Este documento explica el concepto matemático de derivada a través de varios ejemplos numéricos. Introduce la definición formal de derivada como el límite del cociente de incrementos de y e x cuando el incremento de x tiende a cero. Usa funciones como y = x^2 para ilustrar cómo calcular la derivada numéricamente y obtener dy/dx = 2x. Finalmente, proporciona 20 ejercicios para que el estudiante calcule derivadas por incrementos.
Este documento presenta dos métodos para resolver ecuaciones diferenciales homogéneas de primer orden. El primer método implica sustituir y = xv y derivar, resultando en una ecuación separable en v y x. El segundo método implica sustituir y/x = u y derivar, también resultando en una ecuación separable. El documento provee ejemplos resueltos y demostraciones de propiedades de ecuaciones diferenciales homogéneas.
Este documento describe un método para calcular la integral de una función racional mediante la descomposición de la función en fracciones parciales. Explica cómo descomponer funciones racionales en sumas de fracciones simples que pueden integrarse usando técnicas conocidas. Además, muestra ejemplos detallados del cálculo de varias integrales de funciones racionales.
El documento presenta una introducción a la resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden, segundo orden y de orden superior. Explica métodos como separables, coeficientes indeterminados y variación de parámetros para resolver diferentes tipos de ecuaciones diferenciales. También aborda la resolución de ecuaciones diferenciales alrededor de puntos ordinarios usando series de Taylor.
1) Este documento describe diferentes tipos de ecuaciones diferenciales, incluyendo ecuaciones diferenciales exactas, lineales y de Bernoulli.
2) Las ecuaciones diferenciales exactas tienen una forma específica y se pueden resolver usando un factor integrante.
3) Las ecuaciones diferenciales lineales contienen variables separadas o un factor integrante dependiendo de si la función es igual a cero.
Este documento explica cómo calcular la función primitiva del producto de dos funciones utilizando la fórmula de integración por partes. La fórmula es ∫udv = uv - ∫vdu, donde u y v son funciones de la variable de integración y dv y du son sus diferenciales. El documento proporciona un ejemplo paso a paso de cómo aplicar esta fórmula para calcular la integral ∫xcosxdx.
Este documento presenta un examen final de cálculo III que consta de 6 preguntas sobre temas como continuidad de funciones, conjuntos de nivel, derivadas parciales, optimización con restricciones y cálculo de volúmenes mediante integrales triples. Incluye instrucciones para los estudiantes sobre el desarrollo del examen y una advertencia de que no está permitido el uso de calculadoras u otros elementos no autorizados.
El documento explica el método de sustitución o cambio de variable para calcular integrales. Este método involucra reemplazar las variables de la integral con nuevas variables para simplificar el cálculo. Se proveen ejemplos resueltos para ilustrar cómo aplicar este método a diferentes integrales.
Ecuaciones diferenciale por variables separadas y por homogeneasLeo Casba
Este documento describe dos métodos para resolver ecuaciones diferenciales: variables separadas y homogéneas. Explica cómo separar variables en una ecuación diferencial y cómo identificar y resolver ecuaciones homogéneas mediante la sustitución de variables y la integración. Incluye ejemplos ilustrativos de cada método.
Este documento presenta dos métodos para resolver ecuaciones diferenciales homogéneas de primer orden. El primer método implica sustituir y = xv y derivar, resultando en una ecuación separable en v y x. El segundo método implica sustituir y/x = u y derivar, también resultando en una ecuación separable. El documento provee ejemplos resueltos y demostraciones de propiedades de ecuaciones diferenciales homogéneas.
Este documento describe un método para calcular la integral de una función racional mediante la descomposición de la función en fracciones parciales. Explica cómo descomponer funciones racionales en sumas de fracciones simples que pueden integrarse usando técnicas conocidas. Además, muestra ejemplos detallados del cálculo de varias integrales de funciones racionales.
El documento presenta una introducción a la resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden, segundo orden y de orden superior. Explica métodos como separables, coeficientes indeterminados y variación de parámetros para resolver diferentes tipos de ecuaciones diferenciales. También aborda la resolución de ecuaciones diferenciales alrededor de puntos ordinarios usando series de Taylor.
1) Este documento describe diferentes tipos de ecuaciones diferenciales, incluyendo ecuaciones diferenciales exactas, lineales y de Bernoulli.
2) Las ecuaciones diferenciales exactas tienen una forma específica y se pueden resolver usando un factor integrante.
3) Las ecuaciones diferenciales lineales contienen variables separadas o un factor integrante dependiendo de si la función es igual a cero.
Este documento explica cómo calcular la función primitiva del producto de dos funciones utilizando la fórmula de integración por partes. La fórmula es ∫udv = uv - ∫vdu, donde u y v son funciones de la variable de integración y dv y du son sus diferenciales. El documento proporciona un ejemplo paso a paso de cómo aplicar esta fórmula para calcular la integral ∫xcosxdx.
