Este documento presenta los fundamentos y modelamiento de vibraciones mecánicas. Introduce conceptos clave como vibración libre, forzada, amortiguada, lineal y no lineal. Explica que el análisis de vibraciones implica cuatro pasos: 1) modelado matemático, 2) derivación de ecuaciones rectoras, 3) solución de ecuaciones diferenciales, y 4) interpretación de resultados. También describe los componentes principales de un sistema vibratorio como resortes lineales y no lineales, y masas.

1. UNIDAD N°01. FUNDAMENTOS Y MODELAMIENTO DE
VIBRACIONES MECÁNICAS
Semana 01 Sesión 1-2
1.1 Concepto de vibración
1.2 Cantidad de grados de libertad
1.3 Clasificación de la vibración
1.4 Procedimiento del análisis de vibración
1.5 Componentes del sistema
1.6 Movimiento armónico simple
Semana 02 Sesión 3-4
2.1 Modelamiento de las Ecuaciones de Movimiento de Sistemas Mecánicos
2.2 Métodos de Modelamiento
1.1 CONCEPTO DE VIBRACIÓN
Cualquier movimiento que se repite después de un intervalo de
tiempo se llama vibración
La teoría de vibración tiene que ver con el estudio de los
movimientos oscilatorios de los cuerpos y las fuerzas asociadas a
ellos.
Un sistema vibratorio incluye un medio para almacenar energía
potencial (resorte), un medio para conservar energía cinética (masa o
inercia) y un medio por el cual la energía se pierde gradualmente
(amortiguador)
La vibración de un sistema implica la transformación de su energía
potencial en energía cinética y viceversa; si el sistema tiene un
amortiguador la energía se disipa en cada ciclo de vibración, por lo
que, generalmente se incluye una fuerza externa para que se
mantenga un estado de vibración estable; el amortiguador es de gran
importancia porque actúa como limitador de la amplitud en estado
estacionario y sobre todo en la zona de resonancia.

2. 1.2 GRADOS DE LIBERTAD
El mínimo de coordenadas independientes requerido para determinar por
completo todas las partes de un sistema en cualquier instante de tiempo
define la cantidad de grados de libertad de un sistema GDL.
Por ejemplo, en las siguientes figuras podemos apreciar sistemas con
1GDL
𝜃
𝑚
𝑘
𝑚g
𝜃
𝑙
𝑚
𝑘
𝑘
𝑚
𝜃
𝑙𝑎
𝑚𝑔

3. Sistemas con 2GDL
M
𝜃
m
𝑚𝑔
𝑙
𝑘
𝑥
𝑥1(𝑡)
𝑘3𝑘2
𝑘1
𝑚1 𝑚2
𝑓1(𝑡)
𝑥2(𝑡)
𝑓2(𝑡)

4. 𝑚3
𝑚2
𝑚1
𝑥1(𝑡)
𝑘2
𝑘1
𝑚1 𝑚2
𝑚1
𝑚2
𝑦1
𝑦2
𝑘1
𝑘2
𝑥2(𝑡)
3 GDL
𝑂
𝑒
𝑚𝑔
𝑘𝑐
𝐹
𝑏𝑎

5. 1.3 CLASIFICACIÓN DE LA VIBRACIÓN
Antes de estudiar la clasificación de las vibraciones debemos
conocer algunos conceptos importantes.
VIBRACIÓN LIBRE: si se deja que un sistema vibre por sí mismo
después de una perturbación inicial, la vibración resultante se
conoce como vibración libre, es decir, no existe ninguna fuerza
exterior que excite el sistema, por ejemplo, en un sistema masa-
resorte
Al desplazar la masa 𝑚 una distancia 𝑥 , o sea una perturbación
inicial y soltamos la masa, el sistema sufre una vibración u
oscilación la cual se conoce como vibración libre. Si un sistema
sometemos a una vibración libre nos sirve, entre otras cosas,
determinar la frecuencia natural 𝝎 𝒏 del sistema y representa uno de
los parámetros importantes del análisis vibracional y, además,
caracteriza a cada sistema mecánico.
VIBRACIÓN FORZADA: si un sistema se somete a una fuerza
externa la vibración resultante se conoce como vibración forzada. La
fuerza externa que excita el sistema tiene muchas formas y
características y todas son función del tiempo, en general, tienen una
amplitud y frecuencia de excitación propia de la fuerza de excitación,
por ejemplo, una fuerza del tipo
𝑓(𝑡) = 𝐴 sin 𝝎𝑡
Esta fuerza tiene como amplitud 𝐴 y sus frecuencia de excitación 𝜔
𝑥
𝑚
𝑘
𝑚
𝑘 𝑓(𝑡) = 𝐴 sin 𝜔𝑡

6. Entonces, si nuestro sistema masa-resorte tiene una frecuencia
natural 𝝎 𝒏 propia del sistema y que la caracteriza, es excitada por
una fuerza exterior 𝑓(𝑡) = 𝐴 sin 𝜔𝑡 y que tiene una frecuencia 𝝎
es obligatorio que conozcamos las magnitudes de ambas frecuencias
y evitar a toda costa que ambas frecuencias sean iguales, porque al
ser iguales ambas frecuencias se produce el fenómeno de resonancia.
Trabajar en resonancia produce grandes amplitudes en el
desplazamiento de la masa 𝑚 y origina una destrucción del sistema.
VIBRACIÓN AMORTIGUADA Y NO AMORTIGUADA
Si no se pierde o disipa la energía por fricción u otra resistencia
durante la oscilación, la vibración se conoce como vibración no
amortiguada. Si se pierde energía se llama vibración amortiguada.
VIBRACIÓN LINEAL Y NO LINEAL
Si todos los sistemas básicos de un sistema vibratorio, masa, resorte,
amortiguador se comportan linealmente se conoce como vibración
lineal.
Si cualquiera de los componentes básicos, masa, resorte,
amortiguador se comporta de manera no lineal se conoce como
vibración no lineal. Si la vibración es lineal el principio de
superposición es válido y las técnicas matemáticas están bien
desarrolladas. Para la no lineal el principio de superposición no es
válido y las técnicas matemáticas son más complicadas.
𝑑𝑖𝑑𝑖𝑝𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎

7. 1.4 PROCEDIMIENTO DEL ANÁLISIS DE VIBRACIÓN
La pregunta es donde empieza y donde termina el análisis de
vibraciones. Para responder a esta pregunta se realizan cuatro pasos
obligatorios, considerando que un sistema vibratorio es dinámico si
variables como las excitaciones externas y la respuesta dependen del
tiempo
1. MODELADO MATEMÁTICO.
“El propósito del modelado matemático es representar todos los
detalles importantes del sistema con el objeto de derivar las
ecuaciones matemáticas (o analíticas) que rigen el
comportamiento del sistema.” Conceptualizar un modelo
matemático es una tarea muy difícil, requiere posiblemente, una
mejora gradual del modelo hasta obtener un modelo matemático
que responda al sistema vibratorio (o máquina a analizar). Por lo
tanto, se requiere un gran criterio de ingeniería para producir un
modelo matemático adecuado de un sistema vibratorio.
Veamos un ejemplo sencillo
Tenemos una viga en voladizo, en cuyo extremo está montado
una compresora que produce vibraciones
El sistema vibratorio consta de una rigidez 𝑘 y una masa 𝑚, se trata
de determinar un modelo matemático del sistema vibratorio, para
esto calculamos la rigidez equivalente y la masa equivalente del
sistema vibratorio, por lo tanto, teniendo el modelo matemático
estamos en condiciones de deducir la ecuación diferencial o ecuación
rectora que caracteriza el sistema vibratorio.
𝑚 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑘 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑚𝑘 =
3𝐸𝐼
𝑙3
𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑣𝑖𝑏𝑟𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑜
𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 𝑚𝑎𝑡𝑒𝑚á𝑡𝑖𝑐𝑜

