Solucion de-armaduras-con-matriz-de-rigideces-parte1

Solución de
armaduras con
matriz de rigidez
M.I. Ernesto Alejandro Ruiz Coello
http:// www.alejandrocoello.com.mx http://www.facebook.com/alejandrocoel @CoelloAlejandro google.com/+AlejandroCoello87

Definición
Armadura
Cercha
Celosía
Reticulados
Es una estructura plana constituida por un conjunto de barras
articuladas en forma triangulada que permite la rigidez de la estructura,
cuyo sistema de carga esta integrado por fuerzas concentradas que
actúan en las articulaciones, también llamadas nodos y que se ubican en
el mismo plano de a armadura. En estas condiciones las barras de una
armadura solo resistencias fuerzas axiales (normales).

Definición
Al suponer que las cargas
actúan en los nodos, al momento de hacer
la bajada de cargas, el peso de cada una
de las barras de la armadura, debe
repartirse, por mitad, en cada uno de sus
nodos extremos.
Igualmente, al considerar que
las barras están articuladas, la soldadura o
los remaches deben ubicarse lo mas
cercanos al nodo a fin de evitar que se
presenten fuerzas internas que provoquen
momentos flexionantes.

Definición

Nodo, unión o articulación

Definicion
Tipos de barras:
a) Cuerda Superior: es el conjunto de barras que conforman la
parte mas elevada de la estructura. Para solicitaciones de tipo
gravitacional, normalmente, son piezas que trabajan a
compresión.
b) Cuerda Inferior: es el conjunto de barras que forman la parte
mas baja de la estructura. Para solicitaciones gravitacionales
generalmente trabajana tensión.
c) Montantes: denominados así a las barras verticales de una
armadura.
d) Diagonales: son las piezas que, como su nombre lo indica,
tienen posición inclinada.

"Cometer errores es humano, pero para estropear realmente las cosas necesitas un ordenador“
-- Paul Ehrlich
El hundimiento del Hartford Coliseum (1978)
Coste: 70 millones de dólares, más otros 20 millones en daños a la
economía local.
Desastre: Sólo unas horas después de que miles de aficionados al
hockey abandonaran el Hartford Coliseum, la estructura de acero
de su techo se desplomaba debido al peso de la nieve.
Causa: El desarrollador del software de diseño asistido (CAD)
utilizado para diseñar el coliseo asumió incorrectamente que los
soportes de acero del techo sólo debían aguantar la compresión
de la propia estructura. Sin embargo, cuando uno de estos
soportes se dobló debido al peso de la nieve, inició una reacción
en cadena que hizo caer a las demás secciones del techo como si
se tratara de piezas de dominó.

Paso 1: establecer la matriz de rigidez para cada
miembro
x´
y´
X
Y
Øx
Øy
N(xN, yN)
F(xF, yF)
𝐾 =
𝐴𝐸
𝐿
λ 𝑥
2
λ 𝑥λ 𝑦
λ 𝑥λ 𝑦
λ 𝑦
2
−λ 𝑥
2
−λ 𝑥λ 𝑦
−λ 𝑥λ 𝑦
−λ 𝑦
2
−λ 𝑥
2
−λ 𝑥λ 𝑦
−λ 𝑥λ 𝑦
−λ 𝑦
2
λ 𝑥
2
λ 𝑥λ 𝑦
λ 𝑥λ 𝑦
λ 𝑦
2
Nx Ny Fx Fy
Nx
Ny
Fx
Fy
Donde:
λ 𝑥 = 𝐶𝑜𝑠 ∅ 𝑥 =
𝑋 𝐹 − 𝑋 𝑁
𝐿
=
2 + 𝑌𝐹 − 𝑌𝑁
2
λ 𝑦 = 𝐶𝑜𝑠 ∅ 𝑦 =
𝑌𝐹 − 𝑌𝑁
𝐿
=
2 + 𝑌𝐹 − 𝑌𝑁
2

