Se habla de unas pocas aplicaciones del efecto tunel, la teoria que concierne entrando en detalle con las ecuaciones y sus soluciones.

1. Barrera de potencial
Integrantes
Julián David Hoyos Guerrero 102211010227
Juan David Muñoz Bolaños 102212011232

2. Qué es el tunelamiento cuántico?
 A nivel cuántico, la materia tiene
propiedades corpusculares y
ondulatorias.
 El tunelamiento puede sólo ser
explicado mediante la teoría
cuántica.
 Clásicamente, cuando una
partícula incide en un barrera de
mayor energía que la partícula,
entonces se presenta reflexión
total.
 Cuando se le asocia una función
de onda a la partícula, está tiene
un probabilidad de que exista en
la barrera e incluso luego de la
barrera.
El video muestra el efecto túnel cuando
la barrera cambia de grosor.

3. Por qué puede ser
posible esto?
 La solución de la ecuación de
Schrödinger en una zona diferente a
la barreara tiene la forma general (I)
 La solución en la barrera es de la
forma (II)
 La función de onda decae
exponencialmente en la barrera
 Si existe alguna porción de la función
de onda después de la barrera, existió
transmisión
 El grosor de la barrera de potencial es
el factor mas importante en la
probabilidad de que exista
transmisión.
ᴪ 𝑥 = 𝐴𝑒 𝑖𝑘𝑥 + 𝐵𝑒−𝑖𝑘𝑥 (I)
ᴪ 𝑥 = 𝐶𝑒 𝑘𝑥 + De−kx (II)
Barrera de potencial
𝑉 𝑥 =
0, 𝑥 ≤ 0
𝑉𝑜, 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿
0, 𝑥 ≥ 𝐿
Densidad de probabilidad de la onda
incidente

4. Importantes aplicaciones del efecto
túnel
Electrónica del estado solido
• Diodos túnel y dispositivos generadores de microondas
• Tecnología de contacto óhmico
Medicina
• Radioactividad en diagnósticos
• Terapia mediante radiación
Antropología
• Determinar la edad de los objetos mediante carbono 14
Ciencia de los materiales
• Caracterización de superficies mediante escaneo por tunelamiento
microscópico.

5. Diodo Túnel
 Los diodos túnel son diseñados para que
tengan un alto dopaje en la unión p-n para
generar una barrera de ancho de
alrededor 10nm
 A bajos voltajes, la banda de conducción
del material n y la banda de valencia del
material p son alineadas de tal forma que
los electrones pueden realizar tunelamiento
a través del pequeño gap
 En el pico máximo, la banda de
conducción esta lo mas cerca posible con
la banda de valencia, el gap es mínimo.
 Existen una región de resistencia negativa
debido al desalineamiento de las bandas
de conducción y valencia
Imagen de un
diodo túnel:
Es muy utilizado
para diseñar
circuitos osciladores
de alta frecuencia
del orden de.
Curva característica del diodo túnel:
Se observa las regiones donde actúa el
efecto túnel, antes de Vp

6. Microscopio de
efecto túnel
 5nm superficie de
cobre con 48 átomos
de hierro. La barrera
circular del hierro
tiene un radio de 71,3
Angstroms.
• Este microscopio utiliza el efecto túnel
de los electrones en la superficie de los
materiales para caracterizarlas.
• Depende de la inyección de electrones
por parte de una pequeña punta
(radio=1Å) de un material estable como
el diamante.
• La corriente de efecto túnel aumenta
exponencialmente con la distancia
entre la punta y la superficie.
• Esta corriente de efecto túnel a voltaje
fijo se ajusta para igualar la corriente
constante del circuito variando la
distancia, como la punta se puede
mover en x-y-z se obtienen imágenes en
3d de los átomos en la superficie.

