El documento describe el uso de las ecuaciones de Lagrange para modelar sistemas mecánicos. Explica que la mecánica de Lagrange es una reformulación de la mecánica newtoniana que utiliza energías escalares en lugar de fuerzas vectoriales. Aplica las ecuaciones de Lagrange a varios ejemplos como el péndulo simple, un péndulo con resorte y un péndulo colgado de un vagón en movimiento para derivar las ecuaciones diferenciales de movimiento.

1. ARTURO MACEDO SILVA ANALISIS VIBRACIONAL
1.3.1 ECUACIONES DE LAGRANGE
Nuestro objetivo es aplicar las ecuaciones de Lagrange para obtener las
ecuaciones diferenciales de sistemas mecánicos.
La Mecánica de Lagrange o lagrangiana es una reformulación de la mecánica
newtoniana, más flexible y a menudo más útil para resolver problemas.
La mecánica de Newton trata con fuerzas que son magnitudes vectoriales,
mientras que la mecánica de Lagrange, trata con energías cinéticas y
potenciales que son cantidades escalares.
La aplicación de la mecánica de Lagrange da lugar a n ecuaciones
diferenciales correspondientes a n coordenadas generalizadas. El símbolo 𝑞𝑖
representa una coordenada generalizada, por ejemplo 𝑥 , 𝜃, 𝜑, 𝑒𝑡𝑐
La potencia y sencillez de la formulación de Lagrange se basa en el
Lagrangiano 𝐿 = 𝑇 − 𝑈 siendo 𝑇 la energía cinética y 𝑈 la energía potencial
para una coordenada generalizada 𝑞𝑖
La ecuación de Lagrange para sistemas conservativos es:
𝑑
𝑑𝑡
(
𝜕𝐿
𝜕𝑞̇ 𝑖
) −
𝜕𝐿
𝜕𝑞𝑖
= 0
𝑖 = 1,2,3 …..
Ejemplo
Péndulo simple.
Supongamos que un péndulo simple de masa m y longitud 𝑙, se encuentra
desviado de la posición de equilibrio en un ángulo 𝜃 y lleva una velocidad de
𝑣 = 𝑙 (
𝑑𝜃
𝑑𝑡
), tangente a la trayectoria circular.
La energía cinética: 𝑇 = 1
2⁄ 𝑚𝑣2
= 1
2⁄ 𝑚𝑙2
(
𝑑𝜃
𝑑𝑡
)
2
Estableciendo el nivel cero de la energía potencial en el punto de suspensión,
la energía potencial de la partícula es: 𝑈 = 𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃, el Lagrangiano
𝐿 = 𝑇 − 𝑈 =
1
2
𝑚𝑙2
(𝜃̇)
2
− 𝑚𝑔𝑙𝑐𝑜𝑠𝜃

2. ARTURO MACEDO SILVA ANALISIS VIBRACIONAL
La ecuación de movimiento.
enada generalizada 𝜃
𝑑
𝑑𝑡
(𝑚𝑙2
𝜃̇) − 𝑚𝑔𝑙𝑠𝑒𝑛𝜃 = 0
𝑑2
𝜃
𝑑𝑡2
+
𝑔
𝑙
𝑠𝑒𝑛𝜃 = 0
𝜃̈ +
𝑔
𝑙
𝑠𝑒𝑛𝜃 = 0
Ejemplo
Considere el péndulo con resorte que se muestra en la figura y supóngase
que la fuerza del resorte es cero cuando el péndulo está vertical, o sea
𝜃 = 0 , un grado de libertad y la coordenada generalizada es 𝜃
𝑇 = 1
2⁄ 𝑚(𝑙𝜃̇)
2
𝑈 = 𝑚𝑔𝑙(1 − cos 𝜃) + 1
2⁄ 𝑘(𝑎 sin 𝜃)2
𝑘
𝑚
𝜃
𝜃
𝑙
𝑣
𝑚
𝑙𝑎
𝑚𝑔

