Vibraciones Mecánicas en Ingenieria. pptx

Carrera: Ingeniería Mecatrónica
Clave de la asignatura: AED-1067
SATCA: 2-3-5

PRESENTACION
Caracterización de la asignatura
Esta asignatura aporta al perfil del Ingeniero Mecánico y Mecatronica la
capacidad de aplicar conocimientos de matemáticas, ciencia e
ingeniería, (ecuaciones diferenciales, algebra matricial y vectorial y
números complejos) y ciencia (estática y dinámica), para resolver
problemas de vibraciones en la ingeniería, formulando modelos
matemáticos, además de analizar y elaborar prototipos.
Formular, evaluar, administrar proyectos de diseño, manufactura,
diagnostico, instalación, operación, control y mantenimiento de los
sistemas en los cuales se involucran las vibraciones mecánicas.
Adaptar tecnologías en el campo de las vibraciones mecánicas,
respetando los principios éticos y valores morales, dentro de un marco
legal.
Se estudiaran los temas: movimiento armónico, vibraciones libres con
uno o varios grados de libertad, excitación armónica libre y forzada, y el
balanceo de rotores entre otros.
Utilizaremos los diferentes instrumentos de medición para analizar y
conocer las diferentes fallas en equipos mecánicos, analizando la forma
de onda en el tiempo y espectro de frecuencia.

Intención Didáctica
El temario consta de cinco
unidades, tratando los contenidos
conceptuales de la asignatura en la
parte inicial de cada unidad,
incluyendo problemas de
aplicación, reforzando los
conceptos atreves de la realización
de practicas. Se abordaran los
conceptos básicos de las
vibraciones mecánicas, buscando
una visión de conjunto de este
campo. Se usaran las matemáticas
aplicadas en los temas de grado de
libertad, movimiento armónico y
su representación fasorial,
incluirán los conceptos con ellos,
para obtener resultados
significativos.
Descripción de sistema para la adquisición de datos

La segunda unidad se inicia
caracterizando las
relaciones constitutivas de
los elementos: resorte,
inercia y amortiguador,
dando una visión del
sistema característico,
desarrollando diversos
métodos de solución,
determinando la frecuencia
natural y la determinación
de la masa efectiva.
Sistema lineal
Sistema rotacional

La tercera unidad tratara el
análisis de sistemas sujetos
a fuerzas armónicas
externas, desbalanceo y
cabeceo de flechas
rotatorias, excitación
armónica en la base y
aislamiento e instrumentos
de medición de vibraciones
x(t)=5cos3t-5cos5t

En la cuarta unidad se
analiza lo relacionado con
el balanceo de rotores y
elementos rotativos.
Tratándose los conceptos
de: desbalance, rotor rígido
y flexible. Los diferentes
métodos de balanceo, así
como también lo referente
a las tolerancias.
Fuerza de inercia y sus momentos

Y en la quinta unidad, se
mencionan los sistemas de
vibraciones de modo
normal con varios grados
de libertad, el
acoplamiento de sus
coordenadas, sus
propiedades ortogonales y
la matriz modal para
encontrar la solución del
sistema. Se añaden los
temas de vibración forzada
y absorvedor de
vibraciones.

COMPETENCIAS PREVIAS
Conocimientos disciplinares (Ecuaciones diferenciales, Algebra lineal,
Transformada de Laplace, Mecanismos, Métodos numéricos).
Usar el poco usado sentido común para la solución de problemas prácticos.
Aplicación de las leyes de Newton, uso de la cinemática e identificar grados de
libertad .

Temario
1.-Cinemática de la vibración
1.1Grados de libertad
1.2Movimiento armónico y su representación, uso de
fasores para la suma resta multiplicación y división
1.3Serie de Fourier. método analítico, método
numérico, aplicación del análisis armónico, análisis
espectral en el dominio del tiempo y la frecuencia.

Temario
2.-Vibraciones libres de sistemas de un grado de libertad
2.1Relaciones constitutivas del elemento resorte, masa
y amortiguador
2.2Metodo de las fuerzas para el análisis de las
vibraciones
2.3Metodo de la energía para sistemas sin
amortiguamiento
2.4Masa efectiva
2.5Amortiguamiento viscoso

Temario
3.-Vibracion de sistemas con un grado de libertad con
excitación armónica
3.1Analisis de un sistema sujeto a fuerza armónica
externa
3.2Desbalanceo rotatorio y cabeceo de flechas
rotatorias y elementos rotativos
3.3Excitacion armónica en la base
3.4Aislamiento de la vibración
3.5Instrumentos de medición de la vibración

Temario
4.-Balanceo de rotores y elementos rotativos
4.1Conceptos de desbalance, rotor rígido, flexible y su
tolerancia.
4.2Balanceo estático
4.3Balanceo dinámico en uno y dos planos por el
método de coeficientes de influencia
4.4Tolerancia de desbalance

Temario
5.-Sistemas de varios grados de libertad
5.1Vibracion de modo normal para sistemas de dos
grados de libertad
5.2Acoplamiento de coordenadas
5.3Propiedades ortogonales
5.4Matriz nodal
5.5Vibracion libre
5.6Vibracion forzada y absorción de vibraciones

Unidad 1
Cinemática de la Vibración
Cinemática
Es la rama de la física que estudia
las leyes del movimiento de los
cuerpos sin considerar las causas
que lo originan y se limita,
esencialmente, al estudio de la
trayectoria en función del tiempo.
La aceleración es el ritmo con el
que cambia la velocidad.
Ahora una vibración es un
movimiento periódico que se
repite con todas sus
características en intervalos de
tiempo llamado periodo de la
vibración (T).
a. vibración periódica (turbina de vapor)
b.-vibracion armónica (péndulo simple)

Mecánica de la Vibración
Como otro concepto de vibración, se puede decir que es un intercambio
de energía cinética en cuerpos rígidos y masa finitas, el cual surge de
una entrada de energía dependiente del tiempo.
Este intercambio de energía puede ser producido por:
 Desequilibrio en maquinas rotatorias
 Entrada de energía acústica
 Circulación de fluidos o masas
 Energía electromagnética

Partes elementales de sistemas vibratorios
Comúnmente un sistema vibratorio incluye un elemento que almacena
energía potencial (resorte o elástico), otro elemento que conserva energía
cinética (masa o inercia), y un elemento debido al cual la energía se pierde
gradualmente (amortiguador).
La vibración de un sistema implica la transformación de su energía
potencial en energía cinética y de esta a energía potencial, de manera
alternada. Si el sistema se amortigua, una parte de su energía se disipa en
cada ciclo de vibración, hasta que llega a su estado de reposo, o aplicarle
una fuente externa para que mantenga un estado de vibración estable.
Como un ejemplo consideremos, la vibración de un péndulo simple

Mas es importante la reducción de la vibración por el impacto que pueda
generar por las siguientes razones:
 Una vibración excesiva muchas veces limita la velocidad de un proceso
 Obtener productos de baja calidad debido a la vibración
 Debido a la vibración la generación de ruido excesivo
 La vibración de la maquinaria afecta los instrumentos de medición,
dando como resultado su deterioro o mediciones erróneas

Grados de libertad (g. d. l. o G.L.)
El numero de grados de libertad en
ingeniería de refiere al numero
mínimo de parámetros que
necesitamos especificar para
determinar, la posición o la
velocidad o la aceleración de un
mecanismo, o el numero de
reacciones de una estructura

Mecánica de la Vibración
Así el tipo mas sencillo es el de un G:L. es el movimiento periódico, o sea
movimiento armónico, en el la relación entre x y t puede expresarse por
x=Xo senωt
donde: x es el desplazamiento
Xo es la amplitud máxima de la vibración
T es el periodo de la oscilación y se mide en segundos
f=1/T es la frecuencia de la vibración y se mide en cps o Hertz
también ω= 2лf=2л/T conocida como frecuencia circular, medida en
radianes por segundo.
Con estas relaciones podemos observar que un ciclo completo de la
vibración tiene lugar cuando han transcurrido 360° o sea 2л radianes
por lo tanto: T=2л/ω y también f=ω/2л
En maquinas rotativas la frecuencia suele expresarse en vibraciones por
minuto o vpm =30ω/л

En movimiento armónico en el cual el desplazamiento este dado por :
x=Xo senωt
la velocidad se determina obteniendo la derivada de la ecuación anterior,
y seria también armónica, cuya amplitud máxima seria:
ωXo
y la aceleración también seria armónica obteniéndose de la derivada de
la velocidad cuya amplitud máxima seria:
ω²Xo
Consideremos dos vibraciones dadas por las expresiones:
x1=a sen ωt y x2=b sen (ωt + φ)
Debido a la magnitud φ las dos vibraciones no lograran su
desplazamiento en el mismo instante, ya que x1 estará φ/ω seg detrás
de x2

Cinemática de la vibración
Dos movimientos armónicos incluyendo el ángulo de fase φ
Podemos observar que los dos movimientos tienen la misma ω y, como
consecuencia igual frecuencia f. El ángulo de fase tiene significado si ambos
movimientos tienen la misma frecuencia, pues si las frecuencias son
diferentes, el ángulo de fase no tiene sentido alguno.