Este documento presenta un examen final de cálculo III que consta de 6 preguntas sobre temas como continuidad de funciones, conjuntos de nivel, derivadas parciales, optimización con restricciones y cálculo de volúmenes mediante integrales triples. Incluye instrucciones para los estudiantes sobre el desarrollo del examen y una advertencia de que no está permitido el uso de calculadoras u otros elementos no autorizados.
El documento explica el método de sustitución o cambio de variable para calcular integrales. Este método involucra reemplazar las variables de la integral con nuevas variables para simplificar el cálculo. Se proveen ejemplos resueltos para ilustrar cómo aplicar este método a diferentes integrales.
Ecuaciones diferenciale por variables separadas y por homogeneasLeo Casba
Este documento describe dos métodos para resolver ecuaciones diferenciales: variables separadas y homogéneas. Explica cómo separar variables en una ecuación diferencial y cómo identificar y resolver ecuaciones homogéneas mediante la sustitución de variables y la integración. Incluye ejemplos ilustrativos de cada método.
Este documento explica el método de coeficientes constantes para resolver ecuaciones diferenciales. Presenta dos ejemplos de resolución de ecuaciones diferenciales de segundo y tercer orden utilizando este método. Explica los pasos que incluyen determinar la ecuación auxiliar, resolverla para obtener los valores de lambda, y usar la forma general de la solución dependiendo de si los valores de lambda son reales o complejos.
1. Se resuelve el límite de la función f(x) = 9 - 3x cuando x se acerca a 5, obteniendo como resultado -6.
2. Se resuelve el límite de la función f(x) = (2x^2 - x - 1)/(x - 1) cuando x se acerca a 1, obteniendo como resultado 3.
3. Se evalúa el límite de la función f(x) = x^n cuando h se acerca a 0, obteniendo como resultado n·2^(n-1).
Este documento presenta 80 ejercicios de ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden para que los estudiantes resuelvan. Incluye instrucciones como resolver solo un ejercicio por hoja mostrando los pasos, escanear o fotografiar la solución, e indicar el número de ejercicio resuelto. También pide comentar las soluciones de al menos dos compañeros.
Este documento presenta 17 ejemplos de aplicación de la técnica de integración por partes. En cada ejemplo se evalúa una integral indefinida mediante la fórmula de integración por partes, identificando las funciones u y dv. Algunos ejemplos requieren aplicar la técnica de forma repetida o realizar sustituciones para resolver integral intermediarias. El documento provee una guía detallada para aplicar correctamente la integración por partes en diferentes tipos de integrales indefinidas.
El documento presenta una ecuación diferencial de segundo orden no lineal de la forma d2y/dx2 + dy/dx + y = cos(x+y). Explica que es no lineal debido a que el argumento de la función coseno depende de ambas variables x e y.
Este documento presenta las instrucciones para un examen final de Cálculo III. Indica que no está permitido prestar o intercambiar implementos durante el examen, hacer preguntas sobre las respuestas o usar calculadoras. El examen consta de 6 preguntas sobre temas como funciones continuas, derivadas, puntos críticos, multiplicadores de Lagrange y volúmenes rotacionales.
Este documento presenta una introducción al cálculo integral. Explica que el cálculo integral es la operación inversa de la derivación y permite estudiar tasas de cambio. Incluye fórmulas para calcular diferenciales y realizar integración. El objetivo es que los estudiantes aprendan los conceptos centrales de función, límite, derivada e integral para resolver problemas de la vida cotidiana.
Este documento presenta fórmulas fundamentales de integración. Explica conceptos básicos como la integral como operación contraria a la derivada y la constante de integración. Luego, provee ejemplos detallados de cómo aplicar las fórmulas para calcular diferentes integrales definidas, incluyendo el manejo de casos especiales. Finalmente, lista 27 fórmulas básicas de integración.
El documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes constantes. Explica que este tipo de ecuaciones pueden ser homogéneas u no homogéneas. Luego, describe el método para encontrar las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales de segundo orden homogéneas constantes, el cual involucra hallar las raíces de la ecuación auxiliar asociada. Finalmente, presenta ejemplos para ilustrar cómo aplicar el método.
El documento presenta varios ejemplos resueltos de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Explica conceptos como el orden de una ecuación diferencial, la solución, y métodos para resolver ecuaciones diferenciales exactas y no exactas, incluyendo el uso de un factor integrante.
Este documento contiene 10 capítulos que resuelven ejercicios de ecuaciones diferenciales ordinarias utilizando métodos elementales. El índice general enumera los temas cubiertos, incluyendo métodos de resolución, ecuaciones lineales, teoría de comparación, ecuaciones periódicas, dependencia de parámetros y problemas de contorno. El primer capítulo presenta ejemplos resueltos utilizando métodos como separación de variables.