3. ARTURO MACEDO SILVA ANALISIS VIBRACIONAL
El lagrangiano es
𝐿 = 𝑇 − 𝑈 = 1
2⁄ 𝑚(𝑙𝜃̇)
2
− 𝑚𝑔𝑙(1 − cos 𝜃) − 1
2⁄ 𝑘𝑎2
𝑠𝑒𝑛2
𝜃
Por tanto, la ecuación de Lagrange
𝑑
𝑑𝑡
(
𝜕𝐿
𝜕𝜃̇ 𝑖
) −
𝜕𝐿
𝜕𝜃𝑖
= 0
𝑑
𝑑𝑡
(𝑚𝑙2
𝜃̇) + 𝑚𝑔𝑙 sin 𝜃 + 𝑘𝑎2
sin 𝜃 cos 𝜃 = 0
𝜃̈ +
𝑔
𝑙
sin 𝜃 +
𝑘𝑎2
𝑚𝑙2
sin 𝜃 cos 𝜃 = 0
La ecuación diferencial es:
𝜃̈ + (
𝑔
𝑙
+
𝑘𝑎2
𝑚𝑙2
) 𝜃 = 0
𝜔 𝑛 = √
𝑔
𝑙
+
𝑘𝑎2
𝑚𝑙2
𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔
Este ejemplo podemos resolver con las leyes de Newton.
𝐼𝜃̈ = −𝑚𝑔𝑙 sin 𝜃 − (𝑘𝑎 sin 𝜃)(𝑎 cos 𝜃)
𝐼 = 𝑚𝑙2
𝑚𝑙2
𝜃̈ + 𝑚𝑔𝑙 sin 𝜃 + 𝑘𝑎2
sin 𝜃 cos 𝜃 = 0
sin 𝜃 = 𝜃 ; cos 𝜃 = 1
𝑚𝑙2
𝜃̈ + (𝑚𝑔𝑙 + 𝑘𝑎2)𝜃 = 0
𝜃̈ + (
𝑔
𝑙
+
𝑘𝑎2
𝑚𝑙2
) 𝜃 = 0
𝜔 𝑛 = √
𝑔
𝑙
+
𝑘𝑎2
𝑚𝑙2
𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔

4. ARTURO MACEDO SILVA ANALISIS VIBRACIONAL
Ejemplo
Péndulo simple que cuelga de un vagón que acelera.
Un vagón se mueve con aceleración constante 𝑎, del techo del vagón cuelga
un péndulo simple de masa 𝑚 y longitud 𝑙. Vamos aplicar las ecuaciones de
Lagrange para determinar la ecuación diferencial del movimiento del
péndulo.
Vamos a situar a nuestro sistema de referencia inercial a la altura del techo
del cual pende la masa. Con respecto a este sistema inercial, el tren se mueve
con velocidad a =const.
Tomaremos como coordenada generalizada 𝑞 = 𝜃
Las coordenadas inerciales cartesianas de la masa
𝑥 = 1
2⁄ 𝑎𝑡2
+ 𝑙𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑦 = −𝑙𝑐𝑜𝑠𝜃
Donde hemos tomado como instante inicial 𝑡0 = 0, como posición inicial del
punto 0′
del tren 𝑥0 = 0, y como velocidad inicial del tren 𝑣0 = 0
Las velocidades inerciales cartesianas son:
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝑎𝑡 + 𝑙𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑑𝜃
𝑑𝑡
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 𝑙𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑑𝜃
𝑑𝑡

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Observemos que las relaciones entre coordenadas y velocidades cartesianas
y coordenadas y velocidades generalizadas contienen al tiempo t. El
lagrangiano es:
𝐿 = 𝑇 − 𝑈 = 1
2⁄ 𝑚(𝑥̇2
+ 𝑦̇2) − 𝑚𝑔𝑦 =
= 1
2⁄ 𝑚(𝑎𝑡 + 𝑙𝜃̇ 𝑐𝑜𝑠𝜃)
2
+ 1
2⁄ 𝑚𝜃̇2
𝑙2
𝑠𝑒𝑛2
𝜃 + 𝑚𝑔𝑙𝑐𝑜𝑠𝜃 =
= 1
2⁄ 𝑚𝑎2
𝑡2
+ 1
2⁄ 𝑚𝑙2
𝜃̇2
+ 𝑚𝑎𝑡𝑙𝜃̇ 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑚𝑔𝑙𝑐𝑜𝑠𝜃
La ecuación de Lagrange es:
𝜕𝐿
𝜕𝜃
−
𝑑
𝑑𝑡
(
𝜕𝐿
𝜕𝜃̇
) = −𝑚𝑎𝑡𝑙𝜃̇ 𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝑚𝑔𝑙𝑠𝑒𝑛𝜃 −
𝑑
𝑑𝑡
(𝑚𝑙2
𝜃̇ + 𝑚𝑎𝑡𝑙𝑐𝑜𝑠𝜃)
= −𝑚𝑎𝑡𝑙𝜃̇ 𝑠𝑖𝑛𝜃 − 𝑚𝑔𝑙𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝑚𝑙2
𝜃̈ − 𝑚𝑎𝑙𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑚𝑎𝑡𝑙𝜃̇ 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 0
Simplificando, obtenemos la ecuación diferencial:
𝜃̈ +
𝑎
𝑙
𝑐𝑜𝑠𝜃 +
𝑔
𝑙
𝑠𝑒𝑛𝜃 = 0
Esta ecuación es como la del péndulo simple, salvo por la presencia del
segundo término. Este término es el debido a la aceleración del tren (en
mecánica newtoniana hablaríamos de que es una fuerza inercial).
Obviamente, cuando el tren no está acelerado, a = 0, y se recupera la
x
y
𝑎
O
𝑥′
𝑂′
𝑦′