7. El potencial esta definido como:
𝑉𝑋 =
0 , 𝑥 < 0
𝑉0 , 0 < 𝑥 < 𝑎
0 , 𝑥 > 𝑎
La ecuación de Schrödinger para este caso
es :
−
ћ2
2𝑚
𝜕2
Ψ1
𝜕2 𝑥
= EΨ1, 𝑥 < 0
−
ћ2
2𝑚
𝜕2
Ψ2
𝜕2 𝑥
= E −𝑉0 Ψ2, 0 < 𝑥 < 𝑎
−
ћ2
2𝑚
𝜕2
Ψ3
𝜕2 𝑥
= EΨ3, 𝑥 > 𝑎
En la mecánica clásica es imposible
que una partícula pueda atravesar
una barrera de potencial, pero lo
impresionante de la mecánica
cuántica es que predice que si puede
existir una probabilidad de que la
partícula este en la barrera e incluso
después de ella.
Caso I: E<𝑉0

8. La solución posible de la ecuación de
Schrödinger es:
ᴪ(x)=
𝐴𝑒 𝑖𝑞1 𝑥 + 𝐵𝑒−𝑖𝑞1 𝑥, 𝑥 < 0
𝐶𝑒 𝑞2 𝑥
+ 𝐷𝑒−𝑞2 𝑥
, 0 < 𝑥 < 𝑎
𝐹𝑒 𝑖𝑞3 𝑥
+ 𝐺𝑒−𝑖𝑞3 𝑥
, 𝑥 > 𝑎
Donde 𝑞1
2
=
2𝑚𝐸
ћ2 , 𝑞2
2
=
2𝑚(𝑉0−𝐸)
ћ2 , 𝑞3
2
= 𝑞1
2
Debido a que la función en la región
3 no se refleja con nada G=0
Tenemos:
ᴪ(x)=
𝐴𝑒 𝑖𝑞1 𝑥
+ 𝐵𝑒−𝑖𝑞1 𝑥
, 𝑥 < 0
𝐶𝑒 𝑖𝑞2 𝑥
+ 𝐷𝑒−𝑞2 𝑥
, 0 < 𝑥 < 𝑎
𝐹𝑒 𝑖𝑞1 𝑥 , 𝑥 > 𝑎
Caso I: E<𝑉0
Se establece que la partícula se dirige
desde la izquierda hacia la derecha
como se muestra en el grafico:
El grafico muestra la densidad de
probabilidad de la partícula

9. En este tipo de problemas es muy importante encontrar los coeficientes de
probabilidad de transmisión y reflexión de la partícula
Utilizando las condiciones iniciales
Ψ(0), Ψ(a),
𝑑Ψ(0)
𝑑𝑥
y
𝑑Ψ(a)
𝑑𝑥
para cada zona encontramos.
1) 𝐴 + 𝐵 = 𝐶 + 𝐷 Ψ1(0) =Ψ2(a)
2) 𝐴 − 𝐵 = (𝐶 − 𝐷)(
𝑞2
𝑖𝑞1
)
𝑑Ψ1(0)
𝑑𝑥
=
𝑑Ψ2(a)
𝑑𝑥
3) 𝐶𝑒 𝑞2 𝑎
+ 𝐷𝑒−𝑞2 𝑎
= 𝐹𝑒 𝑖𝑞1 𝑎
Ψ2(0) =Ψ3(a)
4)𝐶𝑒 𝑞2 𝑎
+ 𝐷𝑒−𝑞2 𝑎
=
𝑖𝑞1
𝑞2
𝐹𝑒 𝑖𝑞1 𝑎 𝑑Ψ2(0)
𝑑𝑥
=
𝑑Ψ3(a)
𝑑𝑥
𝑒 𝑞2 𝑎
𝑒−𝑞2 𝑎
𝑒 𝑞2 𝑎
−𝑒−𝑞2 𝑎
𝐶
𝐷
=
1
𝑖𝑞1
𝑞2
𝐹𝑒 𝑖𝑞1 𝑎
Se arma la matriz con las ecuaciones (1) y (2)
1 1
1 −1
𝐴
𝐵
=
1 1
−𝑖𝑞2
𝑞1
𝑖𝑞2
𝑞1
𝐶
𝐷
Se arma la matriz con (3) y (4)

