Este documento presenta conceptos fundamentales de la termodinámica como sistemas cerrados y abiertos, principio de incremento de entropía y mecanismos de transferencia de calor como conducción, convección y radiación. También describe ecuaciones para modelar la difusión térmica en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas, así como condiciones iniciales y de frontera como Dirichlet, Neumann y Robin.

1. RELACION CON LA TERMODINAMICA
Sistemas
cerrados
𝑄12 − 𝑊12 = ∆𝐸 [𝐽]
Sistemas
abiertos
𝑄12 − 𝑊12
=
𝑠𝑎𝑙
𝑚 ℎ +
𝑣
2
2
+ 𝑔𝑧
Principio de
incremento
de entropía
𝑑𝑆 ≥
𝑑𝑄
𝑇
𝐽
𝐾
MODOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR
Conducción 𝑞 𝑥 = −𝐾𝐴
𝑑𝑇
𝑑𝑥
𝑤
Ley de Fourier
𝑞 𝑥 = −𝐾
𝑑𝑇
𝑑𝑥
𝑊
𝑚2
Flujo de calor por unidad de área
Convección 𝑞 = ℎ𝐴 𝑇𝑠 − 𝑇∞ 𝑤 𝑞 =
𝑇𝑠 − 𝑇∞
1
ℎ𝐴
=
𝑇𝑠 − 𝑇∞
𝑅 𝑐𝑜𝑛𝑣
𝑤
Radiación
𝑞 = 𝜎𝐴1 𝑇1
4
𝑊
Cuerpo negro que emite
energía en forma de calor
radiante
𝑞 = 𝜎𝐴1 𝑇1
4
− 𝑇2
4
𝑊
Cuerpo negro que emite
recinto negro
𝑞 = 𝜉𝜎𝐴1 𝑇1
4
− 𝑇2
4
𝑊
Cuerpo gris que emite
recinto negro
𝑞 = ℱ12 𝜎𝐴1 𝑇1
4
− 𝑇2
4
𝑊
Cuerpo gris que emite
recinto gris
Ley de Wien
𝑥4 − 𝑦4 = 𝑥 − 𝑦 𝑥 + 𝑦 𝑥2 − 𝑦2
𝑞 = ℱ12 𝜎𝐴1 𝑇1
4
− 𝑇2
4
=
𝑇1 − 𝑇2
1
ℱ12 𝜎𝐴1
1
𝑇1 − 𝑇2 𝑇1
2
− 𝑇2
2
=
𝑇1 − 𝑇2
𝑅 𝑐𝑜𝑛𝑣
𝑊
𝜎= Cte de Stefan Boltzman = 5.67𝑥10−8 𝑊
𝑚2 𝐾4
𝜉= Emisividad …
ℱ12= Coeficiente que incluye 𝜉1 y 𝜉2 y geometria
𝑇1= Temperatura absoluta del cuerpo 𝐾
𝑇2= Temperatura absoluta del cuerpo receptor 𝐾
𝐴1= Area del cuerpo 𝑚2
MECANISMOS COMBINADOS DE TDC
Intensidad
de
corriente
𝐼 =
𝑉
𝑅
Flujo
de
calor
𝑞 =
∆𝑇
𝑅
Difusivida
d térmica
𝛼 =
𝐾
𝜌𝐶
Sistema de
resistencia
en serie
𝑞 =
𝑇1− 𝑇2
𝐿 𝐴
𝐾 𝐴 𝐴
+
𝐿 𝐵
𝐾 𝐵 𝐴
+
𝐿 𝐶
𝐾 𝐶 𝐴
𝑊
Sistema de
resistencia
en
Paralelo
𝑞 =
𝑇1− 𝑇2
𝐿 𝐴
𝐾 𝐴 𝐴
+
1
𝐿 𝐵
𝐾 𝐵 𝐴
+
1
𝐿 𝐶
𝐾 𝐶 𝐴
−1
+
𝐿 𝐷
𝐾 𝐷 𝐴
𝑊
Ecuación general de conducción
Balance de
energía para
un elemento
generador de
energía
Coordenadas
cartesianas
𝜕2 𝑇
𝜕𝑥2 +
𝜕2 𝑇
𝜕𝑦2 +
𝜕2 𝑇
𝜕𝑧2 +
𝑞
𝐾
=
1
𝛼
𝜕𝑇
𝜕𝑡
Ecuación general de conducción
Coordenadas
cilíndricas
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
𝑟𝜕𝑇
𝜕𝑟
+
1
𝑟2
𝜕2 𝑇
𝜕∅2 +
𝜕2 𝑇
𝜕𝑧2 +
𝑞
𝐾
=
1
𝛼
𝜕𝑇
𝜕𝑡
Coordenadas
esféricas
1
𝑟2
𝜕
𝜕𝑟
𝑟2 𝜕𝑇
𝜕𝑟
+
1
𝑟2 𝑆𝑒𝑛𝜃
𝜕
𝜕𝜃
𝑆𝑒𝑛𝜃𝜕𝑇
𝜕𝜃
+
1
𝑟2 𝑆𝑒𝑛2 𝜃
𝜕2 𝑇
𝜕∅2 +
𝑞
𝐾
=
1
𝛼
𝜕𝑇
𝜕𝑡
Ecuación de Laplace, poisson, difusión.