1) El documento describe varios métodos para identificar el tipo de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden cuando no se especifica. 2) Sugiere analizar si la ecuación es homogénea, exacta, lineal o de variables separables antes de intentar otros métodos. 3) Proporciona ejemplos resueltos que ilustran cómo aplicar estos análisis para identificar el tipo de ecuación diferencial y encontrar su solución.
Este documento presenta una introducción a las funciones reales de varias variables. Define funciones reales de n variables independientes y explica conceptos como el dominio de una función de varias variables. Luego, analiza casos específicos de funciones de dos y tres variables, y presenta ejemplos para ilustrar conceptos como el dominio y la gráfica de funciones reales de varias variables. Finalmente, introduce conceptos como límite y continuidad de funciones de varias variables y presenta ejemplos para aplicar estos conceptos.
Este documento presenta problemas resueltos relacionados con continuidad, diferenciabilidad, regla de la cadena y derivación implícita de funciones de varias variables. En el primer problema se verifica la continuidad y se calculan las derivadas parciales de una función. En el segundo problema se prueba que una función es diferenciable en un punto y continua. Los problemas subsiguientes tratan sobre aplicaciones de la regla de la cadena y cálculo de derivadas implícitas.
1) El documento presenta el método de integración por partes y explica cómo se puede utilizar cuando la integración de una función no es posible mediante otras fórmulas. 2) La integración por partes se basa en la integración de la fórmula para la derivada de un producto de dos funciones. 3) El documento provee un acrónimo LIATE y varios ejemplos para ilustrar cómo aplicar el método de integración por partes.
Este documento presenta las instrucciones para un examen final de cálculo III que consta de 6 preguntas. Se prohíbe el préstamo de materiales, hacer preguntas sobre las respuestas y el uso de calculadoras durante el examen. El examen vale un total de puntos y contiene preguntas.
El documento presenta la resolución de varias ecuaciones diferenciales homogéneas. Se verifica si cada ecuación es homogénea y, de ser así, se realiza la sustitución correspondiente para resolverla. Se obtienen las soluciones en función de logaritmos y/o integrales. Finalmente, se resuelve una ecuación no homogénea redefiniendo las variables para convertirla en una ecuación homogénea.
Ecuaciones lineales y reducibles a estas ejerciciosDERORI
El documento presenta 8 ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales de primer orden. Cada ejercicio comienza con la ecuación diferencial dada y luego se aplican métodos como factores integrantes, sustituciones y cambios de variables para reducirla a una forma lineal o separable que puede integrarse. Las soluciones finales se expresan en términos de funciones elementales como exponenciales, logaritmos y potencias.
Ejercicios resueltos integrales dobles y triples manoleter
Este documento presenta una serie de ejercicios resueltos sobre cálculo de integrales dobles en coordenadas rectangulares cartesianas. En total se presentan 7 problemas con sus respectivas soluciones, donde se calculan áreas, volúmenes y otras integrales dobles sobre diferentes regiones delimitadas por funciones.
El documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales, definiéndolas como ecuaciones que involucran una función desconocida y alguna de sus derivadas. Explica que pueden ser ordinarias o parciales dependiendo de si la función depende de una o más variables. Además, clasifica las ecuaciones diferenciales por orden y grado. Resuelve dos ejercicios como ejemplos para ilustrar los conceptos.
El documento define la diferencial de una función y explica que la diferencial de la variable independiente es igual a su incremento, mientras que la diferencial de la variable dependiente no es igual a su incremento. Además, presenta propiedades de la diferencial y métodos para calcular diferenciales de funciones. Finalmente, discute cómo usar diferenciales para aproximar incrementos y da ejemplos de aplicaciones.
Este documento trata sobre derivadas algebraicas. Explica conceptos como la derivada como la pendiente de la recta tangente a una función, y métodos para calcular derivadas como la diferenciación normal. Luego presenta reglas para derivar funciones algebraicas como potencias, sumas, productos y cocientes. Finalmente propone ejercicios para aplicar estas reglas de derivación.
Este documento explica el método de coeficientes constantes para resolver ecuaciones diferenciales. Presenta dos ejemplos de resolución de ecuaciones diferenciales de segundo y tercer orden utilizando este método. Explica los pasos que incluyen determinar la ecuación auxiliar, resolverla para obtener los valores de lambda, y usar la forma general de la solución dependiendo de si los valores de lambda son reales o complejos.
1. Se resuelve el límite de la función f(x) = 9 - 3x cuando x se acerca a 5, obteniendo como resultado -6.
2. Se resuelve el límite de la función f(x) = (2x^2 - x - 1)/(x - 1) cuando x se acerca a 1, obteniendo como resultado 3.