10. Multiplicamos por la inversa de las matrices para dejar las constantes
A,B,C y D libres en el lado izquierdo.
𝐴
𝐵
=
1
2
1 1
1 −1
1 1
−𝑖𝑞2
𝑞1
𝑖𝑞2
𝑞1
𝐶
𝐷
𝐶
𝐷
=
1
2
𝑒−𝑞2 𝑎
𝑒−𝑞2 𝑎
𝑒 𝑞2 𝑎 −𝑒 𝑞2 𝑎
1
𝑖𝑞1
𝑞2
𝐹𝑒 𝑖𝑞1 𝑎
Obtenemos:
𝐴
𝐵
=
1
2
1 −
𝑖𝑞2
𝑞1
1 +
𝑖𝑞2
𝑞1
1 +
𝑖𝑞2
𝑞1
1 −
𝑖𝑞2
𝑞1
𝐶
𝐷
𝐶
𝐷
=
1
2
𝑒−𝑞2 𝑎(1+
𝑖𝑞1
𝑞2
)
𝑒 𝑞2 𝑎(1−
𝑖𝑞1
𝑞2
)
𝐹𝑒 𝑖𝑞1 𝑎
La inversa de la primera matriz
es ella misma por el coeficiente
½, la razón es que para una
matriz de 2x2 su inversa se
obtiene de la siguiente
manera:
𝐴 =
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
𝐴−1
=
1
𝑎𝑑 − 𝑐𝑏
𝑑 −𝑏
−𝑐 𝑎

11. Reemplazando C y D en A y B tenemos:
𝐴
𝐵
=
1 −
𝑖𝑞2
𝑞1
1 +
𝑖𝑞2
𝑞1
1 +
𝑖𝑞2
𝑞1
1 −
𝑖𝑞2
𝑞1
𝑒−𝑞2 𝑎(1+
𝑖𝑞1
𝑞2
)
𝑒 𝑞2 𝑎(1−
𝑖𝑞1
𝑞2
)
𝐹
4
𝑒 𝑖𝑞1 𝑎
Realizamos la multiplicación respectivas y obtenemos:
𝐴
𝐵
=
𝑒−𝑞2 𝑎 1+
𝑖𝑞1
𝑞2
1−
𝑖𝑞2
𝑞1
+𝑒 𝑞2 𝑎(1−
𝑖𝑞1
𝑞2
)(1+
𝑖𝑞2
𝑞1
)
𝑒−𝑞2 𝑎 1+
𝑖𝑞1
𝑞2
1+
𝑖𝑞2
𝑞1
+𝑒 𝑞2 𝑎(1−
𝑖𝑞1
𝑞2
)(1−
𝑖𝑞2
𝑞1
)
𝐹
4
𝑒 𝑖𝑞1 𝑎
Entonces podemos escribirlos de esta forma:
𝐴
𝐵
=
2 𝑒 𝑞2 𝑎+𝑒−𝑞2 𝑎 +𝑖(
𝑞2
𝑞1
−
𝑞1
𝑞2
)(𝑒 𝑞2 𝑎−𝑒−𝑞2 𝑎)
−𝑖(
𝑞1
𝑞2
+
𝑞2
𝑞1
)(𝑒 𝑞2 𝑎−𝑒−𝑞2 𝑎)
𝐹
4
𝑒 𝑖𝑞1 𝑎

12. Remplazamos los exponenciales por funciones hiperbólicas
𝐴
𝐵
=
4cosh(𝑞2 𝑎)+2𝑖
𝑞2
𝑞1
−
𝑞1
𝑞2
𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑞2 𝑎)
−2𝑖
𝑞1
𝑞2
+
𝑞2
𝑞1
𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑞2 𝑎)
𝐹
4
𝑒 𝑖𝑞1 𝑎
𝐶
𝐷
=
1
2
𝑒−𝑞2 𝑎(1+
𝑖𝑞1
𝑞2
)
𝑒 𝑞2 𝑎(1−
𝑖𝑞1
𝑞2
)
𝐹𝑒 𝑖𝑞1 𝑎
Retomando C y D
Por fin se obtiene la función de onda:
Ψ=
cosh 𝑞2 𝑎 +
𝑖
2
𝑞2
𝑞1
−
𝑞1
𝑞2
𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑞2 𝑎 𝐹𝑒 𝑖𝑞1 𝑎+𝑥 −
𝑖
2
𝑞1
𝑞2
+
𝑞2
𝑞1
𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑞2 𝑎 𝐹𝑒 𝑖𝑞1 𝑎−𝑥 , 𝑥 < 0
1 +
𝑖𝑞1
𝑞2
𝐹
2
𝑒 𝑖𝑞1 𝑎+𝑞2(𝑥−𝑎)
+ 1 −
𝑖𝑞1
𝑞2
𝐹
2
𝑒 𝑖𝑞1 𝑎+𝑞2 𝑥+𝑎
, 0 < 𝑥 < 𝑎
𝐹𝑒 𝑖𝑞1 𝑥, 𝑥 > 𝑎

