απsendT 0 −=
( )πα−απ= cossencossendT 0
( )( )1senαdT 0 −−=
α= sendT 0 (4)
Despejando d0 de la ecuación (4) y reemplazando los datos del problema, se tiene:
( )rad1.73824321sen
1.183m
αsen
T
d0 ==
m1.2d0 =
• Para el cálculo de la profundidad, y, se tiene:
)yd(y2T 0 −= (5)
4
T
)yd(y
2
0 =−
0
4
T
ydy
2
0
2
=−+−
( ) 0
4
1.183m
y1.2y
2
2
=+−
00.34987225y1.2y
2
=+− (6)
m0.7y1 = (7)
m0.5y2 = (8)
1
y se descarta ya que m0.6
2
d
y o
=< ; por tanto:
m0.5y =
• Cálculo del radio hidráulico, RH
35. 2. ELEMENTOS GEOMÉTRICOS DE LA SECCIÓN TRANSVERSAL
Y DISTRIBUCIONES DE VELOCIDAD Y PRESIONES
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47
( )
0
2
0
H
dθ
2
1
dsenθθ
8
1
P
A
R
−
== (9)
0H d
θ
senθ
1
4
1
R
−= (10)
Reemplazando los datos del problema en la ecuación (10), se obtiene:
( ) ( ) m0.26487m1.2
rad2.8066989
rad2.8066989sen
1
4
1
R H =
−=
m0.265RH = (11)
• Cálculo del factor de sección, Z
Para una sección circular, se tiene:
( ) 2
5
0
2
1
2
3
d
2
θ
sen
θsenθ
32
2
Z
−
= (12)
Reemplazando valores numéricos en (12), se tiene:
( )( ) ( ) 2.5
2
5
2
1
2
3
m0.27386m1.2
2
rad2.8066989
sen
rad2.8066989senrad2.8066989
32
2
Z =
−
=
(13)
2.5
m0.274Z = (14)
Cálculo de la profundidad centroidal, y
A12
T
2
d
yy
3
0
+−= (15)
donde:
( ) 2
0dθsenθ
8
1
A −= (16)
2
m)1.2())rad80066989.2(senrad2.8066989(
8
1
A −=
36. PROBLEMAS RESUELTOS DE HIDRÁULICA DE CANALES ABIERTOS
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48
2
m0.446A = (17)
Reemplazando los datos numéricos en la ecuación (15), se obtiene:
( ) ( ) ( )
( ) m0.20948
m0.44612
m1.183
2
m1.2
m0.5y 2
3
=+−=
m0.209y = (18)
b. Caso No. 2:
o
962.1831094rad1.0853α == (19)
m1.5d0 = (20)
• Cálculo del ancho superficial:
( ) )rad1.0853(senm1.5senαdT 0 == (21)
m1.327T = (22)
• Cálculo de
2
θ
:
o
180
2
θ
α =+ (23)
oo
962.1831094180
2
θ
−=
o
117.817
2
θ
= (24)
• Cálculo de la profundidad, y
0
4
T
ydy
2
0
2
=−− (25)
( ) 0
4
51.32666517
1.5yy
2
2
=−−
00.441.5yy
2
=−− (26)
m1.1y1 =
m0.4y2 =
m0.4y2 = Se descarta ya que
o
180θ > , por lo tanto m0.75
2
d
y 0
=>
Entonces:
37. 2. ELEMENTOS GEOMÉTRICOS DE LA SECCIÓN TRANSVERSAL
Y DISTRIBUCIONES DE VELOCIDAD Y PRESIONES
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49
m1.1y = (27)
• Cálculo del radio hidráulico, RH
)
θ
θsen
1(
4
d
R o
H −= (28)
( ) ( ) m0.450268m1.5
rad4.1126
rad4.1126sen
1
4
1
R H =
−=
m0.450RH = (29)
• Cálculo del factor de sección, Z
( ) 2
5
0
2
1
2
3
d
2
θ
sen
θsenθ
32
2
Z
−
=
( )( )
( )
( ) 2.5
2
5
2
1
2
3
m1.42102m1.5
