Este documento presenta 13 problemas de álgebra resueltos por un profesor. Cada problema contiene los pasos para resolver ecuaciones polinómicas, hallar mínimos comunes múltiplos y máximos comunes divisores, y descomponer fracciones parciales.

1. Universidad Nacional Agraria de la Selva
Centro Preuniversitario
Seminario Primer Examen Parcial – Algebra
Prof. Alejandro Viviano Tumbay / Hans Tafur Pereda
SEMINARIO PRIMER EXAMEN PARCIAL
1. Si el MCD de:
( ) ( 1)( 2)( 1)P x x x x x    ;
3
( ) 3 2Q x x x   . Se iguala a cero,
entonces el valor de x es:
a) 2 b) 0 c) 1 d) 4 e) -2
2. Sean 2
( ) 12M x x x   ;
2
( ) 4 12N x x x   . Calcular la suma
de coeficientes del MCM de M y N.
a) 100 b) 25 c) 150 d) 10 e) 15
3. Efectuar:
4 4 2
2 2 2 2
( ) ( )
( ) ( ) ( )
x y y x y
x y x y xy y
 
 
  
a) x+y b) x-y c) 1 d) 1/y e) y
4. Si 1 es la solución de la ecuación
lineal: 2 2
( 2) 4 1 0a x abx b     .
Calcula el valor de:
1
b
b

a) 4 b) 2 c) 8 d) 10 e) 6
5. Si la ecuación en x:
( 1) 2 1a ax x x    es incompatible,
calcula el valor de “ a ”
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
6. Si a y b son las raíces de:
2
4 2 0x x   , entonces el valor de:
2 2
a b ab es:
a) -1 b) 2 c) -4 d) -8 e) 4
7. Si 𝑃(𝑥) = (𝑥2 + 𝑥 − 2)2(𝑥2 + 5𝑥 + 6);
𝑄(𝑥) = (𝑥 − 1)(𝑥2
+ 2𝑥 − 3)2
hallar el
MCD en Z.
a) (𝑥 − 1)2
(𝑥 + 3) b) (𝑥 − 1)2
c) (𝑥 + 2)2
(𝑥 − 1) d) (𝑥 + 2)(𝑥 − 1)2
e) (𝑥 + 3)2
(𝑥 − 1)
8. si:
𝑃(𝑥) = 𝑥3
+ 8 y 𝑄(𝑥) = 𝑥4
+ 4𝑥2
+ 16,
hallar la suma de los coeficientes del MCD
a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9
9. Resolver:
𝑥2
− 6𝑥 + 10
𝑥2 + 8𝑥 + 17
= (
𝑥 − 3
𝑥 + 4
)
2
a) 1 b) 1/2 c) -1 d) -1/2 e) 2
10. Calcular "m" para que la ecuación:
6x2
+ (2m + 3)x + m = 0, tenga solo una
raíz.
a) 3 b) 3/4 c) 1/2 d) 5/3 e) 3/2
11. Si la suma de las inversas de las raíces
de la ecuación: x2
- mx + 1 = 0, es igual a
la inversa de la suma de las raíces ¿Qué
valor asume “m" ?
a) ±1 b) ±1/2 C)-1 d)2 E) -2
12. cuantos factores primos cuadráticos
tiene 𝑀(𝑥) = 𝑥4
− 9, en Q, y en R
respectivamente.
a) 3; 2 b) 2; 1 c) 2; 2 d) 3; 3 e) 1; 2
13. Dado:
4𝑥 − 2
𝑥2 − 4𝑥 − 5
Descomponer en fracciones parciales y
luego calcular la suma de numeradores:
a) 5 b) 3 c) 4 d) 1 e) 2

2. Prof. Alejandro Viviano Tumbay / Hans Tafur Pereda
SOLUCIONARIO
RESOLUCIÓN N° 01
Factorizando Q(x) a través de divisores
binómicos tenemos:
2
( ) ( 1) ( 2)Q x x x  
( ) ( 1)( 2)( 1)P x x x x x   
Entonces el: 1MCD x 
Luego: x-1=0 de donde x=1
RESOLUCIÓN N° 02
Factorizando por aspa simple tenemos:
( ) ( 4)( 3)M x x x  
( ) ( 6)( 2)N x x x  
Entonces el:
( 4)( 3)( 6)( 2)MCM x x x x    
(1 4)(1 3)(1 6)(1 2) 150coef MCM      
RESOLUCIÓN N° 03
Efectuando se tiene:
2 2 2
2 2 2
( )( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
x y x y x y y x y
y
x y x y y x y
   
  
  
RESOLUCIÓN N° 04
Como es de primer grado se tiene: a=2
Además x=1
-4(2)b(1)+b2
-1=0
b2
-1=8b
2
1
8
1
8
b
b b
b
b
 
 
RESOLUCIÓN N° 05
Resolviendo en x tenemos:
2
( 2) 1
1
( 2)( 1)
1
2
x a a a
a
x
a a
x
a
   


 


Luego a-2=0 entonces a=2
RESOLUCIÓN N° 06
Utilizando la suma y producto de raíces
tenemos:
4
2
a b
ab
  