13. Podemos entonces hallar los coeficientes de transmision y reflexión:
𝑇 =
𝑣2
𝑣1
∗
𝐹∗ 𝐹
𝐴∗ 𝐴
, Donde para este caso 𝑣2= 𝑣1, R = 1 − T
T =
4
𝐸
𝑉0
(1−
𝐸
𝑉0
)
[4
𝐸
𝑉0
(1−
𝐸
𝑉0
)+ sinh2(𝑞2 𝑎)]
R =
sinh2(𝑞2 𝑎)
4
𝐸
𝑉0
(1−
𝐸
𝑉0
)+ sinh2(𝑞2 𝑎)
Grafica en la que se
muestra el coeficiente de
transmission para un 𝑉0 =
1𝑒𝑉, se debe destacar que
el coeficiente de reflexión
va tener una grafica
parecida pero invertida

14. Caso II: E>𝑉0
El potencial esta definido como:
𝑉𝑋 =
0 , 𝑥 < 0
𝑉0 , 0 < 𝑥 < 𝑎
0 , 𝑥 > 𝑎
La ecuación de Schrödinger para este caso es :
−
ћ2
2𝑚
𝜕2Ψ1
𝜕2 𝑥
= EΨ1, 𝑥 < 0
−
ћ2
2𝑚
𝜕2
Ψ2
𝜕2 𝑥
= E −𝑉0 Ψ2, 0 < 𝑥 < 𝑎
−
ћ2
2𝑚
𝜕2
Ψ3
𝜕2 𝑥
= EΨ3, 𝑥 > 𝑎
A pesar que en la mecánica clásica
un cuerpo al pasar por encima de
una barrera de potencial no tiene
probabilidades de que se refleje, en
mecánica cuántica es posible de
que exista reflexión al pasar la
partícula por encima de la barrera
de potencial

15. Utilizando las condiciones iniciales
Ψ(0), Ψ(a),
𝑑Ψ(0)
𝑑𝑥
y
𝑑Ψ(a)
𝑑𝑥
para cada zona encontramos.
1) 𝐴 + 𝐵 = 𝐶 + 𝐷 Ψ1(0) =Ψ2(a)
2) 𝐴 − 𝐵 = (𝐶 − 𝐷)(
𝑞2
𝑖𝑞1
)
𝑑Ψ1(0)
𝑑𝑥
=
𝑑Ψ2(a)
𝑑𝑥
3) 𝐶𝑒 𝑖𝑞2 𝑎 + 𝐷𝑒−𝑖𝑞2 𝑎 = 𝐹𝑒 𝑖𝑞1 𝑎 Ψ2(0)
=Ψ3(a)
𝑑Ψ2(0)
𝑑𝑥
=
𝑑Ψ3(a)
𝑑𝑥
4)𝐶𝑒 𝑖𝑞2 𝑎 − 𝐷𝑒−𝑖𝑞2 𝑎 =
𝑞1
𝑞2
𝐹𝑒 𝑖𝑞1 𝑎
La solución posible de la ecuación
de Schrödinger es:
ᴪ(x)=
𝐴𝑒 𝑖𝑞1 𝑥 + 𝐵𝑒−𝑖𝑞1 𝑥, 𝑥 < 0
𝐶𝑒 𝑖𝑞2 𝑥
+ 𝐷𝑒−𝑞2 𝑥
, 0 < 𝑥 < 𝑎
𝐹𝑒 𝑖𝑞3 𝑥
+ 𝐺𝑒−𝑖𝑞3 𝑥
, 𝑥 > 𝑎
Donde 𝑞1
2
=
2𝑚𝐸
ћ2 , 𝑞2
2
=
2𝑚(𝐸−𝑉0)
ћ2 , 𝑞3
2
=
𝑞1
2
Debido a que la función no se
refleja en la región tres, G=0.
Tenemos:
ᴪ(x)=
𝐴𝑒 𝑖𝑞1 𝑥 + 𝐵𝑒−𝑖𝑞1 𝑥, 𝑥 < 0
𝐶𝑒 𝑖𝑞2 𝑥
+ 𝐷𝑒−𝑖𝑞2 𝑥
, 0 < 𝑥 < 𝑎
𝐹𝑒 𝑖𝑞1 𝑥
, 𝑥 > 𝑎
Caso II: E>𝑉0