8. 2. DERIVACIÓN DE LAS ECUACIONES RECTORAS.
Para derivar la ecuación diferencial existen diferentes métodos
basados en la dinámica, energías, Newton, D Alambert, Rayleigh,
Lagrange, todos estos métodos conducen a una misma ecuación
diferencial.
Por ejemplo, el siguiente modelo matemático en vibración libre la
ecuación diferencial es homogénea de segundo orden con
coeficientes constantes:
𝑚𝑥̈ + 𝑐𝑥̇ + 𝑘𝑥 = 0
3. SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL.
El objetivo de la solución de la ecuación diferencial es la respuesta
del sistema vibratorio, es decir, conocer cómo se comporta la masa
en el tiempo y en frecuencia. Para la solución de la ecuación
diferencial podemos utilizar métodos estándares, métodos de
transformada de Laplace, métodos matriciales y métodos
numéricos.
4. INTERPRETACIÓN DE LOS RESULTADOS.
“La solución de las ecuaciones rectoras proporciona los
desplazamientos, velocidades y aceleraciones de las diversas
masas del sistema. Estos resultados deben interpretarse con una
clara visión del objetivo del análisis y de las posibles
implicaciones de diseño de los resultados.”

9. 1.5 COMPONENTES DELSISTEMA VIBRATORIO.
RESORTE.
Un resorte es un tipo de eslabón mecánico, el cual en la mayoría de
las aplicaciones se supone que tiene masa y amortiguamiento
insignificante. Existen resortes helicoidales, los mas usados.
Cualquier cuerpo o miembro deformable como se considera como un
resorte, por ejemplo, un eje, un cable, una viga, una columna etc. Lo
más importante es saber que el resorte es un elemento de rigidez que
almacena y libera energía potencial. Existen resortes lineales cuya
constante de rigidez no varía, por otro lado, existen resortes no
lineales.
Los resortes mas comunes son los lineales y que producen traslación
y que si se aplican una fuerza produce otra fuerza en sentido
contrario a la fuerza aplicada, la fuerza aplicada produce una
deflexión x tal que
𝐹(𝑥) = 𝑘 𝑥 [ 𝑁
𝑚⁄ ]
donde el coeficiente k se denomina constante de rigidez y existe una
relación lineal (en los resortes lineales) entre la fuerza y el
desplazamiento, es decir, la fuerza que ejerce un muelle es
proporcional a su deformación
Por otro lado, la energía potencial almacenada en el resorte:
𝑈(𝑥) = ∫ 𝐹(𝑥)𝑑𝑥
𝑥
0
= ∫ 𝑘𝑥𝑑𝑥
𝑥
0
= 𝑘 ∫ 𝑥𝑑𝑥
𝑥
0
=
1
2
𝑘𝑥2
De aquí que, para un resorte lineal, la energía potencial asociada
guarda una proporción lineal con la rigidez del resorte 𝑘 y
proporcional a la segunda potencia de la magnitud del
desplazamiento.
Existen resortes de torsión, de igual manera, al ser aplicado un torque
𝜏
𝑈(𝑥) = ∫ 𝐹(𝜃)𝑑𝜃
𝜃
0
= ∫ 𝑘 𝑡 𝜃𝑑𝜃
𝜃
0
=
1
2
𝑘 𝑡 𝜃2

10. Los resortes se pueden instalar en paralelo y en serie. Para dos
resortes lineales en paralelo la rigidez equivalente es 𝑘 𝑒 = 𝑘1 + 𝑘2 y
para dos resortes lineales en serie la rigidez equivalente es
𝑘 𝑒 = (
1
𝑘1
+
1
𝑘2
)
−1
En el caso que no se conozca la constante de un resorte podemos
definirla experimentalmente sometiendo a diferentes fuerzas y
observar los desplazamientos x o deflexión estática.
Entonces, para medir la constante k, medimos la
deformación x cuando aplicamos distintos valores de la fuerza F.
 fuerza F (en N) en el eje vertical,
 deformación x (en m) en el eje horizontal
se representan los datos "experimentales" y la recta 𝐹(𝑥) = 𝑘 𝑥 . La
pendiente de la recta nos proporciona la medida de la constante
elástica k del muelle en N/m.
Existen resortes no lineales como se observa en la siguiente gráfica
𝑟𝑒𝑠𝑜𝑟𝑡𝑒 𝑛𝑜 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙
𝑟𝑒𝑠𝑜𝑟𝑡𝑒 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙
𝑥
𝐹(𝑁)
𝐹(𝑥) = 𝑘 𝑥

11. En este caso, es un resorte no lineal cúbico, por lo tanto, la relación
fuerza-desplazamiento se expresa como
𝐹(𝑥) = 𝑘 𝑥 + 𝛼𝑘𝑥3
Donde 𝛼 representa el coeficiente de rigidez del término no lineal
desde el punto de vista de la constante del resorte lineal 𝑘. la
cantidad 𝛼 puede ser positiva o negativa. Un elemento de resorte
para el cual 𝛼 es positiva se llama resorte de endurecimiento y un
resorte para la cual 𝛼 es negativa se denomina resorte de suavización.
La energía potencial es
𝑈(𝑥) = ∫ 𝐹(𝑥)𝑑𝑥
𝑥
0
=
1
2
𝑘𝑥2
+
1
4
𝛼𝑘𝑥4
La constante de proporcionalidad 𝛼𝑘 para el resorte cúbico no lineal
se determina de manera experimental.
Observe que la constante de rigidez 𝑘 es un concepto estático y, por
tanto, una carga estática es suficiente para determinar este parámetro.
ELEMENTOS DE DISIPACIÓN.
Se supone que los elementos de amortiguamiento no tienen inercia,
ni medios de almacenar o liberar energía potencial. El movimiento
mecánico impartido a estos elementos se convierte en calor o sonido
y, por tanto, se les denomina no conservativos o disipativos porque el
sistema mecánico no puede recuperar esta energía. Hay cuatro tipos
comunes de mecanismos de amortiguamiento mas usados:
amortiguamiento viscoso, amortiguamiento de Coulomb o de
fricción seca, amortiguamiento histerético y en todos estos casos el
amortiguamiento se expresa como una función de la velocidad.
Amortiguamiento viscoso
Cuando un líquido viscoso fluye a través de una ranura o alrededor
de un émbolo en un cilindro, la fuerza de amortiguamiento que se
genera es proporcional a la velocidad relativa entre los dos límites
que confinan el líquido viscoso o hidrolina.
𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙 𝑁𝑂 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙

12. En este caso, la cabeza del pistón se desplaza con una velocidad 𝑥̇ en
relación con la carcasa del cilindro, la cual está fija. La magnitud de
la fuerza del amortiguador F siempre actúa en la dirección opuesta
a la de la velocidad. La magnitud de la fuerza del amortiguador 𝐹(𝑥̇)
es una función no lineal de la velocidad o puede ser
aproximadamente una función lineal de la velocidad, la cual depende
de la construcción del amortiguador y del rango de velocidad.
En el caso lineal, la relación se expresa como
𝐹(𝑥̇) = 𝑐𝑥̇
La constante de amortiguamiento 𝑐 es una constante de
proporcionalidad cuyas unidades son
𝑁
( 𝑚
𝑠⁄ )
En el caso de un amortiguamiento no lineal:
𝑐 𝑒 =
𝑑𝐹(𝑥̇)
𝑑𝑥̇
La energía disipada por el amortiguador viscoso lineal:
𝐸 𝑑 = ∫ 𝐹𝑑𝑥 = ∫ 𝐹𝑥̇ 𝑑𝑡 = ∫ 𝑐𝑥̇2
𝑑𝑡 = 𝑐 ∫ 𝑥̇2
𝑑𝑡
Veamos un ejemplo de como se comportan las fuerzas en el siguiente
modelo matemático
𝐹(𝑥̇) = 𝑐𝑥̇ 𝑥̇

