Estructuras Discretas - Proposiciones

1. UNIVERSIDAD FERMIN TORO
ESCUELA DE INGENIERIA DE TELECOMICACIONES
CABUDARE EDO. LARA
Integrante:
Radil Fonseca
Cabudare; Junio de 2013
Estructuras
Discretas
Proposiciones

2. Es un enunciado cuyo contenido está sujeto a ser calificado como "verdadero"
o "falso", pero no ambas cosas a la vez.
Toda proposición tiene una y solamente una alternativa.
1: Verdadero
0: Falso
Ejemplos
Los siguientes enunciados son proposiciones:
Coro es un municipio de Miranda (falso).
Los estudiantes de UFT son aplicados (verdadero).
El hidrógeno es un gas (verdadero).
Algunos estudiantes son universitarios (verdadero).
Todo estudiante es universitario (falso).
Proposiciones
Los siguientes enunciados no son
proposiciones:
¿Qué hora es?. ¡Estudie!. Ojalá que llueva café.
¡Levántate temprano!. No corras, el país te
necesita. ¿Cómo te llamas?

3. Las proposiciones se notarán con letras minúsculas p, q, r, s, t, ya que las letras
mayúsculas las usaremos para denotar los conjuntos.
Ejemplos
P: La matemática es una ciencia.
q: 2 es un número impar.
r: mañana es 27 de junio.
Llamaremos valor lógico de una proposición, el cual denotaremos por VL, al valor
1 si la proposición es verdadera; y 0 si es falsa. Como ejemplo de las
proposiciones anteriores, podemos decir que VL(P)=1, VL(q)=0.
Operaciones Veritativas
Los Conectivos u Operadores Lógicos son símbolos o conectivos que nos
permiten construir otras proposiciones; o simplemente unir dos o más
proposiciones, a partir de proposiciones dadas.
Cuando una proposición no contiene conectivos lógicos diremos que es una
proposición atómica o simple; y en el caso contrario, diremos que es una
proposición molecular o compuesta.
Ejemplos de Proposiciones Atómicas
-Coro es un municipio de Miranda.
-Los estudiantes de UFT son aplicados.

4. A continuación daremos una tabla de los conectivos que se usarán y la
operación que se realiza con cada uno de ellos para formar nuevas
proposiciones. Estas operaciones son llamadas operaciones veritativas.
Aquí g y t representan dos proposiciones cualesquiera.

5. Conectivos lógicos: La negación
Sea p una proposición, la negación de p es otra proposición identificada por: ~ p,
que se
lee "no p", "no es cierto que p", "es falso que p", y cuyo valor lógico está dado por
la
negación de dicha proposición.
La tabla dice, que ~ p es falsa cuando p es verdadera y que ~ p es verdadera
cuando p es falsa. Este mismo resultado lo podemos expresar en forma analítica
mediante la siguiente igualdad:
VL (p)= 1- VL(~ p)
Si VL(~ p) = 1, entonces VL(p) = 1 - VL(~ p) = 1-1 = 0
Si VL(~ p) = 0, entonces VL(p) = 1 - VL(~ p) = 1- 0 = 1

6. Definición: Sean p y q dos proposiciones. La conjunción de p y q es la proposición
p Ù q, que
se lee "p y q", y cuyo valor lógico está dado con la tabla o igualdad siguiente:
VL(p^q) = min (VL(p), VL(q)) en otras palabras el menor valor de los números
dados.
La conjunción
Definición: Sean p y q dos proposiciones. La disyunción de p y q es la proposición
p vq, que se lee "p o q", y cuyo valor lógico está dado por la tabla siguiente:
VL(pvq)=máximo valor(VL(p),VL(q)).
La disyunción inclusiva

7. El condicional
Definición: Sean p y q dos proposiciones. El condicional con antecedente p y
consecuente q es la proposición p ® q, que se lee "si p, entonces q", y cuyo valor
lógico está dado por la siguiente tabla:
Ejemplo
a. Observe las proposiciones condicionales siguientes:
1. Si 5 es primo, entonces 2 + 1 = 3 (Verdadera).
2. Si 5 es primo, entonces 2 + 1 = 4 (Falsa).
3. Si 6 es primo, entonces 2 + 1 = 3 (Verdadera).
4. Si 6 es primo, entonces 2 + 1 = 4 (Verdadera).