Ejemplos
Un cuerpo suspendido de un resorte vibra verticalmente entre dos
posiciones espaciadas 1 y 1 ½ cm sobre el suelo. Durante cada segundo
alcanza la posición tope (1 ½ cm sobre el suelo) 20 veces consecutivas.
Cuanto valdrán? T , f , ω , y xo ?.
Solución: xo = ¼ cm , T =1/20 seg. f = 20 cps y ω = 126 rad / seg
Determina las ecuaciones de las graficas de la figura. Así como su desfase
de entre ambos movimientos.
Solución:
Roja: x1(t) = -4sen лt/2
Azul: x2(t) =-4sen (лt/2 +90°)
Desfase 90°

Ejemplos
Un cuerpo de masa desconocida esta unida a un resorte ideal que tiene
una constante de fuerza 120N/m. Se observa que vibra con una
frecuencia de 6 Hz. Calcular el periodo, la frecuencia angular, la masa
del cuerpo Solución: T=1/6 seg., ω= 12л , m = 84.5 mgr
Un cuerpo vibra con M.A.S. según la ecuación y(t)= 0.05sen(3t + л/2) en
unidades del S.I. Calcule la elongación para t = л seg. , la velocidad del
cuerpo cuando t = л/2 seg., el periodo y la frecuencia.
Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales. Considere condiciones
iniciales cero. Grafique la entrada y la solución.
M
K


1
9
2

 Dx
x
D 8
4
5
2


 x
Dx
x
D
t
sen
x
Dx
x
D
x
D 10
10
4
4
2
3





Mecánica de las Vibraciones
Representación de las vibraciones por el
método vectorial.
El movimiento de una partícula en
vibración puede representarse por medio
de un vector rotativo. Sea el vector ā
girando con velocidad angular uniforme ω
en sentido CCW. Cuando el tiempo se
mide desde la posición horizontal del
vector como punto de partida, la
proyección horizontal de vector puede
escribirse como:
a cos ωt
y la posición vertical como:
a sen ωt
Cualquiera de las dos puede tomarse como
representativa, aquí consideraremos la
horizontal
Vibración armónica en la
proyección horizontal de un
vector rotativo
El desplazamiento, la velocidad
y la aceleración son perpendiculares

Esta representación ha dado origen de que a ω se le llame frecuencia
circular. La magnitud ω representara la velocidad angular del vector
medido en radianes por segundo, y la frecuencia f , se medirá en
revoluciones por minuto.
Este método vectorial de visualizar movimientos resulta muy útil, ya que
sumar, restar, multiplicar y dividir es muy tedioso por métodos
trigonométricos.

Excitación Compleja (movimiento angular)
Se comienza por tomar la cantidad compleja:

Mecánica de la vibración
Representación fasorial:
Supongamos el siguiente movimiento:
x1 =Im cos (ωt + φ) cm
Es la expresión real de una función compleja que seria así:
es decir el movimiento x1 se puede
representar por un cantidad compleja : x1 = Im ℮
Y al suprimir el factor ℮ y expresar el resultado en forma polar se obtiene
”el fasor” movimiento
Esta forma abreviada es la representación fasorial del movimiento x1 y contiene
información solamente de la amplitud y la fase, atentos así:
x1 = Im cos (ωt + φ) cm es una representación en el dominio del tiempo y
es una representacion en el dominio de la frecuencia.
J(ωt + φ)
J(ωt)


 M
I
X
Im

X


 M
I
X

Al proceso por el cual se cambia x1 por X1 se le llama “transformación fasorial”
entre el dominio del tiempo y el dominio de la frecuencia cuyos pasos son:
1) Dada una función senoidal en el dominio del tiempo se escribe la función
como una onda coseno.
2) Se expresa la onda coseno como la parte real de una cantidad compleja
3) Se suprime el factor ℮
Ejemplo: Cambiar al dominio dela frecuencia x(t) = 100 cos (400t- 30°)
Ejemplo: Indicar el movimiento y(t) en forma fasorial si y(t)=5 sen (400t + 60°)
Ejemplo: Sumar, restar, multiplicar y dividir las dos funciones de los ejemplos
anteriores
J(ωt)

En todos los casos vistos hasta
ahora, hay un resorte y una
masa. En el caso de que un
sistema tenga varios resortes
conectados en serie o en
paralelo, la rigidez resultante, se
determina de acuerdo a las
reglas indicadas en la figura.
Que se derivan a partir de las
fuerzas equivalentes en el
sistema. Seria
Paralelo:
)
)(
(
)
(
)
(
2
1
2
1
2
2
1
1
b
a
T
b
a
b
a
x
x
K
K
Fk
Fk
F
x
x
K
Fk
x
x
K
Fk










Matemáticas avanzadas
Series de Fourier
Las series trigonométricas de Fourier o simplemente serie de Fourier
fueron desarrolladas por el matemático francés Jean- Baptiste Joseph
Fourier (1768-1830).
La idea en las series de Fourier es en la descomposición de una señal
periódica en términos de señales periódicas básicas (senos y cosenos)
cuyas frecuencias son múltiplos de la señal original
La idea de descomposición es un proceso fundamental en el área
científica en general: la descomposición permite el análisis de las
propiedades y la síntesis de los objetos o fenómenos, y en lo particular
para las vibraciones mecánicas

La serie de Fourier de una función periódica f(x) de periodo T también
conocida como señal , definida en un intervalo de longitud T (recuerde
que las vibraciones son funciones periódicas) esta dada por:
donde
la frecuencia fundamental





 1 0
0
0
0
))
(
)
cos(
(
2
)
( n n x
n
sen
b
x
n
a
a
x
f 

T


2
0 


T
dx
x
f
T
a )
(
2
/
1
0


T
n dx
x
n
x
f
T
a )
cos(
)
(
2
/
1
0



T
n dx
x
n
sen
x
f
T
b )
(
)
(
2
1
0


Series de Fourier, Sumas parciales
Para la serie de Fourier de una función f(x) periódica definida en un
intervalo de longitud T la k- e sima suma parcial, representada por Sk (x)
esta dada por:
))
(
)
cos(
((
2
)
( 0
1
0
0
x
n
sen
b
x
n
a
a
x
S n
k
n
n
K 
 

 


Ejemplo 1
Expanda en una serie de Fourier la función:

Serie de Fourier

Serie de Fourier
Algunas sumas parciales

Ejemplo 1
S1

Ejemplo 1
Resumen: Expanda en una serie de Fourier la función:
S2

Series de Fourier
S3

S5

Calculo Avanzado: Series de Fourier

Proyecto
Determine las ecuaciones necesarias,
(posición, velocidad, aceleración) . Tanto
de la manivela de radio A, así como de la masa
m, que describan el comportamiento de este
mecanismo llamado yugo escoces, no
considere ningún amortiguamiento

Dados los valores X1 y X2 , determine la suma, resta,
multiplicación y división, eleve X1 al cuadrado y X2 al
Cubo.
Para la siguiente función determine la expansión en serie de Fourier,
por lo menos para cuatro términos, haga las graficas correspondientes
traslapando sobre la original

Proyecto

proyecto

Ull
Vibraciones libres de sistemas de un grado de
libertad
Relaciones constitutivas de los elementos: resorte, inercia y amortiguador.
Bien en su forma mas general los sistemas mecánicos están constituidos
por una masa o inercia, resortes o barras y de amortiguadores o
disipadores de energía. Aquí según nuestra geometría la amortiguación
están siempre presentes, en cualquier sistema. Ahora
matemáticamente estos tipos de sistemas si pueden existir, sin
disipador de energía o amortiguador y se denomina no amortiguados.
Las herramientas matemáticas necesarias para abordar este tipo de
sistemas son las ecuaciones diferenciales parciales. Además es posible
modelar, con éxito, este tipo de sistemas con ecuaciones diferenciales
ordinarias que son menos demandantes que las parciales.
Por ahora solo estudiaremos exclusivamente sistemas discretos de un solo
grado de libertad, determinando su única variable de posición.

Método de las fuerzas para el análisis de
sistemas
Aquí tenemos un sistema con una masa totalmente rígida y que no disipa
energía, también un elemento elástico o resorte que se supone de masa
despreciable y que tampoco disipa energía, finalmente un
amortiguador o disipador de energía, también se supone de masa
despreciable y totalmente rígido.
Este es un ejemplo de la discretizacion de las propiedades continuas de un
sistema vibratorio real.
Sistema de un grado de libertad amortiguado

Sistema de un grado de libertad a vibración
libre no amortiguado
Este sistema como verán esta formado por un resorte y masa la cual
almacena energía potencial y cinética, mientras que el resorte almacena
energía potencial debido a su deformación, o sea que la vibración es el
resultado del intercambio de energía entre estos dos elementos.
Sistema de un grado de libertad
no amortiguado
Para esto supongamos lo siguiente:
1. La masa no se deforma o sea es rígida
2. El resorte es lineal y de masa despreciable
3. No hay amortiguamiento en el arreglo
4. El movimiento es rectilíneo
Por lo tanto la ecuación del movimiento seria
Ecuación diferencial lineal
homogénea de segundo grado

Método de las fuerzas para el análisis de sistemas
Haciendo las derivadas correspondientes tenemos:
Sustituyendo en la ecuación diferencial:
Cuya solución tiene tres posibles casos que hay que considerar:
1. C=0 , matemáticamente posible pero indica que el sistema esta en reposo.
2.
y resulta matemáticamente imposible pues: para t=0
En la solución de una ecuación homogénea por el método clásico
se propone:

Sistema de un grado de libertad a vibración
libre no amortiguado
3. La ultima posible solución es la interesante y nos proporcionara la:
Ecuación característica del sistema:
Las soluciones de la ecuación característica de este sistema Masa
resorte no amortiguado seria:
Cuyas dos soluciones estarían dadas por:
Estas dos soluciones son matemáticamente posibles, solo que para un
sistema físicamente realizable se desea una solución real así que, haciendo
una combinación lineal de las dos soluciones tendríamos:

Método de las fuerzas para el análisis de sistemas
Ahora, utilizando la identidad de Euler para esta solución real:
Bien , es fácil probar que la solución real de la ecuación diferencial será:
También obvio es fácil probar
donde:
De esta solución es evidente que la
respuesta es periódica y armónica de
frecuencia circular ω = 2лf donde:
ω = A este sistema solo
le faltaría un excitación
inicial

Conceptos básicos: Energía
TRABAJO
Trabajo es una medida de la
cantidad de cambio (en sentido
general) que produce una fuerza
cuando actúa sobre un cuerpo.
por definición,
W = F x d
Trabajo = Fuerza x distancia
Unidades:
SI 1 julio (J) = 1 N-m = 0.788 lb-ft
POTENCIA
Potencia es la rata a la cual una
fuerza realiza un trabajo. Así:
P = W/t = Trabajo / tiempo,
1 vatio(W) = 1 J/ s = 0.134 x10ˉ² hp
ENERGIA CINETICA
La energía que tiene un cuerpo
en virtud de su movimiento. Si la
masa del cuerpo es m y su
velocidad es v su energía cinética
es:
T(t) = ½ mv²
ENERGIA POTENCIAL
Es la energía que tiene un cuerpo
en virtud de su posición, así:
V(t) gravitacional = mgh
En términos del peso w del
puerco,
V(t) = wh