6. ARTURO MACEDO SILVA ANALISIS VIBRACIONAL
ecuación del péndulo simple normal (esta ecuación sería válida también,
aunque el tren tuviera una velocidad constante, ya que el tren sería un
sistema inercial y el movimiento sería del mismo tipo que el que se da en el
sistema inercial exterior).
Ejemplo
Péndulo móvil.
Lo primero que podemos distinguir es que se trata de un sistema de dos
grados de libertad, 𝑥, 𝜃
Las coordenadas generalizadas son 𝑥, 𝜃
La energía cinética del sistema 𝑌 = 1
2⁄ 𝑀𝑣1
2
+ 1
2⁄ 𝑚𝑣2
2
Donde 𝑣1 = 𝑥̇ y 𝑣2 es la velocidad absoluta de la masa 𝑚.
𝑣2
2
= (𝑥̇ + 𝑙𝑐𝑜𝑠𝜃𝜃̇)
2
+ (𝑙𝑠𝑒𝑛𝜃𝜃̇)
2
= 𝑥̇2
+ 𝑙2
𝜃̇2
+ 2𝑥̇ 𝑙𝑐𝑜𝑠𝜃𝜃̇
Por lo tanto, la energía cinética es:
𝑇 = 1
2⁄ 𝑀𝑥̇2
+ 1
2⁄ 𝑚(𝑥̇2
+ 𝑙2
𝜃̇2
+ 2𝑥̇ 𝑙𝑐𝑜𝑠𝜃𝜃̇)
La energía potencial del sistema es:
M
𝜃
m
𝑚𝑔
𝑙
𝑘
𝑥

7. ARTURO MACEDO SILVA ANALISIS VIBRACIONAL
𝑈 = 𝑚𝑔𝑙(1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃) + 1
2⁄ 𝑘𝑥2
Donde la energía potencial cuando 𝑥 = 0 𝑦 𝜃 = 0 se toma como cero.
El Lagrangiano 𝐿 = 𝑇 − 𝑈
𝐿 = 1
2⁄ 𝑀𝑥̇2
+ 1
2⁄ 𝑚(𝑥̇2
+ 𝑙2
𝜃̇2
+ 2𝑥̇ 𝑙𝑐𝑜𝑠𝜃𝜃̇) − 𝑚𝑔𝑙(1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃) − 1
2⁄ 𝑘𝑥2
Por lo tanto, las ecuaciones de Lagrange
𝑑
𝑑𝑡
(
𝜕𝐿
𝜕𝑥̇
) −
𝜕𝐿
𝜕𝑥
= 0
𝑑
𝑑𝑡
(
𝜕𝐿
𝜕𝜃̇
) −
𝜕𝐿
𝜕𝜃
= 0
Se hacen
𝑑
𝑑𝑡
(𝑀𝑥̇ + 𝑚𝑥̇ + 𝑚𝑙𝑐𝑜𝑠𝜃𝜃̇) + 𝑘𝑥 = 0
𝑑
𝑑𝑡
(𝑚𝑙2
𝜃̇ + 𝑚𝑥̇ 𝑙𝑐𝑜𝑠𝜃) + 𝑚𝑥̇ 𝑙𝑠𝑒𝑛𝜃𝜃̇ + 𝑚𝑔𝑙𝑠𝑒𝑛𝜃 = 0
O bien
𝑥̈ +
𝑚
𝑀 + 𝑚
𝑙𝑐𝑜𝑠𝜃𝜃̈ −
𝑚
𝑀 + 𝑚
𝑙𝑠𝑒𝑛𝜃𝜃̇2
+
𝑘
𝑀 + 𝑚
𝑥 = 0𝑟
𝜃̈ +
1
𝑙
𝑥̈ 𝑐𝑜𝑠𝜃 +
𝑔
𝑙
𝑠𝑒𝑛𝜃 = 0
Las dos últimas ecuaciones son las ecuaciones del movimiento para el
sistema. Las soluciones de ecuaciones para sistemas con dos grados de
libertad serán desarrolladas en el capítulo correspondiente.