13. DCL
𝑘2 𝑦 𝑘3 están en serie.
Entonces, la rigidez equivalente y el amortiguador equivalente son:
𝑘 𝑒 = 𝑘1 +
𝑘2 𝑘3
𝑘2+𝑘3
𝑐 𝑒 = 𝑐1 + 𝑐2
𝑐 𝑒
𝑘 𝑒
𝑥
𝑐1 𝑥̇
𝑘1 𝑥 𝑘2 𝑘3/(𝑘2 + 𝑘3)𝑥
𝑐2
𝑐1
𝑘3𝑘1
𝑘2
𝑐2 𝑥̇
𝑚
𝑚
𝑚

14. 1.6 MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
Una partícula describe un Movimiento Armónico Simple (M.A.S.)
cuando se mueve a lo largo del eje X, estando su posición x dada en
función del tiempo t por la ecuación
𝑥 = 𝐴 sin(𝜔𝑡 + 𝜑)
Por la segunda ley de Newton
𝑚𝑥̈(𝑡) = ∑ 𝐹(𝑡) = 𝑊 − 𝑘(𝛿 + 𝑥)
Y como 𝑘𝛿 = 𝑊
Obtenemos:
𝑚𝑥̈(𝑡) = 𝑊 − 𝑘𝛿 − 𝑘𝑥(𝑡)
𝑚𝑥̈ (𝑡) = −𝑘 𝑥 (𝑡)
𝑚𝑥̈ (𝑡) + 𝑘 𝑥 (𝑡) = 0 (1) ecuación diferencial
𝑥 (𝑡) = 𝐴 𝑠𝑒𝑛(𝜔 𝑛 𝑡 + 𝜑) (2) respuesta en el tiempo
𝑥̇(𝑡) = 𝜔 𝑛 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔 𝑛 𝑡 + 𝜑) (3)
𝑥̈(𝑡) = −𝜔 𝑛
2
𝐴𝑠𝑒𝑛(𝜔 𝑛 𝑡 + 𝜑) (4)
(4) y (2) en (1)
𝑚[−𝜔 𝑛
2
𝐴𝑠𝑒𝑛(𝜔 𝑛 𝑡 + 𝜑)] + 𝑘[𝐴𝑠𝑒𝑛(𝜔 𝑛 𝑡 + 𝜑)] = 0
𝛿𝑘
𝛿 Posición de equilibrio
estáticom
k
m
W
m
x
W
𝑘(𝛿 + 𝑥)

15. −𝑚𝜔 𝑛
2
+ 𝑘 = 0 ; 𝑚𝜔 𝑛
2
− 𝑘 = 0
𝑚𝜔 𝑛
2
𝑚
−
𝑘
𝑚
= 0
𝜔 𝑛
2
=
𝑘
𝑚
; 𝝎 𝒏 = √
𝒌
𝒎
frecuencia natural [
𝑟𝑎𝑑
𝑠𝑒𝑔
]
La frecuencia natural: si deja que un sistema vibre por sí mismo
después de una perturbación inicial, la frecuencia con la cual oscila
sin la acción de fuerzas externas se conoce como frecuencia natural.
La frecuencia natural podemos expresar en Hertz
𝑓𝑛 =
1
2 ∗ 𝜋
√
𝑘
𝑚
=
𝜔 𝑛
2 ∗ 𝜋
[𝐻𝑧]
𝑓𝑛 =
1
2 ∗ 𝜋
√
𝑔
𝛿
[𝐻𝑧]
𝛿 = 𝑑𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑟𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑚𝑚
De la ecuación (2) nos queda por hallar la amplitud A y el ángulo de
desfase 𝜑, para esto, necesitamos generar las condiciones iniciales en
t = 0
Es decir, 𝑥0 = 𝑥(0) 𝑦 𝑣0 = 𝑥̇(0)
𝑥0 = 𝐴 𝑠𝑒𝑛(𝜔 𝑛(0) + 𝜑)
𝑥0 = 𝐴𝑠𝑒𝑛𝜑
𝑣0 = 𝑥̇(0) = 𝜔 𝑛 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔 𝑛(0) + 𝜑) = 𝜔 𝑛 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜑)
𝑣0 = 𝜔 𝑛 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜑)
Tenemos:
𝑥0 = 𝐴𝑠𝑒𝑛𝜑 𝑦 𝑣0 = 𝜔 𝑛 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜑)
𝐴 =
𝑥0
sin(𝜑)
𝐴 =
𝑣0
𝜔 𝑛 𝑐𝑜𝑠(𝜔)
Resolviendo ambas ecuaciones simultáneamente se obtiene la
amplitud:

16. 𝐴 =
√𝜔 𝑛
2 𝑥0
2
+ 𝑣0
2
𝜔 𝑛
𝜑 = 𝑡𝑎𝑛−1
𝜔 𝑛 𝑥0
𝑣0
Amplitud: es el desplazamiento máximo de un cuerpo vibratorio a
partir de su posición de equilibrio se le llama amplitud de vibración,
A.
Remplazamos en le ecuación (2) y obtenemos la respuesta en el
tiempo:
𝑥(𝑡) =
√𝜔 𝑛
2 𝑥0
2
+ 𝑣0
2
𝜔 𝑛
𝑠𝑒𝑛(𝜔 𝑛 𝑡 + 𝑡𝑎𝑛−1
𝜔 𝑛 𝑥0
𝑣0
)
𝑥(𝑡) = 𝐴𝑠𝑒 ∗ 𝑛(𝜔 𝑛 𝑡 + 𝜑)
Periodo de oscilación: es el tiempo requerido para completar un ciclo
de movimiento se conoce como periodo de oscilación T
𝑇 =
2𝜋
𝜔 𝑛
Ejemplo
Tenemos un sistema masa-resorte, donde la rigidez del resorte es
𝑘 = 144
𝑁
𝑚
la masa 𝑚 = 9𝑘𝑔. La masa m se desplaza 0.1 m hacia
abajo y se suelta con una velocidad inicial 𝑣0 = 0.4
𝑚
𝑠𝑒𝑔
. graficar la
respuesta en el tiempo del sistema. La frecuencia natural
𝝎 𝒏 = √
𝒌
𝒎
= 4 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔
A
𝜔
𝑥0
𝑣0
𝜔 𝑛