2
rad4.1126
sen
rad4.1126senrad4.1126
32
2
Z =
−
=
2.5
m1.421Z = (30)
• Cálculo de la profundidad centroidal, y
A12
T
2
d
yy
3
0
+−=
( ) 2
0dθsenθ
8
1
A −=
2
)m1.5()rad07(4.1125853senrad74.11258530(
8
1
A −=
2
m31.38882143A =
( )
( ) m0.490099
m1.38912
m1.327
2
m1.5
m1.1y 2
3
=+−=
m0.490y = (31)
c. Caso No. 3:
m2.0d0 = (32)
38. PROBLEMAS RESUELTOS DE HIDRÁULICA DE CANALES ABIERTOS
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50
m0.6R H = (33)
De la ecuación
P
A
RH = (34)
Se tiene:
HRPA = (35)
Donde:
( ) 2
0dθsenθ
8
1
A −= (36)
0dθ
2
1
P ⋅= (37)
Reemplazando (35) y (36) en (34), se tiene:
( ) H0
2
0 Rdθ
2
1
dθsenθ
8
1
⋅=− (38)
( )θsenθdRθ4 0H −=
( ) θsendd4Rθ 00H −=−
θsen
d4R
d
θ
0H
0
−
−= (39)
Reemplazando los datos del problema, se obtiene:
( )
θsen
m2.0m0.64
m2.0
θ
−
−=
θsen5θ −= (40)
Resolviendo la ecuación (38) se obtienen los siguientes resultados:
rad4.906θ1 −=
rad0θ2 =
rad4.906θ3 =
rad4.105θ4 =
De donde 1θ y 2θ se descartan, por ser negativa, la primera, y nula, la segunda. Las dos soluciones
restantes, 3θ y 4θ , son matemática y físicamente posibles, dado que, para valores de do/2 < y < do, el
ángulo θ y la profundidad del flujo, y, toman dos valores que satisfacen un mismo valor del radio
hidráulico, RH.
39. 2. ELEMENTOS GEOMÉTRICOS DE LA SECCIÓN TRANSVERSAL
Y DISTRIBUCIONES DE VELOCIDAD Y PRESIONES
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51
Para continuar con la solución de este tercer caso, se trabajará con rad4.906θ3 = , dejando claridad de
que, con rad4.105θ4 = , se operaría de manera similar, obteniendo sus respectivos y diferentes
resultados.
o
281.11rad4.90629506θ == (41)
o
140.555
2
θ
= (42)
Para calcular α, se tiene:
2
θ
180α −=
o
(43)
oo
140.555180α −=
o
39.445α =
rad0.6884α = (44)
• Cálculo del ancho superficial, T
αsendT 0=
( ) ( ) m270674442.1rad0.6884senm2.0T ==
m1.271T = (45)
• Cálculo de la profundidad, y
0
4
T
ydy
2
0
2
=−− (46)
0
4
)21.27067444(
y2.0y
2
2
=−−
040.40365338y0.2y
2
=−− (47)
Al resolver la ecuación (47) se obtienen dos valores posibles de la profundidad de flujo:
m1
2
m2
2
d
m1.772y o
1 ==>=
m1
2
m2
2
d
m0.2277y o
2 ==<=
Para
o
281.11θ = se descarta m2277.0y2 = , por tanto:
m1.772y = (48)
40. PROBLEMAS RESUELTOS DE HIDRÁULICA DE CANALES ABIERTOS
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52
• Cálculo del factor de sección, Z
( ) 2
5
0
2
1
2
3
d
2
θ
sen
θsenθ
32
2
Z
−
=
( )( ) ( )2
5
2
1
2
3
m2.0
2
rad4.90629506
sen
rad4.90629506senrad4.90629506