3. Se evalúa el límite de la función f(x) = x^n cuando h se acerca a 0, obteniendo como resultado n·2^(n-1).
Este documento presenta 80 ejercicios de ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden para que los estudiantes resuelvan. Incluye instrucciones como resolver solo un ejercicio por hoja mostrando los pasos, escanear o fotografiar la solución, e indicar el número de ejercicio resuelto. También pide comentar las soluciones de al menos dos compañeros.
Este documento presenta 17 ejemplos de aplicación de la técnica de integración por partes. En cada ejemplo se evalúa una integral indefinida mediante la fórmula de integración por partes, identificando las funciones u y dv. Algunos ejemplos requieren aplicar la técnica de forma repetida o realizar sustituciones para resolver integral intermediarias. El documento provee una guía detallada para aplicar correctamente la integración por partes en diferentes tipos de integrales indefinidas.
El documento presenta una ecuación diferencial de segundo orden no lineal de la forma d2y/dx2 + dy/dx + y = cos(x+y). Explica que es no lineal debido a que el argumento de la función coseno depende de ambas variables x e y.
Este documento presenta las instrucciones para un examen final de Cálculo III. Indica que no está permitido prestar o intercambiar implementos durante el examen, hacer preguntas sobre las respuestas o usar calculadoras. El examen consta de 6 preguntas sobre temas como funciones continuas, derivadas, puntos críticos, multiplicadores de Lagrange y volúmenes rotacionales.
Este documento presenta una introducción al cálculo integral. Explica que el cálculo integral es la operación inversa de la derivación y permite estudiar tasas de cambio. Incluye fórmulas para calcular diferenciales y realizar integración. El objetivo es que los estudiantes aprendan los conceptos centrales de función, límite, derivada e integral para resolver problemas de la vida cotidiana.
Este documento presenta fórmulas fundamentales de integración. Explica conceptos básicos como la integral como operación contraria a la derivada y la constante de integración. Luego, provee ejemplos detallados de cómo aplicar las fórmulas para calcular diferentes integrales definidas, incluyendo el manejo de casos especiales. Finalmente, lista 27 fórmulas básicas de integración.
El documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes constantes. Explica que este tipo de ecuaciones pueden ser homogéneas u no homogéneas. Luego, describe el método para encontrar las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales de segundo orden homogéneas constantes, el cual involucra hallar las raíces de la ecuación auxiliar asociada. Finalmente, presenta ejemplos para ilustrar cómo aplicar el método.
El documento presenta varios ejemplos resueltos de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Explica conceptos como el orden de una ecuación diferencial, la solución, y métodos para resolver ecuaciones diferenciales exactas y no exactas, incluyendo el uso de un factor integrante.
Este documento contiene 10 capítulos que resuelven ejercicios de ecuaciones diferenciales ordinarias utilizando métodos elementales. El índice general enumera los temas cubiertos, incluyendo métodos de resolución, ecuaciones lineales, teoría de comparación, ecuaciones periódicas, dependencia de parámetros y problemas de contorno. El primer capítulo presenta ejemplos resueltos utilizando métodos como separación de variables.
1) El documento describe varios métodos para identificar el tipo de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden cuando no se especifica. 2) Sugiere analizar si la ecuación es homogénea, exacta, lineal o de variables separables antes de intentar otros métodos. 3) Proporciona ejemplos resueltos que ilustran cómo aplicar estos análisis para identificar el tipo de ecuación diferencial y encontrar su solución.
Este documento presenta una introducción a las funciones reales de varias variables. Define funciones reales de n variables independientes y explica conceptos como el dominio de una función de varias variables. Luego, analiza casos específicos de funciones de dos y tres variables, y presenta ejemplos para ilustrar conceptos como el dominio y la gráfica de funciones reales de varias variables. Finalmente, introduce conceptos como límite y continuidad de funciones de varias variables y presenta ejemplos para aplicar estos conceptos.
Este documento presenta problemas resueltos relacionados con continuidad, diferenciabilidad, regla de la cadena y derivación implícita de funciones de varias variables. En el primer problema se verifica la continuidad y se calculan las derivadas parciales de una función. En el segundo problema se prueba que una función es diferenciable en un punto y continua. Los problemas subsiguientes tratan sobre aplicaciones de la regla de la cadena y cálculo de derivadas implícitas.
1) El documento presenta el método de integración por partes y explica cómo se puede utilizar cuando la integración de una función no es posible mediante otras fórmulas. 2) La integración por partes se basa en la integración de la fórmula para la derivada de un producto de dos funciones. 3) El documento provee un acrónimo LIATE y varios ejemplos para ilustrar cómo aplicar el método de integración por partes.
Este documento presenta las instrucciones para un examen final de cálculo III que consta de 6 preguntas. Se prohíbe el préstamo de materiales, hacer preguntas sobre las respuestas y el uso de calculadoras durante el examen. El examen vale un total de puntos y contiene preguntas.