16. 𝑒 𝑞2 𝑎 𝑒−𝑞2 𝑎
𝑒 𝑞2 𝑎
−𝑒−𝑞2 𝑎
𝐶
𝐷
=
1
𝑞3
𝑞2
𝐹𝑒 𝑖𝑞3 𝑎
Se arma la matriz con las ecuaciones (3) y (4)
1 1
1 −1
𝐴
𝐵
=
1 1
𝑞2
𝑞1
−
𝑞2
𝑞1
𝐶
𝐷
Se arma la matriz con (1) y(2)
𝐶
𝐷
=
1
2
𝑒−𝑞2 𝑎
𝑒−𝑞2 𝑎
𝑒 𝑞2 𝑎
−𝑒 𝑞2 𝑎
1
𝑞3
𝑞2
𝐹𝑒 𝑖𝑞1 𝑎 𝐴
𝐵
=
1
2
1 1
1 −1
1 1
𝑞2
𝑞1
−
𝑞2
𝑞1
𝐶
𝐷
Realizando las multiplicaciones de las matrices
𝐴
𝐵
=
1
2
1 +
𝑞2
𝑞1
1 −
𝑞2
𝑞1
1 −
𝑞2
𝑞1
1 +
𝑞2
𝑞1
𝐶
𝐷
𝐶
𝐷
=
1
2
𝑒−𝑖𝑞2 𝑎(1+
𝑞3
𝑞2
)
𝑒 𝑖𝑞2 𝑎(1−
𝑞3
𝑞2
)
𝐹𝑒 𝑖𝑞1 𝑎

17. Reemplazando C y D en A y B tenemos:
𝐴
𝐵
=
1 +
𝑞2
𝑞1
1 −
𝑞2
𝑞1
1 −
𝑞2
𝑞1
1 +
𝑞2
𝑞1
𝑒−𝑖𝑞2 𝑎(1+
𝑞3
𝑞2
)
𝑒 𝑖𝑞2 𝑎(1−
𝑞3
𝑞2
)
𝐹
4
𝑒 𝑖𝑞1 𝑎
Realizamos la multiplicación respectivas y obtenemos:
𝐴
𝐵
=
2 𝑒 𝑖𝑞2 𝑎 + 𝑒−𝑖𝑞2 𝑎 − (
𝑞2
𝑞1
+
𝑞3
𝑞2
)(𝑒 𝑖𝑞2 𝑎 − 𝑒−𝑖𝑞2 𝑎)
−(
𝑞3
𝑞2
−
𝑞2
𝑞1
)(𝑒 𝑖𝑞2 𝑎
− 𝑒−𝑖𝑞2 𝑎
)
𝐹
4
𝑒 𝑖𝑞1 𝑎
Entonces podemos escribir la función de onda :
Ψ =
𝑐𝑜𝑠 𝑞2 𝑎 −
1
2
𝑞2
𝑞1
+
𝑞3
𝑞2
𝑠𝑒𝑛 𝑞2 𝑎 𝐹𝑒 𝑖𝑞1 𝑥+𝑎
− [
1
2
𝑞3
𝑞2
−
𝑞2
𝑞1
𝑠𝑒𝑛 𝑞2 𝑎 ]𝐹𝑒−𝑖𝑞1(𝑥−𝑎)
, 𝑥 < 0
1
2
𝑒−𝑖𝑞2 𝑎
1 +
𝑞3
𝑞2
𝐹𝑒 𝑖𝑞2 𝑥+𝑖𝑞1 𝑎
+
1
2
𝑒 𝑖𝑞2 𝑎
1 −
𝑞3
𝑞2
𝐹𝑒−𝑖𝑞2 𝑥+𝑖𝑞1 𝑎
, 0 < 𝑥 < 𝑎
𝐹𝑒 𝑖𝑞3 𝑥
, 𝑥 > 𝑎