17. 𝜑 = 𝑡𝑎𝑛−1 𝜔 𝑛 𝑥0
𝑣0
= 0.7854 𝑟𝑎𝑑 = 45° ; 𝐴 =
√𝜔 𝑛
2 𝑥0
2+𝑣0
2
𝜔 𝑛
=
0.1414 𝑚
𝑥(𝑡) = 𝐴𝑠𝑒𝑛(𝜔 𝑛 𝑡 + 𝜑) = 0.144 ∗ 𝑠𝑒𝑛(4 ∗ 𝑡 + 0.7854)
Para hallar el tiempo de máxima amplitud, por ejemplo, en la
segunda máxima amplitud: 𝑛 = 2
𝑡 𝑚𝑎𝑥 =
((2∗𝑛+1)∗(
𝑝𝑖
2⁄ )−𝜑)
𝜔 𝑛
= 1.7671 𝑠𝑒𝑔
Para calcular el tiempo para pasar por el punto de equilibrio
𝑡 𝑒𝑞𝑢𝑖 =
(𝑛∗𝜋−𝜑)
𝜔 𝑛
= 1.3744 𝑠𝑒𝑔
ENERGIAS DE UN MAS
La energía potencial
𝑈(𝑥) =
1
2
𝑘𝑥2
Como 𝜔 𝑛
2
=
𝑘
𝑚
𝑈(𝑥) =
1
2
𝑚𝜔 𝑛
2
𝑥2
La energía cinética
1.3744

18. 𝑇 =
1
2
𝑚𝑥̇2
Como 𝑥̇(𝑡) = 𝜔 𝑛 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔 𝑛 𝑡 + 𝜑)
La energía total es la suma de la energía potencial más la energía
cinética
𝐸𝑡 =
1
2
𝑚𝜔 𝑛
2
𝐴2
cos2(𝜔𝑡 + 𝜑) +
1
2
𝑚𝜔 𝑛
2
𝐴2
𝑠𝑖𝑛2(𝜔𝑡 + 𝜑) =
𝐸𝑡 =
1
2
𝑚𝜔 𝑛
2
𝐴2
𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
2. MODELAMIENTO
El modelamiento es el proceso de deducir la ecuación diferencial o
sistema de ecuaciones que describan el movimiento de un sistema
físico.
2.1 MÉTODOS DE MODELAMIENTO
METODO DE NEWTON Y ENERGÍAS
El método consiste en definir el diagrama de cuerpo libre de un modelo
matemático y aplicar las leyes de Newton. El método de energías aplica la
energía cinética y potencial al modelo matemático
Ejemplo
Hallar la ecuación diferencial del siguiente sistema por el método de
energías
𝑈 =
1
2
𝑘𝑥2
𝑇 =
1
2
𝑚𝑥̇2
𝐸 = 𝑇 + 𝑈 =
1
2
𝑚𝑥̇2
+
1
2
𝑘𝑥2
= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
𝑑
𝑑𝑡
(𝑇 + 𝑈) = 𝑚𝑥̇ 𝑥̈ + 𝑘𝑥𝑥̇ = (𝑚𝑥̈ + 𝑘𝑥)𝑥̇ = 0
𝑥
𝑚
𝑘

19. 𝑚𝑥̈(𝑡) + 𝑘𝑥(𝑡) = 0
Ejemplo
Un cilindro de masa M y radio R se conecta por medio de un resorte de
constante k como de muestra en la figura. Si el cilindro tiene libertad de
rodar sobre la superficie horizontal sin resbalar, encontrar la EDO y su
frecuencia.
∑ 𝐹 = 𝑚𝑎
𝑚𝑥̈ = −𝑘𝑥 − 𝐹𝑓
∑ 𝑇 = 𝐼0 𝜃̈ 𝐼0 𝜃̈ = 𝐹𝑓 𝑅 (
1
2
𝑚𝑅2
) (
𝑥̈
𝑅
) = 𝐹𝑓 𝑅
Entonces 𝐹𝑓 =
1
2
𝑚𝑥̈
𝑚𝑥̈ = −𝑘𝑥 −
1
2
𝑚𝑥̈
3
2
𝑚𝑥̈ + 𝑘𝑥 = 0 la ecuación diferencial del sistema
El concepto de frecuencia natural 𝜔 𝑛 = √
𝑘
𝑚
𝜔 𝑛 = √
2𝑘
3𝑚
la frecuencia natural, tener en cuenta que se trata de pequeñas
vibraciones.
.

20. Solución por el método de energías.
De la formulación del problema podemos distinguir que el cilindro posee,
al desplazarse, energía cinética en rotación y traslación, el resorte posee
energía potencial. La energía total del sistema es la suma de todas las
energías descritas para este ejemplo.
En el cilindro
𝑇𝑡𝑟𝑎𝑠 =
1
2
𝑚𝑥̇2
𝑇𝑟𝑜𝑡 =
1
2
𝐼0 𝜃̇2
𝐼0 =
1
2
𝑚𝑅2
𝑅𝜃 = 𝑥 𝑅𝜃̇ = 𝑥̇
La energía del sistema para cualquier tiempo es
𝐸 =
1
2
𝑚𝑥̇2
+
1
2
(
1
2
𝑚𝑅2
) (
𝑥̇
𝑅
)
2
+
1
2
𝑘𝑥2
=
3
4
𝑚𝑥̇2
+
1
2
𝑘𝑥2
Como conocemos que en el sistema conservativo la energía total es
constante
𝑑𝐸
𝑑𝑡
= 0
𝑑𝐸
𝑑𝑡
= (
3
2
𝑚𝑥̈ + 𝑘𝑥) 𝑥̇ = 0
3
2
𝑚𝑥̈ + 𝑘𝑥 = 0 la ecuación diferencial del sistema
𝑥 +̈ 2𝑘
3𝑚
𝑥 = 0
𝜔 𝑛 = √
2𝑘
3𝑚
[ 𝑟𝑎𝑑
𝑠𝑒𝑔⁄ ]
Repasar conceptos importantes de trabajo y energía de:
http://laplace.us.es/wiki/index.php/Trabajo_y_energ%C3%ADa_(GIE)
Ejemplo
Considere el péndulo con resorte que se muestra en la figura y supóngase
que la fuerza del resorte es cero cuando el péndulo está vertical, o sea
𝜃 = 0 , un grado de libertad y la coordenada generalizada es 𝜃, es decir es
la variable que caracteriza el sistema, hallar la ecuación diferencial y la
frecuencia por el método de Newton y método de energías.

21. Con las leyes de Newton.
Sobre este sistema están actuando dos pares, una de la fuerza gravitacional
y otra debido al resorte
𝐼𝜃̈ = −𝑚𝑔𝑙 sin 𝜃 − (𝑘𝑎 sin 𝜃)(𝑎 cos 𝜃)
𝐼 = 𝑚𝑙2
𝑚𝑙2
𝜃̈ + 𝑚𝑔𝑙 sin 𝜃 + 𝑘𝑎2
sin 𝜃 cos 𝜃 = 0
sin 𝜃 = 𝜃 ; cos 𝜃 = 1 para vibraciones pequeñas
𝑚𝑙2
𝜃̈ + (𝑚𝑔𝑙 + 𝑘𝑎2)𝜃 = 0
𝜃̈ + (
𝑔
𝑙
+
𝑘𝑎2
𝑚𝑙2
) 𝜃 = 0 ; 𝜔 𝑛 = √
𝑔
𝑙
+
𝑘𝑎2
𝑚𝑙2
𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔
Ejercicio
Hallar la ecuación diferencial y la frecuencia por el método de energías
𝑘
𝑚
𝜃
𝑙𝑎
𝑚𝑔

22. Ejemplo
El resorte unido a la barra esbelta de masa 𝑚 no está estirado cuando 𝜃 =
0. Ignorando la fricción, determine la frecuencia natural de las pequeñas
vibraciones de la barra respecto a su posición de equilibrio.
Solución
El ángulo 𝜃 especifica la posición de la barra, por lo que sólo hay un grado
de libertad. Podemos expresar las energías cinética y potencial en función
de 𝜃 y de su derivada respecto al tiempo y derivar respecto al tiempo la
energía total para obtener la ecuación de movimiento.
La barra realiza un movimiento general en el plano, es decir rota y se
traslada. La energía cinética de la barra es
𝑇 =
1
2
𝑚𝑣2
+
1
2
𝐼 (
𝑑𝜃
𝑑𝑡
)
2
Donde 𝑣 es la velocidad del centro de masa e 𝐼 =
1
12
𝑚𝑙2
. la distancia del
centro instantáneo de la barra a su centro de masa es
1
2
𝑙 , por lo que
𝑣 =
1
2
𝑙 (
𝑑𝜃
𝑑𝑡
)
k
𝑙
𝜃