El documento presenta la resolución de varias ecuaciones diferenciales homogéneas. Se verifica si cada ecuación es homogénea y, de ser así, se realiza la sustitución correspondiente para resolverla. Se obtienen las soluciones en función de logaritmos y/o integrales. Finalmente, se resuelve una ecuación no homogénea redefiniendo las variables para convertirla en una ecuación homogénea.
Ecuaciones lineales y reducibles a estas ejerciciosDERORI
El documento presenta 8 ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales de primer orden. Cada ejercicio comienza con la ecuación diferencial dada y luego se aplican métodos como factores integrantes, sustituciones y cambios de variables para reducirla a una forma lineal o separable que puede integrarse. Las soluciones finales se expresan en términos de funciones elementales como exponenciales, logaritmos y potencias.
Ejercicios resueltos integrales dobles y triples manoleter
Este documento presenta una serie de ejercicios resueltos sobre cálculo de integrales dobles en coordenadas rectangulares cartesianas. En total se presentan 7 problemas con sus respectivas soluciones, donde se calculan áreas, volúmenes y otras integrales dobles sobre diferentes regiones delimitadas por funciones.
El documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales, definiéndolas como ecuaciones que involucran una función desconocida y alguna de sus derivadas. Explica que pueden ser ordinarias o parciales dependiendo de si la función depende de una o más variables. Además, clasifica las ecuaciones diferenciales por orden y grado. Resuelve dos ejercicios como ejemplos para ilustrar los conceptos.
El documento define la diferencial de una función y explica que la diferencial de la variable independiente es igual a su incremento, mientras que la diferencial de la variable dependiente no es igual a su incremento. Además, presenta propiedades de la diferencial y métodos para calcular diferenciales de funciones. Finalmente, discute cómo usar diferenciales para aproximar incrementos y da ejemplos de aplicaciones.
Este documento trata sobre derivadas algebraicas. Explica conceptos como la derivada como la pendiente de la recta tangente a una función, y métodos para calcular derivadas como la diferenciación normal. Luego presenta reglas para derivar funciones algebraicas como potencias, sumas, productos y cocientes. Finalmente propone ejercicios para aplicar estas reglas de derivación.
Este documento trata sobre el tema de las derivadas en cálculo diferencial. Explica la definición de derivada como el límite de la razón entre el incremento de la función y el incremento de la variable cuando este último tiende a cero. También describe la simbología utilizada para representar derivadas y presenta la regla de los cuatro pasos para calcular derivadas. Por último, introduce conceptos como la regla de la cadena y funciones implícitas.
El documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales de primer orden, incluyendo las ecuaciones diferenciales por variables separables, homogéneas, exactas y lineales. Explica los conceptos básicos de cada tipo de ecuación diferencial así como métodos para resolverlas, ilustrando con ejemplos.
El documento trata sobre ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Explica que una ecuación diferencial ordinaria de primer orden con condición inicial se expresa de la forma dy/dx=f(x,y), y(x0)=y0. También describe las ecuaciones de variables separables, que pueden resolverse mediante integración directa. Finalmente, menciona algunos métodos para resolver diferentes tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden.
Este documento trata sobre ecuaciones diferenciales de primer orden. Explica que una ecuación diferencial de primer orden con condición inicial se expresa de una forma determinada. También describe el método de variables separables para resolver ecuaciones diferenciales donde es posible separar las variables. Finalmente, menciona algunos tipos de ecuaciones diferenciales que se pueden convertir fácilmente en ecuaciones de variables separables.
El documento explica el método de integración por partes, que permite calcular integrales de productos descomponiéndolas en la suma de dos integrales. Presenta la fórmula general y resuelve varios ejemplos como x cos(x)dx, x2exdx y arctan(x)dx. También introduce métodos alternativos como la integración tabular y por fracciones parciales para integrales más complejas.
(1) La ecuación de Cauchy-Euler permite escribir ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes variables como ecuaciones con coeficientes constantes mediante un cambio de variable. (2) El método general para resolverla implica probar soluciones de la forma xm y determinar los valores de m. (3) Esto conduce a una ecuación auxiliar cuya resolución proporciona los posibles valores de m y las soluciones asociadas.
El documento presenta conceptos básicos sobre límites de funciones. Introduce la definición formal de límite y algunos ejemplos ilustrativos. Luego establece propiedades algebraicas para calcular límites de sumas, diferencias, productos, cocientes y potencias de funciones. Finalmente, explica cómo calcular límites de funciones polinómicas y racionales.