32
2
Z
−
=
2.5
m14.48064180Z = (48)
• Cálculo de la profundidad centroidal, y
( ) 2
0dθsenθ
8
1
A −=
2
)m2()rad90629506.(4senrad90629506.4(
8
1
A −=
2
m377705494.2A =
A12
T
2
d
yy
3
0
+−=
( )
( ) m830064073.0
m2.94412
m1.2706
2
m2.0
m1.772y 2
3
=+−=
m830064.0y = (49)
y
(m)
α
(rad)
θ/2
(º)
d0
(m)
RH
(m)
Z
(m2.5
)
y
(m)
T
(m)
0.5 1.738 80,406 1.2 0.26487 0.27386 0.20948 1.183
1.1 1.0853 117.8168906 1.5 0.450268 1.42102 0.490099 1.327
1.772 0.6884450781 140.5550026 2 0.6 4.480641 0.830064 1.2706
Tabla 2.12.2. Resultados del problema
41. 2. ELEMENTOS GEOMÉTRICOS DE LA SECCIÓN TRANSVERSAL
Y DISTRIBUCIONES DE VELOCIDAD Y PRESIONES
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53
PROBLEMA 2.13
¿Qué diámetro debe tener un conducto circular para que un flujo semilleno tenga el mismo radio hidráulico
que el del flujo en un canal rectangular, de ancho igual a 2.0 m y profundidad iguala a 1.0 m?
Figura 2.13
Solución:
a. Canal rectangular:
y2B
yB
P
A
R
R
R
HR
+
== (1)
Reemplazando los datos del problema en la ecuación (1), se obtiene:
( )( )
( ) ( )
m
2
1
m4
m2
m12m2
m1m2
R
2
HR ==
+
= (2)
b. Canal Circular:
2
d
π
4
d
π
2
1
P
A
R
o
2
o
C
C
HC ==
4
d
R o
HC = (3)
Igualando las ecuaciones (2) y (3):
RC HH RR = (4)
m
2
1
4
do
= (5)
Despejando de la ecuación (5), se obtiene:
m2m
2
4
do ==
m2do = (6)
42. PROBLEMAS RESUELTOS DE HIDRÁULICA DE CANALES ABIERTOS
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54
PROBLEMA 2.14
La distribución de velocidades en un río muy ancho y 3.0m de profundidad se aproxima satisfactoriamente
con la ecuación
2
1
h
y
21υ
+= (0)
B
h
dy
Figura 2.14
Solución:
a. Cálculo de la velocidad media, V:
El caudal Q, que fluye a través del río se puede expresar como:
∫υ==
A
dAAVQ (1)
Por tanto, para la velocidad se tiene
∫υ=
A
dA
A
1
V (2)
Reemplazando la ecuación (A) en (2) y resolviendo, se tiene:
dyB
h
y
21
hB
1
V
h
0
2
1
∫ +=
(3)
+= ∫ ∫
h
0
h
0
dy
h
y
2dy
h
1
V
2
1
43. 2. ELEMENTOS GEOMÉTRICOS DE LA SECCIÓN TRANSVERSAL
Y DISTRIBUCIONES DE VELOCIDAD Y PRESIONES
Universidad Nacional de Colombia Ramiro Marbello Pérez
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55
]
+=
h
0
h
0
2
3
2
1
y
3
2
h
2
y
h
1
V
+= 2
3
2
1
h
h3
4
h
h
1
V
=
+= h
3
7
h
1
h
3
4
h
h
1
V
3
7
V = (4)
b. Cálculo de α
∫=
A
3
3
dAυ
VA
1
α (5)
∫∫ ==
h
0
3
3
h
0
3
3
dyυ
hV
1
dyBυ
hBV
1
α (6)
Reemplazando la ecuación (A) en (6), se tiene:
∫
= +
h
0
dy
h
y
h
1
α
3
2
1
3
21
V
( ) ( )
+
+= ∫ ∫ ∫ ∫+
h
0
h
0
h
0
h
0
2
3
2
1
3