23. Determinamos la velocidad del centro de masa, el alargamiento del resorte
y la altura del centro de masa sobre el nivel de referencia.
Y la energía cinética es
𝑇 =
1
2
𝑚 [
1
2
𝑙 (
𝑑𝜃
𝑑𝑡
)]
2
+
1
2
(
1
12
𝑚𝑙2
) (
𝑑𝜃
𝑑𝑡
)
2
=
1
6
𝑚𝑙2
(
𝑑𝜃
𝑑𝑡
)
2
En función de 𝜃, el alargamiento del resorte es 𝑙 − 𝑙 cos 𝜃. Situamos el
plano de referencia para la energía potencial asociada con el peso en el
fondo de la barra por lo que la energía potencial total es
𝑈 = 𝑚𝑔 (
1
2
𝑙 cos 𝜃) +
1
2
𝑘(𝑙 − 𝑙 cos 𝜃)2
La suma de las energías cinética y potencial es constante, por ser un
sistema conservativo en ausencia de fricción en los bloques de
deslizamiento o cualquier influencia exterior:
𝑇 + 𝑈 =
1
6
𝑚𝑙2
(
𝑑𝜃
𝑑𝑡
)
2
+
1
2
𝑚𝑔𝑙 cos 𝜃 +
1
2
𝑘𝑙2(1 − cos 𝜃)2
= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
Derivando esta ecuación respecto al tiempo obtenemos la ecuación del
movimiento
1
3
𝑚𝑙2
𝑑2
𝜃
𝑑𝑡2
−
1
2
𝑚𝑔𝑙 sin 𝜃 + 𝑘𝑙2(1 − cos 𝜃) sin 𝜃 = 0
Para expresar esta ecuación en forma estándar necesitamos escribirla en
términos de pequeñas vibraciones respecto a la posición de equilibrio.
1
2
𝑙
1
2
𝑙 cos 𝜃
Alargamiento
= 𝑙 − 𝑙 cos 𝜃
Centro instantáneo
𝜃
𝑣
Plano de referencia

24. Sea 𝜃𝑒 el valor de 𝜃 cuando la barra está en equilibrio. Haciendo
𝑑2 𝜃
𝑑𝑡2
=
0 en la última ecuación encontramos que 𝜃𝑒 debe satisfacer la relación
cos 𝜃𝑒 = 1 −
𝑚𝑔
2𝑘𝑙
Definamos 𝜃̃ = 𝜃 − 𝜃̃𝑒 y desarrollamos sin 𝜃 y cos 𝜃 en series de Taylor
en función de 𝜃
sin 𝜃 = sin(𝜃𝑒 + 𝜃̃) = sin 𝜃𝑒 + cos 𝜃𝑒 𝜃̃ + ⋯,
cos 𝜃 = cos(𝜃𝑒 + 𝜃̃) = cos 𝜃𝑒 − sin 𝜃𝑒 𝜃̃ + ⋯,
Sustituyendo estas expresiones en la ecuación de movimiento e ignorando
los términos en 𝜃̃ de segundo orden y superiores, y usando la ecuación
cos 𝜃𝑒 = 1 −
𝑚𝑔
2𝑘𝑙
obtenemos
𝑑2
𝜃̃
𝑑𝑡2
+ 𝜔 𝑛
2
𝜃̃ = 0
Donde
𝜔 𝑛
2
=
3𝑔
𝑙
(1 −
𝑚𝑔
4𝑘𝑙
)
La frecuencia natural en Hz
𝑓𝑛 =
𝜔 𝑛
2𝜋
=
1
2𝜋
√
3𝑔
𝑙
(1 −
𝑚𝑔
4𝑘𝑙
) [𝐻𝑧]
METODO DE LAGRANGE.
Nuestro objetivo es aplicar las ecuaciones de Lagrange para obtener las
ecuaciones diferenciales de sistemas mecánicos.
La Mecánica de Lagrange o lagrangiana es una reformulación de la
mecánica newtoniana, más flexible y a menudo más útil para resolver
problemas.
La mecánica de Newton trata con fuerzas que son magnitudes vectoriales,
mientras que la mecánica de Lagrange, trata con energías cinéticas y
potenciales que son cantidades escalares.
La aplicación de la mecánica de Lagrange da lugar a 𝑛 ecuaciones
diferenciales correspondientes a 𝑛 coordenadas generalizadas.

25. La potencia y sencillez de la formulación de Lagrange se basa en el
Lagrangiano 𝐿 = 𝑇 − 𝑈 siendo 𝑇 la energía cinética y 𝑈 la energía
potencial para una coordenada generalizada 𝑞𝑖. El símbolo 𝑞𝑖 representa
una coordenada generalizada, por ejemplo 𝑥 , 𝜃, 𝜑, 𝑒𝑡𝑐
Se denominan coordenadas generalizadas a un conjunto cualquiera de
parámetros {𝑞𝑖, 𝑖 = 1, 2, 3 … } que sirven para determinar de manera
unívoca la configuración del sistema.
Estos parámetros en principio pueden ser cualesquiera, sin necesitar ser
homogéneos en cuanto a dimensiones. Por ejemplo, se pueden mezclar
longitudes, ángulos, etc. Una idea clave, subyacente en la elección de
coordenadas generalizadas, es que éstas pueden englobar en su propia
elección los enlaces del sistema (todos o al menos una parte de ellos). De
esta forma se consigue una doble ventaja: por una parte, el número de
parámetros es menor que el correspondiente directamente a las coordenadas
de todas las partículas. Por otra, el número de ecuaciones de enlace se ve
igualmente reducido.
El movimiento del sólido articulado de la figura queda descrito por una
única coordenada generalizada, el ángulo 𝜃. De esta forma se engloban
todos los enlaces, tanto internos (ligaduras de sólido rígido) como externos
(rótula cilíndrica en O).
La ecuación de Lagrange para sistemas conservativos es:
𝑑
𝑑𝑡
(
𝜕𝐿
𝜕𝑞̇ 𝑖
) −
𝜕𝐿
𝜕𝑞𝑖
= 0
𝑖 = 1,2,3 …..
Reemplazando 𝐿 = 𝑇 − 𝑈
𝑑
𝑑𝑡
(
𝜕𝑇
𝜕𝑞̇ 𝑖
) −
𝜕𝑇
𝜕𝑞𝑖
+
𝜕𝑈
𝜕𝑞𝑖
= 0
o
𝜃
cg