El documento contiene 5 problemas de cálculo de integrales múltiples. En el primer problema se pide calcular la integral doble sobre una región limitada por funciones y calcular una de las formas posibles. En el segundo problema se pide calcular la integral doble sobre una región limitada por parábolas y calcular una de las formas posibles. En el tercer problema se pide calcular la integral doble sobre una región rectangular cambiando a nuevas variables. En el cuarto problema se pide calcular la integral triple sobre una región limitada por planos. En el quinto problema
Este documento presenta conceptos básicos sobre ecuaciones diferenciales. Explica que una ecuación diferencial contiene una variable desconocida y sus derivadas. Luego clasifica las ecuaciones diferenciales según si son ordinarias o parciales, su orden, si son lineales o no, y presenta ejemplos. También explica cómo resolver ecuaciones diferenciales y encontrar sus soluciones generales y particulares.
1) La ecuación de Cauchy-Euler permite escribir ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes variables como ecuaciones con coeficientes constantes mediante un cambio de variable. 2) Se resuelve probando soluciones de la forma xm y determinando los valores de m. 3) Esto conduce a una ecuación auxiliar cuyas raíces dan los exponentes de la solución general.
Ejercicios Resueltos de Integrales (Cálculo Diferencial e Integral UNAB)Mauricio Vargas 帕夏
El documento presenta la solución de varios problemas de cálculo integral resueltos mediante diferentes métodos como sustitución, integración por partes y trigonométricas. En menos de 3 oraciones resume los principales puntos tratados: la resolución de 8 integrales indefinidas utilizando sustitución y 5 integrales utilizando integración por partes con diferentes funciones integrandas.
Este documento introduce conceptos básicos de álgebra como expresiones algebraicas, términos, valor numérico de expresiones, suma, resta, multiplicación y división de expresiones algebraicas. También explica productos notables y métodos de factorización como factor común, inspección, diferencia de cuadrados y suma/resta de cubos. El objetivo es proporcionar una introducción a estas ideas fundamentales del álgebra.
2.4 ecuaciones, funciones e inecuaciones cuadráticas (mayo 0Raul Noguera Morillo
Este documento presenta ejemplos para ilustrar conceptos relacionados con ecuaciones y funciones cuadráticas. Introduce las ecuaciones cuadráticas y cómo resolverlas mediante factoreo o la fórmula cuadrática. Luego, define funciones cuadráticas y muestra su representación gráfica como parábolas, analizando propiedades como dominio, rango, ceros y extremos. Finalmente, analiza un ejemplo de una función cuadrática que modela la concentración de dióxido de carbono a lo largo del día.
El documento presenta métodos para resolver ecuaciones diferenciales, incluyendo:
1) Variables separables, donde la ecuación se puede escribir como una integral separable.
2) Ecuaciones homogéneas, que pueden transformarse en variables separables mediante sustituciones.
3) Ecuaciones de coeficientes lineales, que también pueden resolverse mediante métodos como variables separables u homogeneidad.
Se proveen ejemplos y ejercicios resueltos de cada método.
1) El documento presenta métodos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias, incluyendo variables separables y ecuaciones homogéneas. 2) Se definen ecuaciones de variables separables y se explica cómo separar las variables para integrar la ecuación. 3) Las ecuaciones homogéneas pueden transformarse en ecuaciones de variables separables mediante sustituciones adecuadas.
Este documento presenta la resolución de 10 ejercicios de cálculo de integrales definidas. En el primer ejercicio se calcula la integral π/20 x2senxdx. En el segundo ejercicio se calcula la integral π0 e2xcosxdx. El tercer ejercicio calcula la integral π/20 sen3xcosx dx.
El documento describe cómo integrar funciones racionales mediante la separación en fracciones simples. Primero se divide la función racional en términos que puedan integrarse fácilmente. Luego, cada fracción simple se descompone en términos con denominadores que son factores del polinomio denominador original. Finalmente, cada fracción resultante se integra usando cambios de variable y relaciones entre integrales definidas.
1. dy lim
y
dx Δ x
→ x
45
CAPÍTULO 3
LA DERIVADA
3.1 DEFINICIÓN (Áreas 1, 2 y 3)
En el primer capítulo se estudió el concepto de límite y en el segundo la idea de incre-mentos.
Uniendo estos dos conceptos se llega a la parte medular del contenido de Cálculo dife-rencial,
que es la derivada.
Para representar la derivada existen tres formas, la primera se llama notación de Leibnitz
dy
dx
y es , que se lee “la derivada de y con respecto a x” , aunque abreviadamente suele decirse
únicamente “la derivada de y” ; la segunda es la notación de Lagrange que es y ' ; y finalmente
la tercera es la notación debida a Cauchy que es x . La que se empleará en este curso es la D y
primera.