8. El Bicondicional
Definición: Sean p y q dos proposiciones. Se llama Bicondicional de p y q a la
proposición p « q, que se lee "p si sólo si q", o "p es condición necesaria y
suficiente para q", y cuyo valor lógico es dado por la siguiente tabla.
o en otras palabras el VL (P « q ) = 1 si VL (p) = VL (q)
La tabla nos dice que p « q es verdadero cuando VL(p) = VL(q), y esa falsa
cuando VL(p) ¹ VL(q)

9. Definición: Es aquella proposición molecular que es verdadera (es decir, todos
los valores de verdad que aparecen en su tabla de verdad son 1)
independientemente de los valores de sus variables.
Ejemplo: Probar que P Ú ~ P es una tautología
P Ú ~ P
1 1 0
0 1 1
Contradicción
Definición: Es aquella proposición molecular que siempre es falsa (es decir
cuando los valores de verdad que aparecen en su tabla de verdad son todos 0)
independientemente de los valores de sus variables proposicionales que la
forman.
Por ejemplo, la proposición molecular del ejemplo siguiente es una contradicción,
p Ù ~ p, para chequearlo recurrimos al método de las tablas de verdad.

10. Leyes del Algebra de Proposiciones
1. Leyes Idempotentes
1.1. pÚ p º p
1.2. pÙ p º p
2. Leyes Asociativas
2.1. (P Ú q) Ú r º p Ú (q Ú r)
2.2. (P Ù q) Ù r º p Ù (q Ù r)
3. Leyes Conmutativas
3.1. P Ú q º q Ú p
3.2. P Ù q º q Ù p
4. Leyes Distributivas
4.1. P Ú ( q Ù r ) º ( p Ú q ) Ù (p Ú r)
4.2. P Ù ( q Ú r ) º ( p Ù q ) Ú (p Ù r)
5. Leyes de Identidad
5.1. P Ú F º P
5.2. P Ù F º F
5.3. P Ú V º V
5.4. P Ù V º P
6. Leyes de Complementación
6.1. P Ú ~ P º V (tercio excluido)
6.2. P Ù ~ P º F (contradicción)
6.3. ~ ~ P º P (doble negación)
6.4. ~ V º F, ~ F º V
7. Leyes De Morgan
7.1. ~ ( P Ú q ) º ~ P Ù ~ q
7.2. ~ ( P Ù q ) º ~ P Ú ~ q
Otras Equivalencias Notables
a. p® q º ~ p Ú q (Ley del condicional)
b. p« q º (p® q) Ù (q® p) (Ley del
bicondicional)
c. p Ú q º ( p Ù ~ q ) Ú ( q Ù ~ p ) (Ley de
disyunción exclusiva)
d. p® q º ~ q® ~ p (Ley del
contrarrecíproco)
e. p Ù q º ~ ( ~ p Ú ~ q )
f. ( (p Ú q ) ® r ) º ( p ® r ) Ù (q ® r ) (Ley
de demostración por casos)
g. (p® q) º (p Ù ~ q® F) (Ley de reducción
al absurdo)

11. Circuitos Lógicos
Los circuitos lógicos o redes de conmutación los podemos identificar con una
forma proposicional. Es decir, dada una forma proposicional, podemos asociarle
un circuito; o dado un circuito podemos asociarle la forma proposicional
correspondiente. Además, usando las leyes del álgebra proposicional podemos
simplificar los circuitos en otros más sencillos, pero que cumplen la misma función
que el original. Veamos los siguientes interruptores en conexión:
Conexión en serie
Conexión en paralelo