8. ARTURO MACEDO SILVA ANALISIS VIBRACIONAL
1.3.2 FUNCIÓN DE DISIPACIÓN DE RAYLEIGH.
En los sistemas no conservativos (sistemas amortiguados, por ejemplo) la
energía se disipa. Rayleigh desarrolló una función de disipación 𝐷 de la que
puede derivarse la fuerza del amortiguamiento. Suponiendo que el sistema
involucra 𝑟 amortiguadores viscosos, la función de disipación de Rayleigh se
define mediante
𝐷 = 1
2⁄ (𝑐1 𝛿̇1
2
+ 𝑐2 𝛿̇2
2
+ ⋯ + 𝑏𝑟𝛿̇ 𝑟
2
)
Donde 𝑏𝑖 es el coeficiente del 𝑖-ésimo amortiguador viscoso y 𝛿𝑖 es la
diferencia de velocidad a través de 𝑖-ésimo amortiguador viscoso. (𝛿𝑖 puede
expresarse como función de las velocidades generalizadas 𝑞̇ 𝑖)
Mediante el uso de la función de disipación de Rayleigh, las ecuaciones de
Lagrange para los sistemas no conservativos se convierten en:
𝑑
𝑑𝑡
(
𝜕𝐿
𝜕𝑞̇ 𝑖
) −
𝜕𝐿
𝜕𝑞𝑖
+
𝜕𝐷
𝜕𝑞̇ 𝑖
= 0 (𝑖 = 1,2, … 𝑛)
Ejemplo.
En el sistema masa-resorte-amortiguador que se muestra en la figura, la
única coordenada generalizada es el desplazamiento 𝑥, el cual se mide a
partir de su posición de equilibrio.
////////////////////////
𝑥 ( 𝑡 )m
kc

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La energía cinética T del sistema es:
𝑇 = 1
2⁄ 𝑚𝑥̇2
La energía potencial U es
𝑈 = 1
2⁄ 𝑘𝑥2
Donde la energía potencial en la posición de equilibrio se toma como cero.
El Lagrangiano 𝐿 = 𝑇 − 𝑈 = 1
2⁄ 𝑚𝑥̇2
− 1
2⁄ 𝑘𝑥2
La función disipación 𝐷 de Rayleigh 𝐷 = 1
2⁄ 𝑐𝑥̇2
Y al sustituir en la ecuación de Lagrange para sistemas NO conservativos
𝑑
𝑑𝑡
(
𝜕𝐿
𝜕𝑥̇
) −
𝜕𝐿
𝜕𝑥
+
𝜕𝐷
𝜕𝑥̇
= 0
Luego de desarrollar esta ecuación obtenemos la ecuación diferencial para
sistema masa-resorte-amortiguador
𝒎𝒙̈ + 𝒄𝒙̇ + 𝒌𝒙 = 𝟎
Las ecuaciones de Lagrange para sistemas con fuerzas de entrada, es decir,
un sistema con una fuerza exterior de excitación 𝑓𝑡
𝑑
𝑑𝑡
(
𝜕𝐿
𝜕𝑞̇ 𝑖
) −
𝜕𝐿
𝜕𝑞𝑖
+
𝜕𝐷
𝜕𝑞̇ 𝑖
= 𝑄𝑖 𝑖 = 1,2, … 𝑛
////////////////////////
m
kc
𝑓(𝑡)