Método de la energía para sistemas sin
amortiguamiento
En esta parte de la unidad se determinara que usando las ecuaciones de
trabajo y energía se llega al mismo resultado para un sistema de
vibración libre no amortiguado, y a la frecuencia natural del sistema:
El sistema se encuentra en la posición de
equilibrio estable, de manera que la deformación
estable del resorte seria:
Suponga que en un instante determinado
el sistema se mueve con una velocidad ý(t)
y esta en una posición dada por y(t).
(Por comodidad podemos suponer que
ambas son positivas)
La energía total del sistema ET(t) es igual
a la suma de la energía cinética T(t) y la
energía potencial V(t) de modo que:

Sistema de vibración libre de un grado de
libertad sin amortiguamiento
Puesto que el sistema es conservativo, la primera derivada de la energía
total con respecto al tiempo t deberá ser igual a cero. Así:
Sustituyendo el valor de la ecuación estática nos quedaría:
Existen dos posibles resultados por estar compuesta de dos factores
esta ecuación igualada a cero:

Método de la energía para sistemas sin
amortiguamiento
1. La primera opción es que:
Integrando esta ecuación se tiene que:
Esto nos lleva a la condición de equilibrio estático por lo que no tiene
sentido o mas bien interés.
2. La segunda opción es
Y esto representa precisamente la ecuación diferencial de un sistema de
vibración libre sin amortiguamiento, pues que acabamos de ver.
Cuya respuesta es:
En seguida se mostrara como el método de trabajo y energía se puede
utilizar para calcular exclusivamente la frecuencia natural de un sistema
vibratorio de un grado de libertad sin amortiguamiento, veamos

Calculo de ωn a partir del método de
trabajo y energía
Para esto se requiere suponer básicamente que el sistema es conservativo
es decir que:
T1 + V1 = T2 + V2
Suponiendo una: posición 1 donde la energía cinética es mínima, y una
posición 2 donde la energía cinética es máxima
Para esto necesitamos: la velocidad
La energía cinética del sistema es mínima cuando la velocidad de la masa
es cero y esto ocurre cuando el desplazamiento es máximo, hacia arriba
o hacia abajo, por lo tanto
donde , la energía potencial debida al peso del cuerpo, se ha medido
desde la posición de equilibrio estático.

trabajo y energía
Por otro lado, la energía cinética del sistema es máxima cuando la
velocidad es máxima, y la aceleración, que es la derivada de la
velocidad, es cero. Esto ocurre en la posición de equilibrio estático, por
lo tanto:
Donde , nuevamente, la energía potencial debida al peso del cuerpo, se ha
medido desde la posición de equilibrio estático, agrupando estos
términos
Eliminando los términos correspondientes y recordando que:

trabajo y energía
Se tiene finalmente
Y por lo que se ve eliminamos el termino у0² , físicamente hablando esta
eliminación significa que la frecuencia natural no depende de la
amplitud de la vibración, una característica típica de los sistemas
vibratorios lineales, y la frecuencia natural esta dada por

Vibraciones libres de sistemas de un grado de
libertad
Masa efectiva
Bien, en una segunda aproximación a la descripción de la oscilación del
cuerpo hay que tener en cuenta la masa de resorte. Bien habría que
observarlo porque no todas las partes del muelle oscilan con la misma
amplitud. Mientras que el punto del muelle unido a la masa oscila como él,
y el punto del resorte unido al soporte no se mueve. O sea las diferentes
partes del muelle oscilan con amplitudes diferentes. Por esta razón
admitiendo que el resorte es real de masa m0 (no ideal), por tanto posee
una masa distinta de cero, así:
periodo sin considerar al muelle se asocia a la masa m una me
(resorte ideal) (resorte real)
donde: me = masa efectiva

Masa efectiva
Para estimar la masa equivalente de un
muelle de masa mo se puede determinar la
variación de la energía cinética ΔT que
experimenta el muelle de longitud L cuando
es estirado de modo que el extremo libre se
mueve con velocidad V . El otro extremo
tiene velocidad cero. A lo largo del muelle
habrán velocidades diferentes, se debe
empezar por poner que
Siendo v la velocidad con que se mueve la
porción de masa dm. Si el muelle es
homogéneo, con densidad ρ = mo /L,
entonces dm = mo (dl/L) , siendo dl un
elemento diferencial de longitud.
Si la velocidad de cada elemento
dl es proporcional a su distancia
al extremo fijo entonces:
v(l) = V(l/L), y

Masa efectiva
Integrando para dl entre 0 y L ,se tiene que
De este resultado observamos que si un objeto de masa mo se
mueve todo el con velocidad V su energía cinética es mo V²/2 , pero en
los intercambios de energía un resorte que se mantiene fijo por un
extremo y que se estira siguiendo la ley de Hooke se comporta como si
fuera un cuerpo de masa-efectiva
me = mo /3
TAREA: Demostrar mediante un experimento lo anterior analizado

Vibraciones libres de sistemas de un grado
de libertad
Amortiguamiento Viscoso
En la cinemática, que es una rama de la física, la amortiguación es un
efecto que reduce la amplitud de las oscilaciones, en particular al
oscilador armónico. Este efecto esta relacionado linealmente con la
velocidad de las oscilaciones. Esta restricción conduce a una ecuación
diferencial lineal de movimiento, y una solución analítica sencilla.
En este tipo de sistemas ya mas reales, la amortiguación se realiza con el
arrastre viscoso de un fluido, como el aceite, que proporciona una
resistencia relacionada directamente con la velocidad:
Donde B es el coeficiente de amortiguamiento viscoso, dada en unidades
Ns/m o simplemente Kg/s, FB es la fuerza en newton´s , x(t) es la
posición, v la velocidad
FB = B ( ve – vf ) = B ( Dxe –Dxf )

Sistema Masa-Resorte-amortiguador
Por ultimo por lo que respecta a esta unidad
analizaremos la dinámica del sistema mostrado en la
figura y trataremos de desarrollar la habilidad de
predecir su funcionamiento. Esta habilidad y la
precisión de los resultados dependerá de que tan bien
conozcamos las características de cada componente
expresado matemáticamente. Además del uso de las
distintas técnicas en la solución de ecuaciones
diferenciales.
Como ya hemos observado los sistemas mecánicos
obedecen las leyes básicas de que la suma de fuerzas
debe ser cero. Conocidas como las leyes de Newton.
La ecuación diferencial de cada elemento de la red
mecánica se modela:
FM = Ma =MDv=MD²x
FK = K (xc – xd)
Si la terminal d esta
estático la ecuación
se reduce
FK = K xc
y en el caso del
amortiguador
FB = B Dxe

Sistema traslacional masa resorte amortiguador
Haciendo el modelado de la figura anterior quedaría la siguiente ecuación
donde r(t) seria la excitación o entrada, mas por ahora la hacemos cero,
así
Que es una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo grado para
x(t). Con el fin de determinar la evolución del sistema, debemos de
conocer el estado inicial del sistema, es decir la posición y la velocidad
inicial del sistema x(o) y Dx(0) . En resumen lo que queremos es
determinar la solución para x(t). Bien la solución por el método clásico
que fue establecida por Leonard Euler, que es el uso de una función
exponencial. Siguiendo a Euler entonces intentamos una solución de la
forma
Sustituyendo y aplicando las derivadas nos queda
0
)
( 2


 pt
e
K
Bp
Mp

Sistema traslacional masa resorte amortiguador
La ecuación anterior deberá satisfacerse para todo t> 0 entonces
Mp²+Bp+K =0
y siendo esta una ecuación puramente algebraica se convierte en la
ecuación característica de este sistema y por ser de segundo orden
tendrá un par de raíces, que en si definirán el comportamiento del
sistema, atentos: el tipo de solución de la ecuación anterior obviamente
dependerá de los valores relativos de los parámetros del sistema:
M , B , K.
Vamos a considerar cuatro casos, los cuales analizaremos separadamente
por lo tanto:
donde a p₁,₂ son llamados polos de la ecuación característica, bien

Caso 1
B = 0
La solución en este caso tiene un par de polos puramente imaginarios
p₁,₂ =± i =±i ωn (donde: ωn es frecuencia natural no amortiguada)
Por lo que la solución de la ecuación diferencial seria la del MAS
x(t) = X sen ωn t
y para este caso particular seria:
x(t) = sen t
que como ya habíamos determinado es un sistema de un grado de libertad
masa resorte de movimiento armónico simple sin amortiguamiento.
M
K
K
M
M
K

Caso 2
M
K
M
B
M
B
p 


 2
2
2
,
1
4
2
Ahora arreglando la ecuación para p1,2 tendríamos:
Suponiendo que: 2
2
4M
B
M
K

Tendríamos un par de polos complejos conjugados localizados en el semiplano
izquierdo del plano complejo de la forma
2
2
2
,
1
4
2 M
B
M
K
i
M
B
p 


 d
i
 

Donde τ es la parte real reconocida como el exponente de e , y ωd es la
frecuencia natural de amortiguamiento durante la oscilación.
Atentos: La constante B es el amortiguamiento efectivo del sistema.
Si las dos raíces son iguales. Y esto físicamente representa
el valor critico de la constante de amortiguamiento y se representa como
MK
B 2
 2
,
1
p
MK
B 2
*


Caso 2.- Sistema Subamortiguado
La razón de amortiguamiento ζ se define como la razón de la constante
actual de amortiguamiento al valor critico de la constante de
amortiguamiento:
Cuando ζ es positiva y menor que la unidad las raíces son complejas
conjugadas y la respuesta es una senoidal exponencialmente
amortiguada y se dice que es subamortiguada de la forma:
donde A y φ se determinan a partir de las condiciones iniciales.
MK
B
B
B
co
ientocriti
amortiguam
l
ientoactua
amortiguam
2
*




)
(
)
( 



 t
sen
Ae
t
x d
t

Caso 3.- Críticamente Amortiguado
Observando la ecuación:
Podría darse que según la relación de los parámetros del arreglo
de donde los polos o raíces de la ecuación característica
serian reales e iguales a:
Por lo tanto la solución de la ecuación para x(t) seria:
Para esta solución se dice que es un sistema críticamente amortiguado
Donde A se determina a partir de las condiciones iniciales.
M
K
M
B
M
B
p 