dy
h
y
8dy
h
y
43
h
y
23
V
dydy
h
1
α
]
+
+
+=
h
0
h
0
2
h
0
h
0
2
5
2
3
2
3
2
13
y
h
yy
h
y
h
1
α
5
28
h
6
3
26
V
+++= 2
5
2
3
2
3
2
13
h
h
h
h
h
h
h
h
1
α
5
1664
V
2
44. PROBLEMAS RESUELTOS DE HIDRÁULICA DE CANALES ABIERTOS
Universidad Nacional de Colombia Ramiro Marbello Pérez
Sede Medellín Escuela de Geociencias y Medio Ambiente
56
+=
+++= h
5
16
h
5
55
Vh
1
h
5
16
h6h4h
Vh
1
α 33
= h
5
71
Vh
1
α 3
3
V5
71
α =
Finalmente,
3
3
7
5
71
α
=
1.1178α = (7)
c. Cálculo de β
∫υ=
A
2
2
dA
VA
1
β (8)
Reemplazando la ecuación (A) en (6), se tiene:
dyB
h
y
21
hBV
1
β
h
0
2
2
1
2 ∫
+= (9)
+
+∫ ∫ ∫=
h
0
h
0
h
0
dydy
h
y
4
h
y
4
hV
1
β
2
1
2
]
+
+=
h
0
2
h
0
h
0
2h
4
3
24
hV
1
β
y
y
h
y 2
3
2
12
++=
22
3
2
12
h
h
2
h
h3
8
h
hV
1
β
=
++= h
3
17
hV
1
2hh
3
8
h
hV
1
β 22
45. 2. ELEMENTOS GEOMÉTRICOS DE LA SECCIÓN TRANSVERSAL
Y DISTRIBUCIONES DE VELOCIDAD Y PRESIONES
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Sede Medellín Escuela de Geociencias y Medio Ambiente
57
2
V3
17
β =
Reemplazando el valor numérico de la velocidad.
2
3
7
3
17
β
=
1.0408β = (10)
PROBLEMA 2.15
La distribución de velocidades en un canal semicircular de diámetro 2 R0 sigue la ecuación:
71
71
v
y
R
v
o
o
= (0)
En la ecuación (0), y es la distancia normal a la superficie, en la cual la velocidad es v, y V0 es la
velocidad en el centro del semicírculo.
Si R0 = 2.0 m y
s
m
0.2Vo = , encontrar V, α y β
Solución:
Figura 2.15.a
Si y = 0, 00
R
v
v 7
1
7
1
o
o
==
Si y = Ro 0
7
1
o
7
1
o
vR
R
v
v o
==
a. Cálculo de la velocidad media, V
46. PROBLEMAS RESUELTOS DE HIDRÁULICA DE CANALES ABIERTOS
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58
Por la ecuación de continuidad, se tiene:
∫==
A
dAAVQ v (1)
Despejando la velocidad media de la ecuación (1), se obtiene:
∫=
A
dA
A
1
V v (2)
El elemento diferencial de área, dA, es:
dyx2dA = (3)
Para hacer X en términos de y, se hace la siguiente construcción auxiliar:
Ro - y
x
Ro
Figura 2.15.b
en donde:
2
o
2
o )yR(Rx −−=
2
o
2
o
2
o yyR2RRx −+−=
2
0 yyR2x −= (4)
Reemplazando en la ecuación (3) el valor de x obtenido en (4):
dyyyR22dA
2
o
−= (5)
Luego, reemplazando dA en la ecuación (2), se tiene:
( ) dy
oR
0
2
o
7
1
7
1
0
yyR22y
R
ov
A
1
V ∫
−=
∫ −=
oR
o
o
7
1
7
1
o
dy
2
yyR2y
RA
ov2
V (6)
47. 2. ELEMENTOS GEOMÉTRICOS DE LA SECCIÓN TRANSVERSAL
Y DISTRIBUCIONES DE VELOCIDAD Y PRESIONES
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59
Resolviendo la integral de la ecuación (6), su valor es 3.14290749795.