18. Ahora tenemos A en términos de F
A = 𝑐𝑜𝑠 𝑞2 𝑎 −
1
2
𝑞2
𝑞1
+
𝑞3
𝑞2
𝑠𝑒𝑛 𝑞2 𝑎 𝐹𝑒 𝑖𝑞1 𝑥+𝑎
Entonces 𝐴∗
𝐴 es igual a
𝐴∗ 𝐴 = ( 𝑐𝑜𝑠 𝑞2 𝑎 +
1
2
𝑞2
𝑞1
+
𝑞3
𝑞2
𝑠𝑒𝑛 𝑞2 𝑎 𝐹∗ 𝑒−𝑖𝑞1 𝑥+𝑎 )( 𝑐𝑜𝑠 𝑞2 𝑎 −
1
2
𝑞2
𝑞1
+
𝑞3
𝑞2
𝑠𝑒𝑛 𝑞2 𝑎 𝐹𝑒 𝑖𝑞1 𝑥+𝑎 )
Multiplicando
𝐴∗ 𝐴 = 𝑐𝑜𝑠2 𝑞2 𝑎 +
1
4
(
𝑞2
𝑞1
)2+2 + (
𝑞3
𝑞2
)2 𝑠𝑒𝑛2 𝑞2 𝑎 𝐹∗ 𝐹
Reemplazando 𝑞1 , 𝑞2 y 𝑞3
𝐴∗ 𝐴 = 𝑐𝑜𝑠2
2𝑚
ћ2
(𝐸 − 𝑉0)𝑎 +
1
4
(𝐸 − 𝑉0)
𝐸
+ 2 +
𝐸
(𝐸 − 𝑉0)
𝑠𝑒𝑛2
2𝑚
ћ2
(𝐸 − 𝑉0)𝑎 𝐹∗ 𝐹
Organizando
𝐴∗ 𝐴 = 1 +
𝑠𝑒𝑛2 2𝑚
ћ2 (𝐸 − 𝑉0)𝑎
4
𝐸
𝑉0
(
𝐸
𝑉0
− 1)
𝐹∗ 𝐹

19. Podemos entonces halla r los coeficientes de transmision y reflexión
T =
𝐹∗ 𝐹
𝐴∗ 𝐴
R = 1 − T
T =
4
𝐸
𝑉0
(
𝐸
𝑉0
−1)
4
𝐸
𝑉0
𝐸
𝑉0
−1 +𝑠𝑒𝑛2 2𝑚
ћ2 (𝐸−𝑉0)𝑎
R =
𝑠𝑒𝑛2 2𝑚
ћ2 (𝐸−𝑉0)𝑎
4
𝐸
𝑉0
𝐸
𝑉0
−1 +𝑠𝑒𝑛2 2𝑚
ћ2 (𝐸−𝑉0)𝑎
Cuando T(E)=1 se obtiene las siguientes relaciones
𝑞2 𝑎 = π𝑛 𝐸 𝑛=
(ћ𝑞2)2
2𝑚
+ 𝑉0
Como se observa la energía
realmente depende de n, la
energía es discreta para este
caso.

20. El grafico del coeficiente de transmision es el siguiente :
Grafica en la que se
muestra el coeficiente de
transmission para un 𝑉0 =
1𝑒𝑉, se debe destacar que
el coeficiente de reflexión
va tener una grafica
parecida pero invertida

21. GRACIAS POR SU ATENCION!!!