 2
2
2
,
1
4
2
M
K
M
B

2
2
4
M
B
p
2
2
,
1 

M
Bt
Ate
t
x 2
)
(

 t
n
Ate 



Caso 4
Por ultimo, también podría darse, que en los valores de los parámetros del
sistema:
lo que resultaría para en un par de raíces reales , diferentes y
negativas de la forma:
Supongamos:
y los valores del par de polos serian: que podemos
hacer también y
Y resolviendo para de donde se dice que es una
respuesta sobre amortiguada.
M
K
M
B

2
2
2
,
1
p
M
K
M
B
Z 

4
2
Z
M
B
p 


2
2
,
1
a
p 
1
b
p 
2
)
(
1
)
( bt
at
e
e
a
b
t
x 





Transformada de Laplace
Análisis de la respuesta transitoria de sistemas continuos
Respuestas transitorias(tales como respuesta a un salto o escalón o paso o
paso unitario, entrada impulso, rampa, parabólica y senoidal) se utilizan
frecuente mente para investigar las características en el dominio del
tiempo de los sistemas de control. Ahora las características de respuesta
transitoria tales como tiempo de subida, tiempo pico, pico máximo,
tiempo de asentamiento, y error en estado estable se pueden determinar
fácilmente a partir de una respuesta a un escalón unitario.
x(t)=A
Señal paso
x(t)=At
x(t)=At²

Bien: si conocemos
X(s)= P(s)/Q(s) ,
El numerador y denominador de la función de transferencia, las
siguientes comandas como:
step(num,den) step(num,den,t)
Generan graficas de respuesta a una entrada paso unitario, supongamos
X(s)=25/(s²+4s+25)
Y en Matlab

Matlab
Tarea: Supongamos
X(s)=(6.3223s^2+18s+12.8112)/(s^4+6s^3+11.3223s^2+18s+12.8112)
Determinar: residuos. polos y constantes directas
la estabilidad del sistema
la expansión en fracciones parciales
tiempo de subida
tiempo pico máximo
pico máximo
tiempo de asentamiento
grafica a una entrada paso unitario

Introducción.
La solución de ecuaciones diferenciales con entradas discontinuas o de
orden mayor que dos, es muy laborioso por el método clásico. También,
la inserción de las condiciones iniciales, para la evaluación de las
constantes de integración, resulta que hay que darle solución a una
serie de ecuaciones simultaneas de ecuaciones algebraicas igual al
orden de la ecuación diferencial.
Con el propósito de facilitar la solución de ecuaciones diferenciales, se
usa extensamente el Método de la Transformada de Laplace.
Aunque a veces algunas ecuaciones particulares resulta mas simple
utilizar el Método Clásico, con un menor esfuerzo.
Usar este método operacional de la transformada de Laplace tiene las
siguientes ventajas:

Ventajas al usar la Transformada de
Laplace:
1. Automáticamente incluye las
condiciones frontera o iniciales
2. El trabajo involucrado en la
solución es simple algebra.
3. El trabajo es sistematizado.
4. Las tablas de Transformadas
reduce la labor requerida.
5. Las entradas discontinuas son
fácilmente tratables.
6. Las componentes de la respuesta
de estado estable y estado
transitorio en la solución se
obtienen simultáneamente. (la
respuesta particular y la
homogénea).
La transformación Laplaciana de
una función en el tiempo, f(t)
esta dada por la ecuación
£
donde el símbolo £ es la notación
corta de la integral de Laplace.
La evaluación de la integral resulta
en una función F(s) la cual
tiene a s como variable. Esta
variable es compleja de la forma
Todas las funciones que veremos
en el curso son transformables.
)
(
)
(
)]
(
[
0
s
F
dt
e
t
f
t
f st

 



 j
s 


Ejercicios de la transformada de funciones
simples
Función paso u(t)=1 o a
L
Transformada de una exponencial
decreciente
L ,
L





0
)
(
)]
(
[ dt
e
t
u
t
u st




0
1
)
1
(
s
dt
e st





s
e t 1
]
[ 2
1
]
[
s
t 
L 2
2
]
[cos
w
s
s
wt


Función rampa f(t)= t




0
]
[ dt
te
t st
L
esta integral se hace por partes
 

 vdu
uv
udv
2
1
]
[
s
t 
Haciendo lo conducente
L 0



Teoremas de la Transformada de Laplace
En general, estos ayudan en la evaluación del operador transformada.
Teorema 1. Linealidad
si a= cte. Y si f(t) es transformable y su transformada es:
Teorema 2. Superposición
si f1(t) y f2(t) son transformables entonces
L [f1 (t)±f2 (t)] =L [f1(t)] ± L [f2 (t)] = F1 (s) ± F2 (s)
Teorema 3. Traslación en el tiempo.
si la transformada de f(t) es F(s) y a es un numero real y
positivo, y f(t-a)=0 para 0 < t < a entonces
L [f(t-a)] =
)
(
)]
(
[ s
F
t
f 
a
t
af 
)]
(
[ )
(
)]
(
[ s
aF
t
f 
L L
)
(s
F
e as

Traslación en la dirección
positiva de t en el dominio real
significa multiplicar por la
exponencial en el dominio de s

Teorema 4. Diferenciación compleja
si la transformada de f(t) es F(s), entonces
Teorema 5. Traslación en el dominio de s
si la transformada de f(t) es F(s) y a es una constante
real o compleja, entonces
)
(
)]
(
[ s
F
ds
d
t
tf 

L
Multiplicar por el tiempo
en el dominio real significa
derivar en s en el dominio
de s
)
(
)]
(
[ a
s
F
t
f
eat


L
Multiplicar por en el dominio
real es equivalente a trasladar
a en el dominio de s
at
e
2
2
]
[





s
t
sen
L 2
2
)
(
]
[









s
t
sen
e t
L
Ejemplo:

Teoremas de la transformada de Laplace
Teorema 6. Diferenciación real.
si la transformada de f(t) es F(s) y su Df(t) es
transformable, entonces:
L [Df(t)] = sF(s) – f(0+) y L
y la transformada para la derivada n- esima
la diferencia de este método con el clásico es que incluye
automáticamente las condiciones iniciales del sistema.
)
0
(
)
0
(
)
(
)]
(
[ 2
2
Df
sf
s
F
s
t
f
D 


)
0
(
........
)
0
(
)
(
)]
(
[ 1
1
f
D
f
s
s
F
s
t
f
D n
n
n
n 






Teorema 7. Integración real
si la transformada de f(t) es F(s) , su integral
es transformable y el valor de su
transformada es L
el termino es la constante de integración y es igual al valor
de la integral cuando la función alcanza un valor positivo localizado
inmediatamente a la derecha del origen.
Así, para la integral doble L
y para la integral n- esima L





t
f
D
dt
t
f
t
f
D
0
1
1
)
0
(
)
(
)
(
s
f
D
s
s
F
t
f
D
)
0
(
)
(
)]
(
[
1
1 




)
0
(
1


f
D
s
f
D
s
f
D
s
s
F
t
f
D
)
0
(
)
0
(
)
(
)]
(
[
2
2
1
2
2






s
f
D
s
f
D
s
s
F
t
f
D
n
n
n
n )
0
(
.......
)
0
(
)
(
)]
(
[
1 







Teorema 8. Teorema del valor final
si las funciones f(t) y Df(t) son transformables, y si las
transformada de f(t) es F(s) , y el limite de f(t) cuando
existe, entonces
Teorema 9. Teorema del valor inicial
si la función f(t) es F(s) y si el existe,
entonces
Teorema 10. Integración compleja
si la transformada de f(t) es F(s) y si f(t)/t tiene limite
cuando entonces
L


t
)
(
lim
)
(
lim
0
t
f
s
sF
t
s 



)
(
lim s
sF
s 

)
(
lim
)
(
lim
0
t
f
s
sF
t
s 




0
t



s
ds
s
F
t
t
f
)
(
]
)
(
[
Este teorema establece la división por la
variable en el dominio real implica
integración con respecto a s en el dominio de s

 Polos de orden múltiple
Aq(r-k) =
1
𝐾!
𝑑𝑘
𝑑𝑠𝑘
Ak=
𝑆−𝑆𝑘 𝑃(𝑆)
𝑄(𝑠)
S = Sk

UIII
Vibración de sistemas con un grado de libertad
con excitación armónica
Consideremos el sistema de la figura, para esto
podemos suponer una entrada o excitación
r(t)=R0 sen (ωt)
que es precisamente una función armónica, donde
R0 es la amplitud de la entrada y ω será la frecuencia
de la variable de entrada en rad/seg. La ecuación de movimiento para
un sistema de este tipo masa-resorte-amortiguador, con excitación
armónica, esta dado:
fuerzas aplicadas = fuerzas resultantes
dividiendo por M
)
(
0
2
t
sen
R
Kx
BDx
x
MD 



 
)
(t
r
F
F
F K
B
M 



Excitación armónica en sistemas amortiguados
quedaría:
donde , , y ,
De las ecuaciones diferenciales sabemos que la solución de la ecuación
anterior, ya arreglada, esta compuesta por la suma de la solución
homogénea y la solución particular, que para los sistemas físicos seria la
suma de la componente transitoria y la de estado estable de la
respuesta respectivamente. (Supongamos un Sistema
Subamortiguado).
)
(
2 2
t
Rsen
x
x
x n
n 

 

 


M
K
n 
 *
B
B


M
R
R 0

EE
ET t
c
t
c
t
c )
(
)
(
)
( 

Componentes de estado
estable
Componente de estado
transitorio

Aplicando la transformada de Laplace y suponiendo x(0)=0 y Dx(0)=0
donde:
, ,
Atentos:
La duración y forma de la respuesta transitoria dependerá de la aplicación
que se este realizando. Y una vez echa esta consideración también será
importante considerar su amplitud y ángulo de fase que resulte en
función de la frecuencia de la señal de excitación.
)
cos(
)
(
)
( 







 
t
X
t
sen
Ae
t
x d
t
n
2
2
1 2






 
n
n
tg







cos
cos
cos
2
1
sen
X
X
X
tg
n
d

 
2
2
2
2
)
2
(
)
( 


 n
n
R
X





sen
X
A
cos


Esta familia de curvas es una prueba que
se le hace al sistema con una entrada paso
donde se podrá observar los sobre impulso
en función de ζ
Respuesta de un sistema amortiguado
con ωn = 1 rad/seg , ζ= 0.1 a una
excitación armónica de ω= 2 rad/seg

Ejemplos de aplicación
La polea de la figura es maciza y homogénea, además de que el resorte
superior no resbala sobre ella, es de masa m1 y un radio r . Si el punto B
esta sometido a un desplazamiento armónico indicado, escriba la
ecuación diferencial del movimiento
del sistema en función de la variable
x .
x
K
K
D
r
J
D
M
x
K b )
(
0 2
1
2
2
2
1 





2
1
2
1
r
M
J  (Momento de inercia de M1)

Ejemplos de aplicación
Las dos masas se deslizan por superficies horizontales lisas. La barra ABC
es de masa despreciable y esta vertical en la posición de equilibrio. Si al
punto D de la barra se aplica una fuerza P(t) = 50 sen Ωt N, determine la
máxima amplitud de la oscilación de estado estable del bloque de 10 Kg.