Paso 1: establecer la matriz de rigidez para cada
miembro (Ejemplo)
X
Y
N(0,0)
F(3,4)
λ 𝑥 = 𝐶𝑜𝑠 ∅ 𝑥 =
𝐿
=
3 − 0
3 − 0 2 + 4 − 0 2
=
3
5
λ 𝑦 = 𝐶𝑜𝑠 ∅ 𝑦 =
𝐿
=
4 − 0
3 − 0 2 + 4 − 0 2
=
4
5
Entonces:
𝐾 =
𝐴𝐸
𝐿
9/25
12/25
12/25
16/25
−9/25
−12/25
−12/25
−16/25
−9/25
−12/25
−12/25
−16/25
9/25
12/25
12/25
16/25
Nx Ny Fx Fy
Nx
Ny
Fx
Fy

Paso 2: Ensamblar la matriz de rigidez global
x
y
4 mts
3 mts
1
1
2
3
1
2
3
4
5
6
Miembro 1:
Longitud 3 mts
λ 𝑥 =
3 − 0
3
= 1 λ 𝑦 =
0 − 0
3
= 0
(0,0) (3,0)
(3,4)
𝐾 = 𝐴𝐸
1/3
0
0
0
−1/3
0
0
0
−1/3
0
0
0
1/3
0
0
0
1 2 3 4
1
2
3
4
Miembro 2:
Longitud 5 mts
λ 𝑥 =
3 − 0
5
=
3
5
λ 𝑦 =
4 − 0
5
=
4
5
𝐾 = 𝐴𝐸
9/125
12/125
12/125
16/125
−9/125
−12/125
−12/125
−16/125
−9/125
−12/125
−12/125
−16/125
9/125
12/125
12/125
16/125
1 2 5 6
1
2
5
6
𝐾 =
𝐴𝐸
𝐿
λ 𝑥
2
λ 𝑥λ 𝑦
λ 𝑥λ 𝑦
λ 𝑦
2
−λ 𝑥
2
−λ 𝑥λ 𝑦
−λ 𝑥λ 𝑦
−λ 𝑦
2
−λ 𝑥
2
−λ 𝑥λ 𝑦
−λ 𝑥λ 𝑦
−λ 𝑦
2
λ 𝑥
2
λ 𝑥λ 𝑦
λ 𝑥λ 𝑦
λ 𝑦
2
2 Ton

Paso 2: Ensamblar la matriz de rigidez global
𝐾1 = 𝐴𝐸
1/3 0 −1/3
0 0 0
−1/3 0 1/3
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
𝐾2 = 𝐴𝐸
9/125 12/125 0
12/125 16/125 0
0 0 0
0 −9/125 −12/125
0 −12/125 −16/125
0 0 0
0 0 0
−9/125 −12/125 0
−12/125 −16/125 0
0 0 0
0 9/125 12/125
0 12/125 16/125
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
1 2 3 4 5 6
Entonces:
K1 + K2 = KGlobal
𝐾 𝐺𝑙𝑜𝑏𝑎𝑙 = 𝐴𝐸
152/375 12/125 −1/3
12/125 16/125 0
−1/3 0 1/3
0 −9/125 −12/125
0 −12/125 −16/125
0 0 0
0 0 0
−9/125 −12/125 0
−12/125 −16/125 0
0 0 0
0 9/125 12/125
0 12/125 16/125
1
2
3
4
5
6
1 2 3 4 5 6

Paso 3: Aplicación de la teoría del método de la Rigidez
𝑄 𝑘
𝑄 𝑢
=
𝐾11 𝐾12
𝐾21 𝐾22
𝐷 𝑢
𝐷 𝑘
Qk, Dk = Se refiere a las cargas y los desplazamientos externos conocidos (Know); las cargas
aquí sobre la armadura como parte del problema y los desplazamientos se especifican
generalmente como iguales a cero debido a las restricciones de los apoyos.
Qu, Du = Se refiere a las cargas y los desplazamientos externos Desconocidos (Unknow); las cargas
representan a las reacciones en este caso y los desplazamientos en las nudos sin
restricciones.
Qk = k11Du + K12Dk
Qu = k21Du + K22Dk
Frecuentemente Dk = 0; ya que en los apoyos restringen los desplazamientos (Según sea el tipo de apoyo)
Qk = k11Du
Du = (k11)-1 Qk
Lo que a su vez
Permitirá calcular Qu,
Que son los esfuerzos tension
Y compresión de cada barra
Qu = k21Du

