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Vicerrectoría Académica
Dirección de Servicios Académicos
Subdirección de Servicios a Escuelas
1
GUÍA N4 DE CÁLCULO II
Máximos y Mínimos en varias variables
Máximos y Mínimos
Un punto  baP , es un punto crítico (posible máximo o mínimo) de una función
 yxfz , si:
  0


P
x
f
y   0


P
y
f
Sea      
22
2
2
2
2














 P
yx
f
P
y
f
P
x
f
D
i) Si 0D y   02
2



P
x
f
entonces f tiene un máximo local en P .
ii) Si 0D y   02
2



P
x
f
entonces f tiene un mínimo local en P .
iii) Si 0D entonces f tiene un punto silla en P .
iv) Si 0D entonces no se puede decidir que ocurre con f en P .
A) Determine los puntos críticos de las funciones y clasifíquelos en máximo,
mínimo o punto silla:
1.
4
2),(
2
2 y
xxyxf 
2.
48
),(
22
xy
yxf 
3. yxyxyxf 493),( 23

4. xyxyxf 44),( 22


2
5. xxyyxyxf 1222),( 22

6. yxxyyxyxf 554),( 22

B) Aplicaciones
7. La distancia entre el origen y la superficie 136422
 yxyxz es
136422),( 22
 yxyxyxD . Determine en qué punto ),,( zyx
ocurre la mínima distancia y cuál es su valor.
8. Un rectángulo sin tapa debe contener 256 cm3
de líquido. ¿Cuáles son las
dimensiones del rectángulo que requiere menos material de construcción?
9. La conveniencia social de una empresa con frecuencia incluye elegir entre la
ventaja comercial y las pérdidas sociales o ecológicas que pueda generar.
Suponga que la conveniencia social de una empresa se mide por la función:
     404616, 2
 xyyxxyxC , con 0x e 0y
donde x mide las ventajas comerciales (utilidades y puestos de trabajo) e y
mide las desventajas ecológicas (desplazamiento de especies, como
porcentaje). La empresa se considera conveniente si 0C e inconveniente
si 0C . ¿Qué valores de x e y maximizarán la conveniencia social?
Interprete los resultados. ¿Es posible que esta empresa sea conveniente?
10. Una compañía venderá dos nuevos tipos de sistemas. Si el primer tipo de
sistema se vende en x dólares, lo comprarán  yx 5840  consumidores.
Si el segundo tipo de sistema se vende en y dólares, lo comprarán
 yx 7950  consumidores. Si el costo de fabricación del primer tipo es de
U$ 10 por sistema y el costo del segundo tipo es de U$ 30 por sistema,

3
¿Qué precio debería fijar la compañía de teléfonos a los sistemas para generar
la máxima utilidad?
11.Sea P una función de producción dada por
  3232
009.089.102.054.0, kkllklfP 
Donde l y k son las cantidades de trabajo y capital, respectivamente, y P es
la cantidad producida. Encontrar los valores de l y k que maximizan P
Máximos y Mínimos con restricción
Para determinar los máximos y/o mínimos de una función  yxfz , , sujeta a
la restricción   0, yxg , se deben determinar los puntos  baP , que
satisfagan el sistema:
  0, 










yxg
y
g
y
f
x
g
x
f


Este método se conoce con el nombre de método de los Multiplicadores de
Lagrange.
Para discriminar entre los máximos y mínimos de la función  yxfz , , los
puntos obtenidos del sistema deben ser reemplazados en ella.

4
C) Use el método de Lagrange para determinar los valores máximos y mínimos
Función Restricción
12.   343,  yxyxf 25)1( 22
 yx
13.   55,045,0
80, yxyxf  100 yx
D) Aplicaciones
14.Suponga que U es una función utilidad para la cual
xyyxU ),(
donde x e y representan el número de unidades de los artículos A y B
respectivamente, los cuales son consumidos semanalmente por una persona
particular. Además suponga que los precios unitarios de A y B son US$ 2 y US$ 4,
respectivamente, y que el gasto total semanal para estos artículos se ha
presupuestado en US$ 90. ¿Cuántas unidades de cada artículo deben comprarse
semanalmente para maximizar el índice de utilidad de la persona?
15. Un cliente tiene U$280 para gastar en dos artículos, el primero de los cuales
cuesta U$2 por unidad y el segundo U$5 por unidad. Si la utilidad obtenida
por el cliente al comprar x unidades del primer artículo e y unidades del
segundo, es   75,025,0
100, yxyxU  , ¿cuántas unidades de cada artículo
debería comprar el consumidor para maximizar las utilidades?

5
16. Si se gastan x miles de dólares en mano de obra e y miles de dólares en
equipos, la producción de cierta fábrica será 4,06,0
100),( yxyxf 
unidades. Si hay U$50.000 disponible su función restricción sería 50 yx .
¿Cómo debe distribuirse el dinero, entre mano de obra y equipos, para
generar una mayor producción posible?.
17.Una envasadora comercializa dos tipos de botellas de aceite cuyos precios
medios son de costo 3 y 4 euros por litro. Si el precio de venta al público del
primer tipo es x euros por litro y el segundo tipo es y, el número de litros que
se puede vender diariamente de cada tipo es
 xyyxF  290),(1
y  yxyxF 577330),(2 
Determine los precios de venta para alcanzar el máximo beneficio, las
cantidades óptimas que debe vender y el beneficio diario obtenido
Soluciones
1) )0,1( es mínimo
2) )0,0( es punto de silla
3) )2,1( es mínimo
)2,1( es punto de silla
4) )0,2( es mínimo
5) )6,6( es mínimo
6) )3,1( es máximo
7) 





8,1;
2
3
;1 , y la distanciamínima es 2,55.
8) 8x8x4
9) Resp. Con 4x e 8y se obtiene un máximo para C , el cual es 8C , por lo tanto, la empresa se
considera inconveniente
10) máxima utilidad con 25x e 43,26y dólares cada producto.

6
11) la producción semaximiza cuando 18l y 14k
12) mínimo en )4,2(  y máximo en )4,4(
13) (45, 55)
14) (11,25 ; 22,5)
15) (35, 42) es máximo
16) 30.000 en ma
17) El máximo se alcanza en ( 5,7) y el beneficio total es de 1800 euros

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