Bien, la velocidad a la cual se presenta la
resonancia es en w = wn (en rpm), así
b) La velocidad angular del motor y la masa equivalente al peso de 1 oz.
son
seg
rad
seg
rad
seg
rev
rad
rev
7
.
125
40
60
min
1
.
1
2
.
min
1200 

 


pie
seg
lb
seg
pie
oz
lb
oz
m
2
2
.
00194
.
0
/
2
.
32
1
.
16
1
.
1 


Ahora como no tenemos amortiguamiento , por lo tanto
Y así
0


lb
pie
seg
rad
pie
seg
lb
r
m
ma
Ro 33
.
15
2
1
.
)
7
.
125
.(
001941
.
0 2
2
2




 
in
seg
rad
pie
seg
lb
lb
M
Ro
n
R
X
00135
.
0
/
49
.
12494
)
/
.
87
.
10
/(
3
.
15
]
)
7
.
125
(
)
5
.
57
[(
/
0
)
(
max 2
2
2
2
2
2
2
2
2












Vibración de sistemas con un grado de libertad con
excitación armónica
Desbalanceo rotatorio.
Una fuente usual de vibraciones son los equipos rotatorios. Debido a
pequeñas irregularidades en la distribución de la masa de un
componente rotatorio puede causar grandes vibraciones. Esto se
conoce como desbalance rotatorio.
El desbalance rotatorio lo produce mo y
con una distancia al centro de rotación
e (excentricidad). La frecuencia de rotación
del equipo se denomina ωr . Por suma de
fuerzas obtenemos la siguiente ecuación
de movimiento:
donde xr es la distancia del desbalance con respecto al centro de rotación
y se determina como:
r
x
m
Kx
x
B
x
M 



 0




t
esen
x r
r 


Desbalanceo rotatorio
Sustituyendo en la ecuación de movimiento
Ahora haciendo:
Y arreglando la ecuación anterior tendríamos.
Dando solución a esta ecuación y quedándonos solamente con la
componente de estado estable
Definiendo como antes se obtiene:
t
sen
e
m
Kx
x
B
x
M r
r 
2
0


 


M
e
m
R r
2
0 

)
(
2 2
t
Rsen
x
x
x r
n
n 

 

 


)
(
)
( 
 
 t
Xsen
t
x r
EE
n
r
r



2
2
2
2
0
)
2
(
)
1
( r
r
r
M
e
m
X



 2
1
1
2
tan
r
r

  

𝐴 = 𝜋𝑟2

Desbalance rotatorio
Bien estas dos ultimas expresiones nos muestran la magnitud X y fase θ
del movimiento de la masa M , debido al desbalance rotatorio de la
masa mo . Notar que la masa M en las ecuaciones anteriores es la masa
total e incluye a la masa mo.
El problema de desbalance rotatorio resulta como un ejemplo en los
autos, con las ruedas desbalanceadas, boludas, o algunos parches.
Donde, wr es la velocidad del automóvil y e por el radio de la rueda.
Generalmente se siente la vibración en todo el coche, pero
principalmente en el volante, y se manifiesta mas cuando r = 1 . Esto se
reduce cuando la velocidad aumenta o disminuye.
En general un rotor que trabaja con un desbalance continuo, emitirá
ruido, se producirá un desgaste y en consecuencia mas vibración, fatiga
de los materiales y descomposturas frecuentes (desastres).

Desbalance rotatorio
En la mayoría de los casos los datos derivados de una condición de
desbalance indican lo siguiente:
1. La frecuencia de la vibración es 1 x rpm; 2x y 3x rpm en los casos de
una grave falta en el desbalance.
2. La amplitud de la vibración es proporcional a la falta de balanceo.
3. La vibración podrá ser axial, además de radial.
4. El análisis de las fases mostrara lecturas inestables

Excitación armónica en la base
Frecuentemente se tienen sistemas que son excitados armónicamente a
través de una base elástica, la que puede modelarse por resortes y
amortiguadores. Que como ya se los he dicho la suspensión de un
automóvil, es excitada armónicamente por la superficie del camino,
otros ejemplos las gomas de montajes de motores que los separan de la
base o chasis, o el motor del avión de las alas. Tales equipos se pueden
modelar considerando que el sistema es excitado por el movimiento de
la base. Consideremos la siguiente figura.
La ecuación de movimiento para este sistema
seria:
Dividiendo entre M y expresando la ecuación
en términos de ζ y ωn
Base
)
(
)
(
)
(
)
(
0 2
t
y
K
BD
t
x
K
BD
MD 




)
(
)
2
(
)
(
)
2
(
0 2
2
2
t
y
D
t
x
D
D n
n
n
n 


 





Pasando a la ecuación característica en términos de la transformada de
Laplace y considerando condiciones iniciales cero:
La fuerza que excita el equipo se manifiesta en el desplazamiento y(t) la
cual puede ser un impulso, paso, rampa, parabólica, e inclusive una
señal periódica, mas de lo anterior se podría hacer un análisis muy
extenso. Supongamos una señal de entrada periódica de excitación de
la forma:
donde Y es la amplitud del movimiento de la base y ωb representa la
frecuencia de oscilación de la base.
Sabemos de las soluciones de este tipo de ecuaciones que si la entrada es
senoidal la respuesta es también senoidal y de la misma frecuencia, así
2
2
2
2
2
)
(
)
(
n
n
n
n
s
s
s
s
Y
s
X








t
Ysen
t
y b


)
(

Bien, haciendo la transformada inversa solo para la respuesta de estado estable tendríamos
y
Y
Utilizando el principio de superposición, la solución total es la suma de ambas;
considerando solo las respuestas de estado estable
Con ahora para darle una presentación mas accesible podemos definir
X magnitud de la respuesta de estado estable (solución particular) podemos escribir como
)
cos(
)
2
(
)
(
2
)
( 1
2
2
2
2
1 










 t
Y
t
x b
b
n
b
n
b
n
2
2
1
1
2
tan
b
n
b
n






 
)
(
)
2
(
)
(
)
( 1
2
2
2
2
2
2 









 t
sen
Y
t
x b
b
n
b
n
n
)
cos(
]
)
2
(
)
(
)
2
(
[
)
(
)
(
)
( 2
1
2
/
1
2
2
2
2
2
2
2
1 








 






 t
Y
t
x
t
x
t
x b
b
n
b
n
b
n
n
b
n



2
tan 1
2



2
/
1
2
2
2
2
2
/
1
2
2
2
2
2
2
)
2
(
)
1
(
)
2
(
1
]
)
2
(
)
(
)
2
(
[ 













r
r
r
Y
X
b
n
b
n
b
n
n









Donde es denominada transmisibilidad de desplazamientos ””
Y se usa para describir el movimiento transmitido desde la base a la masa, en
función de la razón de frecuencias.
La figura ilustra la transmisibilidad
de desplazamientos y la máxima ocurre
en la frecuencia de resonancia ωb = ωn,
es en este punto donde se transmite el
mayor desplazamiento desde la
base a la masa, como se ve las curvas están
en función de la razón de amortiguamiento.
También se ve que para r menor de 1.4142 la
transmisibilidad es mayor que uno.
Esto indica que para esas combinaciones
de ωb y ωn el movimiento de la base es
amplificado por la masa.
n
b
r




Unidad 4
Balanceo de rotores y elementos rotativos
Antecedentes
Como ya lo hemos dicho el desbalance en los rotores causan problemas
de altos niveles de vibración, ruido y desgaste que en su momento son
muy evidentes. Causando una reducción en la resistencia a la fatiga de
la pieza.
Por lo que durante el proceso de manufactura los rotores deberán ser
balanceados antes de poner a trabajar la maquina.
También ya comentamos que el desbalance es porque el centro de
masa del rotor esta fuera del eje de rotación, por la desigual
distribución de masas, que impide que el eje principal de inercia
coincida con el eje de rotación. Además de otras posibles causas como,
ejes arqueados, acoplamientos desalineados, cojinetes desgastados,
engranajes desgastados, holgura mecánica, perturbaciones eléctricas,
correas de transmisión flojas o desgastadas, resonancia.

Desbalanceo rotatorio y cabeceo de flechas
Desbalanceo
Estático
Se dice en general que un cuerpo posee desbalance rotatorio cuando al
hacerlo girar el centro de gravedad no coincide con el centro o eje de
rotación, produciendo una fuerza centrifuga alterna, que deberá ser
absorbida por los bujes o cojinetes que soportan a la barra, flecha o eje
que esta rotando. Donde w velocidad de rotación.
F fuerza generada por una
excentricidad e, del centro
de gravedad con respecto
a su eje de rotación.
M masa del rotor (Kg).
e excentricidad del
rotor(m).
Cg centro de gravedad del
rotor.

Desbalanceo rotatorio y cabeceo de flechas
Desbalanceo
Dinámico = Estático + Por cople
Desbalanceo por cople o par
En este caso esta balanceado estáticamente, sin embargo las dos masas
causan un cambio de orientación de los ejes de inercia principales. Este
tipo de desbalanceo se corrige por el uso de instrumentos de medición.

