Este documento explica el bicondicional o doble implicación lógica. Indica que dos fórmulas son equivalentes lógicamente si y solo si tienen el mismo valor de verdad para cada valor de verdad posible. Proporciona ejemplos de equivalencias lógicas como las reglas de DeMorgan y define el bicondicional como equivalente lógico a la conjunción de la implicación en ambas direcciones. Finalmente, resume las reglas de derivación para el bicondicional.

1. Clase 25 - Leonel Morales – leonel@ingenieriasimple.com – litomd@ufm.edu
24 / Septiembre / 2014
Doble Implicación
Bicondicional
↔

2. Bicondicional
↔ Equivalencia Lógica
 Dos fórmulas son Equivalentes Lógicas
 Si y sólo si:
 Para cada valor de verdad asignado
 Mismo valor de verdad funcional
2 de 18

3. Bicondicional
↔ Equivalencia Lógica
 Dos fórmulas son Equivalentes Lógicas
 Si y sólo si:
 Para cada valor de verdad asignado
 Mismo valor de verdad funcional
 Esencialmente:
 Si tienen la misma tabla de verdad
3 de 18

4. Bicondicional
↔ Equivalencia Lógica
 Ejemplos:
 DeMorgan:
 ~(P v Q) ↔ (~P & ~Q)
 (~P v ~Q) ↔ ~(P & Q)
 Definición de Condicional:
 (P → Q) ↔ (~P v Q)
 (P v Q) ↔ (~P → Q)
 Exportar e Importar:
 ((R & T) → M) ↔ (R → (T → M))
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5. Bicondicional
↔ Equivalencia Lógica
 Es válida en las dos vías:
 (S → K) ↔ (~K → ~S)
 (~K → ~S) ↔ (S → K)
5 de 18

6. Bicondicional
↔ Equivalencia Lógica
 Es válida en las dos vías:
 (S → K) ↔ (~K → ~S)
 (~K → ~S) ↔ (S → K)
 Recordar:
 Consecuencia lógica
 (((R & T) & (T → Q)) → Q)
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7. Bicondicional
↔ El Bicondicional
 Bicondicional:
 También llamado «doble implicación»
 Si dos fórmulas son equivalentes lógicos
 Bicondicional de ambas es tautología
 Ejemplos:
 (~A & ~B) ↔ ~(A v B)
7 de 18

8. Bicondicional
↔ Tabla de Verdad
 El Bicondicional
P Q P↔Q
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
8 de 18

9. Bicondicional
↔ Tabla de Verdad
 El Bicondicional
P Q P↔Q
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
9 de 18
 Otra forma
P Q P→Q Q→P (P→Q) & (Q→P)
0 0 1 1 1
0 1 1 0 0
1 0 0 1 0
1 1 1 1 1

10. Bicondicional
↔ Tabla de Verdad
 El Bicondicional
P Q P↔Q
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
P Q P→Q Q→P (P→Q) & (Q→P)
0 0 1 1 1
0 1 1 0 0
1 0 0 1 0
1 1 1 1 1
10 de 18
 Otra forma
 Bicondicional es
equivalente lógico de:
 ((P→Q) & (Q→P))

11. Bicondicional
↔ Recordatorio
 Reglas de sintaxis de lógica simbólica
 Una fórmula es lógica si sigue estas reglas:
1. Toda proposición atómica es una fórmula lógica
2. Si φ es una fórmula lógica entonces φ también lo es
3. Si φ y ψ son fórmulas lógicas entonces también lo son
1. (φ & ψ)
2. (φ v ψ)
3. (φ  ψ)
4. (φ  ψ)
4. Cualquier expresión de proposiciones es fórmula lógica si
puede ser construida por aplicaciones de las primeras 3
reglas
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12. Bicondicional
↔ Recordatorio
 Reglas de sintaxis de lógica
simbólica
 Una fórmula es lógica si sigue estas
reglas:
1. Toda proposición atómica es una
fórmula lógica
2. Si φ es una fórmula lógica entonces
φ también lo es
3. Si φ y ψ son fórmulas lógicas
entonces también lo son
1. (φ & ψ)
2. (φ v ψ)
3. (φ  ψ)
4. (φ  ψ)
4. Cualquier expresión de
proposiciones es fórmula lógica si
puede ser construida por
aplicaciones de las primeras 3 reglas
Versión corta:
FL = Fórmula Lógica
P, Q, R, S, etc., son FL
Son proposiciones atómicas
~FL es FL
1. FL & FL es FL
2. FL v FL es FL
3. FL  FL es FL
4. FL  FL es FL
Cualquier derivado
de las anteriores
es FL
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13. Bicondicional
↔ Otro Recordatorio
 Árboles de Verdad
13 de 18
(P v Q) (P & Q) (P  Q)
P Q
P
Q
~P Q
~(P v Q) ~(P & Q) ~(P  Q)
~P
~Q
~P ~Q
P
~Q

14. Bicondicional
↔ Otro Recordatorio
 Árboles de Verdad
14 de 18
(P v Q) (P & Q) (P  Q)
P Q
P
Q
~P Q
~(P v Q) ~(P & Q) ~(P  Q)
~P
~Q
~P ~Q
P
~Q
(P  Q)
P
Q
~P
~Q
~(P  Q)
P
~Q
~P
Q

15. Bicondicional
↔ Reglas de Derivación
 Eliminación de Bicondicional
 Izquierda
 Derecha
15 de 18
p1. (φ  ψ)
p2. ψ
c. φ EL: p1, p2
p1. (φ  ψ)
p2. φ
c. Ψ ER: p1, p2

16. Bicondicional
↔ Reglas de Derivación
 Introducción de Bicondicional
 Asumiendo antecedentes
 Con dos premisas
16 de 18
a1. φ Se asume
…
p1. ψ
a2. ψ Se asume
…
p2. φ
c. (φ  ψ) I: p1, p2
p1. φ
p2. ψ
c. (φ  ψ) I: p1, p2

17. Bicondicional
↔ Reglas de Derivación
 Conmutatividad del Bicondicional
17 de 18
p1. (φ  ψ)
c. (ψ  φ) Conm: p1

18. Bicondicional
↔ Reglas de Derivación
 Reemplazo de Equivalentes
 Ejemplo:
18 de 18
p1. (φ  ψ)
p2. …φ…
c. …ψ… RE: p1, p2
1. (Q  T) Premisa
2. (T  (P v R)) Premisa
3. (Q  (P v R)) RE: p1, p2