Para los siguientes valores:
A = 6.2831853072; Ro = 2 m; y vo = 2.0 m/s,
se obtiene:
s
m
5697.00292969V = (7)
b. Cálculo de α
Para hallar el valor de α, se utiliza la siguiente ecuación:
∫=
A
3
dA
VA
1
α 3
v (8)
Conocido el valor de la velocidad media, V, y la expresión para la distribución de velocidades, v , se
reemplazan en la ecuación (8) y se resuelve la integral, obteniendo el valor correspondiente α
c. Cálculo de β
∫=
A
2
dA
VA
1
β 2
v (10)
De la misma manera, sustituyendo el valor de la velocidad media, V, y la expresión para la velocidad, v ,
se resuelve la integral de la ecuación (10), obteniendo el valor correspondiente β .
PROBLEMA 2.16
La distribución de velocidades en un río muy ancho y 3.0 m de profundidad se aproxima satisfactoriamente
con la ecuación
2
1
h
y
21V
+= (1)
Figura 2.16
Solución:
48. PROBLEMAS RESUELTOS DE HIDRÁULICA DE CANALES ABIERTOS
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Sede Medellín Escuela de Geociencias y Medio Ambiente
60
a. Cálculo de la velocidad, V:
El caudal Q, que fluye a través del río se puede expresar como:
∫==
A
dAυAVQ
Por tanto, para la velocidad se tiene
∫=
A
dAυ
A
1
V (2)
Reemplazando (1) en (2) y resolviendo
dyB
h
y
21
hB
1
V
h
0
2
1
∫
+=
∫ ∫+=
h
0
h
0
dy
h
y
2dy
h
1
V
2
1
]
+=
h
0
h
0
2
3
2
1
y
3
2
h
2
h
1
V y
+= 2
3
2
1
h
3h
4
h
h
1
V
=
+= h
3
7
h
1
h
3
4
h
h
1
V
3
7
V =
b. Cálculo de α
∫=
A
3
3
dAυ
AV
1
α
∫∫ ==
h
0
3
3
h
0
3
3
dyυ
hV
1
dyBυ
hBV
1
α
49. 2. ELEMENTOS GEOMÉTRICOS DE LA SECCIÓN TRANSVERSAL
Y DISTRIBUCIONES DE VELOCIDAD Y PRESIONES
Universidad Nacional de Colombia Ramiro Marbello Pérez
Sede Medellín Escuela de Geociencias y Medio Ambiente
61
∫
+=
h
0
3
dy
h
y
21
Vh
1
α
2
1
3
( ) ( )
∫ ∫ ∫ ∫+++=
h
0
h
0
h
0
h
0
dy
h
y
8dy
h
y
43dy
h
y
23dy
Vh
1
α
2
3
2
1
3
]
+
+
+=
h
0
h
0
2
h
0
h
0
2
5
2
3
2
3
2
13
y
5
28
y
h
6
3
2
h
6
Vh
1
α
h
yy
+++= 2
5
2
3
2
3
2
13
h
h5
16
h
h
64
Vh
1
α
2
h
h
h
+=
+++= h
5
16
h
5
55
Vh
1
h
5
16
h6h4h
Vh
1
α 33
= h
5
71
Vh
1
α 3
3
V5
71
α =
Finalmente, 3
3
7
5
71
α
=
1.1178α =
c. Cálculo de β
dyB
h
y
21
hBV
1
β
h
0
2
A
2
2
2
1
2
dAυ
AV
1
∫∫
= +=
∫ ∫ ∫++=
h
0
h
0
h
0
dy
h
y
4
h
y
4dy
hV
1
β
2
1
2