26. El significado físico del término del término
𝑑
𝑑𝑡
(
𝜕𝑇
𝜕𝑞̇ 𝑖
)
es el de las fuerzas de inercia.
Para comprobar tomemos como coordenadas vectoriales 𝑟𝑗
𝑑
𝑑𝑡
(
𝜕𝑇
𝜕𝑟̇𝑖
) =
𝑑
𝑑𝑡
[
𝜕
𝜕𝑟̇𝑗
∑ 1
2⁄
𝑁
𝑖=1
𝑚𝑖 𝑟̇𝑖
2
] =
𝑑
𝑑𝑡
(𝑚𝑟̇𝑗) = 𝑚𝑗 𝑟̈𝑗
Por último, los términos
𝜕𝑇
𝜕𝑞𝑖
pueden interpretarse como fuerzas
ficticias procedentes de la elección de coordenadas generalizadas {𝑞𝑗}.
En caso de que éstas sean simplemente las componentes cartesianas de
los vectores {𝑟𝑖}, desaparecerían. Estas fuerzas se añaden a las fuerzas
generalizadas 𝑄𝑗 en la dirección de 𝑞𝑗, estas fuerzas generalizadas la
veremos más adelante.
Es necesario comprender la importancia de la función Lagrangiana 𝐿 en
la caracterización dinámica de un sistema: basta con conocer su expresión,
𝐿 = (𝑞𝑗, 𝑞̇ 𝑗, 𝑡 ), para poder determinar a partir de ella las ecuaciones
dinámicas
𝑑
𝑑𝑡
(
𝜕𝐿
𝜕𝑞̇ 𝑖
) −
𝜕𝐿
𝜕𝑞𝑖
= 0
toda la información dinámica del sistema está por tanto contenida en la
estructura de 𝐿 = (𝑞 𝑗, 𝑞̇ 𝑗, 𝑡 )
Por ejemplo, podemos aplicar las ecuaciones de Lagrange en un sistema
masa-resorte (vibración libre, resorte lineal) y deducir la ecuación
diferencial que caracteriza el sistema, las energías vienen dadas por
𝑈 = 1
2⁄ 𝑘(𝛿 + 𝑥)2
− 𝑚𝑔𝑥
𝑇 = 1
2⁄ 𝑚𝑥̇2
En este caso la coordenada generalizada es 𝑥, por lo tanto, la ecuación de
Lagrange es
𝑑
𝑑𝑡
(
𝜕𝑇
𝜕𝑥̇ 𝑖
) −
𝜕𝑇
𝜕𝑥𝑖
+
𝜕𝑈
𝜕𝑥𝑖
=
𝑑
𝑑𝑡
(𝑚𝑥̇) + 𝑘(𝛿 + 𝑥) − 𝑚𝑔 = 0
𝑚𝑥̈ + 𝑘𝑥 = 0

27. Ejemplo
Péndulo simple.
Supongamos que un péndulo simple de masa m y longitud 𝑙, se encuentra
desviado de la posición de equilibrio en un ángulo 𝜃 y lleva una velocidad
de 𝑣 = 𝑙 (
𝑑𝜃
𝑑𝑡
), tangente a la trayectoria circular.
La energía cinética: 𝑇 = 1
2⁄ 𝑚𝑣2
= 1
2⁄ 𝑚𝑙2
(
𝑑𝜃
𝑑𝑡
)
2
Estableciendo el nivel cero de la energía potencial en el punto de
suspensión, la energía potencial de la partícula es:
𝑈 = 𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃,
El Lagrangiano
𝐿 = 𝑇 − 𝑈 =
1
2
𝑚𝑙2
(𝜃̇)
2
− 𝑚𝑔𝑙𝑐𝑜𝑠𝜃
La ecuación de movimiento.
coordenada generalizada 𝜃
𝑑
𝑑𝑡
(𝑚𝑙2
𝜃̇) + 𝑚𝑔𝑙𝑠𝑒𝑛𝜃 = 0
𝑑2
𝜃
𝑑𝑡2
+
𝑔
𝑙
𝑠𝑒𝑛𝜃 = 0
𝜃̈ +
𝑔
𝑙
𝑠𝑒𝑛𝜃 = 0
Ejemplo
Del siguiente modelo matemático deducir la ecuación diferencial por el
método de Lagrange para pequeñas vibraciones. Supóngase que la fuerza
del resorte es cero cuando el péndulo está vertical, o sea 𝜃 = 0 , un grado
𝜃
𝑚
𝑙
𝑚𝑔

28. de libertad y la coordenada generalizada es 𝜃, es decir es la variable que
caracteriza el sistema.
𝑇 = 1
2⁄ 𝑚(𝑙𝜃̇)
2
𝑈 = 𝑚𝑔𝑙(1 − cos 𝜃) + 1
2⁄ 𝑘(𝑎 sin 𝜃)2
El lagrangiano es
𝐿 = 𝑇 − 𝑈 = 1
2⁄ 𝑚(𝑙𝜃̇)
2
− 𝑚𝑔𝑙(1 − cos 𝜃) − 1
2⁄ 𝑘𝑎2
𝑠𝑒𝑛2
𝜃
Por tanto, la ecuación de Lagrange
𝑑
𝑑𝑡
(
𝜕𝐿
𝜕𝜃̇ 𝑖
) −
𝜕𝐿
𝜕𝜃𝑖
= 0
𝑑
𝑑𝑡
(𝑚𝑙2
𝜃̇) + 𝑚𝑔𝑙 sin 𝜃 + 𝑘𝑎2
sin 𝜃 cos 𝜃 = 0
𝜃̈ +
𝑔
𝑙
sin 𝜃 +
𝑘𝑎2
𝑚𝑙2
sin 𝜃 cos 𝜃 = 0
sin 𝜃 = 𝜃 ; cos 𝜃 = 1 para vibraciones pequeñas
La ecuación diferencial es:
𝜃̈ + (
𝑔
𝑙
+
𝑘𝑎2
𝑚𝑙2
) 𝜃 = 0
𝜔 𝑛 = √
𝑔
𝑙
+
𝑘𝑎2
𝑚𝑙2
𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔
MÉTODO DE LA ENERGÍA DE RAYLEIGH
Para un sistema de 1GDL, la ecuación de movimiento se derivó con el
método de energía, es decir, con el principio de conservación de energía.
𝑘
𝑚
𝜃
𝑙𝑎
𝑚𝑔

29. 𝑇 + 𝑈 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
Este principio en un sistema vibratorio no amortiguado se puede formular
como:
𝑇1 + 𝑈1 = 𝑇2 + 𝑈2
El subíndice 1 nos indica el tiempo en que la masa pasa por su posición de
equilibrio estático y elegimos 𝑈1 = 0 como referencia para la energía
potencial. Si el subíndice 2 indica el tiempo correspondiente al
desplazamiento máximo de la masa, tenemos 𝑇2 = 0. Por consiguiente, la
ecuación 𝑇1 + 𝑈1 = 𝑇2 + 𝑈2 se escribe como
𝑇1 + 0 = 0 + 𝑈2
Si el sistema tiene un movimiento armónico, entonces 𝑇1 y 𝑈2 indican los
valores máximos de la energía cinética y potencial
𝑇 𝑚á𝑥 = 𝑈 𝑚á𝑥
A esta ecuación se llama método de energía de Rayleigh, porque nos
permite hallar la frecuencia natural del sistema de manera directa.
Determinar la frecuencia natural del sistema conservativo mostrado en
figura
𝑦(𝑡) = 𝑦0 sin 𝜔 𝑛 𝑡
𝑦̇(𝑡) = 𝑦0 𝜔 𝑛 cos 𝜔 𝑛 𝑡
𝑇 𝑚á𝑥 =
1
2
𝑚𝑦̇ 𝑚á𝑥
2
=
1
2
𝑚𝑦0
2
𝜔 𝑛
2
𝑈 𝑚á𝑥 =
1
2
𝑘𝑦0
2
Por Rayleigh,
1
2
𝑚𝑦0
2
𝜔 𝑛
2
=
1
2
𝑘𝑦0
2
m