10. ARTURO MACEDO SILVA ANALISIS VIBRACIONAL
Donde 𝑄𝑖 es la fuerza de entrada correspondiente a la i-ésima
coordenada generalizada.
Esta ecuación nos permite definir la ecuación diferencial para sistemas masa-
resorte-amortiguador forzadas las cuales generan ecuaciones diferenciales
no homogéneas, estos sistemas con vibración forzada y amortiguada las
veremos en otro capítulo.
𝒎𝒙̈ + 𝒄𝒙̇ + 𝒌𝒙 = 𝒇(𝒕)
Donde 𝑓(𝑡) = Q
Ejemplo
Ecuación diferencial para un sistema que se traslada y rota
Elegimos la coordenada generalizada: 𝜃
𝑀(𝑡) es el torque exterior.
𝑀(𝑡) = 𝑄
Para obtener la energía potencial, se observa que se tiene un resorte lineal.
Por tanto, se aplica 𝑈 = 1
2⁄ 𝑘𝑥2
y conocemos que 𝑥 = 𝑟𝜃
𝑈 = 1
2⁄ 𝑘𝑥2
= 1
2⁄ 𝑘(𝑟𝜃)2
= 1
2⁄ 𝑘𝑟2
𝜃2
La rigidez equivalente 𝑘 𝑒𝑞 = 𝑘𝑟2
Con el fin de determinar la energía cinética del sistema recurrimos a la
ecuación de la energía total del disco
G
𝑟 𝑥
𝜃
𝑚, 𝐼 𝐺
𝑐𝑘
𝑀(𝑡)

11. ARTURO MACEDO SILVA ANALISIS VIBRACIONAL
𝑇 = 1
2⁄ 𝑚𝑥̇2
+ 1
2⁄ 𝐼 𝐺 𝜃̇2
= 1
2⁄ [𝑚𝑟2
+ 𝐼 𝐺]𝜃̇2
= 1
2⁄ [
3
2
𝑚𝑟2
] 𝜃̇2
Donde 𝐼 𝐺 = 1
2⁄ 𝑚𝑟2
La masa equivalente: 𝑚 𝑒𝑞 = 3
2⁄ 𝑚𝑟2
La función de disipación:
𝐷 = 1
2⁄ 𝑐𝑐̇2
= 1
2⁄ 𝑐(𝑟𝜃̇)
2
= 1
2⁄ (𝑐𝑟2)𝜃̇2
de la cual el coeficiente de
amortiguamiento equivalente será: 𝑐 𝑒𝑞 = 𝑐𝑟2
Por tanto, según la fuerza generalizada determinada y las propiedades de
inercia, rigidez y amortiguamiento equivalentes obtenemos la ecuación
diferencial del movimiento
3
2⁄ 𝑚𝑟2
𝜃̈ + 𝑐𝑟2
𝜃̇ + 𝑘𝑟2
𝜃 = 𝑀(𝑡)
La frecuencia natural: 𝜔 𝑛 = √
𝑘 𝑒𝑞
𝑚 𝑒𝑞
= √
𝑘𝑟2
3
2⁄ 𝑚𝑟2 = √
2𝑘
3𝑚
Ejemplo
Ecuación diferencial para un péndulo invertido
c.g
𝑐 𝑘
𝑚1
𝐿1=𝐿2+𝑟
𝐿2
𝐿2
2
𝑚2
2𝑟
𝜃
𝑥1
𝑜

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Antes de determinar la energía cinética del sistema, se obtienen los
momentos de inercia de la masa 𝑚1 de la esfera y de la barra 𝑚2 con
respecto a su centro de rotación 𝑜. La inercia total por rotación del sistema
es:
𝐼0 = 𝐼01 + 𝐼02 (1)
𝐼01 momento de inercia de la masa 𝑚1 con respecto al punto O.
𝐼02 momento de inercia de la barra con 𝑚2 con respecto al punto O.
𝐼01 = 2
5⁄ 𝑚1 𝑟2
+ 𝑚1 𝐿1
2
(2)
𝐼02 = 1
12⁄ 𝑚2 𝐿2
2
+ 𝑚2 (
𝐿2
2
)
2
= 1
3⁄ 𝑚2 𝐿2
2
𝐼 𝐺,𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 = 2
5⁄ 𝑚𝑅2
𝐼 𝐺,𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 𝑒𝑠𝑏𝑒𝑙𝑡𝑎 = 1
12⁄ 𝑚𝐿2
Después de elegir 𝑞1 = 𝜃 como coordenada generalizada y aplicar las
ecuaciones (1) y (2) encontramos la energía cinética del sistema.
𝑇 = 1
2⁄ 𝐼0 𝜃̇2
= 1
2⁄ [𝐼01 + 𝐼02]𝜃̇2
=
= 1
2⁄ [2
5⁄ 𝑚1 𝑟2
+ 𝑚1 𝐿1
2
+ 1
3⁄ 𝑚2 𝐿2
2
]𝜃̇2
(3)
En el caso de rotaciones pequeñas con respecto a la posición vertical se
puede expresar la traslación de la masa 𝑚1como 𝑥1 ≈ 𝐿1 𝜃 (4)
Entonces, al aplicar
𝑈(𝑥) = 𝑚1
1
2⁄ 𝑘𝑥2
𝑈(𝜃) = 1
2⁄ 𝑘 𝑒𝑞 𝜃2
; 𝑈(𝜃) ≈ − 1
2⁄ 𝑚1 𝑔𝐿1 𝜃2
La energía potencial del sistema se determina como
𝑈 = 1
2⁄ 𝑘𝑥1
2
− 1
2⁄ 𝑚1 𝑔𝐿1 𝜃2
− 1
2⁄ 𝑚2 𝑔
𝐿2
2
𝜃2
= 1
2⁄ [𝑘𝐿1
2
− 𝑚1 𝑔𝐿1 − 𝑚2 𝑔
𝐿2
2
] 𝜃2
(5)
La función disipación toma la forma