50. PROBLEMAS RESUELTOS DE HIDRÁULICA DE CANALES ABIERTOS
Universidad Nacional de Colombia Ramiro Marbello Pérez
Sede Medellín Escuela de Geociencias y Medio Ambiente
62
]
+
+=
h
0
h
0
h
0
2
y
h
4
3
2
h
4
hV
1
β
2
2
3
2
12
yy
++=
2
h
h
2
h3
8
hV
1
β 2
3
2
12
hh
=
++= h
3
17
hV
1
h2h
3
8
h
hV
1
β 22
2
V3
17
β =
Reemplazando el valor numérico de la velocidad, se tiene:
0408.1
3
7
3
17
β 2
=
=
1.0408β =
PROBLEMA 2.17
La velocidad de un fluido de alta viscosidad, moviéndose entre placas planas convergentes, como se
muestra en la figura, varía de acuerdo con la siguiente ecuación:
( )yT
T
y4
v 2o −=ν (1)
L
Tdy
y
dA = L dy
A
VISTA FRONTAL
Figura 2.17
Calcular:
a. Q = f ( vo, T, L )
b. V
c. α y β
51. 2. ELEMENTOS GEOMÉTRICOS DE LA SECCIÓN TRANSVERSAL
Y DISTRIBUCIONES DE VELOCIDAD Y PRESIONES
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Sede Medellín Escuela de Geociencias y Medio Ambiente
63
L es la dimensión de las placas, perpendicular al plano del papel.
Solución:
a. Cálculo de la velocidad, V:
∫⋅=
A
dAυAVQ (2)
∴
∫=
A
dAυ
A
1
V (3)
Sustituyendo las expresiones para la velocidad, ν, y el diferencial de área, dA, se tiene:
( )∫=
T
o 2o dyLy-T
T
y4
v
LT
1
V (4)
( )
−==
∫∫∫
T
o
2
T
o
3
o
T
o
2o dyydyyT
T
v4
dyy-Ty
T
L4
v
LT
1
V (5)
−=
−
=
3
T
2
T
T
T
v4
3
y
2
y
T
T
v4
V
32
3
o
T
o
3
T
o
2
3
o
(6)
3
v2
6
T
T
v4
3
T
2
T
T
v4
V o
3
3
o
33
3
o
=
=
−= (7)
3
v2
V o
= (8)
b. Cálculo del caudal, Q:
AVQ ⋅= (9)
LT
3
v2
LTVQ o
== (10)
LTv
3
2
Q o= (11)
c. Cálculo del coeficiente de Coriolis:
∫=
A
3
3
dAυ
VA
1
α
52. PROBLEMAS RESUELTOS DE HIDRÁULICA DE CANALES ABIERTOS
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64
( )
−+−==
∫∫∫∫∫
T
o
6
T
o
5
T
o
42
T
o
33
7
T
o
33
6
3
o
3
3
o
3
3
dyydyyT3dyyT3dyyT
T
216
dyLy-Ty
T
v4
v2LT
3
α
−
+
−
=
T
o
7
T
o
6
T
o
5
2
T
o
4
3
7
7
y
6
y
T3
5
y
T3
4
y
T
T
126
α
1.5429
140
216
7
T
2
T
5
T3
4
T
T
216
α
7777
7
==
−+−=
1.54α =
d. Cálculo del coeficiente de Boussinesq:
∫=
A
2
2
dAυ
VA
1
β
( )
+−==
∫∫∫∫
T
o
4
T
o
3
T
o
22
5
T
o
22
4
o
2
2
o
2
2
dyydyyT2dyyT
T
36
dyLy-Ty
T
v4
v2LT
3
β
==
+−=
+
−
= 1.2
30
36
5
T
2
T
3
T
T
36
5
y
4
y
T2
3
y
T
T
36
β
555
5
T
o
5T
o
4T
o
3
2
5
1.2β =
Problema 2.18.