30. Por lo tanto
𝜔 𝑛
2
=
𝑘
𝑚
FUNCIÓN DE DISIPACIÓN DE RAYLEIGH.
En los sistemas no conservativos (sistemas amortiguados, por ejemplo) la
energía se disipa. Rayleigh desarrolló una función de disipación 𝐷 de la
que puede derivarse la fuerza del amortiguamiento. Suponiendo que el
sistema involucra 𝑟 amortiguadores viscosos, la función de disipación de
Rayleigh se define mediante
𝐷 = 1
2⁄ (𝑐1 𝛿̇1
2
+ 𝑐2 𝛿̇2
2
+ ⋯ + 𝑏𝑟𝛿̇ 𝑟
2
)
Donde 𝑏𝑖 es el coeficiente del 𝑖-ésimo amortiguador viscoso y 𝛿𝑖 es la
diferencia de velocidad a través de 𝑖-ésimo amortiguador viscoso. (𝛿𝑖 puede
expresarse como función de las velocidades generalizadas 𝑞̇ 𝑖)
Mediante el uso de la función de disipación de Rayleigh, las ecuaciones de
Lagrange para los sistemas no conservativos se convierten en:
𝑑
𝑑𝑡
(
𝜕𝐿
𝜕𝑞̇ 𝑖
) −
𝜕𝐿
𝜕𝑞𝑖
+
𝜕𝐷
𝜕𝑞̇ 𝑖
= 0 (𝑖 = 1,2, … 𝑛)
𝑑
𝑑𝑡
(
𝜕𝑇
𝜕𝑞̇1
) −
𝜕𝑇
𝜕𝑞1
+
𝜕𝐷
𝜕𝑞̇1
+
𝜕𝑈
𝜕𝑞1
= 0
Ejemplo.
En el sistema masa-resorte-amortiguador que se muestra en la figura, la
única coordenada generalizada es el desplazamiento 𝑥, el cual se mide a
partir de su posición de equilibrio.
////////////////////////
𝑥 ( 𝑡 )
m
kc

31. La energía cinética T del sistema es:
𝑇 = 1
2⁄ 𝑚𝑥̇2
La energía potencial U es
𝑈 = 1
2⁄ 𝑘𝑥2
Donde la energía potencial en la posición de equilibrio se toma como cero.
El Lagrangiano 𝐿 = 𝑇 − 𝑈 = 1
2⁄ 𝑚𝑥̇2
− 1
2⁄ 𝑘𝑥2
La función disipación 𝐷 de Rayleigh 𝐷 = 1
2⁄ 𝑐𝑥̇2
Y al sustituir en la ecuación de Lagrange para sistemas NO conservativos
𝑑
𝑑𝑡
(
𝜕𝐿
𝜕𝑥̇
) −
𝜕𝐿
𝜕𝑥
+
𝜕𝐷
𝜕𝑥̇
= 0
Luego de desarrollar esta ecuación obtenemos la ecuación diferencial para
sistema masa-resorte-amortiguador
𝒎𝒙̈ + 𝒄𝒙̇ + 𝒌𝒙 = 𝟎
Las ecuaciones de Lagrange para sistemas con fuerzas de entrada, es decir,
un sistema con una fuerza exterior de excitación 𝑓𝑡
𝑑
𝑑𝑡
(
𝜕𝐿
𝜕𝑞̇ 𝑖
) −
𝜕𝐿
𝜕𝑞𝑖
+
𝜕𝐷
𝜕𝑞̇ 𝑖
= 𝑄𝑖 𝑖 = 1,2, … 𝑛
////////////////////////
m
kc
𝑓(𝑡)

32. Donde 𝑄𝑖 es la fuerza de entrada correspondiente a la i-ésima coordenada
generalizada.
Esta ecuación nos permite definir la ecuación diferencial para sistemas
masa-resorte-amortiguador forzadas las cuales generan ecuaciones
diferenciales no homogéneas, estos sistemas con vibración forzada y
amortiguada las veremos en otro capítulo.
𝒎𝒙̈ + 𝒄𝒙̇ + 𝒌𝒙 = 𝒇(𝒕)
Donde 𝑓(𝑡) = Q
𝑑
𝑑𝑡
(
𝜕𝑇
𝜕𝑞̇1
) −
𝜕𝑇
𝜕𝑞1
+
𝜕𝐷
𝜕𝑞̇1
+
𝜕𝑈
𝜕𝑞1
= 𝑄1
𝑇 =
1
2
𝑚 𝑒𝑞 𝑞̇1
2
𝑈 =
1
2
𝑘 𝑒𝑞 𝑞1
2
𝐷 =
1
2
𝑐 𝑒𝑞 𝑞̇1
2
𝑑
𝑑𝑡
(
𝜕
𝑞̇1
(
1
2
𝑚 𝑒𝑞 𝑞̇1
2
)) −
𝜕
𝜕𝑞1
(
1
2
𝑚 𝑒𝑞 𝑞̇1
2
) +
𝜕
𝑞̇1
(
1
2
𝑐 𝑒𝑞 𝑞̇1
2
) +
𝜕
𝜕𝑞1
(
1
2
𝑘 𝑒𝑞 𝑞1
2
)
= 𝑄1
𝑑
𝑑𝑡
(𝑚 𝑒𝑞 𝑞̇1) − 0 + 𝑐 𝑒𝑞 𝑞̇1 + 𝑘 𝑒𝑞 𝑞1 = 𝑄1
𝒎 𝒆𝒒 𝒒̈ 𝟏 + 𝒄 𝒆𝒒 𝒒̇ 𝟏 + 𝒌 𝒆𝒒 𝒒 𝟏 = 𝑸 𝟏
“Por consiguiente, para llegar a la ecuación diferencial del movimiento
de un sistema vibratorio lineal con amortiguamiento viscoso, primero se
obtienen las expresiones para la energía cinética, la energía potencial y la
función de disipación de dicho sistema. Si es posible agrupar estas
cantidades de modo que puedan identificarse una masa equivalente y un
amortiguamiento equivalente, entonces, después de determinar la fuerza
generalizada, hallamos la ecuación diferencial :
𝒎 𝒆𝒒 𝒒̈ 𝟏 + 𝒄 𝒆𝒒 𝒒̇ 𝟏 + 𝒌 𝒆𝒒 𝒒 𝟏 = 𝑸 𝟏”
Ejemplo

33. El siguiente sistema consta de una varilla con masa despreciable, un
amortiguador viscoso lineal, un resorte amortiguado lineal. En vibración
libre se excita el sistema en un ángulo 𝜃.
Hallar la ecuación diferencial por el método de Newton para pequeñas
vibraciones.
Aplicamos las leyes de Newton
−𝑘𝑎𝜃𝑎 − 𝑐𝑙1 𝜃̇ 𝑙1 = 𝐼𝐴 𝜃̈
𝐼𝐴 = 𝑚𝑙2
𝑚𝑙2
𝜃̈ + 𝑐𝑙1
2
𝜃̇ + 𝑘𝑎2
𝜃 = 0 ecuación diferencial
Donde
𝑚 𝑒 = 𝑚𝑙2
; 𝑘 𝑒 = 𝑘𝑎2
; 𝑐 𝑒 = 𝑐𝑙1
2
Y la frecuencia natural es
𝜔 𝑛 = √
𝑘𝑎2
𝑚𝑙2
𝑚
𝑅 𝐴
𝑎
𝐴
𝑘𝑎𝜃
𝑐𝑙1 𝜃
𝜃
𝐴
𝑎 𝑘
𝑐
𝑙2𝑙1
𝑙 = 𝑙1 + 𝑙2
𝑚

