Un circuito compuesto por un inductor, resistencia, condensador y generador conectados en serie se analiza para determinar la carga y corriente en el condensador en función del tiempo. Se resuelve la ecuación de Kirchhoff para obtener expresiones para la carga y corriente que involucran funciones trigonométricas y exponenciales.

1. Un inductor de 1 H, una resistencia de 2 Ω, un condensador de 0.2 F y un generador con una
fuerza electromotriz dada por
  35
E t 
Volts se conectan en serie. Si la corriente inicial es
cero y la carga inicial en el condensador es de 1 Coulomb, determine la carga y la corriente para
todo tiempo t > 0.
Solución:
Sustituyendo los valores L = 1 H, R = 2 Ω, C = 0.2 F y
  35
E t 
en la ecuación de Kirchhoff
obtenemos.
 
2
2
1
d q dq
L R q E t
dt dt C
  
2
2
1
2 35
0.2
d q dq
q
dt dt
  
2
2
2 5 35
d q dq
q
dt dt
  
La ecuación auxiliar seria:
2
2 5 0
r r
  
De donde se obtienen las raíces:
1,2 1 2
r i
  
Luego, la solución homogénea seria:
   
1 2
cos 2 sin 2
t
h t
q e c t c t

 
A continuación, hallamos la solución particular:
'
"
0
0
p
p
p
q A
q
q



0 2(0) 5( ) 35
7
A
A
  

En consecuencia, la solución general de la ecuación es:
     
t h t p t
q q q
 

2.    
1 2
7 cos2 sin 2
t
t
q e c t c t

  
De las condiciones iniciales
(0) 1
q 
y
(0)
' 0
q 
1
7 1
c
 
1 2
2 0
c c
  
A partir de estas ecuaciones encontramos que:
1 6
c  
y
2 3
c  
Por lo tanto, la carga en el capacitor es:
   
7 6cos2 3sin 2
t
t
q e t t

  
Para encontrar la corriente del circuito derivamos la carga:
( )
t
dq
i
dt

6 cos2 12 sin 2 3 sin 2 6 cos2
15 sin 2
t t t t
t
dq
e t e t e t e t
dt
dq
e t
dt
   

   

( ) 15 sin 2
t
t
i e t


Un inductor de 4 H, una resistencia de 20 Ω, un condensador de 0.008 F y un generador con una
fuerza electromotriz dada por
  500
E t 
Volts se conectan en serie. Si inicialmente la carga y
la corriente son ambas cero, obtenga.
a) La carga y la corriente para todo tiempo.
b) La carga y la corriente después de un tiempo largo.
Solución:
Sustituyendo los valores L = 4 H, R = 20 Ω, C = 0.008 F y
  500
E t 
en la ecuación de
Kirchhoff obtenemos.
 
2
2
1
d q dq
L R q E t
dt dt C
  

3. 2
2
1
4 20 500
0.008
d q dq
q
dt dt
  
2
2
5 31.25 125
d q dq
q
dt dt
  
La ecuación auxiliar seria:
2
5 31.25 0
r r
  
De donde se obtienen las raíces:
5 25 4(31.25)
2
r
  

5 100
2
i
r
 

2,5 5
r i
 
Luego, la solución homogénea seria:
   
2,5
1 2
cos5 sin 5
t
h t
q e c t c t

 
A continuación, hallamos la solución particular:
'
"
0
0
p
p
p
q A
q
q



0 5(0) 31,25( ) 125
4
A
A
  

En consecuencia, la solución general de la ecuación es:
     
t h t p t
q q q
 
   
2,5
1 2
4 cos5 sin 5
t
t
q e c t c t

  
De las condiciones iniciales
(0) 0
q 
y
(0)
' 0
q 
1 4 0
c  

4. 1 2
2,5 5 0
c c
  
A partir de estas ecuaciones encontramos que:
1 4
c  
y
2 2
c  
Por lo tanto, la carga en el capacitor es:
   
2,5
4 4cos5 2sin5
t
t
q e t t

  
Para encontrar la corriente del circuito derivamos la carga:
( )
t
dq
i
dt

2,5 2,5 2,5 2,5
2,5
10 cos5 20 sin5 5 sin5 10 cos5
25 sin5
t t t t
t
dq
e t e t e t e t
dt
dq
e t
dt
   

   

2,5
( ) 25 sin5
t
t
i e t


Para obtener la carga y la corriente después de un tiempo largo, aplicamos el limite cuando el
tiempo tiende a infinito.
 
2,5
( )
lim lim4 4cos5 2sin5 4
t
t
t t
q e t t Coulomb

 
   
2,5
( ) 2,5
25sin5
lim lim25 sin5 lim 0
t
t t
t t t
t
i e t
e

  
  
A
Un inductor de 0.4 H, un condensador de 0.001 F y un generador con una fuerza electromotriz
dada por
  20
E t 
Volts se conectan en serie. Si en t=0 la carga y la corriente son cero,
obtenga.
a) La carga y la corriente para todo tiempo.
b) Los valores máximos de la carga y la corriente.
Sustituyendo los valores L = 0.4 H, C = 0.001 F y
  20
E t 
en la ecuación de Kirchhoff
obtenemos.
 
2
2
1
d q dq
L R q E t
dt dt C
  

5. 2
2
1
0.4 0 20
0.001
d q dq
q
dt dt
  
2
2
2500 50
d q
q
dt
 
La ecuación auxiliar seria:
2
2500 0
r  
De donde se obtienen las raíces:
2500
r   
50
r i
 
Luego, la solución homogénea seria:
   
1 2
cos50 sin 50
h t
q c t c t
 
A continuación, hallamos la solución particular:
'
"
0
0
p
p
p
q A
q
q



0 2500( ) 50
0.02
A
A
 

En consecuencia, la solución general de la ecuación es:
     
t h t p t
q q q
 
   
1 2
0.02 cos50 sin50
t
q c t c t
  
De las condiciones iniciales
(0) 0
q 
y
(0)
' 0
q 
1 0.02 0
c  
2
50 0
c 
A partir de estas ecuaciones encontramos que:

6. 1 0.02
c  
y
2 0
c 
Por lo tanto, la carga en el capacitor es:
  0.02cos50 0.02
t
q t
  
Para encontrar la corriente del circuito derivamos la carga:
( )
t
dq
i
dt

0.02cos50 0.02
sin50
dq
t
dt
dq
t
dt
  

( ) sin50
t
i t

Para hallar los valores máximos de la carga y la corriente evaluamos el rango de las funciones.
 
1 cos50 1
0.02 0.02cos50 0.02
0.04 0.02cos50 0.02 0
0.04 0
t
t
t
t
q
  
   
   
 
( )max 0.04
t
q
 
Coulomb
( )
1 sin50 1
1 1
t
t
i
  
  
( )max 1
t
i
 
A