Demostrar que el momento flector sobre los muros laterales de un canal empinado, con el fondo inclinado
según un ángulo θ, para una profundidad del flujo, y, es MF = γ y3
cos4
θ/6
Figura 18
53. 2. ELEMENTOS GEOMÉTRICOS DE LA SECCIÓN TRANSVERSAL
Y DISTRIBUCIONES DE VELOCIDAD Y PRESIONES
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65
SOLUCIÓN:
Integrando elementos diferenciales de momento, dM,, a partir de contribuciones elementales de fuerza, dF,
(véase la Figura 18 a), se tiene:
Figura 18 a.
En el triángulo rectángulo, se tiene:
d
h
=θcos (1)
θcosdh = (2)
En el triángulo rectángulo FTV, se tiene:
y
d
=θcos (3)
θcosyd = (4)
Reemplazando (4) en (2), resulta:
θ2
cosyh = (5)
Por otra parte, en todo punto de la sección transversal (ST), ubicado a una profundidad d, medida desde la
superficie libre del líquido, la presión de éste es:
hp γ= (6)
siendo h la profundidad del punto, medida verticalmente desde la superficie libre del líquido.
54. PROBLEMAS RESUELTOS DE HIDRÁULICA DE CANALES ABIERTOS
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66
Sustituyendo (2) en (6), se tiene:
θγ cosdp = (7)
La fuerza elemental, dF, debida a esta presión, actuando sobre un elemento diferencial de área, dA, situado
en la vecindad del punto, es:
dF = p dA (8)
Dicho elemento diferencial de área es un rectángulo de base l y altura dd,, como se puede ver en la figura.
Luego, dA= l dd (9)
Llevando (7) y (9) a (8), se tiene:
ddlddF cosθγ= (10)
La fuerza elemental dF produce un momento elemental dM, respecto al punto F, ubicado en el fondo del
canal, así:
dM = dF.b (11)
Además, b = ddo − (12)
Llevando (10) y (12) a (11), se tiene:
)(cos ddddlddM o −= θγ (13)
Expresando, ahora, d, ,od y dd, en términos de y, ,oy y dy, respectivamente, se tiene:
θcosyd = , θcosoo yd = , θcosdydd = (14)
Sustituyendo el conjunto de ecuaciones (14) en (13), se tiene:
)coscos(coscoscos θθθθθγ yydylydM o −= (15)
dyyylydM o cos)(cos3
θθγ −= (16)
dyyylydM o )(cos4
−= θγ (17)
Finalmente, integrando la ecuación (17) entre 0 y oy , se tiene:
∫ ∫ −==
oy
oF dyyylydMM
0
4
)(cos θγ (18)
55. 2. ELEMENTOS GEOMÉTRICOS DE LA SECCIÓN TRANSVERSAL
Y DISTRIBUCIONES DE VELOCIDAD Y PRESIONES
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67
∫ −=
oy
oF dyyyylM
0
4
)(cos θγ (19)
−= ∫∫
oo yy
oF dyydyyylM
0
2
0
4
cos θγ (20)
] ]
−=
−=
32
cos
32
.cos
32
.
40
3
0
2
4 oo
o
yy
oF
yy
yl
yy
ylM
oo
θγθγ (21)
34
33
4
cos
6
1
6
23
cos o
oo
F yl
yy
lM θγθγ =
−
= (22)
Dividiendo la ecuación (19) por una longitud unitaria, l, a lo largo del canal, se tiene el momento unitario
con respecto al fondo, F, así:
θγ 43
cos
6
1
o
F
Fm y
l
M
M == (23)
Observaciones:
1. Cuanto más grande sea el ángulo θ , menor es el FmM en el fondo del canal.
2. θ4
cos actúa como un factor corrector de
3
6
1
oFm yM γ=