Se define la derivada como el límite, cuando Δx tiende a cero, del cociente de los incre-mentos
Δy entre Δx , que en notación matemática se escribe como
0
Δ
=
Δ
2. La derivada
Para explicar su significado, se empleará un ejemplo numérico. Sea y = x2 . Obteniendo
el incremento Δy conforme lo visto en el capítulo anterior se tiene que
y = x2
( )2 y + Δy = x + Δx
( )2 Δy = x + Δx − y
Δy = (x + Δx)2 − x2
Δy = x2 + 2xΔx + Δx2 − x2
46
(3.1)
Δy = 2xΔx + Δx2
Esta fórmula es la que se empleará en las siguiente tablas para obtener el valor del incre-mento
Δy de la variable y , en donde debe tomarse en cuenta que x representa el valor inicial.
A continuación se elaborarán varias tablas, como se hizo en el capítulo I al explicar el
concepto de límite, solamente que ahora contendrán tres filas para poder ver hacia dónde se acer-ca
el cociente cuando el incremento de x tiende a cero. Dando un valor inicial arbitrario a
y
x
Δ
Δ
la variable x , por ejemplo x = 4 , cuando el incremento de x es Δx = 0.1, el incremento Δy
se obtiene empleando la fórmula (3.1) haciendo
Δy = 2(4)(0.1) + (0.1)2 = 0.81
de la misma forma para cuando Δx = 0.01
3. La derivada
Δy = 2(4)(0.01) + (0.01)2 = 0.0801
o para Δx = 0.001, cuyos valores se concentran en la siguiente tabla:
Δx 0.1 0.01 0.001 0.000000000001
47
etc.
Δy 0.81 0.0801 0.008001 0.000000000008000000000001
Δ
y
8.1 8.01 8.001 8.000000000001
Δ
x
Se ve que conforme Δx tiende a cero, por su parte el cociente se aproxima a 8. y
Δ
Δ
x
lim y
Δ → x
Entonces , para el valor inicial de .
0
8
x
Δ
=
Δ
x = 4
Repitiendo el proceso con un nuevo valor inicial, por ejemplo para x = 5 :
Δx 0.1 0.01 0.001 0.000000000001
etc..
Δy 1.01 0.1001 0.010001 0.000000000010000000000001
Δ
y
10.1 10.01 10.001 10.000000000001
Δ
x
Se ve que conforme Δx tiende a cero, por su parte el cociente se aproxima a 10. y
Δ
Δ
x
lim y
Δ → x
Entonces , para el valor inicial de .
0
10
x
Δ
=
Δ
x = 5
4. La derivada
Repitiendo el proceso con otro valor inicial, por ejemplo para x = 7 :
Δx 0.1 0.01 0.001 0.00000000001
lim y
Δ → x
lim y x
Δ → x
48
etc.
Δy 1.41 0.1401 0.014001 0.0000000001400000000001
Δ
y
14.1 14.01 14.001 14.00000000001
Δ
x
Se ve que conforme Δx tiende a cero, por su parte el cociente se aproxima a 14. y
Δ
Δ
x
lim y
Δ → x
Entonces , para el valor inicial de .
0
14
x
Δ
=
Δ
x = 7
Se pueden sintetizar los resultados de las anteriores tablas de la manera siguiente:
Para x = 4:
lim y
Δ → 0
x
8
x
Δ
=
Δ
Para x = 5:
0
10
x
Δ
=
Δ
Para x = 7:
lim y
Δ → 0
x
14
x
Δ
=
Δ
En cada caso existe una regularidad: el cociente de los incrementos Δy entre Δx siem-pre
tiende al doble del valor inicial de x , es decir, el límite siempre es el doble del valor de x , lo
cual puede escribirse en términos genéricos como
0
2
x
Δ
=
Δ
y como este límite es la derivada de la función en cuestión (en este caso, y = x2 ), entonces
5. La derivada
dy lim y
dx Δ → x
Δ y x Δ x + Δ
lim lim x
Δ → Δ x Δ → Δ
x
x +
= =
49
dy =
2x
dx
En resumen: la derivada de la función y = x2 es 2x .
3.2 DERIVADA POR INCREMENTOS (Áreas 1, 2 y 3)
Dado que por definición, , otra forma de encontrar la derivada de una
x 0
Δ
=
Δ
función es construyendo el cociente de los incrementos Δy entre Δx y calculando su límite
cuando Δx tiende a cero, en donde el incremento Δy se obtiene aplicando la técnica estudiada
en el capítulo anterior relativo a incrementos.