Como medir el desbalanceo
La magnitud del desbalanceo llamado residual no se obtiene por un
método directo.
Para llevar a cabo dicha medición se requiere de un equipo sencillo
para medir vibración y velocidad del rotor, y usando un medidor óptico
se envían pulsos eléctricos por cada revolución del rotor para calcular
su velocidad.
Y el acelerómetro proporciona una señal eléctrica del soporte del rotor,
la cual al filtrarla nos dará la vibración. Como corregir el desbalanceo
El anterior es un algoritmo
para para corregir el desbalanceo
existen algunos otros, mas
depende del elemento, y el
lugar donde se efectuara
dicha corrección.

Ejemplo
En si el desbalance origina una fuerza centrifuga, que flexiona al eje del
rotor, y se manifiesta en forma radial, una vez por revolución, y puede
ser convenientemente medido y corregido, y se trata de una vibración
sincrónica
Se puede observar de la ecuación de la fuerza centrifuga originada por el
desbalance que crece proporcionalmente con el cuadrado de las
revoluciones del rotor.
Consideremos un desbalanceo de 6 gr. A una distancia de 60 cm en una
turbina de vapor que gira a 3600 RPM. La fuerza causada por ese
desbalanceo es:
Ahora si esa misma turbina con el mismo desbalanceo girara a 7200RPM
se produciría una fuerza neta de 208 Kg.
Kg
m
x
rev
rad
x
seg
x
rev
seg
m
Kg
x
F 52
6
.
0
2
60
min
1
min
3600
8
.
9
10
6
2
2
3





















Balanceo de rotores
Antecedentes
Por lo tanto se debe entender que un balanceo perfecto es cuando las
distancias radiales entre el centro de gravedad del rotor y el eje de
rotación son cero. El balanceo es una técnica que permite la
distribución de masas del sistema. Y es importante realizarlo en fabrica
como en campo (in situ), bajo condiciones reales.
Todas las maquinas que rotan presentan parámetros fundamentales
para el estudio de sus vibraciones: siendo estas las velocidades criticas,
ya que en estas situaciones el mecanismo vibra a sus frecuencias
naturales, y como sabemos las amplitudes de la vibración toman
valores máximos. Así por ejemplo:
Velocidad de operación Equipo
!.- Por debajo de la primera velocidad Ventiladores- bombas
critica
2.-Entre la primera y segunda En general turbinas de
velocidad critica vapor
3.-Entre la segunda y la tercera compresores centrífugos
velocidad critica Algunas turbinas de vapor

Balanceo de rotores
Resulta fundamental tener en cuenta la velocidad de régimen, respecto a las
velocidades criticas de la maquina en el momento de efectuar la operación
de balanceo, pues las altas velocidades son de mayor efecto, por lo que
habrá que realizar el balanceo con mas cuidado.
Desbalanceo Estático
Para rotores simples como el de la figura, el balanceo es sencillo porque se
resuelve aplicando solo una masa m (o contrapeso) en la posición
correspondiente. En el caso
de rotores largos y flexibles,
el procedimiento es mas
complicado debido a que la
distribución del desbalance
cambia a lo largo del rotor,
estos aspectos afectan la posición
donde los contra peso se colocaran.
OJO

Balanceo de rotores
Conceptos y principios para balancear rotores rígidos
Un rotor rígido se dice que esta perfectamente balanceado cuando el
valor medido de las vibraciones sincrónicas en la maquina es reducido
a cero, para lo cual se requiere de especial equipo de medición y
herramientas adecuadas.
Un rotor rígido puede ser balanceado mediante la adición de contrapesos
o quitando material en cualquiera de los planos normales al eje de la
barra, estos métodos son:
Adición de contrapesos Quitando material
1. La adición de estaño a. Taladrado
2. Rondanas atornilladas o remachadas b. Fresado
3. Contrapesos soldados c. Pulido
4. Contrapesos de plomo

Balanceo de rotores
Conceptos y principios para balancear rotores rígidos
La función de los contrapesos (o quitar material) es trasladar el centro
de gravedad hasta que este se encuentre sobre el eje de rotación para
después lograr que el eje principal de inercia que pasa a través del Cg
coincida con el eje de rotación o sea paralelo a el.
Cuando el eje de rotación es paralelo al eje de inercia se presenta una
fuerza radial neta que actúa sobre el eje del rotor y se debe a su
aceleración centrifuga la magnitud de esta fuerza es:
En la figura se muestra la posición
de la fuerza neta radial y sus
respectivas reacciones en los
rodamientos
2

mr
F 
2
2
1 
mr
l
a
F  2

mr
F 
2
1
2 
mr
l
a
F 

Balanceo de rotores
Balanceo Dinámico
Con este breve estudio se puede concluir:
1.-Una maquina dinámicamente balanceada estará también estáticamente
balanceada; la situación inversa no siempre se cumple, sobre todo en
rotores largos.
2.-Al determinar las magnitudes de las masas de corrección, se asume,
que estas estarán ubicadas a igual distancia radial del eje de rotación, así
se compensara la fuerza centrifuga original.
Se desarrollara en este punto, uno de los métodos de balanceo utilizados
para balancear rotores largos, es decir aquellos que deberán ser
balanceados mediante la adición de masas de corrección en dos planos de
balanceo.
Como requisito del balanceo, deberá mantenerse constante la velocidad
de régimen o nominal del rotor, ya que las señales de salida de los
sensores de medición son proporcionales a la frecuencia y a la amplitud
de la vibración

Balanceo de rotores
En general hay que utilizar sensores magnéticos de alta sensibilidad, cuya
señal será la amplitud de la vibración; un dispositivo para medir ángulos
de fase, que se ubicara cerca de uno de los extremos de la maquina.
Los planos extremos se denominan plano frontal y plano trasero, (PF y PT,
respectivamente), en relación a la ubicación al operador que, realiza los
ensayos o corridas, viendo esta desde el PF.
Los ángulos son positivos en sentido anti horario.
El método dará una serie de valores de desplazamientos y de ángulos de
fase, que se obtienen realizando tres corridas a velocidad nominal o de
régimen de la maquina, en su propia instalación. Las tres corridas serán:
a. La primera corrida medirá la vibración producida por el desbalance
original.
b. En la segunda se coloca un contrapeso conocido (wc) en el PF y se
mide el efecto producido en ambos planos, es decir, en PF y PT.
c. Y en la tercera corrida, se repite lo anterior, colocando el contra peso
conocido en el PT, midiendo el efecto producido en ambos planos PF
y PT.

Balanceo de rotores
De estas tres mediciones se obtendrán los siguientes datos, como se
presentan en la siguiente tabla1

Balanceo de rotores
Ahora, cuando un rotor ya esta balanceado estáticamente, el eje principal
de inercia y el eje de rotación pueden no coincidir, esto significa que el
procedimiento de balanceo estático confirma que solamente existe un
punto en común entre el eje principal de inercia y el eje de rotación, el
cual es el Cg.
Entonces, para lograr la coincidencia entre ejes se debe aplicar un par en
el plano longitudinal del rotor. Esto se logra añadiendo o removiendo
dos masas de igual magnitud de cada extremo del rotor a esto se le
llama balanceo dinámico, como se indica en las figuras:

Balanceo de rotores
Efecto de desbalance estático y dinámico en el movimiento de
un rotor libre

Balanceo dinámico en uno y dos planos por
el método de coeficientes de influencia
Balanceo en un plano mediante el método de los coeficientes de
influencia
Este método es conocido como método de grafica polar. De hecho este
método es la base para los códigos de programas que efectúan balanceo
en 2 o mas planos. Y se realiza midiendo la amplitud y la fase de la
vibración en los apoyos realizando varias corridas de prueba. Es
necesario contar con un transductor de vibraciones y un analizador.
El procedimiento es como sigue:
1. Con la maquina en reposo, dar vuelta al rotor hasta que el excitador
del transductor de señal; ahora, haga una marca P en el rotor bajo el
transductor.
2. Haga la primera corrida, mida la amplitud de vibración sincrónica V y
el ángulo de fase θ . El ángulo θ es el ángulo de la marca P alrededor
del vector de vibración, tomando positiva la dirección opuesta a la de
rotación. (El vector de vibración rota en sincronía con el rotor, y no
cambia y es fijo al rotor a cualquier velocidad).

3. Pare el rotor y coloque un contrapeso de prueba m̕ a la distancia
angular Ψ̕ a partir de la marca P , usando la misma convención de
signos que en el paso 2.
4. Ponga el rotor en operación a la misma velocidad de corrida y mida la
nueva amplitud de vibración V̕ ̕ y su ángulo de fase θ̕ .
5. Usando los datos de los pasos 2-4 determine la masa de balanceo m y
su ángulo. El contrapeso de prueba m̕ se remueve, y se coloca la masa
de balanceo calculada

En la siguiente figura se puede ver un ejemplo de la construcción
geométrica de este método. Donde A representa el efecto del
contrapeso de prueba.
Grafica mostrando la determinación de la masa de corrección
para balanceo en un plano
θ
θ̕
V
V̕ ̕
V
ξ

Balanceo dinámico en un plano por el
Este método asume que existe una relación lineal entre el desbalance y la
vibración que resulta de el. O sea que si el desbalance se duplica, las
mediciones de vibraciones también lo harán.
En términos de los coeficientes de influencia
V =CU
donde es el vector de desbalance y C , un coeficiente de
influencia que determina al vector V .Este coeficiente cuenta con una
amplitud C a un ángulo ξ , por lo que . La amplitud C es
una medida de la sensibilidad del sistema rotor-rodamientos al
desbalance, y el ángulo ξ , es el ángulo por el que el desbalance genera
la vibración.
Ahora según la figura anterior que: V ̕ = V + A
en términos del coeficiente de influencia a la velocidad seleccionada,
V ̕ = CU + CM ̕
1
1

j
e
m
U 

j
Ce
C 
)
(
,
, ,
)
( 

 


 i
i
e
Cm
Ae
A
CM

Balanceo dinámico en un plano usando el
Nótese que el efecto deseado del contrapeso de prueba es A= -V o
-V=CM
Donde M es el vector de masa de balance
M = αM̕
donde α es un coeficiente. Ahora tomando las ecuaciones anteriores se
obtiene -V=CαM̕ = αA
por lo que α = -V/A
En términos exponenciales, podemos calcular el vector de masa de
balanceo )
(
,
,
)
( ,
,





 



 i
i
i
i
e
A
Vm
e
m
e
A
V
me
M

Balanceo dinámico en un plano usando el
donde,
Todos los términos de la ecuación anterior del lado derecho son
conocidos debido a que



 

 )
(

i
Ae
V 

Balanceo dinámico en dos planos usando el
Un procedimiento por el cual la distribución de masa de un rotor rígido es
ajustado para asegurar que el desbalance dinámico residual se
encuentre dentro de limites específicos.
Como regla general el balanceo en dos planos es requerido en todos los
rotores rígidos largos y en todos los rotores en forma de disco en los
cuales las tolerancias de balanceo no han sido alcanzadas mediante el
balanceo en un solo plano.
Para balanceo dinámico, la corrección del desbalance debe ser en dos
planos radiales del rotor, además es recomendable que los planos de
corrección se seleccionen muy separados y los radios de corrección
sean tan grandes como sea posible en estos planos. Esto dará como
resultado que las masas de corrección sean tan pequeñas que alcancen
las tolerancias necesarias.

