Este documento presenta varios problemas de optimización involucrando funciones de una o más variables. Los problemas incluyen encontrar máximos, mínimos, puntos silla y valores extremos sujetos a restricciones. Se proporcionan las soluciones a cada problema resumidas concisamente.

1. MAXIMOS Y MINIMOS DE FUNCIONES DE DOS O MAS VARIABLES
Profesor: Carlos Mendizábal Jiménez
1. Hallar los valores extremos (máximos y mínimos relativos) de la función:
f(x,y) = x2
+ y2
R: f(0,0) = 0, es un mín.loc.
2. Hallar los extremos relativos de la función:
f(x,y) = 3x2
– 4xy + 4y2
– 4x +8y + 4
R: f(0,-1) = 0; es un mín.loc.
3. Hallar los valores extremos de la f unción:
f(x,y) = 4y3
+ x2
-12y2
-36y + 2
R: (0,-1) es un punto silla
f(0,3) = -106 es un mín.loc.
4. Los ingresos semanales totales (en dólares) de Cronosonic al producir y vender sus
sistemas de sonido están dados por:
I(x,y) = - yxxyyx 240300
4
1
8
3
4
1 22
++−−
donde x denota el número de unidades ensambladas e y indica el número de
paquetes producidos y vendidos por semana. El costo total por semana que se
puede atribuir a la producción de estos sistemas es:
C(x,y) = 180x + 140y +5000
dólares, donde x e y tienen el mismo significado anterior. Determinar el número de
unidades ensambladas y de paquetes que Cronosonic debe producir cada semana
para maximizar la ganancia: U(x,y).
R: U(208,64) = 10608 dólares.
5. Hay que construir una caja rectangular abierta con un volumen de 108 [ ]3
u , u
unidad de longitud, a partir de una hoja de metal. Encuentre las dimensiones de la
caja si la cantidad por utilizar en su construcción debe ser mínima.
R: 6; 6 y 3[ ]u
6. Determine los valores extremos, si procede, de cada función:
6.1. f(x,y) = 1 – x2
– y2
R: f(0,0) = 1; máx.loc.
6.2. f(x,y) = x2
– y2
-2x + 4y +1 R: f(1,2) = 4; punto silla
6.3. f(x,y) = x2
+2xy + y2
– 4x + 8y – 1 R: f(8,-6) = -41
6.4. f(x,y) = 2x3
+ y2
– 9x2
– 4y + 12x – 2 R: f(1,2) = -1; punto silla
f(2,2) = -2; mín.loc.
6.5. f(x,y) = x3
+ y2
– 2xy + 7x – 8y + 4 R:
27
319
)
3
11
,
3
1
( −=−f ; silla
13)5,1( −=f ; mín.loc.
6.6. f(x,y) = x3
– 3xy + y3
– 2 R: f(0,0) = -2; punto silla
f(1,1) = -3; mín.loc.

2. -2-
6.7. yx
xyyxf
24
),( ++= R: f(2,1) = 6; mín.loc.
6.8.
2
2
),( y
exyxf −= R: f(0,0) = -1; punto silla
6.9.
22
),( yx
eyxf +
= R: f(0,0) = 1; mín.loc.
6.10. f(x,y) = ln(1 + x2
+ y2
) R: f(0,0) = 0; mín.loc.
MAXIMOS Y MINIMOS CONDICIONADOS
1. Una empresa desea construir un tanque rectangular con capacidad de 1500 pies
cúbicos de agua. La base y las paredes verticales deberán ser de concreto y la tapa
de acero. Si el costo del acero es el doble por unidad de área que el de concreto,
determine las dimensiones del tanque que minimizan el costo total de construcción.
R: 10; 10; 15 pies.
2. (Decisiones sobre inversiones en mano de obra y capital). Empleado L unidades
de mano de obra y K unidades de capital, una empresa puede elaborar P unidades
de su producto, con: 3
1
3
2
50),( KLKLP = .
Le cuesta a la empresa U.S$ 100 por cada unidad de mano de obra y U.S$ 300 por
cada unidad de capital empleado. La empresa dispone de una suma de U.S$45000
para propósitos de producción. Determine las unidades de mano de obra y de
capital que la empresa debería utilizar con objeto de maximizar su producción.
R: 300 unidades de mano de obra
50 unidades de capital
3. Una compañía puede destinar su planta a la elaboración de dos tipos de productos,
A y B. Obtiene una utilidad de 4 dólares por unidad de A y de 6 dólares por unidad de
B. Los números de unidades de los dos tipos que puede producir mediante la planta
están restringidos por la ecuación de transformación del producto:
x2
+ y2
+ 2x + 4y – 4 = 0
con x e y los números de unidades (en miles) de A y B, respectivamente, producidas por
semana. Halle las cantidades de cada tipo que deben producirse para maximizar la
utilidad.
R: 664 unidades de A por semana
496 unidades de B por semana

3. -3-
4. El costo de producir x modelos regulares , y de y modelos de lujo del producto de
una empresa está dado por la función de conjunto de costo:
C(x,y) = x2
+ 1.5y2
+ 300
¿Cuántas unidades de cada tipo debe producirse a fin de minimizar los costos los
costos totales si la empresa decide producir un total de 200 unidades?
R: x = 120; y = 80
5. Mediante el método de multiplicadores de Lagrange determine los puntos
críticos de f sujetos a las restricciones dadas:
5.1. f (x,y) = x2
+ y2
; 2x + 3y = 7
R: 





13
21
,
3
14
5.2. f (x,y) = 3x + 2y ; x2
+ y2
= 13
R: (3,2), (-3,-2)
5.3. f (x,y,z) = x2
+ y2
+ z2
; 2x + 3y + 4z = 29
R: (2,3,4)
5.4. f (x,y,z) = x2
+ 2y2
– 3z2
; x + 2y - 3z = 5 ; 2x – 3y + 6z = -1
R: 





−−
2
3
,1,
2
5
6. Hallar los máximos y los mínimos de la función f(x,y) = xy, sujeta a la restricción
.822
=+ yx
R: f(2,2) = f(-2.-2) = 4, máx.
f(2,-2) = f(-2,2) = -4, mín.
7. Hallar el valor mínimo de la función f(x,y) = x2
+ y2
sujeta a la restricción xy = 1.
R: f(1,1) = f(-1,-1) = 2
8. Un fabricante tiene US$8000 para invertir en el desarrollo y la promoción de un
nuevo producto. Se estima que si se gastan x miles de dólares en desarrollo, y
miles de dólares en promoción, las ventas serán aproximadamente:
2
3
2
1
50),( yxyxf = unidades
¿Cuánto dinero debe asignar el fabricante a desarrollo y cuánto a promoción para
maximizar las ventas?
R: en desarrollo x = 2000
en promoción y = 6000
9. Un agricultor desea cercar un área de pastos rectangular, a la orilla de un río. El
área tiene 3200 metros cuadrados y no es necesaria la cerca de la orilla del río.
Hallar las dimensiones del área que requieren la menor cantidad de cerca.
R: 40 por 80 metros.