Laplace
𝜕2 𝑇
𝜕𝑥2 +
𝜕2 𝑇
𝜕𝑦2 +
𝜕2 𝑇
𝜕𝑧2 = 0
𝑞 = 0sin 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛
𝜕𝑇
𝜕𝑡
= 0 estado permanente T ≠ 𝑇(𝑡)
Poisson
𝜕2 𝑇
𝜕𝑥2 +
𝜕2 𝑇
𝜕𝑦2 +
𝜕2 𝑇
𝜕𝑧2 +
𝑞
𝐾
= 0
𝑞 ≠ 0con 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛
𝜕𝑇
𝜕𝑡
= 0 estado permanente T ≠ 𝑇(𝑡)
Difusion
𝜕2 𝑇
𝜕𝑥2 +
𝜕2 𝑇
𝜕𝑦2 +
𝜕2 𝑇
𝜕𝑧2 =
1
𝛼
𝜕𝑇
𝜕𝑡
𝑞 = 0sin 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛
𝜕𝑇
𝜕𝑡
≠ 0 estado transitorio T = 𝑇(𝑡)

2. CONDICIONES INICIALES Y DE FRONTERA
Dirichlet o de
primer orden
𝑥 = 0, 𝑇
𝑥=0
= 𝑇1
𝑥 = 𝐿, 𝑇
𝑥=𝐿
= 𝑇2
Se conoce la temperatura en la frontera
Newmann o de
segundo orden
𝑥 = 0,
𝜕𝑇
𝜕𝑥
= −
𝑞
𝐾
= 𝑐𝑡𝑒
𝑞 = −𝐾
𝑑𝑇
𝑑𝑥
Se conoce 𝑞 en la frontera
𝑥 = 𝐿,
𝜕𝑇
𝜕𝑥
= 0 → 𝑃𝑎𝑟𝑒𝑑 𝑎𝑑𝑖𝑎𝑏𝑎𝑡𝑖𝑐𝑎
0 = 𝑞 = −𝐾
𝑑𝑇
𝑑𝑥
𝑥 = 0,
𝜕𝑇
𝜕𝑥
= 0
Simetría
Robin
𝑥 = 0, 𝑞 𝑐𝑜𝑛𝑣 = 𝑞 𝑐𝑜𝑛𝑑
ℎ1 𝑇∞1 − 𝑇
𝑥=0
= −𝐾
𝑑𝑇
𝑑𝑥 𝑥=0
𝑥 = 𝐿, 𝑞 𝑐𝑜𝑛𝑑 = 𝑞 𝑐𝑜𝑛𝑣
−𝐾
𝑑𝑇
𝑑𝑥 𝑥=𝐿
= ℎ2 𝑇
𝑥=𝐿
− 𝑇∞2
Condición inicial
𝑡 = 0, 𝑇
0≤𝑟≤𝑅
= 𝑇𝑖
Brandon Alan Moreno Navarrete
UAM-AZC. X2143034200. Ing. Fisica
Formulario 1er parcial para TdC