Luego hallando el valor de:
2 2
( )
(2)( 4) 8
a b ab ab a b  
   
RESOLUCIÓN Nº 07
Factorizando P(x)
𝑃(𝑥) = (𝑥2
+ 𝑥 − 2)2(𝑥2
+ 5𝑥 + 6)
𝑃(𝑥) = [(𝑥 + 2)(𝑥 − 1)]2[(𝑥 + 2)(𝑥 + 3)]
𝑃(𝑥) = (𝑥 + 2)3(𝑥 − 1)2
(𝑥 + 3)
Factorizando Q(x)
𝑄(𝑥) = (𝑥 − 1)(𝑥2
+ 2𝑥 − 3)2
𝑄(𝑥) = (𝑥 − 1)[(𝑥 + 3)(𝑥 − 1)]2
𝑄(𝑥) = (𝑥 − 1)3(𝑥 + 3)2
Luego el MCD(P,Q) = (x – 1)2
(x+3)
RESOLUCIÓN Nº 08
Factorizando P(x)
𝑃(𝑥) = 𝑥3
+ 8
𝑃(𝑥) = (𝑥 + 2)(𝑥2
− 2𝑥 + 4)
Factorizando Q(x)
𝑄(𝑥) = 𝑥4
+ 4𝑥2
+ 16
𝑄(𝑥) = 𝑥4
+ 8𝑥2
+ 16 − 4𝑥2
𝑄(𝑥) = (𝑥2
+ 4)2
− (2𝑥)2

3. Universidad Nacional Agraria de la Selva
Centro Preuniversitario
Seminario Primer Examen Parcial – Algebra
Prof. Alejandro Viviano Tumbay / Hans Tafur Pereda
SEMINARIO PRIMER EXAMEN PARCIAL
𝑄(𝑥) = (𝑥2
+ 2𝑥 + 4)(𝑥2
− 2𝑥 + 4)
Luego el MCD(P,Q) = 𝑥2
− 2𝑥 + 4
∑ 𝑐𝑜𝑒𝑓 = 1 − 2 + 4 = 3
RESOLUCIÓN Nº 09
𝑥2
− 6𝑥 + 10
𝑥2 + 8𝑥 + 17
= (
𝑥 − 3
𝑥 + 4
)
2
𝑥2
− 6𝑥 + 10
𝑥2 + 8𝑥 + 17
=
𝑥2
− 6𝑥 + 9
𝑥2 + 8𝑥 + 16
Haciendo: 𝑥2
− 6𝑥 = 𝑎 𝑦 𝑥2
+ 8𝑥 = 𝑏
Remplazando
𝑎+10
𝑏+17
=
𝑎+9
𝑏+16
𝑎𝑏 + 16𝑎 + 10𝑏 + 160 = 𝑎𝑏 + 17𝑎 + 9𝑏 + 153
𝑏 − 𝑎 = −7
Volviendo la variable original
𝑥2
+ 8𝑥 − 𝑥2
+ 6𝑥 = −7
14𝑥 = −7 → 𝑥 = −1/2
RESOLUCIÓN Nº 10
Ecuación 6x2
+ (2m + 3)x + m = 0
La ecuación dada debe tener raíces
iguales, por tanto ∆= 0
(2𝑚 + 3)2
− 4(6)(𝑚) = 0
4𝑚2
+ 12𝑚 + 9 − 24𝑚 = 0
4𝑚2
− 12𝑚 + 9 = 0
(2𝑚 − 3)2
= 0
Luego 𝑚 = 3/2
RESOLUCIÓN Nº 11
Dada la ecuación: x2
- mx + 1 = 0
Asumiendo que las raíces son “a” y “b”
𝑎 + 𝑏 = 𝑚 𝑦 𝑎. 𝑏 = 1
Por dato
1
𝑎
+
1
𝑏
=
1
𝑎 + 𝑏
→
𝑎 + 𝑏
𝑎. 𝑏
=
1
𝑎 + 𝑏
Remplazando
𝑚
1
=
1
𝑚
→ 𝑚2 = 1 ∴ 𝑚 = ±1
RESOLUCIÓN Nº 12
Dado: 𝑀(𝑥) = 𝑥4
− 9
Factorización sobre Q
𝑀(𝑥) = (𝑥2
+ 3)(𝑥2
− 3)
Hay 2 factores primos cuadráticos
Factorización sobre R
𝑀(𝑥) = (𝑥2
+ 3)(𝑥2
− 3) 𝑒𝑛 𝑄
𝑀(𝑥) = (𝑥2
+ 3)(𝑥 + √3)(𝑥 − √3)𝑒𝑛 𝑅
Hay 1 factor primo cuadrático
Por lo tanto la respuesta es: 2; 1
RESOLUCIÓN Nº 13
Factorizando y descomponiendo
4𝑥 − 2
𝑥2 − 4𝑥 − 5
=
𝐴
𝑥 − 5
+
𝐵
𝑥 + 1
Operando
4𝑥 − 2
𝑥2 − 4𝑥 − 5
=
𝐴(𝑥 + 1) + 𝐵(𝑥 − 5)
(𝑥 − 5)(𝑥 + 1)
Finalmente
4𝑥 − 2 = 𝐴(𝑥 + 1) + 𝐵(𝑥 − 5)
Si 𝑥 = 5;18 = 6𝐴 → 𝐴 = 3
Si 𝑥 = −1; −6 = −6𝐵 → 𝐵 = 1
∴ 𝐴 + 𝐵 = 4