Para el caso particular de la función y = x2 del ejemplo tomado en el apartado 3.1, se
calculó que el incremento de y es Δy = 2xΔx + Δx2 (ver página 46), de manera que aplicando
la definición de derivada se llega a que
2
=
0 0
2
x x
2 (0) (0)2 0
0 0
Como da una forma indefinida, se aplica la técnica vista en el primer capítulo referente a
límites, es decir, se debe factorizar, simplificar y volver a calcular el límite:
6. La derivada
Δ y Δ x x + Δ
x lim lim
Δ → Δ x Δ → Δ
x
lim x x
Δ →
= + Δ
50
( )
=
0 0
2
x x
( 2
)
0
x
Δ
lim y =
2
x
Δ x
→ 0
Δ
x
y como ese límite es la derivada, finalmente se tiene que
dy =
2x
dx
Ejemplo 1: Calcular, por incrementos, la derivada de la función y = 3x2 + x − 2 .
Solución: Primero debe obtenerse el incremento Δy :
y = 3x2 + x − 2
( )2 ( ) y + Δy = 3 x + Δx + x + Δx − 2
( )2 ( ) Δy = 3 x + Δx + x + Δx − 2 − y
Δy = 3( x2 + 2xΔx + Δx2 ) + x + Δx − 2 − 3x2 − x + 2
Δy = 3x2 + 6xΔx + 3Δx2 + x + Δx − 2 − 3x2 − x + 2
Δy = 6xΔx + 3Δx2 + Δx
entonces
7. La derivada
Δ y x Δ x + Δ x + Δ
lim lim x
Δ → Δ x Δ → Δ
x
6 x 0 + 3 0 2 +
0 0
= =
Δ + Δ +=
+ Δ +
lim lim x x
Δ → x Δ →
Δ = −
51
2
=
0 0
6 3
x x
( ) ( ) ( )
( )
0 0
Como se obtiene una forma indeterminada, hay que factorizar, simplificar y volver a calcular
el límite en la fracción simplificada:
( ) ( )
x x x
6 3 1
Δ
0 0
6 3 1
x x
= 6x + 3(0) + 1
= 6x + 1
Por lo tanto
dy = 6x +
1
dx
Ejemplo 2: Calcular, por incrementos, la derivada de
y 1
x
=
Solución: Obteniendo primero el incremento Δy , conforme a las reglas vistas en el capítulo 2:
y y 1
x x
+ Δ =
+ Δ
y 1 y
x + Δ
x
8. La derivada
y 1 1
Δ = −
x x x
+ Δ
( )
( )
x − x + Δ
x
y x
lim x
Δ → x x x x
lim
Δ → x x x
1
−
52
y
x x x
Δ =
+ Δ
2
−Δ
x x x
Δ =
+ Δ
Entonces
2
x 0 x 0
x
−Δ
Δ lim y =
lim x + x Δ x
Δ → Δ x Δ → Δ
x
−Δ
x 0 ( 2 )
=
Δ + Δ
0 2
1
x
−
=
+ Δ
2 ( )
x x 0
=
+
1
x
2
−
=
Por lo tanto
dy −
=
1
dx x
2
9. La derivada
y x
x x x y
Δ = −
x x x
x x x
x x x x x x
2 + 2 Δ 3 − 1 − 2 3 + 3 Δ −
1
x x x
2
− Δ
x x x
Δ −Δ
lim y lim x
Δ → x Δ → x x x x
−
=
⎡⎣ + − ⎤⎦ −
53
Ejemplo 3: Obtener por incrementos la derivada de
2
3 1
x
=
−
Solución: Obteniendo primero el incremento Δy , conforme a las reglas vistas en el capítulo 2:
( )
( )
2 + Δ
2
3 1 3 1
x x x
+ Δ − −
2 + 2 Δ
2
3 3 1 3 1
= −
+ Δ − −
( ) ( ) ( )
( 3 3 1 )( 3 1
)
=
+ Δ − −
x
( 3 3 1 )( 3 1
)
=
+ Δ − −
Entonces
− Δ Δ
( )( )
0 0
2
3 3 1 3 1
x x
x y
Δ y x + Δ x − x −
lim =
lim
Δ → Δ x Δ → Δ x Δ
x
2
=
0 0 ( )( )
x Δ x Δ 3 + 3 Δ − 1 3 −
1
2
( ) ( )
3x 3 0 1 3x 1
2
dy
dx x
−
( 3 1
)2
=
−
10. La derivada
54
EJERCICIO 8 (Áreas 1, 2 y 3)
Obtener la derivada de las siguiente funciones por incrementos:
1) y = 4x2 2) y = 5x2 + x
3) y = x2 − 7x − 8 4) y = 6x − 9
5) y = 4 − 3x 6) y = 4x2 + 6x − 11
7) y = 8x3 8) y = x3 − x2
9) y = 2x3 + 7x2 − x 10) y = x3 − 8x + 9
y 1
11) 12)
x
=
1
y x
x
=
−
y 1
13) 14) 2
x
=
2
y x
x
3 2
=
−
y x
4
8
15) 16) 2
x
=
−
y x
2 −
7
3 x
6
=
+
17) y = x 18) y = x2 + x
19) y = 2x − 11 20) y = 5x2 + 6x − 7