Balanceo dinámico
Rotores típicos que requieren balanceo en dos planos

Balanceo dinámico
Planos de corrección recomendadas A y B

Balanceo dinámico
Las vibraciones pueden ser medidas usando sensores de vibración sobre
las chumaceras o sensores de vibración sin contacto sobre el eje.
Dos planos de balanceo requieren dos planos de medición. De ser posible
se elijen los planos donde se encuentran las chumaceras.
La dirección radial en la cual la vibración mas grande ocurre será
seleccionada como dirección de la medición. Esta puede ser en la
dirección vertical u horizontal.
Planos de corrección A y B y planos de medición 1 y 2

Balanceo dinámico
Medición del desbalance original o tal cual.
Se corre el rotor a velocidad de operación, las vibraciones se miden en
ambos planos y se guardan para posteriormente procesarlos.
Colocación de las masas de prueba.
Coloca una masa de prueba en el plano A. Esta masa tendrá una
influencia en las vibraciones por desbalance en los planos 1 y 2. Una vez
alcanzada la velocidad de operación se miden las vibraciones en ambos
planos. Esta masa de corrección colocada en el plano A se retira y esta
misma u otra masa de prueba se coloca en el plano de medición B. Se
realizan las mediciones a la velocidad de operación en los planos de
corrección, y se guardan para su posterior procesamiento.
Toda la información sobre el desbalance dinámico, se encuentra en el
archivo de la computadora y por medio del programa basado en el
método de coeficientes de influencia se obtienen las masas y ángulos
requeridos para el balanceo.

Balanceo dinámico
Corrección del desbalance.
Después de colocar las masas de corrección en las posiciones indicadas
por el programa, se requiere una corrida de verificación, para
determinar en que cantidad se redujeron las vibraciones o si hay un
desbalance residual.

Recomendaciones y normas para limites de
tolerancia de vibración
La manera de cómo se lleve a cabo el balanceo depende netamente de las
condiciones mecánicas del rotor (flexible o rígido). Mas allá de las
condiciones físicas, el procedimiento de balanceo es esencial, ya sea en
los puntos de muestreo, como en la corrección misma.
Como el nivel de tolerancia no es mas que un criterio basado en la
experiencia, no ha de descartarse la posibilidad de una falla antes de
alcanzar tales niveles de vibración.
Actualmente, mediante acuerdos internacionales se establece la medida
del valor eficaz (RMS) usada en la medición y análisis de vibración es la
velocidad VRMS . A este parámetro se le conoce como severidad o
gravedad de vibración y puede ser medido en mm/s o in/s.
Investigar
ISO 1940/1-VDI(Anexo I) ISO 2631 ISO 2631(Anexo VII)
ISO 7919 (Anexo VI) ISO 2372-VDI 2056 ISO 20806

Recomendaciones y normas
Siempre que se realiza un balanceo se debe considerar un valor residual,
ya que es imposible alcanzar un balanceo perfecto, por lo mismo hay
que ajustarse a las normas en los niveles de vibración.

Unidad V
Sistemas con varios grados de libertad
Vibración de modo normal para sistemas de dos grados de libertad
El numero de grados de libertad, necesarios para el análisis vibratorio
de un sistema mecánico, es el numero de coordenadas cinemática
mente independiente, requerido para especificar el movimiento de
cada partícula contenida en el sistema; el numero de grados de libertad
se determina por:
N° G.L. = N° de masas x N° de posibles tipos de movimientos de c/masa
Por lo que, un sistema de 2 gl, requiere de dos ecuaciones de
movimiento, una para cada grado de libertad. Suponiendo soluciones
armónicas para cada ecuación de movimiento, resultaran dos
frecuencias naturales, y sus amplitudes estarán relacionadas de una
manera especifica y a este resultado se la llama, modo normal o modo
principal o modo natural de vibración.

Vibración de modo normal para sistemas de
dos grados de libertad
Así, un sistema de 2 gl tiene dos modos normales de vibración, que
corresponden a las dos frecuencias naturales.
Las ecuaciones de movimiento de sistemas con 2 gl , normalmente
están acopladas, pero se podrán escribir de forma que contengan solo
una coordenada (desacoplar), y resolverse independientemente. Al
grupo de coordenadas de las ecuaciones desacopladas se les llama
coordenadas principales.

Vibración de modo normal para sistemas de
dos grados de libertad
El estudio del comportamiento dinámico de este tipo de sistemas
facilitara la introducción de conceptos como respuesta síncrona,
frecuencias de resonancia y critica y análisis nodal.
Ecuaciones de movimiento: Formulación matricial.
Sea el sistema discreto de 2gl de la figura, las ecuaciones diferenciales
de movimiento se obtienen aplicando a cada una de las masas el
equilibrio de fuerzas en la dirección de movimiento.
Sistema con dos grados de libertad

Ecuaciones de movimiento:
Formulación matricial
Bien escribiremos como verán el caso general, ósea, con amortiguamiento
y con excitación forzada pudiendo llegar a la condición de frecuencia
de resonancia.
Así, teniendo en cuenta que la fuerza en el resorte y amortiguador del
centro de la figura dependen de la posición y velocidad relativas entre
ambas masas, estableciendo el equilibrio de fuerzas en los
movimientos x’s tendríamos:
Por lo tanto: para la masa M1 o desplazamiento x1
y para la masa M2 o desplazamiento x2

  )
(
)
( consumidas
F
s
aplicada
F
2
2
2
2
1
2
1
1
2
1
1
1
1 )
(
)
(
)
( x
K
x
B
x
K
K
x
B
B
x
M
t
F 





 



1
2
1
2
2
3
2
2
3
2
2
2
2 )
(
)
(
)
( x
K
x
B
x
K
K
x
B
B
x
M
t
F 





 




Ecuaciones diferenciales, que no son independientes y constituyen un sistema
ya que ambas incógnitas x1(t) y x2(t) aparecen en las dos, por lo que se les
llama ecuaciones diferenciales acopladas de segundo orden y las podemos
expresar matricialmente:
O de forma mas abreviada, con notación matricial:
Las matrices [M], [B], y [K] llamadas respectivamente matriz de masas o
inercias, matriz de amortiguamiento, y matriz de rigidez, y son simétricas.





















































)
(
)
(
0
0
2
1
2
1
3
2
2
2
2
1
2
1
3
2
2
2
2
1
2
1
2
1
t
F
t
F
x
x
K
K
K
K
K
K
x
x
B
B
B
B
B
B
x
x
M
M






          
)
(t
F
x
K
x
B
x
M 

 



Se observa, además, en este sistema que la matriz [M] es diagonal. Esta
es una característica de los sistemas de parámetros discretos, que no es
muy frecuente. Si en la formulación matricial las tres matrices fueran
diagonales, las dos ecuaciones serian independientes o estarían
desacopladas, y en tal situación la solución de cada una de ellas se haría
como para los sistemas de un solo grado de libertad.
Tarea: (del libro de Dazzo & Houpis).

Vibraciones libres no amortiguadas.
Modos de vibración
La solución de problemas de vibraciones libres no amortiguadas permitirá
determinar los parámetros modales característicos de los sistemas con
dos grados de libertad:
Sus dos frecuencias naturales y sus dos modos naturales de vibración.
Para las ecuaciones anteriores, supongamos que no tenemos fuerzas de
excitación aplicadas al sistema y que los amortiguamientos o elementos
disipativos de energía son nulos, el sistema de ecuaciones, para los
desplazamientos se reduce a:
La solución de este tipo de sistema de ecuaciones diferenciales puede
abordarse por distintos procedimientos. Casi podemos asegurar que el
sistema realizara un movimiento armónico síncrono.




































0
0
0
0
2
1
3
2
2
2
2
1
2
1
2
1
x
x
K
K
K
K
K
K
x
x
M
M





Vibraciones libres no amortiguadas
Modos de vibración
Supondremos de igual manera, a como lo hicimos para sistemas de un
grado de libertad, soluciones de la forma:
Sustituyendo estos valores, en las ecuaciones anteriores y aplicando sus
derivadas correspondientes, se obtendrán dos ecuaciones:
Lo que constituye un sistema de ecuaciones en X1 y X2. Para que dicha
ecuación tenga solución diferente de cero, se tendrá que cumplir que el
determinante del sistema sea nulo. Desarrollando el determinante y
ordenando, se obtiene una ecuación bicuadratica cuyas raíces son:
t
i
t
i
e
X
t
x
e
X
t
x 

2
2
1
1 )
(
,
)
( 

0
)
(
0
)
(
2
3
2
2
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1











X
K
K
M
X
K
X
K
X
K
K
M



Modos de vibración
2
1
2
2
2
1
2
11
2
22
1
2
1
11
2
22
1
2
2
4
)
(
2
)
(
M
M
K
M
M
K
M
K
M
M
M
K
M
K
M 





Si ω1 y ω2 son las dos soluciones de la ecuación, como ya suponíamos
solo podrá tener movimiento armónico en estas dos frecuencias llamadas:
Frecuencias naturales del sistema
El sistema de dos ecuaciones en X1 y X2 puede ponerse a su vez, en la forma:
Sustituyendo en cualquiera de estas expresiones los valores de ω1 y ω2 se
determina la relación existente entre las amplitudes de los movimientos de
las dos masas. Los movimientos síncronos que cumplen esta relación de
amplitudes son armónicos, y reciben el nombre de:
Modo natural de vibración
1
2
2
1
2
2
1
M
K
K
K
X
X