34. Ejemplo
Ecuación diferencial para un sistema que se traslada y rota
*
Elegimos la coordenada generalizada: 𝜃
𝑀(𝑡) es el torque exterior.
𝑀(𝑡) = 𝑄
Para obtener la energía potencial, se observa que se tiene un resorte lineal.
Por tanto, se aplica 𝑈 = 1
2⁄ 𝑘𝑥2
y conocemos que 𝑥 = 𝑟𝜃
𝑈 = 1
2⁄ 𝑘𝑥2
= 1
2⁄ 𝑘(𝑟𝜃)2
= 1
2⁄ 𝑘𝑟2
𝜃2
La rigidez equivalente 𝑘 𝑒𝑞 = 𝑘𝑟2
Con el fin de determinar la energía cinética del sistema recurrimos a la
ecuación de la energía total del disco
𝑇 = 1
2⁄ 𝑚𝑥̇2
+ 1
2⁄ 𝐼 𝐺 𝜃̇2
= 1
2⁄ [𝑚𝑟2
+ 𝐼 𝐺]𝜃̇2
=
1
2
[
3
2
𝑚𝑟2
] 𝜃̇2
Donde 𝐼 𝐺 = 1
2⁄ 𝑚𝑟2
La masa equivalente: 𝑚 𝑒𝑞 = 3
2⁄ 𝑚𝑟2
La función de disipación:
𝐷 = 1
2⁄ 𝑐𝑥̇2
= 1
2⁄ 𝑐(𝑟𝜃̇)
2
= 1
2⁄ (𝑐𝑟2)𝜃̇2
de la cual el coeficiente de
amortiguamiento equivalente será: 𝑐 𝑒𝑞 = 𝑐𝑟2
Por tanto, según la fuerza generalizada determinada y las propiedades de
inercia, rigidez y amortiguamiento equivalentes obtenemos la ecuación
diferencial del movimiento.
G
𝑟 𝑥
𝜃
𝑚, 𝐼 𝐺
𝑐𝑘
𝑀(𝑡)

35. 3
2⁄ 𝑚𝑟2
𝜃̈ + 𝑐𝑟2
𝜃̇ + 𝑘𝑟2
𝜃 = 𝑀(𝑡)
La frecuencia natural: 𝜔 𝑛 = √
𝑘 𝑒𝑞
𝑚 𝑒𝑞
= √
𝑘𝑟2
3
2⁄ 𝑚𝑟2
= √
2𝑘
3𝑚
Ejemplo
Ecuación diferencial para un péndulo amortiguado invertido
Antes de determinar la energía cinética del sistema, se obtienen los
momentos de inercia de la masa 𝑚1 de la esfera y de la barra 𝑚2 con
respecto a su centro de rotación 𝑜. La inercia total por rotación del sistema
es:
𝐼0 = 𝐼01 + 𝐼02 (1)
𝑐. 𝑔
𝑜
𝑐 𝑘
𝑚1
𝐿1=𝐿2+𝑟
𝐿2
𝐿2
2
𝑚2
2𝑟
𝜃
𝑥1

36. 𝐼01 momento de inercia de la masa 𝑚1 con respecto al punto O.
𝐼02 momento de inercia de la barra con 𝑚2 con respecto al punto O.
𝐼 𝐺,𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 = 2
5⁄ 𝑚𝑅2
𝐼 𝐺,𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 𝑒𝑠𝑏𝑒𝑙𝑡𝑎 = 1
12⁄ 𝑚𝐿2
𝐼01 = 2
5⁄ 𝑚1 𝑟2
+ 𝑚1 𝐿1
2
(2)
𝐼02 = 1
12⁄ 𝑚2 𝐿2
2
+ 𝑚2 (
𝐿2
2
)
2
= 1
3⁄ 𝑚2 𝐿2
2
Después de elegir 𝑞1 = 𝜃 como coordenada generalizada y aplicar las
ecuaciones (1) y (2) encontramos la energía cinética del sistema.
𝑇 = 1
2⁄ 𝐼0 𝜃̇2
= 1
2⁄ [𝐼01 + 𝐼02]𝜃̇2
=
= 1
2⁄ [2
5⁄ 𝑚1 𝑟2
+ 𝑚1 𝐿1
2
+ 1
3⁄ 𝑚2 𝐿2
2
]𝜃̇2
(3)
En el caso de rotaciones pequeñas con respecto a la posición vertical se
puede expresar la traslación de la masa 𝑚1como 𝑥1 ≈ 𝐿1 𝜃 (4)
Entonces, al aplicar
𝑈(𝑥) = 𝑚1
1
2⁄ 𝑘𝑥2
𝑈(𝜃) = 1
2⁄ 𝑘 𝑒𝑞 𝜃2
; 𝑈(𝜃) ≈ − 1
2⁄ 𝑚1 𝑔𝐿1 𝜃2
La energía potencial del sistema se determina como
𝑈 = 1
2⁄ 𝑘𝑥1
2
− 1
2⁄ 𝑚1 𝑔𝐿1 𝜃2
− 1
2⁄ 𝑚2 𝑔
𝐿2
2
𝜃2
= 1
2⁄ [𝑘𝐿1
2
− 𝑚1 𝑔𝐿1 − 𝑚2 𝑔
𝐿2
2
] 𝜃2
(5)
La función disipación toma la forma
𝐷 = 1
2⁄ 𝑐𝑥̇1
2
= 1
2⁄ 𝑐𝐿1
2
𝜃̇2
(6)
Recordando que 𝑇 = 1
2⁄ 𝑚 𝑒𝑞 𝑞̇1
2
; 𝑈 = 1
2⁄ 𝑘 𝑒𝑞 𝑞1
2
; 𝐷 = 1
2⁄ 𝑐 𝑒𝑞 𝑞̇1
2
Entonces de la (3), 𝑚 𝑒𝑞 = 2
5⁄ 𝑚1 𝑟2
+ 𝑚1 𝐿1
2
+ 1
3⁄ 𝑚2 𝐿2
2
De la (5) 𝑘 𝑒 = 𝑘𝐿1
2
− 𝑚1 𝑔𝐿1 − 𝑚2 𝑔
𝐿2
2

37. De la (6) 𝑐 𝑒𝑞 = 𝑐𝐿1
2
Que representan las propiedades de inercia, rigidez y amortiguamiento
Entonces la ecuación diferencial toma la forma:
(2
5⁄ 𝑚1 𝑟2
+ 𝑚1 𝐿1
2
+ 1
3⁄ 𝑚2 𝐿2
2
)𝜃̈ + 𝑐𝐿1
2
𝜃̇ + (𝑘𝐿1
2
− 𝑚1 𝑔𝐿1 − 𝑚2 𝑔
𝐿2
2
) 𝜃 = 0
𝒎 𝒆𝒒 𝜽̈ + 𝒄 𝒆𝒒 𝜽̇ + 𝒌 𝒆𝒒 𝜽 = 𝟎
La frecuencia natural:
𝜔 𝑛 = √
𝑘 𝑒𝑞
𝑚 𝑒𝑞
= √
𝑘𝐿1
2
− 𝑚1 𝑔𝐿1 − 𝑚2 𝑔
𝐿2
2
2
5⁄ 𝑚1 𝑟2 + 𝑚1 𝐿1
2
+ 1
3⁄ 𝑚2 𝐿2
2
= √
𝑘𝐿1
2
− 𝑚1 𝑔𝐿1 − 𝑚2 𝑔
𝐿2
2
𝐼01 + 𝐼02
La rigidez del sistema es positiva cuando:
𝑘𝐿1
2
> 𝑚1 𝑔𝐿1 + 𝑚2 𝑔
𝐿2
2