13. ARTURO MACEDO SILVA ANALISIS VIBRACIONAL
𝐷 = 1
2⁄ 𝑐𝑥̇1
2
= 1
2⁄ 𝑐𝐿1
2
𝜃̇2
(6)
Recordando que 𝑇 = 1
2⁄ 𝑚 𝑒𝑞 𝑞̇1
2
; 𝑈 = 1
2⁄ 𝑘 𝑒𝑞 𝑞1
2
; 𝐷 = 1
2⁄ 𝑐 𝑒𝑞 𝑞̇1
2
Entonces, 𝑚 𝑒𝑞 = 2
5⁄ 𝑚1 𝑟2
+ 𝑚1 𝐿1
2
+ 1
3⁄ 𝑚2 𝐿2
2
𝑘 𝑒 = 𝑘𝐿1
2
− 𝑚1 𝑔𝐿1 − 𝑚2 𝑔
𝐿2
2
; 𝑐 𝑒𝑞 = 𝑐𝐿1
2
Entonces la ecuación diferencial toma la forma:
𝒎 𝒆𝒒 𝜽̈ + 𝒄 𝒆𝒒 𝜽̇ + 𝒌 𝒆𝒒 𝜽 = 𝟎
La frecuencia natural:
𝜔 𝑛 = √
𝑘 𝑒𝑞
𝑚 𝑒𝑞
= √
𝑘𝐿1
2
− 𝑚1 𝑔𝐿1 − 𝑚2 𝑔
𝐿2
2
𝐼01 + 𝐼02
La rigidez del sistema es positiva cuando:
𝑘𝐿1
2
> 𝑚1 𝑔𝐿1 + 𝑚2 𝑔
𝐿2
2
𝑑
𝑑𝑡
(
𝜕
𝑞̇1
(
1
2
𝑚 𝑒𝑞 𝑞̇1
2
)) −
𝜕
𝜕𝑞1
(
1
2
𝑚 𝑒𝑞 𝑞̇1
2
) +
𝜕
𝑞̇1
(
1
2
𝑐 𝑒𝑞 𝑞̇1
2
) +
𝜕
𝜕𝑞1
(
1
2
𝑘 𝑒𝑞 𝑞1
2
) = 𝑄1
𝑑
𝑑𝑡
(𝑚 𝑒𝑞 𝑞̇1) − 0 + 𝑐 𝑒𝑞 𝑞̇1 + 𝑘 𝑒𝑞 𝑞1 = 𝑄1
𝒎 𝒆𝒒 𝒒̈ 𝟏 + 𝒄 𝒆𝒒 𝒒̇ 𝟏 + 𝒌 𝒆𝒒 𝒒 𝟏 = 𝑸 𝟏
_____________________________________________________________
“Por consiguiente, para llegar a la ecuación diferencial del movimiento de un
sistema vibratorio lineal con amortiguamiento viscoso, primero se obtienen
las expresiones para la energía cinética, la energía potencial y la función de
disipación de dicho sistema. Si es posible agrupar estas cantidades de modo
que puedan identificarse una masa equivalente y un amortiguamiento
equivalente, entonces, después de determinar la fuerza generalizada,
hallamos la ecuación diferencial :
𝒎 𝒆𝒒 𝒒̈ 𝟏 + 𝒄 𝒆𝒒 𝒒̇ 𝟏 + 𝒌 𝒆𝒒 𝒒 𝟏 = 𝑸 𝟏”

14. ARTURO MACEDO SILVA ANALISIS VIBRACIONAL