Paso 3: Aplicación de la teoría del método de la Rigidez
0
−2
𝑄3
𝑄4
𝑄5
𝑄6
= 𝐴𝐸
152/375 12/125 −1/3
12/125 16/125 0
−1/3 0 1/3
0 −9/125 −12/125
0 −12/125 −16/125
0 0 0
0 0 0
−9/125 −12/125 0
−12/125 −16/125 0
0 0 0
0 9/125 12/125
0 12/125 16/125
𝐷1
𝐷2
0
0
0
0
𝑄 𝑘
𝑄 𝑢
=
𝐾11 𝐾12
𝐾21 𝐾22
𝐷 𝑢
𝐷 𝑘

Paso 3.1: Calculo de desplazamientos en nodos libres
Qk = k11Du
0
−2
= 𝐴𝐸
152
375
12
125
12
125
16
125
𝐷1
𝐷2
Se propone resolver por método Gauss - Jordan
152/375 15/125 0
12/125 16/125 −2
Efectuar (-9/38)F1 +F2
152/375 15/125 0
0 2/19 −2
Ya que se tiene una matriz escalonada, procedemos
A realizar una sustitución regresiva
(2/19)D2 = -2
D2 = -19
(152/375)D1 + (15/125)D2 = 0
(152/375) D1 + (15/125)(-19) = 0
(152/375) D1 -228/125 = 0
(152/375) D1 = 228/125
D1 = 9/2
Por tanto los desplazamientos desconocidos en
El nodo 1 son:
𝐷 𝑢 =
1
𝐴𝐸
9/2
−19

Paso 3.2: Calculo de reacciones
Qu = k21Du + K22Dk
𝑄3
𝑄4
𝑄5
𝑄6
= 𝐴𝐸
−1/3
0
0
0
−9/125
−12/125
−12/125
−16/125
1
𝐴𝐸
9/2
−19
+
0
0
0
0
𝑄3
𝑄4
𝑄5
𝑄6
= (𝐴𝐸)
1
𝐴𝐸
−1/3 9/2 + 0 −19
0 9/2 + 0 −19
−9/125 9/2 + −12/125 −19
−12/125 9/2 + −16/125 −19
=
−3/2
0
3/2
2
𝑄3
𝑄4
𝑄5
𝑄6
=
−3/2
0
3/2
2
Reacciones en los apoyos

Paso 4: Calculo de los esfuerzos en los miembros
𝑞 =
𝐴𝐸
𝐿
−λ 𝑥 −λ 𝑦 λ 𝑥 λ 𝑦
𝐷 𝑁𝑥
𝐷 𝑁𝑦
𝐷 𝐹𝑥
𝐷 𝐹𝑦
Usamos:
Miembro 1:
λx = 1
λy = 0
L = 3
𝑞1 =
𝐴𝐸
3
−1 0 1 0
1
𝐴𝐸
9/2
−19
0
0
=
𝐴𝐸
3𝐴𝐸
((-1)(9/2)+(0)(-19)+(1)(0)+(0)(0))
q1 = (1/3)(-9/2) = -3/2 = -1.5 TON (compresión)

Paso 4: Calculo de los esfuerzos en los miembros
Miembro 2:
λx = 3/5
λy = 4/5
L = 5
𝑞2 =
𝐴𝐸
5
−3/5 −4/5 3/5 4/5
1
𝐴𝐸
9/2
−19
0
0
=
𝐴𝐸
5𝐴𝐸
((-3/5)(9/2)+(-4/5)(-19)+(3/5)(0)+(4/5)(0))
q2 = (1/5)(25/2) = 5/2 = 2.5 TON (tensión)

Solución Final
2 Ton
2 Ton
3/2 Ton
3/2 Ton-19/AE
9/2AE
4.00 MTS
3.00 MTS

Solucion de-armaduras-con-matriz-de-rigideces-parte1

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Similar a Solucion de-armaduras-con-matriz-de-rigideces-parte1

Similar a Solucion de-armaduras-con-matriz-de-rigideces-parte1 (20)

Más de kevin cordova

Más de kevin cordova (11)

Último

Último (20)

Solucion de-armaduras-con-matriz-de-rigideces-parte1