2
2
2
3
2
2
1
K
M
K
K
X
X 




Modos de vibración
Hay dos modos naturales
)
,
(
)
,
( 2
2
2
1
1
2
1
1 X
X
y
X
X
Uno para cada frecuencia ω1 y ω2 . Al desplazar el sistema de su posición
de equilibrio según un modo natural y soltarlo, comenzara a oscilar libre y
armónicamente a la frecuencia del modo.
Propiedades de los modos de vibración.
Una propiedad de importancia y de gran utilidad en el estudio de vibraciones
es la ortogonalidad de los modos. Gracias a ella podemos desacoplar las
ecuaciones del movimiento convirtiéndolas en su momento en N ecuaciones
(para sistemas de N GdL) ecuaciones diferenciales independientes por medio
del cambio de variables conocido como transformación modal.
Así basándonos en las ecuaciones anteriores de las frecuencias naturales y
sus modos correspondientes

Propiedades Ortogonales
Se puede demostrar que, ambos modos son ortogonales entre si
respecto a las matrices de inercia y rigidez, es decir:
Como las amplitudes de un modo no están determinadas mas que en la
relación existente entre ellas, es una practica habitual el normalizar los
modos de forma que:
  0
0
0
, 2
2
2
1
2
1
1
2
1
1 












X
X
M
M
X
X   0
, 2
2
2
1
22
2
2
11
1
2
1
1 














X
X
K
K
K
K
X
X
  1
0
0
, 1
2
1
1
2
1
1
2
1
1 












X
X
M
M
X
X

Matriz Nodal
Bien, extenderemos lo anterior de 2GL al caso general de N GL
Atentos: solo añadiremos los conceptos mas importantes ya que el tema
en si ya fue visto en sistemas de 1 y 2 GL.
Por otro lado, en este estudio de los sistemas de N GL, si se prestara una
especial atención al problema de desacoplar las ecuaciones
diferenciales del movimiento por medio del análisis nodal.
Aunque el planteamiento siguiente ya se hizo para sistemas de 2 GL lo
haremos para el caso general.
Una vez que se han determinado los grados de libertad del sistema,
podrán definirse o clasificarse los coeficientes de rigidez, inercia y
amortiguamiento.
 Coeficientes de rigidez Kij: fuerza que hay que aplicar según el GL i
para producir un desplazamiento unidad según el GL j y cero según
todos los demás GL.
 Coeficientes de Masa o inercia Mij: lo mismo que el anterior solo que
en lugar de desplazamiento póngale aceleración.
 Coeficientes de amortiguamiento Bij: lo mismo que el anterior solo que
en lugar de aceleración póngale velocidad.

Matriz Modal
El modo de calcular los coeficientes Kij, Mij, Bij, es propio del método de
discretizacion que se adopte, en este caso , se supondrán conocidos. A
su vez, los coeficientes anteriores se agrupan formando matrices
llamadas matriz de inercia [M], matriz de amortiguamiento [B], matriz
de rigidez [K].
Puestos a calcular las ecuaciones diferenciales de un sistema de N GL, si el
sistema es lineal, podremos aplicar el Principio de superposición,
aplicando las condiciones de equilibrio o sea:
Sistema de N ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden, que
puede establecerse con notación matricial de la forma:
Estas serian las ecuaciones diferenciales del sistema. Obsérvese la
similitud con los sistemas de uno y dos grados de libertad.
)
(
1
1
1 t
Fi
j
X
Mij
j
X
Bij
KijXj n
j
n
j
n
j 

 




 i=1,2,….n
          
)
(t
F
x
K
x
B
x
M 

 



Vibraciones libres de sistemas no
amortiguados de N GL.
Suponiendo que no tenemos cargas exteriores actuando y que no hay
términos disípativos, las ecuaciones diferenciales de equilibrio se
reducen a:
con las condiciones iniciales
         
0
)
(
)
( 


 t
x
K
t
x
M 

   ,
)
0
( 0
x
x 
    
0
)
0
( x
x 

Análisis modal
Concepto
El análisis modal es el proceso de determinación de las características
dinámicas relativas a un sistema mecánico y necesarias para la
posterior formulación de un modelo matemático que nos diga del
comportamiento dinámico del sistema. Este modelo esta basado en los
parámetros modales, es decir: frecuencias naturales, modos de
vibración y relaciones de amortiguamiento.
Este análisis modal parte de la hipótesis lineal de considerar que la
respuesta en vibración del sistema puede ser expresada como una
combinación de una serie de movimientos armónicos simples llamados
modos naturales de vibración, intrínsecos al sistema y determinados
por el valor y distribución de su masa, amortiguamiento, y rigidez.
Cada modo se define a partir de sus parámetros modales: frecuencia
natural, amortiguamiento modal y forma característica de
desplazamiento.

Análisis modal
El análisis modal nos ayudara a realizar correctamente un diseño:
 Se plantea un sistema previo y se determinan- analíticamente o
experimentalmente – las frecuencias y modos naturales de vibración.
 A la vista de las frecuencias, es posible que se desee aumentar o
disminuir alguno de dichos valores. Por lo que el correspondiente
modo proporciona la información de que hacer: para aumentar una
frecuencia natural basta aumentar la rigidez del sistema de forma que
se obstaculice la deformación del modo correspondiente, o bien
disminuir la masa de las partes del sistema que tienen desplazamientos
de mayor amplitud.

Análisis modal
Fundamentos teóricos.
El fundamento teórico de la aplicación del método de análisis modal se
basa en la relación existente entre la matriz de transferencia [H(ω)] y
las frecuencias y modos naturales de vibración.
Solo trataremos el caso del amortiguamiento nulo, ya que solo nos
interesa por ahora introducir el concepto.
Para un sistema de N GL sin amortiguamiento sometido a una acción
externa {F(t)} , la ecuación de equilibrio dinámico será:
Para el desarrollo que aquí se pretende, se determinaran los
desplazamientos armónicos, para fuerzas de excitación también
armónicas. Ósea
Donde {X}, es el vector amplitud de la respuesta, es precisamente la
incógnita del problema
       
)
(
)
(
)
( t
F
t
x
K
t
x
M 



        t
j
t
j
e
X
t
x
e
F
t
F 


 )
(
,
)
(

Análisis Modal
Bien:
Derivando {x(t)} respecto al tiempo, y sustituyendo y eliminando el
termino exponencial, se obtiene la expresión que relaciona las
amplitudes de la respuesta y la excitación:
La solución {X} de la ecuación se expresara en función de los modos
naturales de vibración del sistema. En realidad, dichos modos no son
otra cosa sino los posibles movimientos armónicos que pueden tener
lugar en el sistema en condiciones de excitación nula, es decir , que
vendrán dados por la solución de:
En términos algebraicos, este es un problema de valores y vectores propios
generalizado. Sean dichos valores propios
   
     
F
X
K
M 


 2

   
     
0
2



 X
K
M

2
2
2
2
2
1 ,
,
,
, n
r 


 







Análisis Modal
y los vectores propios asociados:
que coinciden respectivamente con las frecuencias y modos naturales
de vibración. Además los modos de vibración son ortogonales respecto
[M] y [K] , es decir:
donde mr , y kr son llamadas inercia y rigidez modal.
Particularizando la ecuación para el valor y vector propio *r*
y premultilpicando por resulta:
Ecuación que indica como cada frecuencia natural es el cociente entre la
constante de rigidez modal y la inercia modal correspondiente, es
decir:
      
n
r
X
X
X
X 




 ,
,
, 2
1
     rs
r
r
T
s
m
X
M
X 
      rs
r
r
T
s
k
X
K
X 

    
     
0
2



 r
r
r X
K
X
M

 T
r
X 0
2


 r
r
r k
m

r
r
r m
k

2


Análisis Modal
Expresión similar a la frecuencia natural para un sistema de 1 GL.
Por otro lado, los vectores propios forman un sistema de N vectores
linealmente independientes que pueden formar una base en un espacio
vectorial de dimension N. Por tanto, el vector incógnita {X} se podra
expresar como una combinacion lineal con coeficientes de valor
desconocido γ de los vectores de la base:
Sustituyendo esta expresión de {X} en:
premultiplicando por el vector y teniendo en cuenta las
condiciones de ortogonalidad, se llega a la expresión
 
r
X
   
r
r
n
r X
X 
1


   
     
F
X
K
M 


 2

 T
r
X
   
F
X
k
m
T
r
r
r
r
r 



 
 )
( 2

Análisis Modal
De donde se puede despejar el coeficiente
con lo que el vector {X} resulta:
Expresión muy importante ya que entre otras cosas:
 Establece que cuando la frecuencia de excitación ω coincide con una de
las frecuencias naturales ωr amplitud de la respuesta según el
correspondiente modo natural se hace infinita, pues hay un
denominador igual a cero. Es decir, tiene lugar un fenómeno de
resonancia.
   
)
( 2
r
r
T
r
r
k
m
F
X





         





 






2
2
1
2
1 1
)
(
r
r
r
n
r
r
r
r
T
r
n
r k
F
X
k
m
X
F
X
X




Análisis Modal
Fenómeno de resonancia: Vibración de Torsión, termina por destruirse

Análisis Modal
 Permite también determinar fácilmente la expresión de la matriz de
transferencia [H(ω)] . Atentos: Primero, sabemos que le matriz de
transferencia relaciona la amplitud del desplazamiento y la fuerza en la
forma:
{X}=[H(ω)]{F}
Segundo, el numerador de la fracción es un escalar, y por lo tanto su
producto con el vector propio es conmutativo. Luego, reordenando la
expresión:
      
F
k
X
X
X
r
r
T
r
r
n
r





 


2
2
1
1



Análisis Modal
Y comparando se concluye que la Matriz de Transferencia puede
expresarse en términos de modos y frecuencias de vibración
El problema inverso, es decir, la determinación de las frecuencias y modos
naturales a partir del conocimiento de la matriz de transferencia
constituye el núcleo del Análisis Modal Experimental. La Herramienta
matemática usada para resolverlo es un ajuste de funciones basado en
la ecuacion anterior y en la que los parámetros a determinar son los
modos y frecuencias naturales.
    





 


2
2
1
1
)
(
r
r
T
r
r
n
r
k
X
X
H




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