Cálculo proposicional,Leyes del Álgebra.

1. UNIVERSIDAD FERMÍN TORO
FACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA DE ELÉCTRICA
Unidad I . Cálculo Proposicional
Estructuras Discretas
Alumno: Harrinzon Reinoso
Prof: Lic. Domingo Méndez

2. Proposición
Una proposición es un enunciado cuyo contenido está sujeto a ser calificado
como "verdadero" o "falso", pero no ambas cosas a la vez.
Toda proposición tiene una y solamente una alternativa.
1: Verdadero
0: Falso
Llamaremos valor lógico de una proposición, el cual denotaremos por VL,
al valor 1 si la proposición es verdadera; y 0 si es falsa. Como ejemplo de las
proposiciones anteriores, podemos decir que VL(P)=1, VL(q)=0.

3. Conectivos Lógicos
Son símbolos o conectivos que nos permiten construir otras
proposiciones; o simplemente unir dos o más proposiciones, a
partir de proposiciones dadas.
Cuando una proposición no contiene conectivos lógicos diremos
que es una proposición atómica o simple; y en el caso contrario,
diremos que es una proposición molecular o compuesta.

4. Conectivos Lógicos

5. Conectivos Lógicos:
Sea p una proposición, la negación de p es otra proposición identificada
por: ~ p, que se lee "no p", "no es cierto que p", "es falso que p", y cuyo
valor lógico está dado por la negación de dicha proposición.
p ~q
1 0
0 1
p q
V F
F V
La Negación
La Conjunción
Sean p y q dos proposiciones. La conjunción de p y q es la proposición p Ù q,
que se lee "p y q", y cuyo valor lógico está dado con la tabla o igualdad siguiente:
VL(p^q) = min (VL(p), VL(q)) en otras palabras el menor valor de los números
dados. p q p^q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0

6. La Disyunción Inclusiva
Sean p y q dos proposiciones. La disyunción de p y q es la proposición p v q, que se
lee "p o q", y cuyo valor lógico está dado por la tabla siguiente:
VL(pvq)= máx. (VL(p),VL(q)). En otras palabras, el máximo valor de los números
dados. p q pvq
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
La Disyunción Exclusiva
Sean p y q dos proposiciones. La disyunción exclusiva de p y q es la proposición p v
q, que se lee "o p o q", y cuyo valor lógico está dado por la tabla. En otras palabras, la
disyunción exclusiva es falsa sólo cuando los valores de p y q son iguales. VL(p v q)
= 0 si VL (p) = VL ( q )

7. p v q
V F V
F V V
V V F
F F F
El Condicional
Sean p y q dos proposiciones. El condicional con antecedente p y consecuente q es la
proposición p → q, que se lee "si p, entonces q“.
p q p→q
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1

8. El Bicondicional
Sean p y q dos proposiciones. Se llama Bicondicional de p y q a la proposición p
↔q, que se lee "p si sólo si q", o "p es condición necesaria y suficiente para q", y
cuyo valor lógico es dado por la siguiente tabla.
La tabla nos dice que p « q es verdadero cuando VL(p) = VL(q), y esa falsa
cuando VL(p) ¹ VL(q) es decir valores iguales: verdadero y distintos: falso
p q p↔q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1

9. Leyes del Algebra de Proposiciones
1 Leyes Idempotentes:
p ^ p ≡ p
p v p ≡ p
2 Leyes Asociativas:
(p v q) v r ≡ p v (q v r)
(p ^ q) ^ r ≡ p ^ (q ^r)
3 Leyes Conmutativas
p v p ≡ q v p
p ^ p ≡ q^ p
4 Leyes Distributivas
p v (q ^ r) ≡ (p v q)^ (q v r)
p ^ (q v r) ≡ (p ^q) v (q ^r)
5 Leyes de Identidad
P v F ≡ P
P ^F ≡ F
P v V ≡ V
P ^ V ≡ P
6 Leyes de Complementación
P v~ p ≡ V (tercio excluido)
P ^~p ≡ F (contradicción)
~~p ≡ p (doble negación)
~V ≡ F, ~F ≡ V

10. Leyes del Algebra de Proposiciones
7 Leyes De Morgan
~ ( p v q ) ≡ ~p ^ ~ q
~( p ^q ) ≡ ~p v ~ q
Otras Equivalencias Notables
p→q ≡~ p v q (Ley del condicional)
p↔q ≡(p→ q)^(q→p) (Ley del bicondicional)
p v q ≡( p ^~ q ) v ( q ^ ~ p ) (Ley de
disyunción exclusiva)
p→ q ≡ ~ q→~ p (Ley del contrarrecíproco)
p ^ q ≡ ~ ( ~ p v ~ q )
( (p v q ) → r ) ≡ ( p → r ) ^ (q →r ) (Ley
de demostración por casos)
(p→q)≡(p^~ q→ F) (Ley de reducción
al absurdo)

11. Métodos de Demostración
Demostración Directa:
Se debe probar una implicación: p → q. Es decir, llegar a la conclusión q a
partir de la premisa p mediante una secuencia de proposiciones en las que se
utilizan axiomas, definiciones, teoremas o propiedades demostradas
previamente.
Demostración Indirecta:
Existen dos formas de demostración:
 Método del Contrarrecíproco: Otra forma proposicional equivalente a p → q es
proporcionada por la Ley del contrarrecíproco: p → q ≡ ~ q → ~ p.
 Demostración por Reducción al Absurdo: en este la proposición p → q es
tautológicamente equivalente a la proposición (p ^ ~q) → (r ^ ~r) siendo r una
proposición cualquiera.

12. Inferencia
1 Modus Ponendo Ponens(MPP)
(p→ q) ^ p →q p→q
p
q
2 Modus Tollendo Tollens (MTT)
(p→ q) ^ ~ q→~ p p→q
~q
~q
3 Silogismo Disyuntivo (S.D)
(pv q) ^ ~ q→ p
(pv q) ^ ~ p→ q
p v q
~q
p
p v q
~p
q
4 Silogismo Hipotético(S.H)
(p→ q) ^ (q→ r) → (p→r)
p→q
q→r
p→ró

13. Inferencia
5 Ley de Simplificación
p ^ q → p
p ^ q → q
p^q
p ó
p^q
q
6 Ley de la Adición
p→ p v q
q → p v q
p
p v q
q
p v q
ó
7 Ley de Conjunción
( p )^( q)→ ( p ^ q)
p
q
p^q

14. Circuitos LógicosLos circuitos lógicos o redes de conmutación los podemos identificar con
una forma proposicional. Es decir, dada una forma proposicional, podemos
asociarle un circuito; o dado un circuito podemos asociarle la forma
proposicional correspondiente. Además, usando las leyes del álgebra
proposicional podemos simplificar los circuitos en otros más sencillos, pero que
cumplen la misma función que el original. Veamos los siguientes interruptores
en conexión:
Interruptores en conexión :
- Conexión en serie. Se representa como p ^ q
- Conexión en paralelo la cual se representa como p v q