El documento trata sobre resolución de ecuaciones diferenciales alrededor de puntos singulares mediante el método de Frobenius. Incluye ejemplos de resolución de ecuaciones diferenciales de segundo orden utilizando la transformada de Laplace y series de Fourier. También menciona temas como sistemas de ecuaciones diferenciales y ecuaciones en derivadas parciales.

1.  RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ALREDEDOR
DE PUNTOS SINGULARES
 TRANSFORMADA DE LAPLACE
 RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE
TRANSFORMADA DE LAPLACE
 TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
 APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE
SEGUNDO ORDEN
 SERIES DE FOURIER
 ECUACIONES EN DERIVADA PARCIALES
ESPOL
ECUACIONES
DIFERENCIALES
(2DO PARCIAL)
[ERICK CONDE]

2. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Página 2
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ALREDEDOR DE PUNTOS SINGULARES
MÉTODO DE FROBENIUS
1) 𝒙𝒚′′
− 𝒚′
+ 𝟒𝒙 𝟑
𝒚 = 𝟎
lim
𝑥→0
𝑥
𝑞(𝑥)
𝑝(𝑥)
⇒ lim
𝑥→0
𝑥
−1
𝑥
= −1
lim
𝑥→0
𝑥2
𝑟(𝑥)
𝑝(𝑥)
⇒ lim
𝑥→0
𝑥2
4𝑥3
𝑥
= 0
𝑦 𝑥 = 𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟
𝑦′ 𝑥 = (𝑛 + 𝑟)𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟−1
𝑦′′ 𝑥 = 𝑛 + 𝑟 (𝑛 + 𝑟 − 1)𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟−2
𝑥 𝑛 + 𝑟 (𝑛 + 𝑟 − 1)𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟−2
− (𝑛 + 𝑟)𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟−1
+ 4𝑥3
𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟
= 0
𝑛 + 𝑟 (𝑛 + 𝑟 − 1)𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟−1 − (𝑛 + 𝑟)𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟−1 + 4 𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟+3 = 0
Multiplicando por “x” a toda la expresión:
𝑥 𝑛 + 𝑟 (𝑛 + 𝑟 − 1)𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟−1
− 𝑥 (𝑛 + 𝑟)𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟−1
+ 4𝑥 𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟+3
= 0
𝑛 + 𝑟 𝑛 + 𝑟 − 1 𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟
− 𝑛 + 𝑟 𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟
+ 4 𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟+4
= 0
𝑀 = 𝑛 + 4
𝑛 + 𝑟 𝑛 + 𝑟 − 1 𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟
− 𝑛 + 𝑟 𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟
+ 4 𝑎 𝑀−4
+∞
𝑀=4
𝑥 𝑀+𝑟
= 0
Generando términos hasta n=4
𝑎0 𝑟 𝑟 − 1 𝑥 𝑟
+ 𝑎1 𝑟 + 1 𝑟 𝑥 𝑟+1
+ 𝑎2 𝑟 + 2 𝑅 + 1 𝑥 𝑟+2
+ 𝑎3 𝑟 + 3 𝑟 + 2 𝑥 𝑟+3
−
𝑎0 𝑟 𝑥 𝑟
− 𝑎1 𝑟 + 1 𝑥 𝑟+1
− 𝑎2 𝑟 + 2 𝑥 𝑟+2
− 𝑎3 𝑟 + 3 𝑥 𝑟+3
+ 𝑛 + 𝑟 𝑛 + 𝑟 − 1 𝑎 𝑛 − 𝑛 + 𝑟 𝑎 𝑛 + 4𝑎 𝑛−4 𝑥 𝑛+𝑟
+∞
𝑛=4
= 0

3. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Página 3
𝑎0 𝑥 𝑟 𝑟 𝑟 − 1 − 𝑟 = 0
𝑟 𝑟 − 1 − 1 = 0 ⟹ 𝑟1 = 0 , 𝑟2 = 2 ⟹ 𝒂 𝟎 ≠ 𝟎
𝑎1 𝑥 𝑟+1 𝑟 𝑟 + 1 − 𝑟 + 1 = 0
𝑎1 𝑥 𝑟+1
2 2 + 1 − (2 + 1) = 0 ⟹ 𝑎1 𝑥 𝑟+1
(3) = 0 ⟹ 𝒂 𝟏 = 𝟎
𝑎2 𝑥 𝑟+2
𝑟 + 1 𝑟 + 2 − 𝑟 + 2 = 0
𝑎2 𝑥 𝑟+2
2 + 1 2 + 2 − (2 + 2) = 0 ⟹ 𝑎2 𝑥 𝑟+2
(8) = 0 ⟹ 𝒂 𝟐 = 𝟎
𝑎3 𝑥 𝑟+3 𝑟 + 3 𝑟 + 2 − 𝑟 + 3 = 0
𝑎3 𝑥 𝑟+3
2 + 3 2 + 2 − 2 + 3 = 0 ⟹ 𝑎2 𝑥 𝑟+2
15 = 0 ⟹ 𝒂 𝟑 = 𝟎
𝑛 + 𝑟 𝑛 + 𝑟 − 1 𝑎 𝑛 − 𝑛 + 𝑟 𝑎 𝑛 + 4𝑎 𝑛−4 𝑥 𝑛+𝑟
= 0
𝑛 + 𝑟 𝑛 + 𝑟 − 1 𝑎 𝑛 − 𝑛 + 𝑟 𝑎 𝑛 + 4𝑎 𝑛−4 = 0 ⇒ 𝒂 𝒏(𝒓) =
𝟒𝒂 𝒏−𝟒
𝒏 + 𝒓 (𝟐 − 𝒏 − 𝒓)
; ∀𝒏 ≥ 𝟒
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑟 = 2
𝑎 𝑛 = −
4𝑎 𝑛−4
𝑛 + 2 (𝑛)
; ∀𝑛 ≥ 4
𝑛 = 4 ⟹ 𝑎4 = −
4𝑎0
4∗6
𝑛 = 5 ⟹ 𝑎5 = −
4𝑎1
5∗7
⟹ 𝑎5 = 0
𝑛 = 6 ⟹ 𝑎6 = −
4𝑎2
6∗8
⟹ 𝑎6 = 0
𝑛 = 7 ⟹ 𝑎7 = −
4𝑎3
7∗9
⟹ 𝑎7 = 0
𝑛 = 8 ⟹ 𝑎8 = −
4𝑎4
8∗10
⟹ 𝑎8 =
4∗4𝑎0
4∗6∗8∗10
.
.
.
𝑛 = 12 ⟹ 𝑎12 = −
4𝑎8
12∗14
⟹ 𝑎12 =
4∗4∗4𝑎0
4∗6∗8∗10∗12∗14
.
.
.

4. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Página 4
Entonces:
𝑦1 𝑥 = 𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟
𝑦1 𝑥 = 𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+2
𝑦1 𝑥 = 𝑎0 𝑥2 + 𝑎1 𝑥3 + 𝑎2 𝑥4 + 𝑎3 𝑥5 + 𝑎4 𝑥6 + 𝑎5 𝑥7 + … … … … … … … ….
𝑦1 𝑥 = 𝑎0 𝑥2
+ 𝑎1 𝑥3
+ 𝑎2 𝑥4
+ 𝑎3 𝑥5
+ 𝑎4 𝑥6
+ 𝑎5 𝑥7
+ … … … … … … … ….
𝑦1 𝑥 = 𝑎0 𝑥2
−
4𝑎0
4 ∗ 6
𝑥6
+
4 ∗ 4𝑎0
4 ∗ 6 ∗ 8 ∗ 10
𝑥10
−
4 ∗ 4 ∗ 4𝑎0
4 ∗ 6 ∗ 8 ∗ 10 ∗ 12 ∗ 14
𝑥14
+ … … … … … … … ….
𝑦1 𝑥 = 𝑎0 𝑥2 −
4
3! ∗ 22
𝑥6 +
42
5! ∗ 24
𝑥10 −
43
7! ∗ 26
𝑥14 + … … … … … … … … .
𝑦1 𝑥 = 𝑎0
𝑥4𝑛+2
∗ 4 𝑛
∗ (−1) 𝑛
2𝑛 + 1 ! ∗ 22𝑛
+∞
𝑛=0
𝑦1 𝑥 = 𝑎0
(−1) 𝑛
(𝑥2
)2𝑛+1
2𝑛 + 1 !
+∞
𝑛=0
𝑦1 𝑥 = 𝑎0 𝑆𝑒𝑛(𝑥2
)
𝑦2 𝑥 = 𝑣 𝑥 𝑦1(𝑥)
Encontrando v(x)
𝑣 𝑥 =
𝑒− 𝑝 𝑥 𝑑𝑥
𝑦1
2
𝑑𝑥 ⇒ 𝑣 𝑥 =
𝑒− −
1
𝑥
𝑑𝑥
𝑆𝑒𝑛(𝑥2)2
𝑑𝑥
𝑣 𝑥 =
𝑒
1
𝑥
𝑑𝑥
𝑆𝑒𝑛(𝑥2)2
𝑑𝑥 ⇒ 𝑣 𝑥 =
𝑒 𝑙𝑛 𝑥
𝑆𝑒𝑛(𝑥2)2
𝑑𝑥
𝑣 𝑥 =
𝑥
𝑆𝑒𝑛(𝑥2)2
𝑑𝑥
Integrando por cambio de variable:
𝑢 = 𝑥2
𝑑𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑥
𝑣 𝑥 =
1
2
𝑑𝑢
𝑆𝑒𝑛(𝑢)2
⇒ 𝑣 𝑥 = −
1
2
𝐶𝑜𝑡 𝑢 ⇒ 𝑣 𝑥 = −
1
2
𝐶𝑜𝑡(𝑥2
)
𝑦2 𝑥 = −
1
2
𝐶𝑜𝑡 𝑥2
𝑆𝑒𝑛 𝑥2
= −
1
2
𝐶𝑜𝑠 𝑥2
𝒚 𝟏 𝒙 = 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝟐
𝒚 𝟐 𝒙 = −
𝟏
𝟐
𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝟐

5. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Página 5
2) 𝟐𝒙𝒚′′
+ (𝟏 + 𝒙)𝒚′
+ 𝒚 = 𝟎
lim
𝑥→0
𝑥
𝑞(𝑥)
𝑝(𝑥)
⇒ lim
𝑥→0
𝑥
(1 + 𝑥)
2𝑥
=
1
2
lim
𝑥→0
𝑥2
𝑟(𝑥)
𝑝(𝑥)
⇒ lim
𝑥→0
𝑥2
1
2𝑥
= 0
𝑦 𝑥 = 𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟
𝑦′ 𝑥 = (𝑛 + 𝑟)𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟−1
𝑦′′ 𝑥 = 𝑛 + 𝑟 (𝑛 + 𝑟 − 1)𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟−2
2𝑥 𝑛 + 𝑟 (𝑛 + 𝑟 − 1)𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟−2 + (1 + 𝑥) (𝑛 + 𝑟)𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟−1 + 𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟 = 0
2 𝑛 + 𝑟 (𝑛 + 𝑟 − 1)𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟−1
+ (𝑛 + 𝑟)𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟−1
+ (𝑛 + 𝑟)𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟
+ 𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟
= 0
Multiplicando por “x”:
2𝑥 𝑛 + 𝑟 (𝑛 + 𝑟 − 1)𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟−1
+ 𝑥 (𝑛 + 𝑟)𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟−1
+ 𝑥 (𝑛 + 𝑟)𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟
+ 𝑥 𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟
= 0
2 𝑛 + 𝑟 (𝑛 + 𝑟 − 1)𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟 + (𝑛 + 𝑟)𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟 + (𝑛 + 𝑟)𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟+1 + 𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟+1 = 0
𝑀 = 𝑛 + 1
2 𝑛 + 𝑟 (𝑛 + 𝑟 − 1)𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟
+ (𝑛 + 𝑟)𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟
+ (𝑀 − 1 + 𝑟)𝑎 𝑛
+∞
𝑀=1
𝑥 𝑀+𝑟
+ 𝑎 𝑀−1
+∞
𝑀=1
𝑥 𝑀+𝑟
= 0
Generando términos hasta n=1
2𝑎0 𝑟 𝑟 − 1 𝑥 𝑟
+ 𝑎0 𝑟 𝑥 𝑟
+ 2 𝑛 + 𝑟 𝑛 + 𝑟 − 1 𝑎 𝑛 + 𝑛 + 𝑟 𝑎 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑛 − 1 + 𝑟 + 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛+𝑟
+∞
𝑛=1
= 0
𝑎0 𝑥 𝑟
2𝑟 𝑟 − 1 + 𝑟 = 0 ⟹ 𝑟 2𝑟 − 2 + 1 = 0 ⟹ 𝑟1 = 0 , 𝑟2 = 1
2 ⟹ 𝒂 𝟎 ≠ 𝟎
2 𝑛 + 𝑟 𝑛 + 𝑟 − 1 𝑎 𝑛 + 𝑛 + 𝑟 𝑎 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑛 − 1 + 𝑟 + 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛+𝑟
= 0
2 𝑛 + 𝑟 𝑛 + 𝑟 − 1 𝑎 𝑛 + 𝑛 + 𝑟 𝑎 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑛 − 1 + 𝑟 + 𝑎 𝑛−1 = 0
𝒂 𝒏 𝒓 = −
𝒂 𝒏−𝟏(𝒏 − 𝟏 + 𝒓 + 𝟏)
𝒏 + 𝒓 𝟐 𝒏 + 𝒓 − 𝟏 + 𝟏
; ∀𝒏 ≥ 𝟏

6. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Página 6
𝑎 𝑛 𝑟 = −
𝑎 𝑛−1
(2𝑛 + 2𝑟 − 1)
; ∀𝑛 ≥ 1
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑟 = 1
2
𝑎 𝑛 = −
𝑎 𝑛−1
2𝑛
; ∀𝑛 ≥ 1
𝑛 = 1 ⟹ 𝑎1 = −
𝑎0
2
𝑛 = 2 ⟹ 𝑎2 = −
𝑎1
4
⟹ 𝑎2 =
𝑎0
2∗4
𝑛 = 3 ⟹ 𝑎3 = −
𝑎2
6
⟹ 𝑎3 = −
𝑎0
2∗4∗6
𝑛 = 4 ⟹ 𝑎7 = −
𝑎3
8
⟹ 𝑎7 =
𝑎0
2∗4∗6∗8
.
.
.
Entonces:
𝑦1 𝑥 = 𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟
𝑦1 𝑥 = 𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+
1
2
𝑦1 𝑥 = 𝑎0 𝑥
1
2 + 𝑎1 𝑥
3
2 + 𝑎2 𝑥
5
2 + 𝑎3 𝑥
7
2 + … … … … … … … ….
𝑦1 𝑥 = 𝑎0 𝑥
1
2 −
𝑎0
2
𝑥
3
2 +
𝑎0
2∗4
𝑥
5
2 −
𝑎0
2∗4∗6
𝑥
7
2 +
𝑎0
2∗4∗6∗8
𝑥
9
2 − … … … … … … … ….
𝑦1 𝑥 = 𝑎0 𝑥
1
2 −
1
2
𝑥
3
2 +
1
2! ∗ 22
𝑥
5
2 −
1
3! ∗ 23
𝑥
7
2 +
1
4! ∗ 24
𝑥
9
2 − … … … … … … … … .
𝑦1 𝑥 = 𝑎0
(−1) 𝑛
𝑥
2𝑛+1
2
𝑛! ∗ 2 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑦1 𝑥 = 𝑎0
(−1) 𝑛
𝑥 𝑛
∗ 𝑥
1
2
𝑛! ∗ 2 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑦1 𝑥 = 𝑎0 𝑥
−
𝑥
2
𝑛
𝑛!
+∞
𝑛=0
𝑦1 𝑥 = 𝑎0 𝑥 𝑒
−𝑥
2

7. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Página 7
𝑦2 𝑥 = 𝑣 𝑥 𝑦1(𝑥)
𝑣 𝑥 =
𝑒− 𝑝 𝑥 𝑑𝑥
𝑦1
2
𝑑𝑥 ⇒ 𝑣 𝑥 =
𝑒−
1+𝑥
2𝑥
𝑑𝑥
𝑥 𝑒
−𝑥
2
2 𝑑𝑥
𝑣 𝑥 =
𝑒−
1
2
𝑙𝑛 𝑥 +𝑥
𝑥𝑒−𝑥
𝑑𝑥 ⇒ 𝑣 𝑥 =
𝑥
−1
2 𝑒
−𝑥
2
𝑥𝑒−𝑥
𝑑𝑥
𝑣 𝑥 = 𝑥
−3
2 𝑒
𝑥
2 𝑑𝑥
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑥
−3
2 𝑒
𝑥
2 𝑑𝑥 𝑒𝑠 𝑛𝑒𝑐𝑒𝑠𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒𝑠
𝑒
𝑥
2 =
𝑥
2
𝑛
𝑛!
+∞
𝑛=0
𝑒
𝑥
2
𝑥
3
2
=
1
2
𝑛
𝑥 𝑛−
3
2
𝑛!
+∞
𝑛=0
𝑒
𝑥
2
𝑥
3
2
𝑑𝑥 =
1
2
𝑛
𝑥
2𝑛−3
2
𝑛!
+∞
𝑛=0
𝑑𝑥
𝑒
𝑥
2
𝑥
3
2
𝑑𝑥 =
1
𝑥
3
2
+
1
2𝑥
1
2
+
1
2
𝑛
𝑥
2𝑛−3
2
𝑛!
+∞
𝑛=2
𝑑𝑥
𝑒
𝑥
2
𝑥
3
2
𝑑𝑥 = −
2
𝑥
3
2
+
𝑥
1
2
2
+
1
2
𝑛
𝑥
2𝑛−1
2
2𝑛 − 1
2
𝑛!
+∞
𝑛=2
𝑣 𝑥 = −
2
𝑥
3
2
+
𝑥
1
2
2
+
1
2
𝑛
𝑥
2𝑛−1
2
2𝑛 − 1
2
𝑛!
+∞
𝑛=2
𝑦2 𝑥 = 𝑥 𝑒
−𝑥
2 −
2
𝑥
3
2
+
𝑥
1
2
2
+
1
2
𝑛
𝑥
2𝑛−1
2
2𝑛 − 1
2
𝑛!
+∞
𝑛=2
𝒚 𝟏 𝒙 = 𝒙 𝒆
−𝒙
𝟐
𝒚 𝟐 𝒙 = 𝒙 𝒆
−𝒙
𝟐 −
𝟐
𝒙
𝟑
𝟐
+
𝒙
𝟏
𝟐
𝟐
+
𝟏
𝟐
𝒏
𝒙
𝟐𝒏−𝟏
𝟐
𝟐𝒏 − 𝟏
𝟐
𝒏!
+∞
𝒏=𝟐

8. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Página 8
3) 𝒙𝒚′′
+ 𝟑 − 𝒙 𝒚′
− 𝒚 = 𝟎
lim
𝑥→0
𝑥
𝑞(𝑥)
𝑝(𝑥)
⇒ lim
𝑥→0
𝑥
(3 − 𝑥)
𝑥
= 3
lim
𝑥→0
𝑥2
𝑟(𝑥)
𝑝(𝑥)
⇒ lim
𝑥→0
𝑥2
−1
𝑥
= 0
𝑦 𝑥 = 𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟
𝑦′ 𝑥 = (𝑛 + 𝑟)𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟−1
𝑦′′ 𝑥 = 𝑛 + 𝑟 (𝑛 + 𝑟 − 1)𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟−2
𝑥 𝑛 + 𝑟 (𝑛 + 𝑟 − 1)𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟−2 + 3 − 𝑥 𝑛 + 𝑟 𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟−1 − 𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟 = 0
𝑛 + 𝑟 (𝑛 + 𝑟 − 1)𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟−1
+ 3 (𝑛 + 𝑟)𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟−1
− (𝑛 + 𝑟)𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟
− 𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟
= 0
Multiplicado por “x”
𝑥 𝑛 + 𝑟 (𝑛 + 𝑟 − 1)𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟−1
+ 3𝑥 (𝑛 + 𝑟)𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟−1
− 𝑥 (𝑛 + 𝑟)𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟
− 𝑥 𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟
= 0
𝑛 + 𝑟 (𝑛 + 𝑟 − 1)𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟 + 3 (𝑛 + 𝑟)𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟 − (𝑛 + 𝑟)𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟+1 − 𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟+1 = 0
𝑀 = 𝑛 + 1
𝑛 + 𝑟 (𝑛 + 𝑟 − 1)𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟
+ 3 (𝑛 + 𝑟)𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟
− (𝑀 − 1 + 𝑟)𝑎 𝑛
+∞
𝑀=1
𝑥 𝑀+𝑟
− 𝑎 𝑀−1
+∞
𝑀=1
𝑥 𝑀+𝑟
= 0
Generando términos hasta n=1
𝑎0 𝑟 𝑟 − 1 𝑥 𝑟
+ 3𝑎0 𝑟 𝑥 𝑟
+ 𝑛 + 𝑟 𝑛 + 𝑟 − 1 𝑎 𝑛 + 3 𝑛 + 𝑟 𝑎 𝑛 − 𝑎 𝑛−1 𝑛 − 1 + 𝑟 − 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛+𝑟
+∞
𝑛=1
= 0
𝑎0 𝑥 𝑟
𝑟 𝑟 − 1 + 3𝑟 = 0 ⟹ 𝑟 𝑟 − 1 + 3 = 0 ⟹ 𝑟1 = 0 , 𝑟2 = −2 ⟹ 𝒂 𝟎 ≠ 𝟎
𝑛 + 𝑟 𝑛 + 𝑟 − 1 𝑎 𝑛 + 3 𝑛 + 𝑟 𝑎 𝑛 − 𝑎 𝑛−1 𝑛 − 1 + 𝑟 − 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛+𝑟
= 0
𝑎 𝑛 𝑟 =
𝑎 𝑛−1(𝑛 − 1 + 𝑟 + 1)
𝑛 + 𝑟 𝑛 + 𝑟 − 1 + 3
; ∀𝑛 ≥ 1
𝒂 𝒏 𝒓 =
𝒂 𝒏−𝟏
(𝒏 + 𝒓 + 𝟐)
; ∀𝒏 ≥ 𝟏

9. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Página 9
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑟 = 0
𝑎 𝑛 =
𝑎 𝑛−1
𝑛 + 2
; ∀𝑛 ≥ 1
𝑛 = 1 ⟹ 𝑎1 =
𝑎0
3
𝑛 = 2 ⟹ 𝑎2 =
𝑎1
4
⟹ 𝑎2 =
𝑎0
3∗4
𝑛 = 3 ⟹ 𝑎3 =
𝑎2
5
⟹ 𝑎3 =
𝑎0
3∗4∗5
𝑛 = 4 ⟹ 𝑎7 =
𝑎3
6
⟹ 𝑎7 =
𝑎0
3∗4∗5∗6
.
.
.
Entonces:
𝑦1 𝑥 = 𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟
𝑦1 𝑥 = 𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛
𝑦1 𝑥 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥2
+ 𝑎3 𝑥3
+ 𝑎4 𝑥4
+ … … … … … … … ….
𝑦1 𝑥 = 𝑎0 +
𝑎0
3
𝑥 +
𝑎0
3 ∗ 4
𝑥2
+
𝑎0
3 ∗ 4 ∗ 5
𝑥3
+
𝑎0
3 ∗ 4 ∗ 5 ∗ 6
𝑥4
+ … … … … … … … ….
𝑦1 𝑥 = 𝑎0 1 +
𝑥
3
+
𝑥2
3 ∗ 4
+
𝑥3
3 ∗ 4 ∗ 5
+
𝑥4
3 ∗ 4 ∗ 5 ∗ 6
+ … … … … … … … … .
𝑦1 𝑥 = 2𝑎0
1
2
+
𝑥
2 ∗ 3
+
𝑥2
2 ∗ 3 ∗ 4
+
𝑥3
2 ∗ 3 ∗ 4 ∗ 5
+
𝑥4
2 ∗ 3 ∗ 4 ∗ 5 ∗ 6
+ … … … … … … … … .
𝑦1 𝑥 = 2𝑎0
𝑥 𝑛
𝑛 + 2 !
+∞
𝑛=0
𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑛𝑜 𝑠𝑎𝑏𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑛 𝑟2 = −2, 𝑠𝑖𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒 𝑦 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑛 𝑟 =
𝑎 𝑛−1
(𝑛 + 𝑟 + 2)
𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑎, ∀𝑛 ≥ 1
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑟 = −2
𝑎 𝑛 =
𝑎 𝑛−1
𝑛
; ∀𝑛 ≥ 1
𝑛 = 1 ⟹ 𝑎1 = 𝑎0
𝑛 = 2 ⟹ 𝑎2 =
𝑎1
4
⟹ 𝑎2 =
𝑎0
2
𝑛 = 3 ⟹ 𝑎3 =
𝑎2
5
⟹ 𝑎3 =
𝑎0
2∗3
𝑛 = 4 ⟹ 𝑎7 =
𝑎3
6
⟹ 𝑎7 =
𝑎0
2∗3∗4

10. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Página 10
.
.
.
𝑦2 𝑥 = 𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟
𝑦2 𝑥 = 𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛−2
𝑦2 𝑥 = 𝑎0 𝑥−2
+ 𝑎1 𝑥−1
+ 𝑎2 + 𝑎3 𝑥 + 𝑎4 𝑥2
+ … … … … … … … ….
𝑦2 𝑥 = 𝑎0 𝑥−2 + 𝑎0 𝑥−1 +
𝑎0
2
+
𝑎0
2 ∗ 3
𝑥 +
𝑎0
2 ∗ 3 ∗ 4
𝑥2 + … … … … … … … ….
𝑦2 𝑥 = 𝑎0 𝑥−2
+ 𝑥−1
+
1
2
+
𝑥
2 ∗ 3
+
𝑥2
2 ∗ 3 ∗ 4
+ … … … … … … … … .
𝑦2 𝑥 = 𝑎0
𝑥 𝑛−2
𝑛!
+∞
𝑛=0
⇒ 𝑦2 𝑥 = 𝑎0
𝑥 𝑛
∗ 𝑥−2
𝑛!
+∞
𝑛=0
𝑦2 𝑥 = 𝑎0
1
𝑥2
𝑥 𝑛
𝑛!
+∞
𝑛=0
⇒ 𝑦2 𝑥 = 𝑎0
𝑒 𝑥
𝑥2
𝑦1 𝑥 = 𝑣 𝑥 𝑦2(𝑥)
𝑣 𝑥 =
𝑒− 𝑝 𝑥 𝑑𝑥
𝑦2
2
𝑑𝑥 ⇒ 𝑣 𝑥 =
𝑒−
3−𝑥
𝑥
𝑑𝑥
𝑒 𝑥
𝑥2
2 𝑑𝑥
𝑣 𝑥 =
𝑒−
3−𝑥
𝑥
𝑑𝑥
𝑒 𝑥
𝑥2
2 𝑑𝑥 ⇒ 𝑣 𝑥 =
𝑒 −3 𝑙𝑛 𝑥 +𝑥
𝑒2𝑥
𝑥4
𝑑𝑥
𝑣 𝑥 =
𝑥4
𝑥−3
𝑒 𝑥
𝑒2𝑥 𝑑𝑥 ⇒ 𝑣 𝑥 =
𝑥
𝑒 𝑥 𝑑𝑥
Integrando por partes:
𝑢 = 𝑥 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥
𝑑𝑣 =
𝑑𝑥
𝑒 𝑥
𝑣 = −
1
𝑒 𝑥
𝑣 𝑥 = −
𝑥
𝑒 𝑥
− −
𝑑𝑥
𝑒 𝑥
⇒ 𝑣 𝑥 = −
𝑥
𝑒 𝑥
−
1
𝑒 𝑥
𝑦1 𝑥 = −
𝑥
𝑒 𝑥
+
1
𝑒 𝑥
𝑒 𝑥
𝑥2
𝒚 𝟏 𝒙 = −
𝟏
𝒙
+
𝟏
𝒙 𝟐
𝒚 𝟐 𝒙 =
𝒆 𝒙
𝒙 𝟐

11. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Página 11
4) 𝒙 𝟏 − 𝒙 𝒚′′ − 𝟑𝒚′
+ 𝟐𝒚 = 𝟎
lim
𝑥→0
𝑥
𝑞(𝑥)
𝑝(𝑥)
⇒ lim
𝑥→0
𝑥
−3
𝑥(1 − 𝑥)
= −3
lim
𝑥→0
𝑥2
𝑟(𝑥)
𝑝(𝑥)
⇒ lim
𝑥→0
𝑥2
2
𝑥(1 − 𝑥)
= 0
𝑦 𝑥 = 𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟
𝑦′ 𝑥 = (𝑛 + 𝑟)𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟−1
𝑦′′ 𝑥 = 𝑛 + 𝑟 (𝑛 + 𝑟 − 1)𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟−2
𝑥 1 − 𝑥 𝑛 + 𝑟 𝑛 + 𝑟 − 1 𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟−2 − 3 𝑛 + 𝑟 𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟−1 + 2 𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟 = 0
𝑥 𝑛 + 𝑟 (𝑛 + 𝑟 − 1)𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟−2
− 𝑥2
(𝑛 + 𝑟) 𝑛 + 𝑟 − 1 𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟−2
− 3 (𝑛 + 𝑟)𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟−1
+ 2 𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟
= 0
𝑛 + 𝑟 (𝑛 + 𝑟 − 1)𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟−1
− (𝑛 + 𝑟) 𝑛 + 𝑟 − 1 𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟
− 3 (𝑛 + 𝑟)𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟−1
+ 2 𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟
= 0
Multiplicando por “x”
𝑥 𝑛 + 𝑟 (𝑛 + 𝑟 − 1)𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟−1
− 𝑥 (𝑛 + 𝑟) 𝑛 + 𝑟 − 1 𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟
− 3𝑥 (𝑛 + 𝑟)𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟−1
+ 2𝑥 𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟
= 0
𝑛 + 𝑟 (𝑛 + 𝑟 − 1)𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟
− (𝑛 + 𝑟) 𝑛 + 𝑟 − 1 𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟+1
− 3 (𝑛 + 𝑟)𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟
+ 2 𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟+1
= 0
𝑀 = 𝑛 + 1
𝑛 + 𝑟 (𝑛 + 𝑟 − 1)𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟
− (𝑀 − 1 + 𝑟) 𝑀 + 𝑟 − 2 𝑎 𝑀−1
+∞
𝑀=1
𝑥 𝑛+𝑟
− 3 (𝑛 + 𝑟)𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟
+ 2 𝑎 𝑀−1
+∞
𝑀=1
𝑥 𝑀+𝑟
= 0
𝑎0 𝑟 𝑟 − 1 𝑥 𝑟
− 3𝑎0 𝑟 𝑥 𝑟
+ 𝑛 + 𝑟 𝑛 + 𝑟 − 1 𝑎 𝑛 − 𝑛 − 1 + 𝑟 𝑛 + 𝑟 − 2 𝑎 𝑛−1 − 3𝑎 𝑛 𝑛 + 𝑟 + 2𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛+𝑟
+∞
𝑛=1
= 0
𝑎0 𝑥 𝑟
𝑟 𝑟 − 1 − 3𝑟 = 0 ⟹ 𝑟 𝑟 − 1 − 3 = 0 ⟹ 𝑟1 = 0 , 𝑟2 = 4 ⟹ 𝒂 𝟎 ≠ 𝟎
𝑛 + 𝑟 𝑛 + 𝑟 − 1 𝑎 𝑛 − 𝑛 − 1 + 𝑟 𝑛 + 𝑟 − 2 𝑎 𝑛−1 − 3𝑎 𝑛 𝑛 + 𝑟 + 2𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛+𝑟 = 0
𝑎 𝑛 𝑟 =
𝑎 𝑛−1 𝑛 − 1 + 𝑟 𝑛 + 𝑟 − 2 − 2
𝑛 + 𝑟 𝑛 + 𝑟 − 1 − 3
; ∀𝑛 ≥ 1
𝑎 𝑛 𝑟 =
𝑎 𝑛−1 𝑛 + 𝑟 2
− 3(𝑛 + 𝑟)
𝑛 + 𝑟 (𝑛 + 𝑟 − 4)
; ∀𝑛 ≥ 1 ⇒ 𝒂 𝒏 𝒓 =
𝒂 𝒏−𝟏(𝒏 + 𝒓 − 𝟑)
(𝒏 + 𝒓 − 𝟒)
; ∀𝒏 ≥ 𝟏

12. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Página 12
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑟 = 4
𝑎 𝑛 =
𝑎 𝑛−1(𝑛 + 1)
𝑛
; ∀𝑛 ≥ 1
𝑛 = 1 ⟹ 𝑎1 = 2𝑎0
𝑛 = 2 ⟹ 𝑎2 =
3𝑎1
2
⟹ 𝑎2 = 3𝑎0
𝑛 = 3 ⟹ 𝑎3 =
4𝑎2
3
⟹ 𝑎3 = 4𝑎0
.
.
.
𝑦1 𝑥 = 𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟
𝑦1 𝑥 = 𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+4
𝑦1 𝑥 = 𝑎0 𝑥4
+ 𝑎1 𝑥5
+ 𝑎2 𝑥6
+ 𝑎3 𝑥7
+ 𝑎4 𝑥8
+ … … … … … … … ….
𝑦1 𝑥 = 𝑎0 𝑥4
+ 𝑎1 𝑥5
+ 𝑎2 𝑥6
+ 𝑎3 𝑥7
+ 𝑎4 𝑥8
+ … … … … … … … ….
𝑦1 𝑥 = 𝑎0 𝑥4
+ 2𝑎0 𝑥5
+ 3𝑎0 𝑥6
+ 4𝑎0 𝑥7
+ 5𝑎0 𝑥8
+ … … … … … … … ….
𝑦1 𝑥 = 𝑎0(𝑥4
+ 2𝑥5
+ 3𝑥6
+ 4𝑥7
+ 5𝑥8
+ … … … … … … … ….
𝑆𝑎𝑏𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒:
1
1 − 𝑥
= 1 + 𝑥 + 𝑥2
+ 𝑥3
+ 𝑥4
+ 𝑥5
+ … … … ….
Derivando tenemos:
𝑑
𝑑𝑥
1
1 − 𝑥
=
𝑑
𝑑𝑥
1 + 𝑥 + 𝑥2
+ 𝑥3
+ 𝑥4
+ 𝑥5
+ … … … … .
−
1
(1 − 𝑥)2
= 1 + 2𝑥 + 3𝑥2
+ 4𝑥3
+ 5𝑥4
+ … … … ….
−
𝑥4
(1 − 𝑥)2
= 𝑥4
+ 2𝑥5
+ 3𝑥6
+ 4𝑥7
+ 5𝑥8
+ … … … ….
𝑦1 𝑥 = −𝑎0
𝑥4
(1 − 𝑥)2
𝑦2 𝑥 = 𝑣 𝑥 𝑦1(𝑥)

13. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Página 13
𝑣 𝑥 =
𝑒− 𝑝 𝑥 𝑑𝑥
𝑦1
2 𝑑𝑥 ⇒ 𝑣 𝑥 =
𝑒
− −
3
𝑥(𝑥−1)
𝑑𝑥
𝑥4
(1 − 𝑥)2
2 𝑑𝑥
𝑣 𝑥 =
𝑒
3
𝑥
+
3
1−𝑥
𝑑𝑥
𝑥8
(1 − 𝑥)4
𝑑𝑥 ⇒ 𝑣 𝑥 =
𝑒(3 𝑙𝑛 𝑥 −3 𝑙𝑛 1−𝑥 )
𝑥8
(1 − 𝑥)4
𝑑𝑥
𝑣 𝑥 =
(1 − 𝑥)4
𝑥3
(1 − 𝑥)−3
𝑥8
𝑑𝑥 ⇒ 𝑣 𝑥 =
(1 − 𝑥)
𝑥5
𝑑𝑥
𝑣 𝑥 = −
1
4𝑥4
+
1
3𝑥3
𝑦2 𝑥 =
1
3𝑥3
−
1
4𝑥4
𝑥4
(1 − 𝑥)2
𝒚 𝟏 𝒙 =
𝒙 𝟒
(𝟏 − 𝒙) 𝟐
𝒚 𝟐 𝒙 =
𝒙
𝟑(𝟏 − 𝒙) 𝟐 −
𝟏
𝟒(𝟏 − 𝒙) 𝟐

14. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Página 14
5) 𝒙𝒚′′
+ 𝟐𝒚′
− 𝒙𝒚 = 𝟎
lim
𝑥→0
𝑥
𝑞(𝑥)
𝑝(𝑥)
⇒ lim
𝑥→0
𝑥
2
𝑥
= 2
lim
𝑥→0
𝑥2
𝑟(𝑥)
𝑝(𝑥)
⇒ lim
𝑥→0
𝑥2
−𝑥
𝑥
= 0
𝑦 𝑥 = 𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟
𝑦′ 𝑥 = (𝑛 + 𝑟)𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟−1
𝑦′′ 𝑥 = 𝑛 + 𝑟 (𝑛 + 𝑟 − 1)𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟−2
𝑥 𝑛 + 𝑟 𝑛 + 𝑟 − 1 𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟−2 + 2 𝑛 + 𝑟 𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟−1 − 𝑥 𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟 = 0
𝑛 + 𝑟 (𝑛 + 𝑟 − 1)𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟−1
+ 2 (𝑛 + 𝑟)𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟−1
− 𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟+1
= 0
Multiplicando por “x”:
𝑥 𝑛 + 𝑟 (𝑛 + 𝑟 − 1)𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟−1
+ 2𝑥 (𝑛 + 𝑟)𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟−1
− 𝑥 𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟+1
= 0
𝑛 + 𝑟 (𝑛 + 𝑟 − 1)𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟 + 2 (𝑛 + 𝑟)𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟 − 𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟+2 = 0
𝑀 = 𝑛 + 2
𝑛 + 𝑟 (𝑛 + 𝑟 − 1)𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟
+ 2 (𝑛 + 𝑟)𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟
− 𝑎 𝑀−2
+∞
𝑀=2
𝑥 𝑀+2
= 0
𝑎0 𝑟 𝑟 − 1 𝑥 𝑟
+ 𝑎1 𝑟 + 1 (𝑟)𝑥 𝑟+1
+ 2𝑎0 𝑟 𝑥 𝑟
+ 2𝑎1 𝑟 + 1 𝑥 𝑟+1
𝑛 + 𝑟 𝑛 + 𝑟 − 1 𝑎 𝑛 + 2𝑎 𝑛 𝑛 + 𝑟 − 𝑎 𝑛−2 𝑥 𝑛+𝑟
+∞
𝑛=2
= 0
𝑎0 𝑥 𝑟
𝑟 𝑟 − 1 + 𝑟 = 0
𝑟 𝑟 − 1 + 1 = 0 ⟹ 𝑟1 = 0 , 𝑟2 = 0 ⟹ 𝒂 𝟎 ≠ 𝟎
𝑎1 𝑥 𝑟+1
𝑟 𝑟 + 1 + 2 𝑟 + 1 = 0
𝑎1 𝑥 𝑟+1
0 0 + 1 + 2 0 + 1 = 0 ⟹ 𝑎1 𝑥 𝑟+1
2 = 0 ⟹ 𝒂 𝟏 = 𝟎

15. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Página 15
𝑛 + 𝑟 𝑛 + 𝑟 − 1 𝑎 𝑛 + 2𝑎 𝑛 𝑛 + 𝑟 − 𝑎 𝑛−2 𝑥 𝑛+𝑟 = 0
𝑛 + 𝑟 𝑛 + 𝑟 − 1 𝑎 𝑛 + 2𝑎 𝑛 𝑛 + 𝑟 − 𝑎 𝑛−2 = 0
𝑎 𝑛 𝑟 =
𝑎 𝑛−2
𝑛 + 𝑟 𝑛 + 𝑟 − 1 + 2
; ∀𝑛 ≥ 2
𝑎 𝑛 𝑟 =
𝑎 𝑛−2
𝑛 + 𝑟 (𝑛 + 𝑟 + 1)
; ∀𝑛 ≥ 2
𝒂 𝒏 𝒓 =
𝒂 𝒏−𝟐
𝒏 + 𝒓 (𝒏 + 𝒓 + 𝟏)
; ∀𝒏 ≥ 𝟐
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑟 = 0
𝑎 𝑛 =
𝑎 𝑛−2
𝑛(𝑛 + 1)
; ∀𝑛 ≥ 2
𝑛 = 2 ⟹ 𝑎2 =
𝑎0
2∗3
𝑛 = 3 ⟹ 𝑎3 =
𝑎1
2∗3
⟹ 𝑎3 = 0
𝑛 = 4 ⟹ 𝑎4 =
𝑎2
4∗5
⟹ 𝑎4 =
𝑎0
2∗3∗4∗5
𝑛 = 5 ⟹ 𝑎5 =
𝑎3
5∗6
⟹ 𝑎5 = 0
𝑛 = 6 ⟹ 𝑎6 =
𝑎4
6∗7
⟹ 𝑎6 =
𝑎0
2∗3∗4∗5∗6∗7
.
.
.
𝑦1 𝑥 = 𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟
𝑦1 𝑥 = 𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛
𝑦1 𝑥 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥2
+ 𝑎3 𝑥3
+ 𝑎4 𝑥4
+ 𝑎5 𝑥5
+ 𝑎66 + … … … … … … ….
𝑦1 𝑥 = 𝑎0 +
𝑎0
2 ∗ 3
𝑥2
+
𝑎0
2 ∗ 3 ∗ 4 ∗ 5
𝑥4
+
𝑎0
2 ∗ 3 ∗ 4 ∗ 5 ∗ 6 ∗ 7
𝑥6
+ … … … … … … … ….
𝑦1 𝑥 = 𝑎0 1 +
𝑥2
3!
+
𝑥4
5!
+
𝑥6
7!
+ … … … … … … … … .
𝑦1 𝑥 = 𝑎0
𝑥2𝑛
(2𝑛 + 1)!
+∞
𝑛=0
𝑦1 𝑥 = 𝑎0
1
𝑥
𝑥2𝑛+1
(2𝑛 + 1)!
+∞
𝑛=0
𝑦1 𝑥 = 𝑎0
𝑆𝑒𝑛𝑕 𝑥
𝑥

16. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Página 16
𝑦2 𝑥 = 𝑣 𝑥 𝑦1(𝑥)
𝑣 𝑥 =
𝑒− 𝑝 𝑥 𝑑𝑥
𝑦1
2
𝑑𝑥 ⇒ 𝑣 𝑥 =
𝑒−
2
𝑥
𝑑𝑥
𝑆𝑒𝑛𝑕 𝑥
𝑥
2 𝑑𝑥
𝑣 𝑥 =
𝑒−2 𝑙𝑛 𝑥
𝑥2
𝑆𝑒𝑛𝑕 𝑥 2 𝑑𝑥 ⇒ 𝑣 𝑥 =
𝑥2
𝑥−2
𝑆𝑒𝑛𝑕 𝑥 2 𝑑𝑥
𝑣 𝑥 = 𝑆𝑒𝑛𝑕 𝑥 −2 𝑑𝑥
𝑃𝑒𝑟𝑜 𝑆𝑒𝑛𝑕 𝑥 =
𝑒 𝑥
− 𝑒−𝑥
2
, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠:
𝑣 𝑥 =
2
𝑒 𝑥 − 𝑒−𝑥
2
𝑑𝑥 ⇒ 𝑣 𝑥 =
2𝑒 𝑥
𝑒2𝑥 − 1
2
𝑑𝑥 ⇒ 𝑣 𝑥 =
4𝑒2𝑥
𝑒2𝑥 − 1 2
𝑑𝑥
Integrando por cambio de variable:
𝑢 = 𝑒 𝑥 𝑑𝑢 = 𝑒 𝑥
𝑣 𝑥 =
4𝑢2
𝑢2 − 1 2 𝑑𝑥 ⇒ 𝑣 𝑥 =
4𝑢2
𝑢 − 1 𝑢 + 1 2 𝑑𝑥 ⇒ 𝑣 𝑥 =
4𝑢2
𝑢 − 1 2 𝑢 + 1 2 𝑑𝑥
Integrando aplicando fracciones parciales:
𝑢2
𝑢 − 1 2 𝑢 + 1 2
=
2𝐴 𝑢 − 1 + 𝐵
𝑢 − 1 2
+
2𝐶 𝑢 + 1 + 𝐷
𝑢 + 1 2
𝑢2
= 2𝐴 𝑢 − 1 + 𝐵 𝑢 + 1 2
+ 2𝐶 𝑢 + 1 + 𝐷 𝑢 − 1 2
𝑢2 = 2𝐴 𝑢3 + 𝑢2 − 𝑢 − 1 + 𝐵(𝑢2 + 2𝑢 + 1) + 2𝐶 𝑢3 − 𝑢2 − 𝑢 + 1 + 𝐷(𝑢2 − 2𝑢 + 1)
𝑢2
= 2𝐴 + 2𝐶 𝑢3
+ 2𝐴 + 𝐵 − 2𝐶 + 𝐷 𝑢2
+ −2𝐴 + 2𝐵 − 2𝐶 − 2𝐷 𝑢 + −2𝐴 + 𝐵 + 2𝐶 + 𝐷
1 2𝐴 + 2𝐶 = 0
2 2𝐴 + 𝐵 − 2𝐶 + 𝐷 = 1
3 − 2𝐴 + 2𝐵 − 2𝐶 − 2𝐷 = 0
4 − 2𝐴 + 𝐵 + 2𝐶 + 𝐷 = 0
2𝐴 = −2𝐶 1 + 3 2𝐵 = 2𝐷 2 + 3 = 2𝐵 + 2𝐷 = 1
𝐵 =
1
4
2𝐷 + 2𝐷 = 1
𝐷 =
1
4
2𝐶 +
1
4
+ 2𝐶 +
1
4
= 0
𝐶 =
1
8
𝐴 =
1
8

17. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Página 17
Entonces:
𝑣 𝑥 =
2𝐴(𝑢 − 1)
𝑢 − 1 2
+
𝐵
𝑢 − 1 2
+
2𝐶(𝑢 + 1)
𝑢 + 1 2
+
𝐷
𝑢 + 1 2
𝑑𝑥
𝑣 𝑥 = 2𝐴 𝑙𝑛 𝑢 − 1 2
−
𝐵
(𝑢 − 1)
+ 2𝐶 𝑙𝑛 𝑢 + 1 2
−
𝐷
(𝑢 + 1)
𝑣 𝑥 = 2
1
8
𝑙𝑛 𝑒 𝑥
− 1 2
−
1
4(𝑒 𝑥 − 1)
+ 2
1
8
𝑙𝑛 𝑒 𝑥
+ 1 2
−
1
4(𝑒 𝑥 + 1)
𝑦2 𝑥 =
1
4
𝑙𝑛 𝑒 𝑥
− 1 2
−
1
4(𝑒 𝑥 − 1)
+
1
4
𝑙𝑛 𝑒 𝑥
+ 1 2
−
1
4(𝑒 𝑥 + 1)
𝑆𝑒𝑛𝑕 𝑥
𝑥
𝒚 𝟏 𝒙 =
𝑺𝒆𝒏𝒉 𝒙
𝒙
𝒚 𝟐 𝒙 =
𝟏
𝟒
𝒍𝒏 𝒆 𝒙 − 𝟏 𝟐 −
𝟏
(𝒆 𝒙 − 𝟏)
+ 𝒍𝒏 𝒆 𝒙 + 𝟏 𝟐 −
𝟏
(𝒆 𝒙 + 𝟏)
𝑺𝒆𝒏𝒉 𝒙
𝒙

18. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Página 18
6) 𝒙𝒚′′
+ 𝟑𝒚′
+ 𝟒𝒙 𝟑
𝒚 = 𝟎
lim
𝑥→0
𝑥
𝑞(𝑥)
𝑝(𝑥)
⇒ lim
𝑥→0
𝑥
3
𝑥
= 3
lim
𝑥→0
𝑥2
𝑟(𝑥)
𝑝(𝑥)
⇒ lim
𝑥→0
𝑥2
4𝑥3
𝑥
= 0
𝑦 𝑥 = 𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟
𝑦′ 𝑥 = (𝑛 + 𝑟)𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟−1
𝑦′′ 𝑥 = 𝑛 + 𝑟 (𝑛 + 𝑟 − 1)𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟−2
𝑥 𝑛 + 𝑟 (𝑛 + 𝑟 − 1)𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟−2
+ 3 (𝑛 + 𝑟)𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟−1
+ 4𝑥3
𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟
= 0
𝑛 + 𝑟 (𝑛 + 𝑟 − 1)𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟−1
+ 3 (𝑛 + 𝑟)𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟−1
+ 4 𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟+3
= 0
Multiplicando por “x”
𝑥 𝑛 + 𝑟 (𝑛 + 𝑟 − 1)𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟−1
+ 3𝑥 (𝑛 + 𝑟)𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟−1
+ 4𝑥 𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟+3
= 0
𝑛 + 𝑟 𝑛 + 𝑟 − 1 𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟
+ 3 𝑛 + 𝑟 𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟
+ 4 𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟+4
= 0
𝑀 = 𝑛 + 4
𝑛 + 𝑟 𝑛 + 𝑟 − 1 𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟
+ 3 𝑛 + 𝑟 𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟
+ 4 𝑎 𝑀−4
+∞
𝑀=4
𝑥 𝑀+𝑟
= 0
Generando términos hasta n=4
𝑎0 𝑟 𝑟 − 1 𝑥 𝑟
+ 𝑎1 𝑟 + 1 𝑟 𝑥 𝑟+1
+ 𝑎2 𝑟 + 2 𝑅 + 1 𝑥 𝑟+2
+ 𝑎3 𝑟 + 3 𝑟 + 2 𝑥 𝑟+3
+
3𝑎0 𝑟 𝑥 𝑟
+ 3𝑎1 𝑟 + 1 𝑥 𝑟+1
+ 3𝑎2 𝑟 + 2 𝑥 𝑟+2
+ 3𝑎3 𝑟 + 3 𝑥 𝑟+3
+ 𝑛 + 𝑟 𝑛 + 𝑟 − 1 𝑎 𝑛 + 3 𝑛 + 𝑟 𝑎 𝑛 + 4𝑎 𝑛−4 𝑥 𝑛+𝑟
+∞
𝑛=4
= 0
𝑎0 𝑥 𝑟
𝑟 𝑟 − 1 + 3𝑟 = 0
𝑟 𝑟 − 1 + 3 = 0 ⟹ 𝑟1 = 0 , 𝑟2 = −2 ⟹ 𝒂 𝟎 ≠ 𝟎

19. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Página 19
𝑎1 𝑥 𝑟+1
𝑟 𝑟 + 1 + 3 𝑟 + 1 = 0
𝑎1 𝑥 𝑟+1 0 0 + 1 + 3(0 + 1) = 0 ⟹ 𝑎1 𝑥 𝑟+1(3) = 0 ⟹ 𝒂 𝟏 = 𝟎
𝑎2 𝑥 𝑟+2 𝑟 + 1 𝑟 + 2 + 3 𝑟 + 2 = 0
𝑎2 𝑥 𝑟+2
0 + 1 0 + 2 + 3(0 + 2) = 0 ⟹ 𝑎2 𝑥 𝑟+2
(6) = 0 ⟹ 𝒂 𝟐 = 𝟎
𝑎3 𝑥 𝑟+3
𝑟 + 3 𝑟 + 2 + 3 𝑟 + 3 = 0
𝑎3 𝑥 𝑟+3 0 + 3 0 + 2 + 3 0 + 3 = 0 ⟹ 𝑎2 𝑥 𝑟+2 9 = 0 ⟹ 𝒂 𝟑 = 𝟎
𝑛 + 𝑟 𝑛 + 𝑟 − 1 𝑎 𝑛 + 3 𝑛 + 𝑟 𝑎 𝑛 + 4𝑎 𝑛−4 𝑥 𝑛+𝑟
= 0
𝑛 + 𝑟 𝑛 + 𝑟 − 1 𝑎 𝑛 + 3 𝑛 + 𝑟 𝑎 𝑛 + 4𝑎 𝑛−4 = 0
𝑎 𝑛 𝑟 = −
4𝑎 𝑛−4
𝑛 + 𝑟 (𝑛 + 𝑟 − 1 + 3)
; ∀𝑛 ≥ 4
𝒂 𝒏 𝒓 = −
𝟒𝒂 𝒏−𝟒
𝒏 + 𝒓 (𝒏 + 𝒓 + 𝟐)
; ∀𝒏 ≥ 𝟒
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑟 = 0
𝑎 𝑛 = −
4𝑎 𝑛−4
𝑛 + 2 (𝑛)
; ∀𝑛 ≥ 4
𝑛 = 4 ⟹ 𝑎4 = −
4𝑎0
4∗6
𝑛 = 5 ⟹ 𝑎5 = −
4𝑎1
5∗7
⟹ 𝑎5 = 0
𝑛 = 6 ⟹ 𝑎6 = −
4𝑎2
6∗8
⟹ 𝑎6 = 0
𝑛 = 7 ⟹ 𝑎7 = −
4𝑎3
7∗9
⟹ 𝑎7 = 0
𝑛 = 8 ⟹ 𝑎8 = −
4𝑎4
8∗10
⟹ 𝑎8 =
4∗4𝑎0
4∗6∗8∗10
.
.
.
𝑛 = 12 ⟹ 𝑎12 = −
4𝑎8
12∗14
⟹ 𝑎12 =
4∗4∗4𝑎0
4∗6∗8∗10∗12∗14
.
.
.

20. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Página 20
𝑦1 𝑥 = 𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟
𝑦1 𝑥 = 𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛
𝑦1 𝑥 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥2
+ 𝑎3 𝑥3
+ 𝑎4 𝑥4
+ 𝑎5 𝑥5
+ … … … … … … … ….
𝑦1 𝑥 = 𝑎0 −
4𝑎0
4 ∗ 6
𝑥4
+
4 ∗ 4𝑎0
4 ∗ 6 ∗ 8 ∗ 10
𝑥8
−
4 ∗ 4 ∗ 4𝑎0
4 ∗ 6 ∗ 8 ∗ 10 ∗ 12 ∗ 14
𝑥12
+ … … … … … … … ….
𝑦1 𝑥 = 𝑎0 1 −
4
3! ∗ 22
𝑥4 +
42
5! ∗ 24
𝑥8 −
43
7! ∗ 26
𝑥12 + … … … … … … … … .
𝑦1 𝑥 = 𝑎0
𝑥4𝑛
∗ 4 𝑛
∗ (−1) 𝑛
2𝑛 + 1 ! ∗ 22𝑛
+∞
𝑛=0
𝑦1 𝑥 = 𝑎0
1
𝑥2
(−1) 𝑛
𝑥4𝑛+2
2𝑛 + 1 !
+∞
𝑛=0
𝑦1 𝑥 = 𝑎0
1
𝑥2
(−1) 𝑛 𝑥2 2𝑛+1
2𝑛 + 1 !
+∞
𝑛=0
𝑦1 𝑥 = 𝑎0
𝑆𝑒𝑛(𝑥2
)
𝑥2
𝑦2 𝑥 = 𝑣 𝑥 𝑦1(𝑥)
𝑣 𝑥 =
𝑒− 𝑝 𝑥 𝑑𝑥
𝑦1
2
𝑑𝑥 ⇒ 𝑣 𝑥 =
𝑒−
3
𝑥
𝑑𝑥
𝑆𝑒𝑛(𝑥2)
𝑥2
2 𝑑𝑥
𝑣 𝑥 =
𝑒−3 𝑙𝑛 𝑥
𝑆𝑒𝑛(𝑥2)
𝑥2
2 𝑑𝑥 ⇒ 𝑣 𝑥 =
𝑥−3 𝑥4
𝑆𝑒𝑛(𝑥2)2
𝑑𝑥 ⇒ 𝑣 𝑥 = 𝑥 𝐶𝑠𝑐2
𝑥2
Integrando por cambio de variable:
𝑢 = 𝑥2
𝑑𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑥
𝑣 𝑥 =
1
2
𝐶𝑠𝑐2
𝑢 𝑑𝑢 ⇒ 𝑣 𝑥 = −
1
2
𝐶𝑜𝑡 𝑢 ⇒ 𝑣 𝑥 = −
1
2
𝐶𝑜𝑡(𝑥2
)
𝑦2 𝑥 = −
1
2
𝐶𝑜𝑡 𝑥2
𝑆𝑒𝑛(𝑥2
)
𝑥2
= −
𝐶𝑜𝑠(𝑥2
)
2𝑥2
𝒚 𝟏 𝒙 =
𝑺𝒆𝒏(𝒙 𝟐)
𝒙 𝟐
𝒚 𝟐 𝒙 =
𝑪𝒐𝒔(𝒙 𝟐
)
𝟐𝒙 𝟐

21. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Página 21
7) 𝒙𝒚′′
+ 𝟐𝒚′
+ 𝒙𝒚 = 𝟎
lim
𝑥→0
𝑥
𝑞(𝑥)
𝑝(𝑥)
⇒ lim
𝑥→0
𝑥
2
𝑥
= 2
lim
𝑥→0
𝑥2
𝑟(𝑥)
𝑝(𝑥)
⇒ lim
𝑥→0
𝑥2
𝑥
𝑥
= 0
𝑦 𝑥 = 𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟
𝑦′ 𝑥 = (𝑛 + 𝑟)𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟−1
𝑦′′ 𝑥 = 𝑛 + 𝑟 (𝑛 + 𝑟 − 1)𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟−2
𝑥 𝑛 + 𝑟 𝑛 + 𝑟 − 1 𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟−2 + 2 𝑛 + 𝑟 𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟−1 + 𝑥 𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟 = 0
𝑛 + 𝑟 (𝑛 + 𝑟 − 1)𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟−1
+ 2 (𝑛 + 𝑟)𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟−1
+ 𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟+1
= 0
Multiplicando por “x”
𝑥 𝑛 + 𝑟 (𝑛 + 𝑟 − 1)𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟−1
+ 2𝑥 (𝑛 + 𝑟)𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟−1
+ 𝑥 𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟+1
= 0
𝑛 + 𝑟 (𝑛 + 𝑟 − 1)𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟 + 2 (𝑛 + 𝑟)𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟 + 𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟+2 = 0
𝑀 = 𝑛 + 2
𝑛 + 𝑟 (𝑛 + 𝑟 − 1)𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟
+ 2 (𝑛 + 𝑟)𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟
+ 𝑎 𝑀−2
+∞
𝑀=2
𝑥 𝑀+2
= 0
Generando términos hasta n=2
𝑎0 𝑟 𝑟 − 1 𝑥 𝑟
+ 𝑎1 𝑟 + 1 (𝑟)𝑥 𝑟+1
+ 2𝑎0 𝑟 𝑥 𝑟
+ 2𝑎1 𝑟 + 1 𝑥 𝑟+1
𝑛 + 𝑟 𝑛 + 𝑟 − 1 𝑎 𝑛 + 2𝑎 𝑛 (𝑛 + 𝑟) + 𝑎 𝑛−2 𝑥 𝑛+𝑟
+∞
𝑛=2
= 0
𝑎0 𝑥 𝑟
𝑟 𝑟 − 1 + 𝑟 = 0
𝑟 𝑟 − 1 + 1 = 0 ⟹ 𝑟1 = 0 , 𝑟2 = 0 ⟹ 𝒂 𝟎 ≠ 𝟎
𝑎1 𝑥 𝑟+1 𝑟 𝑟 + 1 + 2 𝑟 + 1 = 0
𝑎1 𝑥 𝑟+1
0 0 + 1 + 2 0 + 1 = 0 ⟹ 𝑎1 𝑥 𝑟+1
2 = 0 ⟹ 𝒂 𝟏 = 𝟎

22. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Página 22
𝑛 + 𝑟 𝑛 + 𝑟 − 1 𝑎 𝑛 + 2𝑎 𝑛(𝑛 + 𝑟) + 𝑎 𝑛−2 𝑥 𝑛+𝑟 = 0
𝑎 𝑛 𝑟 = −
𝑎 𝑛−2
𝑛 + 𝑟 𝑛 + 𝑟 − 1 + 2
; ∀𝑛 ≥ 2
𝑎 𝑛 𝑟 = −
𝑎 𝑛−2
𝑛 + 𝑟 (𝑛 + 𝑟 + 1)
; ∀𝑛 ≥ 2
𝒂 𝒏 𝒓 = −
𝒂 𝒏−𝟐
𝒏 + 𝒓 (𝒏 + 𝒓 + 𝟏)
; ∀𝒏 ≥ 𝟐
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑟 = 0
𝑎 𝑛 = −
𝑎 𝑛−2
𝑛(𝑛 + 1)
; ∀𝑛 ≥ 2
𝑛 = 2 ⟹ 𝑎2 = −
𝑎0
2∗3
𝑛 = 3 ⟹ 𝑎3 = −
𝑎1
2∗3
⟹ 𝑎3 = 0
𝑛 = 4 ⟹ 𝑎4 = −
𝑎2
4∗5
⟹ 𝑎4 =
𝑎0
2∗3∗4∗5
𝑛 = 5 ⟹ 𝑎5 = −
𝑎3
5∗6
⟹ 𝑎5 = 0
𝑛 = 6 ⟹ 𝑎6 = −
𝑎4
6∗7
⟹ 𝑎6 =
𝑎0
2∗3∗4∗5∗6∗7
.
.
.
𝑦1 𝑥 = 𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛+𝑟
𝑦1 𝑥 = 𝑎 𝑛
+∞
𝑛=0
𝑥 𝑛
𝑦1 𝑥 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥2
+ 𝑎3 𝑥3
+ 𝑎4 𝑥4
+ 𝑎5 𝑥5
+ 𝑎66 + … … … … … … ….
𝑦1 𝑥 = 𝑎0 −
𝑎0
2 ∗ 3
𝑥2
+
𝑎0
2 ∗ 3 ∗ 4 ∗ 5
𝑥4
−
𝑎0
2 ∗ 3 ∗ 4 ∗ 5 ∗ 6 ∗ 7
𝑥6
+ … … … … … … … ….
𝑦1 𝑥 = 𝑎0 1 −
𝑥2
3!
+
𝑥4
5!
−
𝑥6
7!
+ … … … … … … … … .
𝑦1 𝑥 = 𝑎0
𝑥2𝑛
(−1) 𝑛
(2𝑛 + 1)!
+∞
𝑛=0
𝑦1 𝑥 = 𝑎0
1
𝑥
(−1) 𝑛 𝑥2𝑛+1
(2𝑛 + 1)!
+∞
𝑛=0
𝑦1 𝑥 = 𝑎0
𝑆𝑒𝑛 𝑥
𝑥

23. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Página 23
𝑦2 𝑥 = 𝑣 𝑥 𝑦1(𝑥)
𝑣 𝑥 =
𝑒− 𝑝 𝑥 𝑑𝑥
𝑦1
2
𝑑𝑥 ⇒ 𝑣 𝑥 =
𝑒−
2
𝑥
𝑑𝑥
𝑆𝑒𝑛 𝑥
𝑥
2 𝑑𝑥
𝑣 𝑥 =
𝑒−2 𝑙𝑛 𝑥
𝑥2
𝑆𝑒𝑛 𝑥 2
𝑑𝑥 ⇒ 𝑣 𝑥 =
𝑥2
𝑥−2
𝑆𝑒𝑛 𝑥 2
𝑑𝑥
𝑣 𝑥 = 𝐶𝑠𝑐2
(𝑥) 𝑑𝑥 ⇒ 𝑣 𝑥 = −𝐶𝑜𝑡(𝑥)
𝑦2 𝑥 = −
𝑆𝑒𝑛 𝑥
𝑥
𝐶𝑜𝑡 𝑥 = −
𝐶𝑜𝑠 (𝑥)
𝑥
𝒚 𝟏 𝒙 =
𝑺𝒆𝒏 𝒙
𝒙
𝒚 𝟐 𝒙 = −
𝑪𝒐𝒔 (𝒙)
𝒙

24. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Página 24
TRANSFORMADA DE LAPLACE
𝟏) 𝓛 𝑺𝒆𝒏 𝟓
𝒕
𝑆𝑎𝑏𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒:
① 𝑒 𝑖𝜃
= 𝐶𝑜𝑠𝜃 + 𝑖 𝑆𝑒𝑛𝜃
② 𝑒−𝑖𝜃
= 𝐶𝑜𝑠𝜃 − 𝑖 𝑆𝑒𝑛𝜃
𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ① − ②
𝑆𝑒𝑛𝜃 =
𝑒 𝑖𝜃
− 𝑒−𝑖𝜃
2𝑖
ℒ 𝑆𝑒𝑛5
𝑡 = ℒ
𝑒 𝑖𝜃
− 𝑒−𝑖𝜃
2𝑖
5
ℒ 𝑆𝑒𝑛5
𝑡 =
1
16
ℒ
𝑒 𝑖𝑡 5
− 5 𝑒 𝑖𝑡 𝑒−𝑖𝑡 4
+ 10 𝑒 𝑖𝑡 3
𝑒−𝑖𝑡 2
− 10 𝑒 𝑖𝑡 2
𝑒−𝑖𝑡 3
+ 5 𝑒 𝑖𝑡 𝑒−𝑖𝑡 4
− 𝑒−𝑖𝑡 5
2𝑖
ℒ 𝑆𝑒𝑛5 𝑡 =
1
16
ℒ
𝑒5𝑖𝑡
− 5𝑒3𝑖𝑡
+ 10𝑒 𝑖𝑡
− 10𝑒−𝑖𝑡
+ 5𝑒−3𝑖𝑡
− 𝑒−5𝑖𝑡
2𝑖
ℒ 𝑆𝑒𝑛5 𝑡 =
1
16
ℒ
𝑒5𝑖𝑡
− 𝑒−5𝑖𝑡
2𝑖
− 5
𝑒3𝑖𝑡
− 𝑒−3𝑖𝑡
2𝑖
+ 10
𝑒 𝑖𝑡
− 𝑒−𝑖𝑡
2𝑖
ℒ 𝑆𝑒𝑛5
𝑡 =
1
16
ℒ 𝑆𝑒𝑛 5𝑡 − 5 𝑆𝑒𝑛 3𝑡 + 10 𝑆𝑒𝑛(𝑡)
𝓛 𝑺𝒆𝒏 𝟓
𝒕 =
𝟏
𝟏𝟔
𝟓
𝒔 𝟐 + 𝟐𝟓
−
𝟏𝟓
𝒔 𝟐 + 𝟗
+
𝟏𝟎
𝒔 𝟐 + 𝟏
𝟐) 𝓛 𝓾 𝒕 − 𝟐𝝅 𝑺𝒆𝒏(𝒕 − 𝟐𝝅)
Vamos a realizarlo paso a paso:
Como la función seno ya está desfasada, no hay problema, entonces, primero determinamos la trasformada de Laplace
de la función seno: ℒ 𝑆𝑒𝑛 𝑡 =
1
𝑠2+1
, luego:
𝓛 𝓾 𝒕 − 𝟐𝝅 𝑺𝒆𝒏(𝒕 − 𝟐𝝅) = 𝒆−𝟐𝝅𝒔
𝟏
𝒔 𝟐 + 𝟏

25. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Página 25
𝟑)𝓛 𝓾 𝒕 −
𝝅
𝟐
𝒆
−𝟐 𝒕−
𝝅
𝟐 𝑪𝒐𝒔𝒉 𝟒 𝒕 −
𝝅
𝟐
Determinamos la transformada de Laplace del coseno hiperbólico
ℒ 𝐶𝑜𝑠𝑕 4𝑡 =
𝑠
𝑠2 − 16
Luego:
ℒ 𝑒−2𝑡 𝐶𝑜𝑠𝑕 4𝑡 =
𝑠 + 2
𝑠 + 2 2 − 16
Y finalmente:
𝓛 𝓾 𝒕 −
𝝅
𝟐
𝒆
−𝟐 𝒕−
𝝅
𝟐 𝑪𝒐𝒔𝒉 𝟒 𝒕 −
𝝅
𝟐
= 𝒆−
𝝅
𝟐
𝒔 𝒔 + 𝟐
𝒔 + 𝟐 𝟐 − 𝟏𝟔
𝟒)𝓛 𝓾 𝒕 − 𝟐 𝒕
Hay que desfasar la función
ℒ 𝓊 𝑡 − 2 𝑡 = ℒ 𝓊 𝑡 − 2 (𝑡 − 2 + 2)
ℒ 𝓊 𝑡 − 2 𝑡 = ℒ 𝓊 𝑡 − 2 (𝑡 − 2) + 2)
ℒ 𝓊 𝑡 − 2 𝑡 = ℒ 𝓊 𝑡 − 2 𝑡 − 2 + 2ℒ 𝓊 𝑡 − 2 (1)
𝓛 𝓾 𝒕 − 𝟐 𝒕 = 𝒆−𝟐𝒔
𝟏
𝒔 𝟐
+ 𝟐𝒆−𝟐𝒔
𝟏
𝒔
𝟓)𝓛 𝓾 𝒕 −
𝝅
𝟐
𝑺𝒆𝒏 𝒕
ℒ 𝓊 𝑡 −
𝜋
2
𝑆𝑒𝑛 𝑡 = ℒ 𝓊 𝑡 −
𝜋
2
𝑆𝑒𝑛 𝑡 −
𝜋
2
+
𝜋
2
ℒ 𝓊 𝑡 −
𝜋
2
𝑆𝑒𝑛 𝑡 = ℒ 𝓊 𝑡 −
𝜋
2
𝑆𝑒𝑛 𝑡 −
𝜋
2
𝐶𝑜𝑠
𝜋
2
+ 𝐶𝑜𝑠 𝑡 −
𝜋
2
𝑆𝑒𝑛
𝜋
2
ℒ 𝓊 𝑡 −
𝜋
2
𝑆𝑒𝑛 𝑡 = ℒ 𝓊 𝑡 −
𝜋
2
𝐶𝑜𝑠 𝑡 −
𝜋
2
𝓛 𝓾 𝒕 −
𝝅
𝟐
𝑺𝒆𝒏 𝒕 = 𝒆−
𝝅
𝟐
𝒔 𝒔
𝒔 𝟐 + 𝟏

26. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Página 26
𝟔)𝓛 𝒇(𝒕)
ℒ 𝑓(𝑡) = ℒ 𝓊 𝑡 − 𝓊 𝑡 − 3 𝑡 + 2 + 5 𝓊 𝑡 − 3 − 𝓊 𝑡 − 5 + 𝓊 𝑡 − 5 − 𝓊 𝑡 − 15
1
2
𝑡 −
15
2
ℒ 𝑓(𝑡) = ℒ 𝓊 𝑡 𝑡 + 2 − 𝓊 𝑡 − 3 𝑡 + 2 + 5𝓊 𝑡 − 3 − 5𝓊 𝑡 − 3 + 𝓊 𝑡 − 5
1
2
𝑡 −
15
2
− 𝓊 𝑡 − 15
1
2
𝑡 −
15
2
ℒ 𝑓(𝑡) = ℒ 𝓊 𝑡 𝑡 + 2 − 2 + 2 − 𝓊 𝑡 − 3 𝑡 + 2 − 5 + 5 + 5𝓊 𝑡 − 3 − 5𝓊 𝑡 − 5
+
1
2
𝓊 𝑡 − 5 𝑡 − 15 + 10 − 10 −
1
2
𝓊 𝑡 − 15 𝑡 − 15
ℒ 𝑓(𝑡) = ℒ 𝓊 𝑡 𝑡 + 2𝓊 𝑡 − 𝓊 𝑡 − 3 𝑡 − 3 − 5𝓊 𝑡 − 3 + 5𝓊 𝑡 − 3 − 5𝓊 𝑡 − 5 +
1
2
𝓊 𝑡 − 5 𝑡 − 5
− 10𝓊 𝑡 − 5 −
1
2
𝓊 𝑡 − 15 𝑡 − 15
ℒ 𝑓(𝑡) = ℒ 𝓊 𝑡 𝑡 + 2𝓊 𝑡 − 𝓊 𝑡 − 3 𝑡 − 3 − 15𝓊 𝑡 − 5 +
1
2
𝓊 𝑡 − 5 𝑡 − 5 −
1
2
𝓊 𝑡 − 15 𝑡 − 15
𝓛 𝒇(𝒕) =
𝟏
𝒔 𝟐 +
𝟐
𝒔
− 𝒆−𝟑𝒔
𝟏
𝒔 𝟐 − 𝟏𝟓𝒆−𝟓𝒔
𝟏
𝒔
+
𝒆−𝟓𝒔
𝟐
𝟏
𝒔 𝟐 −
𝒆−𝟏𝟓𝒔
𝟐
𝟏
𝒔 𝟐
𝟕)𝓛 𝒕𝒆−𝟑𝒕
𝑺𝒆𝒏(𝟒𝒕)
ℒ 𝑆𝑒𝑛(4𝑡) =
4
𝑠2 + 16
ℒ 𝑒−3𝑡 𝑆𝑒𝑛(4𝑡) =
4
𝑠 + 3 2 + 16
ℒ 𝑡𝑒−3𝑡
𝑆𝑒𝑛(4𝑡) = −
𝑑
𝑑𝑠
4
𝑠 + 3 2 + 16
ℒ 𝑡𝑒−3𝑡
𝑆𝑒𝑛(4𝑡) = −
4
𝑠 + 3 2 + 16 2
2 𝑠 + 3
𝓛 𝒕𝒆−𝟑𝒕
𝑺𝒆𝒏(𝟒𝒕) = −
𝟖 𝒔 + 𝟑
𝒔 + 𝟑 𝟐 + 𝟏𝟔 𝟐

27. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Página 27
𝟖)𝓛 𝒕 𝑺𝒆𝒏 𝝉 𝒅𝝉
𝒕
𝟎
ℒ 𝑓 𝑥 𝑔 𝑡 − 𝑥 𝑑𝑥
𝑡
0
= 𝐹 𝑠 𝐺(𝑠)
ℒ (1)
𝑔(𝑡−𝑥)
𝑆𝑒𝑛 𝜏
𝑓(𝑥)
𝑑𝜏
𝑡
0
=
1
𝑠
1
𝑠2 + 1
ℒ 𝑡 𝑆𝑒𝑛 𝜏 𝑑𝜏
𝑡
0
= −
𝑑
𝑑𝑠
1
𝑠
1
𝑠2 + 1
=
1
𝑠2
1
𝑠2 + 1
+
2𝑠
𝑠2 + 1 2
1
𝑠
𝓛 𝒕 𝑺𝒆𝒏 𝝉 𝒅𝝉
𝒕
𝟎
=
𝟏
𝒔 𝟐
𝟏
𝒔 𝟐 + 𝟏
+
𝟐𝒔
𝒔 𝟐 + 𝟏 𝟐
𝟏
𝒔
𝟗)𝓛 𝒆−𝟐𝒕
𝝉𝒆−𝟐𝝉
𝑺𝒆𝒏 𝝉 𝒅𝝉
𝒕
𝟎
ℒ 𝑆𝑒𝑛(𝑡) =
1
𝑠2 + 1
ℒ 𝑒−2𝑡 𝑆𝑒𝑛 𝑡 =
1
𝑠 + 2 2 + 1
ℒ 𝑡𝑒−2𝑡
𝑆𝑒𝑛 𝑡 = −
𝑑
𝑑𝑠
1
𝑠 + 2 2 + 1
=
2 𝑠 + 2
𝑠 + 2 2 + 1 2
ℒ (1)
𝑔(𝑡−𝑥)
𝜏𝑒−2𝜏
𝑆𝑒𝑛 𝜏
𝑓(𝑥)
𝑑𝜏
𝑡
0
=
2 𝑠 + 2
𝑠 + 2 2 + 1 2
𝑠
ℒ 𝑒−2𝑡
𝜏𝑒−2𝜏
𝑆𝑒𝑛 𝜏 𝑑𝜏
𝑡
0
=
2 𝑠 + 2 + 2
𝑠 + 2 + 2
2
+ 1
2
𝑠 + 2
𝓛 𝒆−𝟐𝒕
𝝉𝒆−𝟐𝝉
𝑺𝒆𝒏 𝝉 𝒅𝝉
𝒕
𝟎
=
𝟐 𝒔 + 𝟒 𝒔 + 𝟐
𝒔 + 𝟐 + 𝟐
𝟐
+ 𝟏
𝟐

28. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Página 28
𝟏𝟎)𝓛 𝒙 − 𝒙
El gráfico correspondiente a esta función es:
𝑇 = 1
ℒ 𝑥 − 𝑥 =
1
1 − 𝑒−𝑠
𝑒−𝑠𝑡
−𝑡 𝑑𝑡
1
0
𝑢 = −𝑡 ⇒ 𝑑𝑢 = −𝑑𝑡
𝑑𝑣 = 𝑒−𝑠𝑡
𝑑𝑡 ⇒ 𝑣 = −
1
𝑠
𝑒−𝑠𝑡
ℒ 𝑥 − 𝑥 =
1
1 − 𝑒−𝑠
𝑡
𝑠
𝑒−𝑠𝑡
+
1
𝑠
𝑒−𝑠𝑡
𝑑𝑡
ℒ 𝑥 − 𝑥 =
1
1 − 𝑒−𝑠
𝑡
𝑠
𝑒−𝑠𝑡
−
𝑒−𝑠𝑡
𝑠2
1
0
ℒ 𝑥 − 𝑥 =
1
1 − 𝑒−𝑠
1
𝑠
𝑒−𝑠 −
𝑒−𝑠
𝑠2
− −
1
𝑠2
𝓛 𝒙 − 𝒙 =
𝟏
𝟏 − 𝒆−𝒔
𝒆−𝒔
𝒔
−
𝒆−𝒔
𝒔 𝟐 +
𝟏
𝒔 𝟐
𝟏𝟏)𝓛 𝑺𝒆𝒏 𝒙
El gráfico correspondiente a esta función es:
𝑇 = 𝜋
ℒ 𝑆𝑒𝑛 𝑥 =
1
1 − 𝑒−𝜋𝑠
𝑒−𝑠𝑡
𝑆𝑒𝑛(𝑡)𝑑𝑡
𝜋
0
𝑢 = 𝑆𝑒𝑛(𝑡) ⇒ 𝑑𝑢 = −𝐶𝑜𝑠 𝑡 𝑑𝑡
𝑑𝑣 = 𝑒−𝑠𝑡
𝑑𝑡 ⇒ 𝑣 = −
1
𝑠
𝑒−𝑠𝑡

29. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Página 29
𝑒−𝑠𝑡
𝑆𝑒𝑛 𝑡 𝑑𝑡 = −
𝑆𝑒𝑛(𝑡)
𝑠
𝑒−𝑠𝑡
−
1
𝑠
𝑒−𝑠𝑡
𝐶𝑜𝑠 𝑡 𝑑𝑡
𝑢 = 𝐶𝑜𝑠(𝑡) ⇒ 𝑑𝑢 = 𝑆𝑒𝑛 𝑡 𝑑𝑡
𝑑𝑣 = 𝑒−𝑠𝑡 𝑑𝑡 ⇒ 𝑣 = −
1
𝑠
𝑒−𝑠𝑡
𝑒−𝑠𝑡
𝑆𝑒𝑛 𝑡 𝑑𝑡 = −
𝑆𝑒𝑛(𝑡)
𝑠
𝑒−𝑠𝑡
−
1
𝑠
−
𝐶𝑜𝑠(𝑡)
𝑠
𝑒−𝑠𝑡
+
1
𝑠
𝑒−𝑠𝑡
𝑆𝑒𝑛 𝑡 𝑑𝑡
𝑒−𝑠𝑡
𝑆𝑒𝑛 𝑡 𝑑𝑡 = −
𝑆𝑒𝑛(𝑡)
𝑠
𝑒−𝑠𝑡
+
𝐶𝑜𝑠(𝑡)
𝑠2 𝑒−𝑠𝑡
−
1
𝑠2 𝑒−𝑠𝑡
𝑆𝑒𝑛 𝑡 𝑑𝑡
𝑒−𝑠𝑡 𝑆𝑒𝑛 𝑡 𝑑𝑡 =
𝐶𝑜𝑠(𝑡)
𝑠2 𝑒−𝑠𝑡 −
𝑆𝑒𝑛(𝑡)
𝑠
𝑒−𝑠𝑡
1 +
1
𝑠2
𝑒−𝑠𝑡 𝑆𝑒𝑛 𝑡 𝑑𝑡 =
𝑠2
𝑠2 + 1
𝐶𝑜𝑠(𝑡)
𝑠2
𝑒−𝑠𝑡 −
𝑆𝑒𝑛(𝑡)
𝑠
𝑒−𝑠𝑡
ℒ 𝑆𝑒𝑛 𝑥 =
1
1 − 𝑒−𝜋𝑠
𝑠2
𝑠2 + 1
𝐶𝑜𝑠(𝑡)
𝑠2
𝑒−𝑠𝑡 −
𝑆𝑒𝑛(𝑡)
𝑠
𝑒−𝑠𝑡
𝜋
0
ℒ 𝑆𝑒𝑛 𝑥 =
1
1 − 𝑒−𝜋𝑠
𝑠2
𝑠2 + 1
𝐶𝑜𝑠(𝜋)
𝑠2
𝑒−𝑠𝜋 −
𝑆𝑒𝑛(𝜋)
𝑠
𝑒−𝑠𝜋 −
𝐶𝑜𝑠(0)
𝑠2
𝑒−𝑠(0) −
𝑆𝑒𝑛(0)
𝑠
𝑒−𝑠(0)
ℒ 𝑆𝑒𝑛 𝑥 =
1
1 − 𝑒−𝜋𝑠
𝑠2
𝑠2 + 1
−
1
𝑠2
𝑒−𝑠𝜋 −
1
𝑠2
𝓛 𝑺𝒆𝒏 𝒙 = −
𝟏
𝟏 − 𝒆−𝝅𝒔
𝒔 𝟐
𝒔 𝟐 + 𝟏
𝟏
𝒔 𝟐
𝒆−𝒔𝝅
+
𝟏
𝒔 𝟐
𝟏𝟐)Encuentre la transformada de Laplace para las funciones cuyos gráficos se muestran a
continuación:
a)
b)

30. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Página 30
Para a)
𝑃1 1,0 ; 𝑃2 2, −4
𝑦1 = 𝑚𝑥 + 𝑏
0 = 𝑚 + 𝑏 ; −4 = 2𝑚 + 𝑏
𝑦1 = 4𝑥 + 4
𝑃1 2,0 ; 𝑃2 3,2
𝑦2 = 𝑚𝑥 + 𝑏
0 = 2𝑚 + 𝑏 ; 2 = 3𝑚 + 𝑏
𝑦2 = 2𝑥 − 4
ℒ 𝑓(𝑡) = ℒ 𝓊 𝑡 − 1 − 𝓊(𝑡 − 2) 𝑦1 + 𝓊 𝑡 − 2 − 𝓊(𝑡 − 3) 𝑦2 + 𝓊(𝑡 − 3)𝑦3
ℒ 𝑓(𝑡) = ℒ 𝓊 𝑡 − 1 − 𝓊 𝑡 − 2 (4𝑡 + 4) + 𝓊 𝑡 − 2 − 𝓊 𝑡 − 3 (2𝑡 − 4) + 𝓊(𝑡 − 3)2
ℒ 𝑓(𝑡) = ℒ 4 𝑡 + 1 𝓊 𝑡 − 1 − 4𝓊 𝑡 − 2 𝑡 + 1 + 2𝓊 𝑡 − 2 𝑡 − 2 − 2𝓊 𝑡 − 3 (𝑡 − 2) + 2𝓊(𝑡 − 3)
ℒ 𝑓(𝑡) = ℒ 4 (𝑡 + 1 − 2) + 2 𝓊 𝑡 − 1 − 4𝓊 𝑡 − 2 (𝑡 + 1 − 3) + 3 + 2𝓊 𝑡 − 2 𝑡 − 2 − 2𝓊 𝑡 − 3 ((𝑡 − 2
− 1) + 1) + 2𝓊(𝑡 − 3)
ℒ 𝑓(𝑡) = ℒ 4 𝑡 − 1 𝓊 𝑡 − 1 + 8𝓊 𝑡 − 1 − 4𝓊 𝑡 − 2 𝑡 − 2 − 12𝓊 𝑡 − 2 + 2𝓊 𝑡 − 2 𝑡 − 2
− 2𝓊 𝑡 − 3 𝑡 − 3 − 2𝓊 𝑡 − 3 + 2𝓊(𝑡 − 3)
ℒ 𝑓(𝑡) = ℒ 4 𝑡 − 1 𝓊 𝑡 − 1 + 8𝓊 𝑡 − 1 − 2𝓊 𝑡 − 2 𝑡 − 2 − 12𝓊 𝑡 − 2 − 2𝓊 𝑡 − 3 𝑡 − 3
𝓛 𝒇(𝒕) =
𝒆−𝒕
𝒔 𝟐
+ 𝟖𝒆−𝒕
− 𝟐
𝒆−𝟐𝒕
𝒔 𝟐
− 𝟏𝟐𝒆−𝟐𝒕
− 𝟐
𝒆−𝟑𝒕
𝒔 𝟐

31. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Página 31
Para b)
Sabemos que el período de la función Sen(Bx) es
𝑇 =
2𝜋
𝐵
, entonces 4𝜋 =
2𝜋
𝐵
⇒ 𝐵 =
1
2
ℒ 𝑓(𝑡) = ℒ 𝓊 𝑡 − 𝜋 + 𝓊(𝑡 − 3𝜋) 𝑆𝑒𝑛
𝑥
2
ℒ 𝑓(𝑡) = ℒ 𝓊 𝑡 − 𝜋 𝑆𝑒𝑛
𝑥
2
+ 𝓊(𝑡 − 3𝜋)𝑆𝑒𝑛
𝑥
2
ℒ 𝑓(𝑡) = ℒ 𝓊 𝑡 − 𝜋 𝑆𝑒𝑛
1
2
𝑡 − 𝜋 + 𝜋 + 𝓊(𝑡 − 3𝜋)𝑆𝑒𝑛
1
2
𝑡 − 3𝜋 + 3𝜋
ℒ 𝑓(𝑡) = ℒ 𝓊 𝑡 − 𝜋 𝑆𝑒𝑛
1
2
(𝑡 − 𝜋) +
𝜋
2
+ 𝓊(𝑡 − 3𝜋)𝑆𝑒𝑛
1
2
(𝑡 − 3𝜋) +
3𝜋
2
ℒ 𝑓(𝑡) = ℒ
𝓊 𝑡 − 𝜋 𝑆𝑒𝑛
1
2
𝑡 − 𝜋 𝐶𝑜𝑠
𝜋
2
+ 𝐶𝑜𝑠
1
2
𝑡 − 𝜋 𝑆𝑒𝑛
𝜋
2
+
𝓊(𝑡 − 3𝜋) 𝑆𝑒𝑛
1
2
(𝑡 − 3𝜋) 𝐶𝑜𝑠
3𝜋
2
+ 𝐶𝑜𝑠
1
2
(𝑡 − 3𝜋) 𝑆𝑒𝑛
3𝜋
2
ℒ 𝑓(𝑡) = ℒ 𝓊 𝑡 − 𝜋 𝐶𝑜𝑠
1
2
(𝑡 − 𝜋) − 𝓊(𝑡 − 3𝜋)𝐶𝑜𝑠
1
2
(𝑡 − 3𝜋)
ℒ 𝑓(𝑡) = 𝑒−𝜋𝑠
𝑠
𝑠2 +
1
4
− 𝑒−3𝜋𝑠
𝑠
𝑠2 +
1
4
𝓛 𝒇(𝒕) = 𝒆−𝝅𝒔
𝟒𝒔
𝟒𝒔 𝟐 + 𝟏
− 𝒆−𝟑𝝅𝒔
𝟒𝒔
𝟒𝒔 𝟐 + 𝟏

32. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Página 32
TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
𝟏)𝓛−𝟏
𝒔 + 𝟏
𝒔 𝟐 + 𝟒𝒔 + 𝟖
ℒ−1
𝑠 + 1
𝑠2 + 4𝑠 + 8
= ℒ−1
𝑠 + 1
𝑠2 + 4𝑠 + 4 + 8 − 4
ℒ−1
𝑠 + 1
𝑠2 + 4𝑠 + 8
= ℒ−1
𝑠 + 1
𝑠 + 2 2 + 4
ℒ−1
𝑠 + 1
𝑠2 + 4𝑠 + 8
= ℒ−1
(𝑠 + 1 + 1) − 1
𝑠 + 2 2 + 4
ℒ−1
𝑠 + 1
𝑠2 + 4𝑠 + 8
= ℒ−1
𝑠 + 2
𝑠 + 2 2 + 4
− ℒ−1
1
𝑠 + 2 2 + 4
ℒ−1
𝑠 + 1
𝑠2 + 4𝑠 + 8
= ℒ−1
𝑠 + 2
𝑠 + 2 2 + 4
−
1
2
ℒ−1
2
𝑠 + 2 2 + 4
𝓛−𝟏 𝒔 + 𝟏
𝒔 𝟐 + 𝟒𝒔 + 𝟖
= 𝒆−𝟐𝒕
𝑪𝒐𝒔 𝟐𝒕 −
𝒆−𝟐𝒕
𝟐
𝑺𝒆𝒏(𝟐𝒕)
𝟐)𝓛−𝟏
𝒆−𝟐𝒔
𝒔 𝟐 + 𝟏 𝒔 𝟐 + 𝟒
1
𝑠2 + 1 𝑠2 + 4
=
𝐴 2𝑠 + 𝐵
𝑠2 + 1
+
𝐶 2𝑠 + 𝐷
𝑠2 + 4
1 = 2𝐴𝑠 + 𝐵 𝑠2
+ 4 + (2𝐶𝑠 + 𝐷) 𝑠2
+ 1
1 = 2𝐴𝑠3
+ 8𝐴𝑠 + 𝐵𝑠2
+ 4𝐵 + 2𝐶𝑠3
+ 2𝐶𝑠 + 𝐷𝑠2
+ 𝐷
1 = 2𝐴 + 2𝐶 𝑠3
+ 𝐵 + 𝐷 𝑠2
+ 8𝐴 + 2𝐶 𝑠 + 4𝐵 + 𝐷
0 = 2𝐴 + 2𝐶
0 = 𝐵 + 𝐷
0 = 8𝐴 + 2𝐶
1 = 4𝐵 + 𝐷
Resolviendo el sistema A = 0, B = 1/3, C = 0, D = -1/3
ℒ−1
𝑒−2𝑠
𝑠2 + 1 𝑠2 + 4
= ℒ−1
𝑒−2𝑠
2𝐴𝑠 + 𝐵
𝑠2 + 1
+
2𝐶𝑠 + 𝐷
𝑠2 + 4
ℒ−1
𝑒−2𝑠
𝑠2 + 1 𝑠2 + 4
= 2𝐴ℒ−1
𝑠𝑒−2𝑠
𝑠2 + 1
+ 𝐵ℒ−1
𝑒−2𝑠
𝑠2 + 1
+ 2𝐶ℒ−1
𝑠𝑒−2𝑠
𝑠2 + 4
+ 𝐷ℒ−1
𝑒−2𝑠
𝑠2 + 4
ℒ−1
𝑒−2𝑠
𝑠2 + 1 𝑠2 + 4
=
1
3
ℒ−1
𝑒−2𝑠
𝑠2 + 1
−
1
6
ℒ−1
2𝑒−2𝑠
𝑠2 + 4
⇒ 𝓛−𝟏
𝒆−𝟐𝒔
𝒔 𝟐 + 𝟏 𝒔 𝟐 + 𝟒
= 𝓾(𝒕 − 𝟐)
𝟏
𝟑
𝑺𝒆𝒏 𝒕 − 𝟐 −
𝟏
𝟔
𝑺𝒆𝒏 𝟐 𝒕 − 𝟐

33. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Página 33
𝟑)𝓛−𝟏
𝒍𝒏
𝒔 − 𝟏
𝒔 𝟐 + 𝟐𝒔 + 𝟓
ℒ 𝑡 𝑓(𝑡) = −
𝑑
𝑑𝑠
𝐹(𝑠)
𝑡 𝑓 𝑡 = ℒ−1
−
𝑑
𝑑𝑠
𝐹 𝑠
𝑡 𝑓 𝑡 = ℒ−1
−
𝑑
𝑑𝑠
𝑙𝑛
𝑠 − 1
𝑆2 + 2𝑠 + 5
𝑡 𝑓 𝑡 = ℒ−1
−
𝑑
𝑑𝑠
𝑙𝑛 𝑠 − 1 + ℒ−1
−
𝑑
𝑑𝑠
𝑙𝑛 𝑆2
+ 2𝑠 + 1 + 5 − 1
𝑡 𝑓 𝑡 = ℒ−1
−
𝑑
𝑑𝑠
𝑙𝑛 𝑠 − 1 + ℒ−1
−
𝑑
𝑑𝑠
𝑙𝑛 𝑠 + 1 2
+ 4
𝑡 𝑓 𝑡 = ℒ−1
−
1
𝑠 − 1
+ ℒ−1
−
2 𝑠 + 1
𝑠 + 1 2 + 4
𝑡 𝑓 𝑡 = −𝑒 𝑡 − 2𝑒−𝑡 𝐶𝑜𝑠(2𝑡)
𝒇 𝒕 =
−𝒆𝒕
− 𝟐𝒆−𝒕
𝑪𝒐𝒔(𝟐𝒕)
𝒕
𝟒)𝓛−𝟏
𝒍𝒏
𝒔 𝟐
+ 𝟗
𝒔 𝟐 + 𝟏
ℒ 𝑡 𝑓(𝑡) = −
𝑑
𝑑𝑠
𝐹(𝑠)
𝑡 𝑓 𝑡 = ℒ−1 −
𝑑
𝑑𝑠
𝐹 𝑠
𝑡 𝑓 𝑡 = ℒ−1
−
𝑑
𝑑𝑠
𝑙𝑛
𝑠2
+ 9
𝑠2 + 1
𝑡 𝑓 𝑡 = ℒ−1
−
𝑑
𝑑𝑠
𝑙𝑛 𝑠2
+ 9 + ℒ−1
𝑑
𝑑𝑠
𝑙𝑛 𝑠2
+ 1
𝑡 𝑓 𝑡 = ℒ−1
−
2𝑠
𝑠2 + 9
+ ℒ−1
2𝑠
𝑠2 + 1
𝑡 𝑓 𝑡 = −2 𝐶𝑜𝑠 3𝑡 + 2 𝐶𝑜𝑠(𝑡)
𝒇 𝒕 =
𝟐 𝑪𝒐𝒔(𝒕) − 𝟐 𝑪𝒐𝒔 𝟑𝒕
𝒕

34. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Página 34
𝟓)𝓛−𝟏
𝒔 𝟑
+ 𝟑𝒔 𝟐
+ 𝟏
𝒔 𝟐(𝒔 𝟐 + 𝟐𝒔 + 𝟐)
𝑠3
+ 3𝑠2
+ 1
𝑠2(𝑠2 + 2𝑠 + 2)
=
𝐴
𝑠
+
𝐵
𝑠2
+
𝐶 2𝑠 + 2 + 𝐷
(𝑠2 + 2𝑠 + 2)
𝑠3
+ 3𝑠2
+ 1 = 𝐴𝑠(𝑠2
+ 2𝑠 + 2) + 𝐵(𝑠2
+ 2𝑠 + 2) + 2𝐶𝑠 𝑠2
+ 2𝐶(𝑠2
) + 𝐷(𝑠2
)
𝑠3
+ 3𝑠2
+ 1 = 𝐴𝑠3
+ 2𝐴𝑠2
+ 2𝐴𝑠 + 𝐵𝑠2
+ 2𝐵𝑠 + 2𝐵 + 2𝐶𝑠3
+ 2𝐶𝑠2
+ 𝐷𝑠2
𝑠3 + 3𝑠2 + 1 = 𝐴 + 2𝐶 𝑠3 + 2𝐴 + 𝐵 + 2𝐶 + 𝐷 𝑠2 + (2𝐴 + 2𝐵)𝑠 + 2𝐵
1 = 𝐴 + 2𝐶
3 = 2𝐴 + 𝐵 + 2𝐶 + 𝐷
0 = 2𝐴 + 2𝐵
1 = 2𝐵
Resolviendo el sistema A = -1/2, B = ½, C = ¾, D = 2
ℒ−1
𝑠3 + 3𝑠2 + 1
𝑠2(𝑠2 + 2𝑠 + 2)
= 𝐴ℒ−1
1
𝑠
+ 𝐵ℒ−1
1
𝑠2
+ 2𝐶ℒ−1
𝑠
𝑠 + 1 2 + 1
+ 𝐷ℒ−1
1
𝑠 + 1 2 + 1
ℒ−1
𝑠3
+ 3𝑠2
+ 1
𝑠2(𝑠2 + 2𝑠 + 2)
= 𝐴 + 𝐵𝑡 + 2𝐶𝑒−𝑡
𝐶𝑜𝑠 𝑡 + 𝐷𝑒−𝑡
𝑆𝑒𝑛(𝑡)
𝓛−𝟏
𝒔 𝟑
+ 𝟑𝒔 𝟐
+ 𝟏
𝒔 𝟐(𝒔 𝟐 + 𝟐𝒔 + 𝟐)
= −
𝟏
𝟐
+
𝒕
𝟐
+
𝟑𝒆−𝒕
𝟐
𝑪𝒐𝒔 𝒕 + 𝟐𝒆−𝒕
𝑺𝒆𝒏(𝒕)
𝟔)𝓛−𝟏
𝟐𝒔
(𝒔 𝟐 + 𝟏) 𝟑
ℒ−1 𝐹 𝜎 𝑑𝜎
+∞
𝑠
=
𝑓(𝑡)
𝑡
ℒ
𝑓(𝑡)
𝑡
= 𝐹 𝜎 𝑑𝜎
+∞
𝑠
ℒ
𝑓(𝑡)
𝑡
= lim
𝑎→+∞
2𝑠
(𝑠2 + 1)3
𝑑𝑠
𝑎
𝑠
𝑢 = 𝑠2
+ 1 ⇒ 𝑑𝑢 = 2𝑠
ℒ
𝑓(𝑡)
𝑡
= lim
𝑎→+∞
𝑑𝑢
(𝑢)3
𝑎
𝑠
ℒ
𝑓(𝑡)
𝑡
= − lim
𝑎→+∞
1
2𝑢2
𝑎
𝑠

35. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Página 35
ℒ
𝑓(𝑡)
𝑡
= −
1
2
lim
𝑎→+∞
1
(𝑎2 + 1)2
−
1
(𝑠2 + 1)2
ℒ
𝑓(𝑡)
𝑡
=
1
2(𝑠2 + 1)2
𝑓(𝑡)
𝑡
=
1
2
ℒ−1
1
(𝑠2 + 1)2
𝑓(𝑡)
𝑡
=
1
2
ℒ−1
1
𝑠2 + 1
∗
1
𝑠2 + 1
𝑓(𝑡)
𝑡
=
1
2
𝑆𝑒𝑛 𝜏 𝑆𝑒𝑛 𝑥 − 𝜏 𝑑𝜏
𝑡
0
①𝐶𝑜𝑠 𝑎 + 𝑏 = 𝐶𝑜𝑠 𝑎 𝐶𝑜𝑠 𝑏 − 𝑆𝑒𝑛 𝑎 𝑆𝑒𝑛(𝑏)
②𝐶𝑜𝑠 𝑎 − 𝑏 = 𝐶𝑜𝑠 𝑎 𝐶𝑜𝑠 𝑏 + 𝑆𝑒𝑛 𝑎 𝑆𝑒𝑛(𝑏)
Multiplicando por (-1) la primera ecuación
① − 𝐶𝑜𝑠 𝑎 + 𝑏 = −𝐶𝑜𝑠 𝑎 𝐶𝑜𝑠 𝑏 + 𝑆𝑒𝑛 𝑎 𝑆𝑒𝑛(𝑏)
②𝐶𝑜𝑠 𝑎 − 𝑏 = 𝐶𝑜𝑠 𝑎 𝐶𝑜𝑠 𝑏 + 𝑆𝑒𝑛 𝑎 𝑆𝑒𝑛(𝑏)
Entonces ① + ②
𝑆𝑒𝑛 𝑎 𝑆𝑒𝑛 𝑏 =
𝐶𝑜𝑠 𝑎 − 𝑏 − 𝐶𝑜𝑠 𝑎 + 𝑏
2
𝑓(𝑡)
𝑡
=
1
4
𝐶𝑜𝑠 𝜏 − 𝑡 + 𝜏 − 𝐶𝑜𝑠 𝜏 + 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏
𝑡
0
𝑓(𝑡)
𝑡
=
1
4
𝐶𝑜𝑠 2𝜏 − 𝑡 − 𝐶𝑜𝑠 𝑡 𝑑𝜏
𝑡
0
𝑓(𝑡)
𝑡
=
1
4
𝐶𝑜𝑠 2𝜏 − 𝑡 − 𝐶𝑜𝑠 𝑡 𝑑𝜏
𝑡
0
𝑓(𝑡)
𝑡
=
1
4
1
2
𝑆𝑒𝑛 2𝜏 − 𝑡 − 𝜏 𝐶𝑜𝑠(𝑡)
𝑡
0
𝑓(𝑡)
𝑡
=
1
4
1
2
𝑆𝑒𝑛 2𝑡 − 𝑡 − 𝑡 𝐶𝑜𝑠 𝑡 −
1
2
𝑆𝑒𝑛 −𝑡
𝑓 𝑡 =
𝑡
4
1
2
𝑆𝑒𝑛 𝑡 − 𝑡 𝐶𝑜𝑠 𝑡 +
1
2
𝑆𝑒𝑛 𝑡
𝒇 𝒕 =
𝒕
𝟒
𝑺𝒆𝒏 𝒕 − 𝒕 𝑪𝒐𝒔 𝒕

36. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Página 36
𝟕)𝓛−𝟏
𝝅
𝟐
− 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏
𝒔
𝟐
𝑡 𝑓 𝑡 = ℒ−1 −
𝑑
𝑑𝑠
𝜋
2
− 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛
𝑠
2
𝑡 𝑓 𝑡 = ℒ−1 −
1
1 +
𝑠
2
2
𝑡 𝑓 𝑡 = ℒ−1 −
4
4 + 𝑠2
𝑡 𝑓 𝑡 = −2ℒ−1
2
4 + 𝑠2
𝑡 𝑓 𝑡 = −2 𝑆𝑒𝑛(2𝑡)
𝒇 𝒕 =
−𝟐 𝑺𝒆𝒏(𝟐𝒕)
𝒕
𝟖)𝓛−𝟏
𝟏
𝒔 𝒔 𝟐 + 𝟒𝒔 + 𝟓
ℒ−1
1
𝑠 𝑠2 + 4𝑠 + 5
= ℒ−1
1
𝑠
1
∗
1
𝑠 + 2 2 + 1
𝑒−2𝑡 𝑆𝑒𝑛(𝑡)
ℒ−1
1
𝑠 𝑠2 + 4𝑠 + 5
= 𝑒−2𝑥 𝑆𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥
𝑡
0
𝑒−2𝑥 𝑆𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥
𝑢 = 𝑆𝑒𝑛 𝑥 ⇒ 𝑑𝑢 = 𝐶𝑜𝑠 𝑥
𝑑𝑣 = 𝑒−2𝑥
𝑑𝑥 ⇒ 𝑣 = −
1
2
𝑒−2𝑥
𝑒−2𝑥
𝑆𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = −
𝑆𝑒𝑛 𝑥
2
𝑒−2𝑥
+
1
2
𝑒−2𝑥
𝐶𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥
𝑢 = 𝐶𝑜𝑠 𝑥 ⇒ 𝑑𝑢 = −𝑆𝑒𝑛 𝑥
𝑑𝑣 = 𝑒−2𝑥
𝑑𝑥 ⇒ 𝑣 = −
1
2
𝑒−2𝑥
𝑒−2𝑥
𝑆𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = −
𝑆𝑒𝑛 𝑥
2
𝑒−2𝑥
+
1
2
−
𝐶𝑜𝑠 𝑥
2
𝑒−2𝑥
−
1
2
𝑒−2𝑥
𝑆𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥
𝑒−2𝑥
𝑆𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = −
𝑆𝑒𝑛 𝑥
2
𝑒−2𝑥
−
𝐶𝑜𝑠 𝑥
4
𝑒−2𝑥
−
1
4
𝑒−2𝑥
𝑆𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥

37. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Página 37
𝑒−2𝑥
𝑆𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = −
4
5
𝑒−2𝑥
𝑆𝑒𝑛 𝑥
2
+
𝐶𝑜𝑠 𝑥
4
ℒ−1
1
𝑠 𝑠2 + 4𝑠 + 5
= −
4
5
𝑒−2𝑥
𝑆𝑒𝑛 𝑥
2
+
𝐶𝑜𝑠 𝑥
4
𝑡
0
ℒ−1
1
𝑠 𝑠2 + 4𝑠 + 5
= −
4
5
𝑒−2𝑡
𝑆𝑒𝑛 𝑡
2
+
𝐶𝑜𝑠 𝑡
4
+
4
5
1
4
𝓛−𝟏
𝟏
𝒔 𝒔 𝟐 + 𝟒𝒔 + 𝟓
= −
𝟏
𝟓
𝟐𝒆−𝟐𝒕
𝑺𝒆𝒏 𝒕 + 𝒆−𝟐𝒕
𝑪𝒐𝒔 𝒕 − 𝟏

38. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Página 38
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE LA TRANSFORMADA DE
LAPLACE
𝟏)𝒚′′
− 𝟔𝒚′
+ 𝟗𝒚 = 𝒕 𝟐
𝒆 𝟑𝒕
, 𝒚 𝟎 = 𝟐 ; 𝒚′
𝟎 = 𝟔
ℒ 𝑦′′ − 6ℒ 𝑦′ + 9ℒ 𝑦 = ℒ 𝑡2 𝑒3𝑡
𝑠2
𝑌 − 𝑠 𝑦 0 − 𝑦′
(0) − 6 𝑠𝑌 − 𝑦(0) + 9𝑌 =
2!
𝑠 − 3 3
𝑌𝑠2
− 2𝑠 − 6 − 6𝑌𝑠 + 12 + 9𝑌 =
2
𝑠 − 3 3
𝑌 𝑠2 − 6𝑠 + 9 =
2
𝑠 − 3 3
+ 2𝑠 − 6
ℒ−1
𝑌 = ℒ−1
2
𝑠 − 3 5
+
2𝑠
𝑠 − 3 2
−
6
𝑠 − 3 2
ℒ−1 𝑌 =
2
4!
ℒ−1
4!
𝑠 − 3 5
+ 2ℒ−1
𝑠
𝑠 − 3 2
− 6ℒ−1
1
𝑠 − 3 2
𝑠
𝑠 − 3 2 =
𝐴
𝑠 − 3
+
𝐵
𝑠 − 3 2
𝑠 = 𝐴 𝑠 − 3 2 + 𝐵 𝑠 − 3 = 𝐴 𝑠2 − 6𝑠 + 9 + 𝐵𝑠 − 3𝐵 = 𝐴𝑠2 − 6𝐴𝑠 + 9𝐴 + 𝐵𝑠 − 3𝐵
𝑠 = 𝐴𝑠2
+ 𝐵 − 6𝐴 𝑠 + (9𝐴 − 3𝐵)
0 = 𝐴
1 = 𝐵 − 6𝐴
0 = 9𝐴 − 3𝐵
Podemos notar que el sistema no tiene solución, entonces este método no funciona, pero sabemos que
𝑡 𝑓 𝑡 = ℒ−1 −
𝑑
𝑑𝑠
𝐹 𝑠
𝑡 𝑓 𝑡 = ℒ−1
−
𝑑
𝑑𝑠
𝑠
𝑠 − 3 2
𝑡 𝑓 𝑡 = ℒ−1 −
1
𝑠 − 3 2
+
2𝑠
𝑠 − 3 3
𝑡 𝑓 𝑡 = −ℒ−1
1
𝑠 − 3 2
+ 2ℒ−1
𝑠
𝑠 − 3 3
𝑠
𝑠 − 3 3
=
𝐴
𝑠 − 3
+
𝐵
𝑠 − 3 2
+
𝐶
𝑠 − 3 3
𝑠 = 𝐴 𝑠 − 3 2
+ 𝐵 𝑠 − 3 + 𝐶 = 𝐴 𝑠2
− 6𝑠 + 9 + 𝐵𝑠 − 3𝐵 + 𝐶 = 𝐴𝑠2
− 6𝐴𝑠 + 9𝐴 + 𝐵𝑠 − 3𝐵 + 𝐶
𝑠 = 𝐴𝑠2
+ 𝐵 − 6𝐴 𝑠 + (9𝐴 − 3𝐵 + 𝐶)
0 = 𝐴

39. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Página 39
1 = 𝐵 − 6𝐴
0 = 9𝐴 − 3𝐵 + 𝐶
Resolviendo el sistema A = 0, B = 1, C = 3
𝑡 𝑓 𝑡 = −ℒ−1
1
𝑠 − 3 2
+ 2ℒ−1
𝐴
𝑠 − 3
+
𝐵
𝑠 − 3 2
+
𝐶
𝑠 − 3 3
𝑡 𝑓 𝑡 = −ℒ−1
1
𝑠 − 3 2
+ 2ℒ−1
𝐵
𝑠 − 3 2
+
𝐶
𝑠 − 3 3
𝑡 𝑓 𝑡 = −
ℒ−1
1!
1!
𝑠 − 3 2
+
2𝐵ℒ−1
1!
1!
𝑠 − 3 2
+
2𝐶ℒ−1
2!
2!
𝑠 − 3 3
𝑡 𝑓 𝑡 = −𝑡𝑒3𝑡
+ 2𝑡𝑒3𝑡
+ 3𝑡2
𝑒3𝑡
𝑓 𝑡 = −𝑒3𝑡 + 2𝑒3𝑡 + 36𝑡𝑒3𝑡
𝑦 𝑡 =
𝑡4
𝑒3𝑡
12
+ 2𝑒3𝑡 + 72𝑡𝑒3𝑡 − 6𝑡𝑒3𝑡
𝒚 𝒕 = 𝒆 𝟑𝒕
𝒕 𝟒
𝟏𝟐
+ 𝟐 + 𝟔𝟔𝒕
𝟐)𝒚′′
+ 𝟒𝒚 = 𝓾 𝒕 −
𝝅
𝟒
𝑺𝒆𝒏 (𝒕) , 𝒚 𝟎 = 𝟏 ; 𝒚′
𝟎 = 𝟎
𝑦′′
+ 4𝑦 = 𝓊 𝑡 −
𝜋
4
𝑆𝑒𝑛 𝑡 −
𝜋
4
+
𝜋
4
𝑦′′
+ 4𝑦 = 𝓊 𝑡 −
𝜋
4
𝑆𝑒𝑛 𝑡 −
𝜋
4
𝐶𝑜𝑠
𝜋
4
+ 𝑆𝑒𝑛
𝜋
4
𝐶𝑜𝑠 𝑡 −
𝜋
4
ℒ 𝑦′′ + 4ℒ 𝑦 = ℒ 𝓊 𝑡 −
𝜋
4
𝑆𝑒𝑛 𝑡 −
𝜋
4
𝐶𝑜𝑠
𝜋
4
+ 𝑆𝑒𝑛
𝜋
4
𝐶𝑜𝑠 𝑡 −
𝜋
4
𝑠2 𝑌 − 𝑠 𝑦 0 − 𝑦′(0) + 4𝑌 = 𝑒−
𝜋
4
𝑠 2
2
1
𝑠2 + 1
+
2
2
𝑠
𝑠2 + 1
𝑠2
𝑌 − 𝑠 + 4𝑌 = 𝑒−
𝜋
4
𝑠 2
2
1
𝑠2 + 1
+
2
2
𝑠
𝑠2 + 1
𝑌 =
𝑒−
𝜋
4
𝑠
𝑠2 + 4
2
2
1
𝑠2 + 1
+
2
2
𝑠
𝑠2 + 1
+
𝑠
𝑠2 + 4
ℒ−1
𝑌 = ℒ−1
𝑒−
𝜋
4
𝑠
𝑠2 + 4
2
2
1
𝑠2 + 1
+
2
2
𝑠
𝑠2 + 1
+
𝑠
𝑠2 + 4
𝑦 𝑡 =
2
2
ℒ−1
𝑒−
𝜋
4
𝑠
𝑠2 + 4 𝑠2 + 1
+
2
2
ℒ−1
𝑠 𝑒−
𝜋
4
𝑠
𝑠2 + 4 𝑠2 + 1
+ ℒ−1
𝑠
𝑠2 + 4
1
𝑠2 + 4 𝑠2 + 1
=
𝐴 2𝑠 + 𝐵
𝑠2 + 4
+
𝐶 2𝑠 + 𝐷
𝑠2 + 1

40. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Página 40
1 = 2𝐴𝑠 𝑠2
+ 1 + 𝐵 𝑠2
+ 1 + 2𝐶𝑠 𝑠2
+ 4 + 𝐷 𝑠2
+ 4
1 = 2𝐴𝑠3 + 2𝐴𝑠 + 𝐵𝑠2 + 𝐵 + 2𝐶𝑠3 + 8𝐶𝑠 + 𝐷𝑠2 + 4𝐷
1 = 2𝐴 + 2𝐶 𝑠3
+ 𝐵 + 𝐷 𝑠2
+ 2𝐴 + 8𝐶 𝑠 + (𝐵 + 4𝐷)
0 = 2𝐴 + 2𝐶
0 = 𝐵 + 𝐷
0 = 2𝐴 + 8𝐶
1 = 𝐵 + 4𝐷
Resolviendo el sistema A = 0, B = -1/3, C = 0, D = 1/3
𝑠
𝑠2 + 4 𝑠2 + 1
=
𝐴′ 2𝑠 + 𝐵′
𝑠2 + 4
+
𝐶′ 2𝑠 + 𝐷′
𝑠2 + 1
𝑠 = 2𝐴′ + 2𝐶′ 𝑠3 + 𝐵′ + 𝐷′ 𝑠2 + 2𝐴′ + 8𝐶′ 𝑠 + (𝐵′ + 4𝐷′)
0 = 2𝐴′ + 2𝐶′
0 = 𝐵′ + 𝐷′
1 = 2𝐴′ + 8𝐶′
0 = 𝐵′ + 4𝐷′
Resolviendo el sistema A’ = -1/6, B’ = 0, C’ = 1/6, D’ = 0
𝑦 𝑡 =
2
2
ℒ−1 𝑒−
𝜋
4
𝑠 2𝐴𝑠 + 𝐵
𝑠2 + 4
+
2𝐶𝑠 + 𝐷
𝑠2 + 1
+
2
2
ℒ−1 𝑒−
𝜋
4
𝑠 2𝐴′𝑠 + 𝐵′
𝑠2 + 4
+
2𝐶′𝑠 + 𝐷′
𝑠2 + 1
+ ℒ−1
𝑠
𝑠2 + 4
𝑦 𝑡 =
2
2
ℒ−1
𝑒−
𝜋
4
𝑠
2𝐴
𝑠
𝑠2 + 4
+
𝐵
2
1 ∗ 2
𝑠2 + 4
+ 2𝐶
𝑠
𝑠2 + 1
+ 𝐷
1
𝑠2 + 1
+
2
2
ℒ−1
𝑒−
𝜋
4
𝑠
2𝐴′
𝑠
𝑠2 + 4
+ 𝐵′
1
𝑠2 + 4
+ 2𝐶′
𝑠
𝑠2 + 1
+ 𝐷′
1
𝑠2 + 1
+ ℒ−1
𝑠
𝑠2 + 4
𝒚 𝒕 =
𝟐
𝟐
𝓾 𝒕 −
𝝅
𝟒
−
𝟏
𝟔
𝑺𝒆𝒏 𝟐 𝒕 −
𝝅
𝟒
+
𝟏
𝟑
𝑺𝒆𝒏 𝒕 −
𝝅
𝟒
+
𝟐
𝟐
𝓾 𝒕 −
𝝅
𝟒
−
𝟏
𝟑
𝑪𝒐𝒔 𝟐 𝒕 −
𝝅
𝟒
+
𝟏
𝟑
𝑪𝒐𝒔 𝒕 −
𝝅
𝟒
+ 𝑪𝒐𝒔(𝟐𝒕)
𝟑) 𝒇 𝒕 + 𝟒 𝑺𝒆𝒏 𝝉 𝒇 𝒕 − 𝝉 𝒅𝝉
𝒕
𝟎
= 𝟐𝒕
ℒ 𝑓 𝑡 + 4ℒ 𝑆𝑒𝑛 𝜏 𝑓 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏
𝑡
0
= 2ℒ 𝑡
𝑌 + 4𝑌
1
𝑠2 + 1
= 2
1
𝑠2

41. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Página 41
𝑌 =
2
1
𝑠2
1 +
4
𝑠2 + 1
𝑌 =
2 𝑠2
+ 5
𝑠2 𝑠2 + 1
ℒ−1
𝑌 = 2ℒ−1
1
𝑠2 + 1
+ 10ℒ−1
1
𝑠2 𝑠2 + 1
𝑦 𝑡 = 2ℒ−1
1
𝑠2 + 1
+ 10 𝑆𝑒𝑛 𝜏 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏
𝑡
0
𝑆𝑒𝑛 𝜏 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏
𝑢 = 𝑡 − 𝜏 ⇒ 𝑑𝑢 = −𝑑𝜏
𝑑𝑣 = 𝑆𝑒𝑛 𝜏 𝑑𝜏 ⇒ 𝑣 = −𝐶𝑜𝑠 𝜏
= −𝐶𝑜𝑠 𝜏 𝑡 − 𝜏 − 𝐶𝑜𝑠 𝜏 𝑑𝜏
= −𝐶𝑜𝑠 𝜏 𝑡 − 𝜏 − 𝑆𝑒𝑛 𝜏
𝑦 𝑡 = 2 𝑆𝑒𝑛(𝑡) − 10 𝐶𝑜𝑠 𝜏 𝑡 − 𝜏 + 𝑆𝑒𝑛 𝜏
𝑡
0
𝑦 𝑡 = 2 𝑆𝑒𝑛(𝑡) − 10 𝑆𝑒𝑛 𝑡 − 𝑡
𝒚 𝒕 = 𝟏𝟎𝒕 − 𝟖 𝑺𝒆𝒏 𝒕
𝟒) 𝒚′′
+ 𝟐𝒚′
+ 𝟐𝒚 = 𝜹 𝒕 − 𝝅 , 𝒚 𝟎 = 𝒚′
𝟎 = 𝟎
ℒ 𝑦′′ + 2ℒ 𝑦′ + 2ℒ 𝑦 = ℒ 𝛿 𝑡 − 𝜋
𝑠2
𝑌 − 𝑠 𝑦 0 − 𝑦′
(0) + 2 𝑠𝑌 − 𝑦(0) + 2𝑌 = 𝑒−𝜋𝑠
𝑌𝑠2
+ 2𝑌𝑠 + 2𝑌 = 𝑒−𝜋𝑠
𝑌 =
𝑒−𝜋𝑠
𝑠2 + 𝑠 + 2
ℒ−1
𝑌 = 2ℒ−1
𝑒−𝜋𝑠
𝑠 + 1 2 + 1
𝒚 𝒕 = 𝟐 𝓾 𝒕 − 𝝅 𝒆 𝒕−𝝅
𝑺𝒆𝒏 𝒕 − 𝝅

42. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Página 42
𝟓) 𝒚′′
+ 𝟐𝒚′
+ 𝟐𝒚 = 𝑪𝒐𝒔 𝒕 𝜹 𝒕 − 𝟑𝝅 , 𝒚 𝟎 = 𝟏, 𝒚′
𝟎 = −𝟏
ℒ 𝑦′′ + 2ℒ 𝑦′ + 2ℒ 𝑦 = ℒ 𝐶𝑜𝑠(𝑡)𝛿 𝑡 − 3𝜋
𝑠2
𝑌 − 𝑠 𝑦 0 − 𝑦′
(0) + 2 𝑠𝑌 − 𝑦(0) + 2𝑌 = 𝐶𝑜𝑠(3𝜋)𝑒−3𝜋𝑠
𝑌𝑠2
− 𝑠 + 1 + 2𝑌𝑠 − 2 + 2𝑌 = −𝑒−3𝜋𝑠
𝑌 𝑠2 + 2𝑠 + 2 = −𝑒−3𝜋𝑠 + (𝑠 + 1)
ℒ−1
𝑌 = −ℒ−1
𝑒−3𝜋𝑠
𝑠2 + 2𝑠 + 2
+ ℒ−1
(𝑠 + 1)
𝑠2 + 2𝑠 + 2
𝑦 𝑡 = −ℒ−1
𝑒−3𝜋𝑠
𝑠 + 1 2 + 1
+ ℒ−1
(𝑠 + 1)
𝑠 + 1 2 + 1
𝒚 𝒕 = −𝓾 𝒕 − 𝟑𝝅 𝒆 𝒕−𝟑𝝅 𝑺𝒆𝒏 𝒕 − 𝟑𝝅 + 𝒆−𝒕 𝑪𝒐𝒔(𝒕)
𝟔) 𝒕𝒚′′
− 𝒕𝒚′
− 𝒚 = 𝟎 , 𝒚 𝟎 = 𝟎 , 𝒚′
𝟎 = 𝟑
ℒ 𝑡𝑦′′ − ℒ 𝑡𝑦′ − ℒ 𝑦 = 0
−
𝑑
𝑑𝑠
𝑠2
𝑌 − 𝑠 𝑦 0 − 𝑦′
0 +
𝑑
𝑑𝑠
𝑠𝑌 − 𝑦 0 − 𝑌 = 0
−2𝑠𝑌 − 𝑠2
𝑌′
+ 𝑌 + 𝑠𝑌′
− 𝑌 = 0
𝑌′
1 − 𝑠2
= 2𝑠𝑌
𝑑𝑌
𝑑𝑠
1 − 𝑠2
= 2𝑠𝑌
𝑑𝑌
𝑌
=
2𝑠
1 − 𝑠2 𝑑𝑠 ⇒
𝑑𝑌
𝑌
= 2
𝑠
1 − 𝑠2 𝑑𝑠
𝑢 = 𝑠2
⇒ 𝑢 = 2𝑠 𝑑𝑠
𝑑𝑌
𝑌
= −
1
1 − 𝑢
𝑑𝑠
𝑙𝑛 𝑌 = −𝑙𝑛 1 − 𝑢
𝑒 𝑙𝑛 𝑌
= 𝑒−𝑙𝑛 1−𝑢
⇒ 𝑌 =
1
1 − 𝑠2
ℒ−1 𝑌 = −ℒ−1
1
𝑠2 − 1
𝒚 𝒕 = −𝑺𝒆𝒏𝒉(𝒕)

43. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Página 43
𝟕) 𝒚′′
− 𝟐𝒚′
+ 𝒚 = 𝒆 𝒕
, 𝒚 𝟎 = 𝟎 , 𝒚′
𝟏 =
𝟏𝟏
𝟐
𝒆
No conocemos el valor de y’(0), entonces vamos a realizar un artificio, multiplicaremos por “t”
𝑡𝑦′′
− 2𝑡𝑦′
+ 𝑡𝑦 = 𝑡𝑒 𝑡
ℒ 𝑡𝑦′′
− 2ℒ 𝑡𝑦′
+ ℒ 𝑡𝑦 = ℒ 𝑡 𝑒 𝑡
−
𝑑
𝑑𝑠
𝑠2
𝑌 − 𝑠 𝑦 0 − 𝑦′
0 +
𝑑
𝑑𝑠
𝑠𝑌 − 𝑦 0 −
𝑑
𝑑𝑠
𝑌 =
1
𝑠 − 1 2
−2𝑠𝑌 − 𝑠2
𝑌′
+ 𝑌 + 𝑠𝑌′
− 𝑌′
=
1
𝑠 − 1 2
𝑌′
−𝑠2
+ 𝑠 − 1 + 1 − 2𝑠 𝑌 =
1
𝑠 − 1 2
𝑌′ 𝑠2 − 𝑠 + 1 + 2𝑠 − 1 𝑌 = −
1
𝑠 − 1 2
𝑌′ +
2𝑠 − 1
𝑠2 − 𝑠 + 1
𝑌 = −
1
𝑠 − 1 2 𝑠2 − 𝑠 + 1
𝑢 𝑠 = 𝑒 𝑝 𝑠 𝑑𝑠
⇒ 𝑢 𝑠 = 𝑒
2𝑠−1
𝑠2−𝑠+1
𝑑𝑠
Resolviendo la integral:
2𝑠 − 1
𝑠2 − 𝑠 + 1
𝑑𝑠
𝑢 = 𝑠2
− 𝑠 ⇒ 𝑑𝑢 = 2𝑠 − 1 𝑑𝑠
𝑑𝑢
𝑢 + 1
⇒ 𝑙𝑛 𝑢 + 1 ⇒ 𝑙𝑛 𝑠2
− 𝑠 + 1
Entonces:
𝑢 𝑠 = 𝑒 𝑙𝑛 𝑠2−𝑠+1
⇒ 𝑢 𝑠 = 𝑠2
− 𝑠 + 1
𝑑
𝑑𝑠
𝑠2
− 𝑠 + 1 𝑌 = −
1
𝑠 − 1 2
𝑑 𝑠2
− 𝑠 + 1 𝑌 = −
1
𝑠 − 1 2
𝑑𝑠
𝑠2
− 𝑠 + 1 𝑌 =
1
𝑠 − 1
ℒ−1
𝑌 = ℒ−1
1
(𝑠 − 1) 𝑠2 − 𝑠 + 1
⇒ ℒ−1
𝑌 = ℒ−1
1
(𝑠 − 1) 𝑠2 − 𝑠 +
1
4
+ 1 −
1
4
ℒ−1
𝑌 = ℒ−1
1
(𝑠 − 1) 𝑠 −
1
2
2
+
3
4

44. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Página 44
Aplicando convolución:
ℒ−1
1
(𝑠 − 1)
𝑒 𝑡
∗
1
𝑠 −
1
2
2
+
3
4
2
3
𝑒
1
2 𝑡
𝑆𝑒𝑛
3
2
𝑡
2
3
𝑒 𝑡−𝑥
𝑡
0
𝑒
1
2
𝑥
𝑆𝑒𝑛
3
2
𝑥 𝑑𝑥
2
3
𝑒 𝑡 𝑒−
1
2
𝑥
𝑆𝑒𝑛
3
2
𝑥 𝑑𝑥
𝑡
0
Integrando por partes:
𝑢 = 𝑒−
1
2
𝑥
⇒ 𝑑𝑢 = −
1
2
𝑒−
1
2
𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑣 = 𝑆𝑒𝑛
3
2
𝑥 𝑑𝑥 ⇒ 𝑣 =
2
3
𝐶𝑜𝑠
3
2
𝑥
Entonces:
𝑒−
1
2
𝑥
𝑆𝑒𝑛
3
2
𝑥 𝑑𝑥 =
2
3
𝑒−
1
2
𝑥
𝐶𝑜𝑠
3
2
𝑥 +
1
3
𝑒−
1
2
𝑥
𝐶𝑜𝑠
3
2
𝑥 𝑑𝑥
Integrando nuevamente por partes:
𝑢 = 𝑒−
1
2
𝑥
⇒ 𝑑𝑢 = −
1
2
𝑒−
1
2
𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑣 = 𝐶𝑜𝑠
3
2
𝑥 𝑑𝑥 ⇒ 𝑣 = −
2
3
𝑆𝑒𝑛
3
2
𝑥
Entonces:
𝑒−
1
2
𝑥
𝑆𝑒𝑛
3
2
𝑥 𝑑𝑥 =
2
3
𝑒−
1
2
𝑥
𝐶𝑜𝑠
3
2
𝑥 +
1
3
−
2
3
𝑒−
1
2
𝑥
𝑆𝑒𝑛
3
2
𝑥 −
1
3
𝑒−
1
2
𝑥
𝑆𝑒𝑛
3
2
𝑥 𝑑𝑥
𝑒−
1
2
𝑥
𝑆𝑒𝑛
3
2
𝑥 𝑑𝑥 =
2
3
𝑒−
1
2
𝑥
𝐶𝑜𝑠
3
2
𝑥 −
2
3
𝑒−
1
2
𝑥
𝑆𝑒𝑛
3
2
𝑥 −
1
3
𝑒−
1
2
𝑥
𝑆𝑒𝑛
3
2
𝑥 𝑑𝑥
𝑒−
1
2
𝑥
𝑆𝑒𝑛
3
2
𝑥 𝑑𝑥 =
3
4
2
3
𝑒−
1
2
𝑥
𝐶𝑜𝑠
3
2
𝑥 −
2
3
𝑒−
1
2
𝑥
𝑆𝑒𝑛
3
2
𝑥

45. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Página 45
Luego tenemos que:
𝑒−
1
2
𝑥
𝑆𝑒𝑛
3
2
𝑥 𝑑𝑥
𝑡
0
3
4
2
3
𝑒−
1
2
𝑥
𝐶𝑜𝑠
3
2
𝑥 −
2
3
𝑒−
1
2
𝑥
𝑆𝑒𝑛
3
2
𝑥
0
𝑡
3
4
2
3
𝑒−
1
2
𝑡
𝐶𝑜𝑠
3
2
𝑡 −
2
3
𝑒−
1
2
𝑡
𝑆𝑒𝑛
3
2
𝑡 −
2
3
𝑒−
1
2
0
𝐶𝑜𝑠
3
2
0 +
2
3
𝑒−
1
2
0
𝑆𝑒𝑛
3
2
0
3
4
2
3
𝑒−
1
2
𝑡
𝐶𝑜𝑠
3
2
𝑡 −
2
3
𝑒−
1
2
𝑡
𝑆𝑒𝑛
3
2
𝑡 −
2
3
Entonces:
𝑦 𝑡 =
2
3
3
4
𝑒 𝑡
2
3
𝑒−
1
2
𝑡
𝐶𝑜𝑠
3
2
𝑡 −
2
3
𝑒−
1
2
𝑡
𝑆𝑒𝑛
3
2
𝑡 −
2
3
𝒚 𝒕 =
𝟑
𝟐 𝟑
𝒆𝒕
𝟐
𝟑
𝒆−
𝟏
𝟐
𝒕
𝑪𝒐𝒔
𝟑
𝟐
𝒕 −
𝟐
𝟑
𝒆−
𝟏
𝟐
𝒕
𝑺𝒆𝒏
𝟑
𝟐
𝒕 −
𝟐
𝟑

46. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Página 46
SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
𝒙 𝟏
′
= 𝟑𝒙 𝟏 − 𝒙 𝟐
𝒙 𝟐
′
= 𝟒𝒙 𝟏 + 𝟑𝒙 𝟐
Derivando la primera ecuación:
𝑥1
′′
= 3𝑥′
1 − 𝑥′
2 3
(2) en (3)
𝑥1
′′
= 3𝑥′
1 − (4𝑥1 + 3𝑥2)
𝑥1
′′
= 3𝑥′
1 − 4𝑥1 − 3𝑥2 4
(1) en (4)
𝑥1
′′
= 3𝑥′
1 − 4𝑥1 − 3(3𝑥1 − 𝑥1
′
)
𝑥1
′′
= 3𝑥′
1 − 4𝑥1 − 9𝑥1 + 3𝑥1
′
𝑥1
′′
− 6𝑥1
′
+ 13𝑥1 = 0
Entonces:
𝑥1 = 𝑒 𝑟𝑡
𝑥′
1 = 𝑟𝑒 𝑟𝑡
𝑥′′1 = 𝑟2 𝑒 𝑟𝑡
Reemplazando:
𝑟2 𝑒 𝑟𝑡 − 6𝑟𝑒 𝑟𝑡 + 13𝑒 𝑟𝑡 = 0
𝑒 𝑟𝑡
𝑟2
− 6𝑟 + 13 = 0 ⇒ 𝑟2
− 6𝑟 + 13 = 0
𝑟1,2 =
6 ± 36 − 4 1 13
2
= 3 ± 2𝑖
Entonces:
𝒙 𝟏 = 𝒆 𝟑𝒕
𝑪 𝟏 𝑪𝒐𝒔 𝟐𝒕 + 𝑪 𝟐 𝑺𝒆𝒏 𝟐𝒕
Pero:
𝑥2 = 3𝑥1 − 𝑥1
′
𝒙 𝟐 = 𝟑𝒆 𝟑𝒕
𝑪 𝟏 𝑪𝒐𝒔 𝟐𝒕 + 𝑪 𝟐 𝑺𝒆𝒏 𝟐𝒕 − 𝟑𝒆 𝟑𝒕
𝑪 𝟏 𝑪𝒐𝒔 𝟐𝒕 + 𝑪 𝟐 𝑺𝒆𝒏 𝟐𝒕 − 𝒆 𝟑𝒕
𝟐𝑪 𝟐 𝑪𝒐𝒔 𝟐𝒕 − 𝟐𝑪 𝟏 𝑺𝒆𝒏 𝟐𝒕

47. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Página 47
OPERADORES DIFERENCIALES
𝟏)
𝒙 𝟏
′
= 𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐
𝒙 𝟐
′
= 𝟒𝒙 𝟏 − 𝟐𝒙 𝟐
𝑥1
′
= 𝐷𝑥1 ; 𝑥1
′′
= 𝐷2
𝑥1
Entonces:
𝐷𝑥1 = 𝑥1 + 𝑥2 ; 𝐷𝑥2 = 4𝑥1 − 2𝑥2
Luego:
𝐷 − 1 𝑥1 − 𝑥2 = 0 1
−4𝑥1 + 𝐷 + 2 𝑥2 = 0 2
Multiplicando por 4 a (1) y por (D+2) a (2), y luego sumamos (1)+(2):
−4𝑥2 + 𝐷 − 1 𝐷 + 2 𝑥2 = 0
−4𝑥2 + 𝐷2
− 3𝐷 + 2 𝑥2 = 0
−4𝑥2 + 𝑥′′
2 − 3𝑥′
2 + 2𝑥2 = 0
𝑥′′
2 − 3𝑥′
2 − 2𝑥2 = 0
Entonces:
𝑥2 = 𝑒 𝑟𝑡
𝑥′
2 = 𝑟𝑒 𝑟𝑡
𝑥′′2 = 𝑟2
𝑒 𝑟𝑡
Reemplazando:
𝑟2
𝑒 𝑟𝑡
− 3𝑟𝑒 𝑟𝑡
− 2𝑒 𝑟𝑡
= 0
𝑒 𝑟𝑡 𝑟2 − 3𝑟 − 2 = 0 ⇒ 𝑟2 − 3𝑟 − 2 = 0
𝑟1,2 =
3 ± 9 − 4 1 −2
2
=
3 ± 17
2
Entonces:
𝒙 𝟐 = 𝑪 𝟏 𝒆
𝟑+ 𝟏𝟕
𝟐
𝒙
+ 𝑪 𝟐 𝒆
𝟑− 𝟏𝟕
𝟐
𝒙
Pero:
𝑥1 =
1
4
𝑥2
′
+ 2𝑥2
𝒙 𝟏 =
𝟏
𝟒
𝟑 + 𝟏𝟕
𝟐
𝑪 𝟏 𝒆
𝟑+ 𝟏𝟕
𝟐
𝒙
+
𝟑 − 𝟏𝟕
𝟐
𝑪 𝟐 𝒆
𝟑− 𝟏𝟕
𝟐
𝒙
+ 𝟐 𝑪 𝟏 𝒆
𝟑+ 𝟏𝟕
𝟐
𝒙
+ 𝑪 𝟐 𝒆
𝟑− 𝟏𝟕
𝟐
𝒙

48. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Página 48
𝟐)
𝒙′
= 𝟐𝒙 − 𝟑𝒚 + 𝟐 𝑺𝒆𝒏(𝟐𝒕)
𝒚′
= 𝒙 − 𝟐𝒚 − 𝑪𝒐𝒔 𝟐𝒕
𝐷𝑥 = 2𝑥 − 3𝑦 + 2 𝑆𝑒𝑛 2𝑡
𝐷𝑦 = 𝑥 − 2𝑦 − 𝐶𝑜𝑠 2𝑡
Luego:
𝐷 − 2 𝑥 + 3𝑦 = 2 𝑆𝑒𝑛 2𝑡 (1)
𝑥 − 𝐷 − 2 𝑦 + 3𝑦 = 𝐶𝑜𝑠 2𝑡 2
Multiplicando por –(D+2) a (2), y luego sumamos (1)+(2):
3𝑦 + 𝐷 − 2 𝐷 + 2 𝑦 = 2 𝑆𝑒𝑛 2𝑡 + 𝐶𝑜𝑠 2𝑡
3𝑦 + 𝐷2
− 4 𝑦 = 2 𝑆𝑒𝑛 2𝑡 + 2 𝑆𝑒𝑛 2𝑡 + 2 𝐶𝑜𝑠(2𝑡)
Entonces:
𝑦′′
− 𝑦 = 4 𝑆𝑒𝑛 2𝑡 + 2 𝐶𝑜𝑠 2𝑡
Encontrando la solución complementaria:
𝑦′′
− 𝑦 = 0
Luego:
𝑦 = 𝑒 𝑟𝑡
𝑦′ = 𝑟𝑒 𝑟𝑡
𝑦′′ = 𝑟2
𝑒 𝑟𝑡
Reemplazando:
𝑟2
𝑒 𝑟𝑡
− 𝑒 𝑟𝑡
= 0 ⇒ 𝑒 𝑟𝑡
𝑟2
− 1 = 0
𝑟1,2 = ±1
Entonces:
𝑦𝑐 = 𝐶1 𝑒 𝑡
+ 𝐶2 𝑒−𝑡
∴ 𝐶. 𝐹. 𝑆 = 𝑒 𝑡
, 𝑒−𝑡
Encontrando la solución particular:
𝑦𝑝 = 𝐴 𝐶𝑜𝑠 2𝑡 + 𝐵 𝑆𝑒𝑛 2𝑡
𝑦′
𝑝
= −2𝐴 𝑆𝑒𝑛 2𝑡 + 2𝐵 𝐶𝑜𝑠 2𝑡
𝑦′′ 𝑝 = −4𝐴 𝐶𝑜𝑠 2𝑡 − 4𝐵 𝑆𝑒𝑛 2𝑡

49. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Página 49
Reemplazando:
−4𝐴 𝐶𝑜𝑠 2𝑡 − 4𝐵 𝑆𝑒𝑛 2𝑡 − 𝐴 𝐶𝑜𝑠 2𝑡 − 𝐵 𝑆𝑒𝑛 2𝑡 = 4 𝑆𝑒𝑛 2𝑡 + 2 𝐶𝑜𝑠 2𝑡
−5𝐴 𝐶𝑜𝑠 2𝑡 − 5𝐵 𝑆𝑒𝑛 2𝑡 = 4 𝑆𝑒𝑛 2𝑡 + 2 𝐶𝑜𝑠 2𝑡
−5𝐴 = 2 ⇒ 𝐴 = −2/5
−5𝐵 = 4 ⇒ 𝐵 = −4/5
𝑦𝑝 = −
2
5
𝐶𝑜𝑠 2𝑡 −
4
5
𝑆𝑒𝑛 2𝑡
Entonces:
𝒚 𝒕 = 𝑪 𝟏 𝒆𝒕
+ 𝑪 𝟐 𝒆−𝒕
−
𝟐
𝟓
𝑪𝒐𝒔 𝟐𝒕 −
𝟒
𝟓
𝑺𝒆𝒏 𝟐𝒕
Pero:
𝑥 𝑡 = 𝑦′
+ 2𝑦 + 𝐶𝑜𝑠 2𝑡
𝑥 𝑡 = 𝐶1 𝑒 𝑡
− 𝐶2 𝑒−𝑡
+
4
5
𝑆𝑒𝑛 2𝑡 −
8
5
𝐶𝑜𝑠 2𝑡 + 2 𝐶1 𝑒 𝑡
+ 𝐶2 𝑒−𝑡
−
2
5
𝐶𝑜𝑠 2𝑡 −
4
5
𝑆𝑒𝑛 2𝑡 + 𝐶𝑜𝑠 2𝑡
𝑥 𝑡 = 𝐶1 𝑒 𝑡
− 𝐶2 𝑒−𝑡
+
4
5
𝑆𝑒𝑛 2𝑡 −
8
5
𝐶𝑜𝑠 2𝑡 + 2𝐶1 𝑒 𝑡
+ 2𝐶2 𝑒−𝑡
−
4
5
𝐶𝑜𝑠 2𝑡 −
8
5
𝑆𝑒𝑛 2𝑡 + 𝐶𝑜𝑠 2𝑡
𝒙 𝒕 = 𝟑𝑪 𝟏 𝒆𝒕
+ 𝑪 𝟐 𝒆−𝒕
−
𝟒
𝟓
𝑺𝒆𝒏 𝟐𝒕 −
𝟏𝟏
𝟓
𝑪𝒐𝒔 𝟐𝒕

50. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Página 50
VALORES Y VECTORES PROPIOS
𝟏) 𝑿′
=
𝟎 𝟏 𝟏
𝟏 𝟎 𝟏
𝟏 𝟏 𝟎
𝑿
𝑑𝑒𝑡 𝐴 − 𝜆𝐼 = 0
0 − 𝜆 1 1
1 0 − 𝜆 1
1 1 0 − 𝜆
= 0 ⇒
−𝜆 1 1
1 −𝜆 1
1 1 −𝜆
= 0
−𝜆
−𝜆 1
1 −𝜆
− 1
1 1
1 −𝜆
+ 1
1 −𝜆
1 1
= 0
−𝜆 𝜆2
− 1 − (−𝜆 − 1) + 1 + 𝜆 = 0
−𝜆 𝜆 − 1 (𝜆 + 1) + (𝜆 + 1) + 𝜆 + 1 = 0
𝜆 + 1 −𝜆 𝜆 − 1 + 𝜆 + 1 = 0
− 𝜆 + 1 𝜆2
− 𝜆 − 2 = 0
− 𝜆 + 1 𝜆 + 1 𝜆 − 2 = 0 ⇒ 𝜆1 = −1 ; 𝜆2 = −1 ; 𝜆3 = 2
Entonces:
Para 𝜆1 = −1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
0
0
0
∼
1 1 1
0 0 0
0 0 0
0
0
0
⇒ 𝑎 = −𝑏 − 𝑐
𝜀𝜆=−1 =
𝑎
𝑏
𝑐
𝑎 = −𝑏 − 𝑐 ⇒ 𝛽𝜀 𝜆=−1
=
−1
1
0
,
−1
0
1
Para 𝜆3 = 2
−2 1 1
1 −2 1
1 1 −2
0
0
0
∼
−2 1 1
0 −3 3
0 3 −3
0
0
0
~
−2 1 1
0 −1 1
0 0 0
0
0
0
⇒
−2𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 0 → 𝑎 = 𝑐
𝑏 = 𝑐
𝜀𝜆=2 =
𝑎
𝑏
𝑐
𝑏 = 𝑐 ; 𝑎 = 𝑐 ; 𝑐 𝜖 ℝ ⇒ 𝛽𝜀 𝜆=2
=
1
1
1
Finalmente:
𝒙 = 𝑪 𝟏
−𝟏
𝟏
𝟎
𝒆−𝒕 + 𝑪 𝟐
−𝟏
𝟎
𝟏
𝒆−𝒕 + 𝑪 𝟑
𝟏
𝟏
𝟏
𝒆−𝟐𝒕

51. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Página 51
𝟐) 𝑿′
=
𝟏 𝟎 𝟎
𝟐 𝟏 −𝟐
𝟑 𝟐 𝟏
𝑿 ; 𝒙 𝟎 =
𝟏
−𝟏
𝟎
𝑑𝑒𝑡 𝐴 − 𝜆𝐼 = 0
1 − 𝜆 0 0
2 1 − 𝜆 −2
3 2 1 − 𝜆
= 0
(1 − 𝜆)
1 − 𝜆 −2
2 1 − 𝜆
= 0
1 − 𝜆 1 − 𝜆 2
+ 4 = 0
1 − 𝜆 1 − 2𝜆 + 𝜆2
+ 4 = 0
1 − 𝜆 𝜆2 − 2𝜆 + 5 = 0
𝜆1 = 1 ; 𝜆2,3 =
2 ± 4 − 4 2 (5)
2
=
2 ± 4𝑖
2
= 1 ± 2𝑖
Entonces:
Para 𝜆1 = 1
0 0 0
2 0 −2
3 2 0
0
0
0
⇒
2𝑎 − 2𝑐 = 0 ⇒ 𝑎 = 𝑐
3𝑎 + 2𝑏 = 0 ⇒ 𝑏 = −
3
2
𝑎
𝜀𝜆=−1 =
𝑎
𝑏
𝑐
𝑎 = 𝑐 ; 𝑏 = −
3
2
𝑎 ; 𝑎 𝜖 ℝ ⇒ 𝛽𝜀 𝜆=−1
=
2
−3
2
Para 𝜆2 = 1 + 2𝑖
−2𝑖 0 0
2 −2𝑖 −2
3 2 −2𝑖
0
0
0
∼
−2𝑖 0 0
2 −2𝑖 −2
0 0 0
0
0
0
⇒
−2𝑖𝑎 = 0 ⇒ 𝑎 = 0
2𝑎 − 2𝑖𝑏 − 2𝑐 = 0 ⇒ 𝑐 = −𝑖𝑏
𝜀𝜆=1+2𝑖 =
𝑎
𝑏
𝑐
𝑎 = 0 ; 𝑐 = −𝑖𝑏 ; 𝑏 𝜖 ℝ ⇒ 𝛽𝜀 𝜆=1+2𝑖
=
0
1
−𝑖
Para 𝜆3 = 1 − 2𝑖
Es la conjugada de la segunda base, entonces:
𝛽𝜀 𝜆=1−2𝑖
=
0
1
𝑖

52. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Página 52
Entonces:
𝑥 = 𝐶1
2
−3
2
𝑒 𝑡 + 𝐶2
0
1
−𝑖
𝑒 1+2𝑖 𝑡 + 𝐶3
0
1
𝑖
𝑒 1−2𝑖 𝑡
𝑥 = 𝐶1
2
−3
2
𝑒 𝑡
+ 𝑒 𝑡
𝐶2
0
1
−𝑖
𝑒2𝑖𝑡
+ 𝐶3
0
1
𝑖
𝑒−2𝑖𝑡
𝑥 = 𝐶1
2
−3
2
𝑒 𝑡
+ 𝑒 𝑡
𝐶2
0
1
0
+ 𝑖
0
0
−1
𝐶𝑜𝑠 2𝑡 + 𝑖 𝑆𝑒𝑛 2𝑡 + 𝐶3
0
1
0
+ 𝑖
0
0
1
𝐶𝑜𝑠 2𝑡 − 𝑖 𝑆𝑒𝑛 2𝑡
Ahora, solo desarrollemos:
𝑥 = 𝐶1
2
−3
2
𝑒 𝑡
+ 𝑒 𝑡
𝐶2
0
1
0
+ 𝑖
0
0
−1
𝐶𝑜𝑠 2𝑡 + 𝑖 𝑆𝑒𝑛 2𝑡
𝑥 = 𝐶1
2
−3
2
𝑒 𝑡
+ 𝑒 𝑡
𝐶2
0
1
0
𝐶𝑜𝑠 2𝑡 + 𝐶2 𝑖
0
1
0
𝑆𝑒𝑛 2𝑡 + 𝐶2 𝑖
0
0
−1
𝐶𝑜𝑠 2𝑡 + 𝐶2 𝑖2
0
0
−1
𝑆𝑒𝑛 2𝑡
𝑥 = 𝐶1
2
−3
2
𝑒 𝑡
+ 𝑒 𝑡
𝐶2
0
1
0
𝐶𝑜𝑠 2𝑡 −
0
0
−1
𝑆𝑒𝑛 2𝑡 + 𝐶2 𝑖
0
1
0
𝑆𝑒𝑛 2𝑡 +
0
0
−1
𝐶𝑜𝑠 2𝑡
𝑥 = 𝐶1
2
−3
2
𝑒 𝑡
+ 𝑒 𝑡
𝐶2
0
1
0
𝐶𝑜𝑠 2𝑡 +
0
0
1
𝑆𝑒𝑛 2𝑡 + 𝐶3
0
1
0
𝑆𝑒𝑛 2𝑡 −
0
0
1
𝐶𝑜𝑠 2𝑡
𝑥 = 𝐶1
2
−3
2
𝑒 𝑡 + 𝑒 𝑡 𝐶2
0
1
0
𝐶𝑜𝑠 2𝑡 +
0
0
1
𝑆𝑒𝑛 2𝑡 + 𝐶3
0
1
0
𝑆𝑒𝑛 2𝑡 −
0
0
1
𝐶𝑜𝑠 2𝑡
Sabemos que 𝑥 0 =
1
−1
0
1
−1
0
= 𝐶1
2
−3
2
+ 𝐶2
0
1
0
− 𝐶3
0
0
1
1
−1
0
=
2𝐶1
−3𝐶1 + 𝐶2
2𝐶1 − 𝐶3
Resolviendo el sistema:
𝐶1 =
1
2
; 𝐶2 =
1
2
; 𝐶3 = 1
Finalmente:
𝒙 =
𝟏
𝟐
𝟐
−𝟑
𝟐
𝒆𝒕
+ 𝒆𝒕
𝟏
𝟐
𝟎
𝟏
𝟎
𝑪𝒐𝒔 𝟐𝒕 +
𝟎
𝟎
𝟏
𝑺𝒆𝒏 𝟐𝒕 +
𝟎
𝟏
𝟎
𝑺𝒆𝒏 𝟐𝒕 −
𝟎
𝟎
𝟏
𝑪𝒐𝒔 𝟐𝒕

53. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Página 53
𝟑) 𝑿′
=
𝟐 𝟏 𝟔
𝟎 𝟐 𝟓
𝟎 𝟎 𝟐
𝑿
𝑑𝑒𝑡 𝐴 − 𝜆𝐼 = 0
2 − 𝜆 1 6
0 2 − 𝜆 5
0 0 2 − 𝜆
= 0
(2 − 𝜆)
2 − 𝜆 5
0 2 − 𝜆
= 0
2 − 𝜆 2 − 𝜆 2 − 𝜆 = 0
2 − 𝜆 3
= 0
Cuando una matriz A solo tiene un vector propio asociado con un valor 𝜆1 de multiplicidad m, se puede determinar las
soluciones de la siguiente forma:
𝑥 𝑚 = 𝐾 𝑚1
𝑡 𝑚−1
𝑚 − 1 !
𝑒 𝜆1 𝑡
+ 𝐾 𝑚2
𝑡 𝑚−2
𝑚 − 2 !
𝑒 𝜆1 𝑡
+ … … … + 𝐾 𝑚𝑚 𝑒 𝜆1 𝑡
En que 𝐾𝑖𝑗 son vectores columnas
Para nuestro caso la tercera solución se la determina de la siguiente manera:
𝑥3 = 𝐾
𝑡2
2
𝑒 𝜆1 𝑡
+ 𝑃 𝑡𝑒 𝜆1 𝑡
+ 𝑄 𝑒 𝜆1 𝑡
En donde:
𝐾 =
𝑘1
𝑘2
⋮
𝑘 𝑛
, 𝑃 =
𝑝1
𝑝2
⋮
𝑝 𝑛
, 𝑄 =
𝑞1
𝑞2
⋮
𝑞 𝑛
Al sustituir en el sistema X’ = AX , los vectores columnas K, P, Q deben cumplir con:
𝐴 − 𝜆1 𝐼 𝐾 = 0
𝐴 − 𝜆1 𝐼 𝑃 = 𝐾
𝐴 − 𝜆1 𝐼 𝑄 = 𝑃
La ecuación característica 2 − 𝜆 3
= 0 indica que 𝜆1 = 2 es un valor de multiplicidad tres y al resolver tenemos:
Para 𝜆1 = 2
0 1 6
0 0 5
0 0 0
0
0
0
⇒
𝑏 + 6𝑐 = 0 ⇒ 𝑏 = 0
5𝑐 = 0 ⇒ 𝑐 = 0
𝜀𝜆=2 =
𝑎
𝑏
𝑐
𝑏 = 0 ; 𝑐 = 0 ; 𝑎 𝜖 ℝ ⇒ 𝛽𝜀 𝜆=2
=
1
0
0

54. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Página 54
Entonces:
𝐾 =
1
0
0
Luego resolvemos los sistemas:
1er sistema
𝐴 − 𝜆1 𝐼 𝑃 = 𝐾
2 1 6
0 2 5
0 0 2
− 2
1 0 0
0 1 0
0 0 1
𝑝1
𝑝2
𝑝3
=
1
0
0
0 1 6
0 0 5
0 0 0
𝑝1
𝑝2
𝑝3
=
1
0
0
⇒
𝑝2 + 6𝑝3
5𝑝3
0
=
1
0
0
⇒
𝑝2 + 6𝑝3 = 1
5𝑝3 = 0
0 = 0
Resolviendo tenemos que:
𝑃 =
𝑝1
𝑝2
𝑝3
⇒ 𝑃 =
0
1
0
2do sistema
𝐴 − 𝜆1 𝐼 𝑄 = 𝑃
2 1 6
0 2 5
0 0 2
− 2
1 0 0
0 1 0
0 0 1
𝑞1
𝑞2
𝑞3
=
0
1
0
0 1 6
0 0 5
0 0 0
𝑞1
𝑞2
𝑞3
=
0
1
0
⇒
𝑞2 + 6𝑞3
5𝑞3
0
=
0
1
0
⇒
𝑞2 + 6𝑞3 = 0
5𝑞3 = 1
0 = 0
Resolviendo tenemos que:
𝑄 =
𝑞1
𝑞2
𝑞3
⇒ 𝑄 =
0
−6/5
1/5
Finalmente las soluciones del sistema de ecuaciones diferenciales es:
𝑥 = 𝐶1 𝐾𝑒2𝑡
+ 𝐶2 𝐾 𝑡𝑒2𝑡
+ 𝑃 𝑒2𝑡
+ 𝐶3 𝐾
𝑡2
2
𝑒2𝑡
+ 𝑃 𝑡𝑒2𝑡
+ 𝑄 𝑒2𝑡
𝒙 = 𝑪 𝟏
𝟏
𝟎
𝟎
𝒆 𝟐𝒕
+ 𝑪 𝟐
𝟏
𝟎
𝟎
𝒕𝒆 𝟐𝒕
+
𝟎
𝟏
𝟎
𝒆 𝟐𝒕
+ 𝑪 𝟑
𝟏
𝟎
𝟎
𝒕 𝟐
𝟐
𝒆 𝟐𝒕
+
𝟎
𝟏
𝟎
𝒕𝒆 𝟐𝒕
+
𝟎
−𝟔/𝟓
𝟏/𝟓
𝒆 𝟐𝒕

55. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Página 55
RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES UTILIZANDO
TRANSFORMADA DE LAPLACE
𝟏)
𝒙′
+ 𝟐𝒙 + 𝟔 𝒚 𝒖 𝒅𝒖
𝒕
𝟎
= −𝟐
𝒙′
+ 𝒚′
+ 𝒚 = 𝟎
𝒙 𝟎 = −𝟓 ; 𝒚 𝟎 = 𝟔
Aplicando transformada de Laplace a cada ecuación:
ℒ 𝑥′ + 2ℒ 𝑥 + 6ℒ 𝑦 𝑢 𝑑𝑢
𝑡
0
= −2ℒ 1
ℒ 𝑥′ + ℒ 𝑦′ + ℒ 𝑦 = 0
𝑠𝑋 − 𝑥 0 + 2𝑋 + 6
𝑌
𝑠
= −
2
𝑠
⇒ 𝑠𝑋 + 5 + 2𝑋 + 6
𝑌
𝑠
= −
2
𝑠
𝑠𝑋 − 𝑥 0 + 𝑠𝑌 − 𝑦 0 + 𝑌 = 0 ⇒ 𝑠𝑋 + 5 + 𝑠𝑌 − 6 + 𝑌 = 0
𝑠2
𝑋 + 5𝑠 + 2𝑠𝑋 + 6𝑌 = −2 ⇒ 𝑠 𝑠 + 2 𝑋 + 6𝑌 = −2 − 5𝑠
𝑠 + 1 𝑌 + 𝑠𝑋 = 1
𝑠 𝑠 + 2 𝑠 + 1 𝑋 + 6 𝑠 + 1 𝑌 = −(5𝑠 + 2) 𝑠 + 1
−6 𝑠 + 1 𝑌 − 6𝑠𝑋 = −6
Sumando las dos ecuaciones tenemos:
𝑠 𝑠 + 2 𝑠 + 1 𝑋 − 6𝑠𝑋 = − 5𝑠 + 2 𝑠 + 1 − 6
𝑋𝑠 𝑠2 + 3𝑠 + 2 − 6 = − 5𝑠 + 2 𝑠 + 1 − 6
𝑋 = −
5𝑠2
+ 7𝑠 + 2
𝑠 𝑠 + 4 𝑠 − 1
−
6
𝑠 𝑠 + 4 𝑠 − 1
Descomponiendo en fracciones parciales:
5𝑠2
+ 7𝑠 + 2
𝑠 𝑠 + 4 𝑠 − 1
=
𝐴
𝑠
+
𝐵
𝑠 + 4
+
𝐶
𝑠 − 1
5𝑠2
+ 7𝑠 + 2 = 𝐴 𝑠 + 4 𝑠 − 1 + 𝐵𝑠 𝑠 − 1 + 𝐶𝑠(𝑠 + 4)
5𝑠2
+ 7𝑠 + 2 = 𝐴𝑠2
+ 3𝐴𝑠 − 4𝐴 + 𝐵𝑠2
− 𝐵𝑠 + 𝐶𝑠2
+ 4𝐶𝑠
5𝑠2
+ 7𝑠 + 2 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 𝑠2
+ 3𝐴 − 𝐵 + 4𝐶 𝑠 − 4𝐴

56. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Página 56
5 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶
7 = 3𝐴 − 𝐵 + 4𝐶
2 = −4𝐴
Resolviendo el sistema A = -1/2 , B = 27/10 , C = 14/5
Ahora:
6
𝑠 𝑠 + 4 𝑠 − 1
=
𝐴′
𝑠
+
𝐵′
𝑠 + 4
+
𝐶′
𝑠 − 1
6 = 𝐴′ + 𝐵′ + 𝐶′ 𝑠2 + 3𝐴′ − 𝐵′ + 4𝐶′ 𝑠 − 4𝐴′
0 = 𝐴′ + 𝐵′ + 𝐶′
0 = 3𝐴′ − 𝐵′ + 4𝐶′
6 = −4𝐴′
Resolviendo el sistema A’ = -3/2 , B’ = 3/10 , C’ = 6/5
Entonces:
ℒ−1
𝑋 = −ℒ−1
𝐴
𝑠
+
𝐵
𝑠 + 4
+
𝐶
𝑠 − 1
− ℒ−1
𝐴′
𝑠
+
𝐵′
𝑠 + 4
+
𝐶′
𝑠 − 1
𝑥 𝑡 = − 𝐴 + 𝐵𝑒−4𝑡
+ 𝐶𝑒 𝑡
− 𝐴′
+ 𝐵′
𝑒−4𝑡
+ 𝐶′𝑒 𝑡
𝑥 𝑡 = − −
1
2
+
27
10
𝑒−4𝑡
+
14
5
𝑒 𝑡
− −
3
2
+
3
10
𝑒−4𝑡
+
6
5
𝑒 𝑡
𝑥 𝑡 = −2 − 3𝑒−4𝑡
− 4𝑒 𝑡
Encontrando la segunda solución:
𝑠 + 1 𝑌 + 𝑠𝑋 = 1
𝑌 =
1 − 𝑠𝑋
𝑠 + 1
𝑌 =
1
𝑠 + 1
−
𝑠
𝑠 + 1
−
5𝑠2
+ 7𝑠 + 2
𝑠 𝑠 + 4 𝑠 − 1
−
6
𝑠 𝑠 + 4 𝑠 − 1
𝑌 =
1
𝑠 + 1
+
5𝑠2
+ 7𝑠 + 2
𝑠 + 4 𝑠 − 1 𝑠 + 1
+
6
𝑠 + 4 𝑠 − 1 𝑠 + 1

57. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Página 57
Descomponiendo en fracciones parciales:
5𝑠2
+ 7𝑠 + 2
𝑠 + 4 𝑠 − 1 𝑠 + 1
=
𝐴
𝑠 + 4
+
𝐵
𝑠 − 1
+
𝐶
𝑠 + 1
5𝑠2
+ 7𝑠 + 2 = 𝐴 𝑠 − 1 𝑠 + 1 + 𝐵 𝑠 + 4 𝑠 + 1 + 𝐶 𝑠 + 4 𝑠 − 1
5𝑠2
+ 7𝑠 + 2 = 𝐴𝑠2
− 𝐴 + 𝐵𝑠2
+ 5𝐵𝑠 + 4𝐵 + 𝐶𝑠2
+ 3𝐶𝑠 − 4𝐶
5𝑠2
+ 7𝑠 + 2 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 𝑠2
+ 5𝐵 + 3𝐶 𝑠 + 4𝐵 − 𝐴 − 4𝐶
5 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶
7 = 5𝐵 + 3𝐶
2 = 4𝐵 − 𝐴 − 4𝐶
Resolviendo el sistema A = 18/5 , B = 7/5 , C = 0
6
𝑠 + 4 𝑠 − 1 𝑠 + 1
=
𝐴′
𝑠 + 4
+
𝐵′
𝑠 − 1
+
𝐶′
𝑠 + 1
6 = 𝐴′ + 𝐵′ + 𝐶′ 𝑠2
+ 5𝐵′ + 3𝐶′ 𝑠 + 4𝐵′ − 𝐴′ − 4𝐶′
0 = 𝐴′ + 𝐵′ + 𝐶′
0 = 5𝐵′ + 3𝐶′
6 = 4𝐵′ − 𝐴′ − 4𝐶′
Resolviendo el sistema A’ = 6/15 , B’ = 3/5 , C’ = -1
Entonces:
ℒ−1
𝑌 = ℒ−1
1
𝑠 + 1
+
𝐴
𝑠 + 4
+
𝐵
𝑠 − 1
+
𝐶
𝑠 + 1
+
𝐴′
𝑠 + 4
+
𝐵′
𝑠 − 1
+
𝐶′
𝑠 + 1
𝑦 𝑡 = 𝑒−𝑡 + 𝐴𝑒−4𝑡 + 𝐵𝑒 𝑡 + 𝐶𝑒−𝑡 + 𝐴′ 𝑒−4𝑡 + 𝐵′ 𝑒 𝑡 + 𝐶′ 𝑒−𝑡
𝑦 𝑡 = 𝑒−𝑡
+
18
5
𝑒−4𝑡
+
7
5
𝑒 𝑡
+
6
5
𝑒−4𝑡
+
3
5
𝑒 𝑡
− 𝑒−𝑡
Finalmente:
𝒙 𝒕 = −𝟐 − 𝟑𝒆−𝟒𝒕
− 𝟒𝒆𝒕
𝒚 𝒕 = 𝒆−𝒕
+
𝟐𝟒
𝟓
𝒆−𝟒𝒕
+ 𝟐𝒆𝒕
+
𝟑
𝟓
𝒆𝒕
− 𝒆−𝒕

58. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Página 58
𝟐)
𝒙′
− 𝒚 =
𝟎 , 𝟎 < 𝑡 < 2
𝟏 , 𝟐 < 𝑡 < 3
𝟎 , 𝒕 ≥ 𝟑
𝒚′
− 𝒙 = 𝟏
𝒙 𝟏 = 𝒚 𝟏 = 𝟏
𝑥′
− 𝑦 = 𝓊 𝑡 − 2 − 𝓊 𝑡 − 3
𝑦′ − 𝑥 = 1
ℒ 𝑥′ − ℒ 𝑦 = ℒ 𝓊 𝑡 − 2 − ℒ 𝓊 𝑡 − 3
ℒ 𝑦′ − ℒ 𝑥 = ℒ 1
𝑠𝑋 − 𝑥(0) − 𝑌 = 𝑒−2𝑠 − 𝑒−3𝑠
𝑠𝑌 − 𝑦(0) − 𝑋 =
1
𝑠
No conocemos el valor de x(0) y de y(0), pero vamos a llamar x(0) = w y y(0) = z , entonces:
𝑠𝑋 − 𝑤 − 𝑌 = 𝑒−2𝑠
− 𝑒−3𝑠
𝑠2
𝑌 − 𝑧𝑠 − 𝑋𝑠 = 1
Entonces:
𝑋 =
𝑒−2𝑠
𝑠
−
𝑒−3𝑠
𝑠
+
𝑤
𝑠
+
𝑌
𝑠
𝑌 =
1
𝑠2
+
𝑧
𝑠
+
𝑋
𝑠
Reemplazando Y
𝑋 =
𝑒−2𝑠
𝑠
−
𝑒−3𝑠
𝑠
+
𝑤
𝑠
+
1
𝑠
1
𝑠2
+
𝑧
𝑠
+
𝑋
𝑠
𝑋 =
𝑒−2𝑠
𝑠
−
𝑒−3𝑠
𝑠
+
𝑤
𝑠
+
1
𝑠3
+
𝑧
𝑠2
+
𝑋
𝑠2
𝑋 1 −
1
𝑠2
=
𝑒−2𝑠
𝑠
−
𝑒−3𝑠
𝑠
+
𝑤
𝑠
+
1
𝑠3
+
𝑧
𝑠2
𝑋 =
𝑠
𝑠2 − 1
𝑒−2𝑠
−
𝑠
𝑠2 − 1
𝑒−3𝑠
+ 𝑤
𝑠
𝑠2 − 1
+
1
𝑠 𝑠2 − 1
+
𝑧
𝑠2 − 1
ℒ−1
𝑋 = ℒ−1
𝑠
𝑠2 − 1
𝑒−2𝑠
−
𝑠
𝑠2 − 1
𝑒−3𝑠
+ 𝑤
𝑠
𝑠2 − 1
+
1
𝑠 𝑠2 − 1
+
𝑧
𝑠2 − 1

59. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Página 59
Resolviendo cada transformada inversa:
∗ ℒ−1
𝑠
𝑠2 − 1
𝑒−2𝑠
= 𝓊 𝑡 − 2 𝐶𝑜𝑠𝑕 𝑡 − 2
∗ ℒ−1
𝑠
𝑠2 − 1
𝑒−3𝑠
= 𝓊 𝑡 − 3 𝐶𝑜𝑠𝑕 𝑡 − 3
∗ ℒ−1
𝑠
𝑠2 − 1
= 𝐶𝑜𝑠𝑕(𝑡)
∗ ℒ−1
1
𝑠 𝑠2 − 1
= ℒ−1
1
𝑠
∗
1
𝑠2 − 1
𝑆𝑒𝑛𝑕 𝑥 𝑑𝑥
𝑡
0
; 𝑃𝑒𝑟𝑜 𝑆𝑒𝑛𝑕 𝑥 =
𝑒 𝑥
− 𝑒−𝑥
2
𝑒 𝑥
− 𝑒−𝑥
2
𝑑𝑥
𝑡
0
=
1
2
𝑒 𝑥 + 𝑒−𝑥
0
𝑡
⇒
𝑒 𝑥
− 𝑒−𝑥
2
𝑑𝑥
𝑡
0
=
1
2
𝑒 𝑡 + 𝑒−𝑡 − 2
𝑒 𝑥
− 𝑒−𝑥
2
𝑑𝑥
𝑡
0
=
𝑒 𝑡
+ 𝑒−𝑡
2
− 1
ℒ−1
1
𝑠 𝑠2 − 1
=
𝑒 𝑡
+ 𝑒−𝑡
2
− 1
∗ ℒ−1
1
𝑠2 − 1
= 𝑆𝑒𝑛𝑕(𝑡)
Entonces:
𝑥 𝑡 = 𝓊 𝑡 − 2 𝐶𝑜𝑠𝑕 𝑡 − 2 − 𝓊 𝑡 − 3 𝐶𝑜𝑠𝑕 𝑡 − 3 + 𝑤 𝐶𝑜𝑠𝑕 𝑡 +
𝑒 𝑡
+ 𝑒−𝑡
2
− 1 + 𝑧 𝑆𝑒𝑛𝑕(𝑡)
Ahora:
𝑌 =
1
𝑠2 +
𝑧
𝑠
+
1
𝑠
𝑠
𝑠2 − 1
𝑒−2𝑠
−
𝑠
𝑠2 − 1
𝑒−3𝑠
+ 𝑤
𝑠
𝑠2 − 1
+
1
𝑠 𝑠2 − 1
+
𝑧
𝑠2 − 1
𝑌 =
1
𝑠2
+
𝑧
𝑠
+
1
𝑠2 − 1
𝑒−2𝑠
−
1
𝑠2 − 1
𝑒−3𝑠
+ 𝑤
1
𝑠2 − 1
+
1
𝑠2 𝑠2 − 1
+
𝑧
𝑠 𝑠2 − 1
Resolviendo cada transformada inversa:
∗ ℒ−1
1
𝑠2 = 𝑡
∗ ℒ−1
1
𝑠
= 1
∗ ℒ−1
1
𝑠2 − 1
𝑒−2𝑠
= 𝓊 𝑡 − 2 𝑆𝑒𝑛𝑕(𝑡 − 2)
∗ ℒ−1
1
𝑠2 − 1
𝑒−3𝑠 = 𝓊 𝑡 − 3 𝑆𝑒𝑛𝑕(𝑡 − 3)

60. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Página 60
∗ ℒ−1
1
𝑠2 − 1
= 𝑆𝑒𝑛𝑕(𝑡)
∗ ℒ−1
1
𝑠 𝑠2 − 1
=
𝑒 𝑡
+ 𝑒−𝑡
2
− 1
∗ ℒ−1
1
𝑠2 𝑠2 − 1
= ℒ−1
1
𝑠2
∗
1
𝑠2 − 1
𝑡 − 𝑥 𝑆𝑒𝑛𝑕(𝑥)𝑑𝑥
𝑡
0
= 𝑡 − 𝑥
𝑒 𝑥
− 𝑒−𝑥
2
𝑑𝑥
𝑡
0
𝑡
𝑒 𝑥
− 𝑒−𝑥
2
𝑑𝑥
𝑡
0
−
1
2
𝑥
𝑡
0
𝑒 𝑥
𝑑𝑥 − 𝑥 𝑒−𝑥
𝑑𝑥
𝑡
0
𝑡
2
𝑒 𝑥
+ 𝑒−𝑥
−
1
2
𝑒 𝑥
𝑥 − 1 + 𝑒−𝑥
𝑥 + 1
0
𝑡
Evaluando:
𝑡
2
𝑒 𝑡 + 𝑒−𝑡 −
1
2
𝑒 𝑡 𝑡 − 1 + 𝑒−𝑡 𝑡 + 1 − 𝑡 =
𝑡𝑒 𝑡
2
+
𝑡𝑒−𝑡
2
−
𝑡𝑒 𝑡
2
+
𝑒 𝑡
2
−
𝑡𝑒−𝑡
2
−
𝑒−𝑡
2
− 𝑡
ℒ−1
1
𝑠2 𝑠2 − 1
=
𝑒 𝑡
2
−
𝑒−𝑡
2
− 𝑡
Por lo tanto:
𝑥 𝑡 = 𝓊 𝑡 − 2 𝐶𝑜𝑠𝑕 𝑡 − 2 − 𝓊 𝑡 − 3 𝐶𝑜𝑠𝑕 𝑡 − 3 + 𝑤 𝐶𝑜𝑠𝑕 𝑡 +
𝑒 𝑡 + 𝑒−𝑡
2
− 1 + 𝑧 𝑆𝑒𝑛𝑕(𝑡)
𝑦 𝑡 = 𝑡 + 𝑧 + 𝓊 𝑡 − 2 𝑆𝑒𝑛𝑕 𝑡 − 2 − 𝓊 𝑡 − 3 𝑆𝑒𝑛𝑕 𝑡 − 3 + 𝑤 𝑆𝑒𝑛𝑕 𝑡 +
𝑒 𝑡
2
−
𝑒−𝑡
2
− 𝑡 + 𝑧
𝑒 𝑡
+ 𝑒−𝑡
2
− 1
Encontrando los valores de “w” y “z”
Sabemos que x(0) = w y y(0) = z
𝑥 0 = 𝓊 0 − 2 𝐶𝑜𝑠𝑕 0 − 2 − 𝓊 0 − 3 𝐶𝑜𝑠𝑕 0 − 3 + 𝑤 𝐶𝑜𝑠𝑕 0 +
𝑒0
+ 𝑒−0
2
− 1 + 𝑧 𝑆𝑒𝑛𝑕(0)
𝑤 = 𝓊 −2 𝐶𝑜𝑠𝑕 −2 − 𝓊 −3 𝐶𝑜𝑠𝑕 −3 + 𝑤
𝑒0
+ 𝑒−0
2
+
𝑒0
+ 𝑒−0
2
− 1 + 𝑧
𝑒0
− 𝑒−0
2
𝑤 = 0 − 0 +
𝑤
2
+
1
2
− 1 +
𝑧
2
3𝑤
2
=
𝑧
2
−
1
2
𝑤 =
1
3
(𝑧 − 1)

61. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Página 61
𝑦 0 = 0 + 𝑧 + 𝓊 0 − 2 𝑆𝑒𝑛𝑕 0 − 2 − 𝓊 0 − 3 𝑆𝑒𝑛𝑕 0 − 3 + 𝑤 𝑆𝑒𝑛𝑕 0 +
𝑒0
2
−
𝑒−0
2
− 0 + 𝑧
𝑒0
+ 𝑒−0
2
− 1
𝑧 = 𝑧 + 𝓊 −2 𝑆𝑒𝑛𝑕 −2 − 𝓊 −3 𝑆𝑒𝑛𝑕 −3 + 𝑤
𝑒0
− 𝑒−0
2
+
𝑒0
2
−
𝑒−0
2
+ 𝑧
𝑒0
+ 𝑒−0
2
− 1
𝑧 = 𝑧 + 0 − 0 +
𝑤
2
+
𝑧
2
− 𝑧
𝑧 =
𝑤
2
+
𝑧
2
𝑧
2
=
𝑤
2
⇒ 𝑧 = 𝑤
Reemplazando nos queda:
𝑤 =
1
3
𝑤 − 1 ⇒
2𝑤
3
= −
1
3
⇒ 𝑤 = −
1
2
𝑧 = −
1
2
Finalmente:
𝑥 𝑡 = 𝓊 𝑡 − 2 𝐶𝑜𝑠𝑕 𝑡 − 2 − 𝓊 𝑡 − 3 𝐶𝑜𝑠𝑕 𝑡 − 3 −
1
2
𝐶𝑜𝑠𝑕 𝑡 +
𝑒 𝑡
+ 𝑒−𝑡
2
− 1 −
1
2
𝑆𝑒𝑛𝑕(𝑡)
𝑦 𝑡 = 𝑡 −
1
2
+ 𝓊 𝑡 − 2 𝑆𝑒𝑛𝑕 𝑡 − 2 − 𝓊 𝑡 − 3 𝑆𝑒𝑛𝑕 𝑡 − 3 −
1
2
𝑆𝑒𝑛𝑕 𝑡 +
𝑒 𝑡
2
−
𝑒−𝑡
2
+
1
2
−
1
2
𝑒 𝑡
+ 𝑒−𝑡
2
− 1
𝑥 𝑡 = 𝓊 𝑡 − 2 𝐶𝑜𝑠𝑕 𝑡 − 2 − 𝓊 𝑡 − 3 𝐶𝑜𝑠𝑕 𝑡 − 3 −
1
2
𝐶𝑜𝑠𝑕 𝑡 + 𝐶𝑜𝑠𝑕 𝑡 − 1 −
1
2
𝑆𝑒𝑛𝑕(𝑡)
𝑦 𝑡 = 𝑡 −
1
2
+ 𝓊 𝑡 − 2 𝑆𝑒𝑛𝑕 𝑡 − 2 − 𝓊 𝑡 − 3 𝑆𝑒𝑛𝑕 𝑡 − 3 −
1
2
𝑆𝑒𝑛𝑕 𝑡 + 𝑆𝑒𝑛𝑕(𝑡) +
1
2
−
1
2
𝐶𝑜𝑠𝑕(𝑡) − 1
𝒙 𝒕 = 𝓾 𝒕 − 𝟐 𝑪𝒐𝒔𝒉 𝒕 − 𝟐 − 𝓾 𝒕 − 𝟑 𝑪𝒐𝒔𝒉 𝒕 − 𝟑 +
𝟏
𝟐
𝑪𝒐𝒔𝒉 𝒕 − 𝟏 −
𝟏
𝟐
𝑺𝒆𝒏𝒉(𝒕)
𝒚 𝒕 = 𝒕 + 𝓾 𝒕 − 𝟐 𝑺𝒆𝒏𝒉 𝒕 − 𝟐 − 𝓾 𝒕 − 𝟑 𝑺𝒆𝒏𝒉 𝒕 − 𝟑 +
𝟏
𝟐
𝑺𝒆𝒏𝒉 𝒕 −
𝟏
𝟐
𝑪𝒐𝒔𝒉(𝒕) − 𝟏

62. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Página 62
𝟑)
𝒙′
− 𝒚′
= 𝑺𝒆𝒏 𝒕 𝓾(𝒕 − 𝝅)
𝒙 + 𝒚′
= 𝟎
𝒙 𝟎 = 𝒚 𝟎 = 𝟏
𝑥′
− 𝑦′
= 𝑆𝑒𝑛 (𝑡 − 𝜋) + 𝜋 𝓊(𝑡 − 𝜋)
𝑥 + 𝑦′ = 0
𝑥′ − 𝑦′ = 𝑆𝑒𝑛 𝑡 − 𝜋 𝐶𝑜𝑠𝜋 + 𝐶𝑜𝑠(𝑡 − 𝜋)𝑆𝑒𝑛𝜋 𝓊(𝑡 − 𝜋)
𝑥 + 𝑦′ = 0
𝑥′
− 𝑦′
= −𝑆𝑒𝑛 𝑡 − 𝜋 𝓊 𝑡 − 𝜋
𝑥 + 𝑦′ = 0
ℒ 𝑥′ − ℒ 𝑦′ = −ℒ 𝑆𝑒𝑛 𝑡 − 𝜋 𝓊 𝑡 − 𝜋
ℒ 𝑥 + ℒ 𝑦′ = 0
𝑠𝑋 − 𝑥 0 − 𝑠𝑌 + 𝑦 0 = −𝑒−𝜋𝑠 1
𝑠2 + 1
𝑋 + 𝑠𝑌 − 𝑦 0 = 0
𝑠𝑋 − 𝑠𝑌 = −𝑒−𝜋𝑠 1
𝑠2 + 1
𝑋 + 𝑠𝑌 = 1
Usando la regla de Kramer tenemos:
𝑋 =
−𝑒−𝜋𝑠 1
𝑠2 + 1
−𝑠
1 𝑠
𝑠 −𝑠
1 𝑠
; 𝑌 =
𝑠 −𝑒−𝜋𝑠 1
𝑠2 + 1
1 1
𝑠 −𝑠
1 𝑠
𝑋 =
−𝑠𝑒−𝜋𝑠 1
𝑠2 + 1
+ 𝑠
𝑠2 + 𝑠
=
1
𝑠 + 1
−
1
𝑠2 + 1 𝑠 + 1
𝑒−𝜋𝑠
𝑌 =
𝑠 − 𝑒−𝜋𝑠 1
𝑠2 + 1
𝑠2 + 𝑠
=
1
𝑠 + 1
−
1
𝑠 𝑠2 + 1 𝑠 + 1
𝑒−𝜋𝑠
Encontrando la 1era solución
Aplicando transformada inversa:
ℒ−1
𝑋 = ℒ−1
1
𝑠 + 1
−
1
𝑠2 + 1 𝑠 + 1
𝑒−𝜋𝑠
ℒ−1
1
𝑠 + 1
= 𝑡𝑒−𝑡
ℒ−1
1
𝑠2 + 1 𝑠 + 1
𝑒−𝜋𝑠
; 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 ℒ−1
1
𝑠2 + 1
∗
1
𝑠 + 1
𝑆𝑒𝑛 𝑡 ∗𝑒−𝑡
𝑒− 𝑡−𝑥
𝑆𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥
𝑡
0
= 𝑒−𝑡
𝑒 𝑥
𝑆𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥
𝑡
0

63. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Página 63
Resolviendo la integral por partes tenemos:
𝑒 𝑥
𝑆𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑒 𝑥
𝐶𝑜𝑠 𝑥 + 𝑒 𝑥
𝐶𝑜𝑠(𝑥)𝑑𝑥
𝑒 𝑥 𝑆𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑒 𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝑥 + 𝑒 𝑥 𝑆𝑒𝑛 𝑥 − 𝑒 𝑥 𝑆𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥
𝑒 𝑥 𝑆𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 =
1
2
𝑒 𝑥 𝑆𝑒𝑛 𝑥 − 𝑒 𝑥 𝐶𝑜𝑠(𝑥)
Evaluando:
1
2
𝑒 𝑥
𝑆𝑒𝑛 𝑥 − 𝑒 𝑥
𝐶𝑜𝑠(𝑥)
0
𝑡
=
1
2
𝑒 𝑡
𝑆𝑒𝑛 𝑡 − 𝑒 𝑡
𝐶𝑜𝑠 𝑡 + 1
Entonces:
ℒ−1
1
𝑠2 + 1 𝑠 + 1
=
𝑒−𝑡
2
𝑒 𝑡
𝑆𝑒𝑛 𝑡 − 𝑒 𝑡
𝐶𝑜𝑠 𝑡 + 1 =
1
2
𝑆𝑒𝑛 𝑡 − 𝐶𝑜𝑠 𝑡 + 𝑒−𝑡
ℒ−1
1
𝑠2 + 1 𝑠 + 1
𝑒−𝜋𝑠
=
1
2
𝑆𝑒𝑛 𝑡 − 𝜋 − 𝐶𝑜𝑠 𝑡 − 𝜋 + 𝑒−(𝑡−𝜋)
Luego:
𝑥 𝑡 = 𝑡𝑒−𝑡
−
1
2
𝑆𝑒𝑛 𝑡 − 𝜋 − 𝐶𝑜𝑠 𝑡 − 𝜋 + 𝑒−(𝑡−𝜋)
Encontrando la 2da solución
Aplicando transformada inversa:
ℒ−1 𝑌 = ℒ−1
1
𝑠 + 1
−
1
𝑠 𝑠2 + 1 𝑠 + 1
𝑒−𝜋𝑠
ℒ−1
1
𝑠 + 1
= 𝑡𝑒−𝑡
ℒ−1
1
𝑠 𝑠2 + 1 𝑠 + 1
𝑒−𝜋𝑠
; 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 ℒ−1
1
𝑠
∗
1
𝑠2 + 1
∗
1
𝑠 + 1
ℒ−1
1
𝑠
∗
1
𝑠2 + 1
∗
1
𝑠 + 1
1∗
1
2
𝑆𝑒𝑛 𝑡 −𝐶𝑜𝑠 𝑡 +𝑒−𝑡
1
2
𝑆𝑒𝑛 𝑥 − 𝐶𝑜𝑠 𝑥 + 𝑒−𝑥
𝑑𝑥
𝑡
0
1
2
𝑆𝑒𝑛 𝑥 − 𝐶𝑜𝑠 𝑥 + 𝑒−𝑥
𝑑𝑥
𝑡
0
=
1
2
−𝐶𝑜𝑠 𝑥 − 𝑆𝑒𝑛 𝑥 − 𝑒−𝑥
0
𝑡

64. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Página 64
1
2
𝑆𝑒𝑛 𝑥 − 𝐶𝑜𝑠 𝑥 + 𝑒−𝑥
𝑑𝑥
𝑡
0
=
1
2
−𝐶𝑜𝑠 𝑡 − 𝑆𝑒𝑛 𝑡 − 𝑒−𝑡
+ 2
Entonces:
ℒ−1
1
𝑠 𝑠2 + 1 𝑠 + 1
𝑒−𝜋𝑠
=
1
2
−𝐶𝑜𝑠 𝑡 − 𝜋 − 𝑆𝑒𝑛 𝑡 − 𝜋 − 𝑒−(𝑡−𝜋)
+ 2
Luego:
𝑦 𝑡 = 𝑡𝑒−𝑡
+
1
2
𝐶𝑜𝑠 𝑡 − 𝜋 + 𝑆𝑒𝑛 𝑡 − 𝜋 + 𝑒−(𝑡−𝜋)
− 2
Finalmente la solución del sistema es:
𝒙 𝒕 = 𝒕𝒆−𝒕 −
𝟏
𝟐
𝑺𝒆𝒏 𝒕 − 𝝅 − 𝑪𝒐𝒔 𝒕 − 𝝅 + 𝒆−(𝒕−𝝅)
𝒚 𝒕 = 𝒕𝒆−𝒕
+
𝟏
𝟐
𝑪𝒐𝒔 𝒕 − 𝝅 + 𝑺𝒆𝒏 𝒕 − 𝝅 + 𝒆−(𝒕−𝝅)
− 𝟐

65. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Página 65
APLICACIONES
SISTEMA MASA – RESORTE - AMORTIGUADOR
1) Una masa de 1 kg está unida a un resorte ligero que es estirado 2m por una fuerza de 8 N, la
masa se encuentra inicialmente en reposo en su posición de equilibrio. Iniciando en el tiempo t =
0 seg se le aplica una fuerza externa f(t)=Cos(2t) a la masa pero en el instante t = 2𝝅 esta cesa
abruptamente y la masa queda libre continuando con su movimiento, pero en el tiempo t = 4𝝅,
la masa es golpeada hacia abajo con un martillo con una fuerza de 10N. Determine la ecuación
del movimiento, además la posición de la masa cuando t = 9𝝅/4 seg.
𝑚
𝑑2 𝑥
𝑑𝑡2
+ 𝑐
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 𝑘𝑥 = 𝑓(𝑡)
Nos dice que el resorte es estirado 2mpor una fuerza de 8N, entonces:
𝐹 = 𝑘𝑥 ⇒ 𝑘 =
𝐹
𝑥
=
8
2
⇒ 𝑘 = 4 𝑁/𝑚
Además nos dice, que en t=0 se le aplica una fuerza externa, y después cesa abruptamente, entonces f(t) nos queda:
𝑓 𝑡 =
𝐶𝑜𝑠 2𝑡 ; 0 ≤ 𝑡 < 2𝜋
0 ; 𝑡 > 2𝜋
Pero en t = 4 𝜋, es golpeado con un martillo, produciendo un impulso, entonces, nuestra ecuación nos queda:
𝑑2 𝑥
𝑑𝑡2
+ 4𝑥 = 𝓊0 − 𝓊2𝜋 𝐶𝑜𝑠 2𝑡 + 10 𝛿 𝑡 − 4𝜋
𝑥′′
+ 4𝑥 = 𝓊0 𝐶𝑜𝑠 2𝑡 − 𝓊2𝜋 𝐶𝑜𝑠 2𝑡 + 10𝛿 𝑡 − 4𝜋
La función coseno ya está desfasada, entonces aplicando transformada de Laplace, nos queda:
𝑠2 𝑋 − 𝑠 𝑥 0 − 𝑥′(0) + 4𝑋 =
𝑠
𝑠2 + 4
−
𝑠
𝑠2 + 4
𝑒−2𝜋𝑠 + 10𝑒−4𝜋𝑠
Sabemos que en t = 0 , x(0) = x’(0) = 0
𝑠2 𝑋 + 4𝑋 =
𝑠
𝑠2 + 4
−
𝑠
𝑠2 + 4
𝑒−2𝜋𝑠 + 10𝑒−4𝜋𝑠
𝑋 𝑠2
+ 4 =
𝑠
𝑠2 + 4
−
𝑠
𝑠2 + 4
𝑒−2𝜋𝑠
+ 10𝑒−4𝜋𝑠
𝑋 =
𝑠
𝑠2 + 4 2
−
𝑠
𝑠2 + 4 2
𝑒−2𝜋𝑠
+ 10
𝑒−4𝜋𝑠
𝑠2 + 4
Aplicando transformada inversa:
ℒ−1
𝑋 = ℒ−1
𝑠
𝑠2 + 4 2 − ℒ−1
𝑠
𝑠2 + 4 2 𝑒−2𝜋𝑠
+ 10ℒ−1
𝑒−4𝜋𝑠
𝑠2 + 4

66. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Página 66
Aplicando convolución:
ℒ−1
𝑠
𝑠2 + 4
𝐶𝑜𝑠 2𝑡
∗
1
𝑠2 + 4
1
2
𝑆𝑒𝑛 2𝑡
1
2
𝐶𝑜𝑠 2𝑥 𝑆𝑒𝑛 2 𝑡 − 𝑥 𝑑𝑥
𝑡
0
1
4
𝑆𝑒𝑛 2𝑥 + 2𝑡 − 2𝑥 − 𝑆𝑒𝑛 2𝑥 − 2𝑡 + 2𝑥 𝑑𝑥
𝑡
0
1
4
𝑆𝑒𝑛 2𝑡 − 𝑆𝑒𝑛 4𝑥 − 2𝑡 𝑑𝑥
𝑡
0
1
4
𝑥 𝑆𝑒𝑛 2𝑡 +
1
4
𝐶𝑜𝑠 4𝑥 − 2𝑡
0
𝑡
⇒
1
4
𝑡 𝑆𝑒𝑛 2𝑡 +
1
4
𝐶𝑜𝑠 2𝑡 −
1
4
𝐶𝑜𝑠 −2𝑡
Sabemos que Cos(-x) = Cos(x), entonces:
ℒ−1
𝑠
𝑠2 + 4 2
=
1
4
𝑡 𝑆𝑒𝑛 2𝑡
Finalmente:
𝒙 𝒕 =
𝟏
𝟒
𝒕 𝑺𝒆𝒏 𝟐𝒕 −
𝟏
𝟒
𝓾 𝒕 − 𝟐𝝅 (𝒕 − 𝟐𝝅) 𝑺𝒆𝒏 𝟐(𝒕 − 𝟐𝝅) + 𝟓 𝓾 𝒕 − 𝟒𝝅 𝑺𝒆𝒏 𝟐(𝒕 − 𝟒𝝅)
Encontrando la posición de la masa en t = 9𝜋/4 seg
𝑥
9𝜋
4
=
1
4
9𝜋
4
𝑆𝑒𝑛 2
9𝜋
4
−
1
4
𝓊
9𝜋
4
− 2𝜋
9𝜋
4
− 2𝜋 𝑆𝑒𝑛 2
9𝜋
4
− 2𝜋 + 5 𝓊
9𝜋
4
− 4𝜋 𝑆𝑒𝑛 2
9𝜋
4
− 4𝜋
𝑥
9𝜋
4
=
9𝜋
16
𝑆𝑒𝑛
9𝜋
2
−
𝜋
16
𝓊
𝜋
4
𝑆𝑒𝑛
𝜋
2
+ 5 𝓊 −
7𝜋
4
𝑆𝑒𝑛 −
7𝜋
2
𝑥
9𝜋
4
=
9𝜋
16
1 −
𝜋
16
1 1 + 5 0 (1)
𝑥
9𝜋
4
=
9𝜋
16
−
𝜋
16
𝒙
𝟗𝝅
𝟒
=
𝝅
𝟐
𝒎

67. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Página 67
2) En el extremo de un resorte espiral que está sujeto al techo se coloca un cuerpo de masa igual
a 1 kg. El resorte se ha alargado 2m hasta quedar en reposo en su posición de equilibrio. En t = 0
el cuerpo es desplazado 50 cm por debajo de la posición de equilibrio y lanzado con una
velocidad inicial de 1m/seg dirigida hacia arriba. El sistema consta también de un amortiguador
cuyo coeficiente de amortiguamiento es de 2.5 N.seg/m. Desde t = 0, una fuerza externa es
aplicada al cuerpo, la misma que está dada por f(t) = Sen 𝝅𝒕/𝟐 . En t = 10 seg y en t = 20 seg el
cuerpo es golpeado hacia abajo proporcionando una fuerza de 5N y de 10N, respectivamente.
(use g = 10 m/𝒔𝒆𝒈 𝟐
). Determine la ecuación del movimiento
𝑚
𝑑2
𝑥
𝑑𝑡2
+ 𝑐
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 𝑘𝑥 = 𝑓(𝑡)
Nos dice que el resorte se ha alargado 2m hasta quedar en reposo al colocar una masa de 1 kg, entonces:
𝐹 = 𝑘𝑥 ⇒ 𝑘 =
𝑚𝑔
𝑥
=
1(10)
2
⇒ 𝑘 = 5 𝑁/𝑚
Además nos dice que en t=10 y en t=20 el cuerpo es golpeado hacia abajo, es decir recibe un impulso, entonces nuestra
ecuación es la siguiente:
1
𝑑2
𝑥
𝑑𝑡2 + 2.5
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 5 𝑥 = 𝑆𝑒𝑛
𝜋
2
𝑡 + 5 𝛿 𝑡 − 10 + 10 𝛿 𝑡 − 20
𝑥′′ + 2.5𝑥′ + 5𝑥 = 𝑆𝑒𝑛
𝜋
2
𝑡 + 5 𝛿 𝑡 − 10 + 10 𝛿 𝑡 − 20
Aplicando transformada de Laplace:
ℒ 𝑥′′ + 2.5 ℒ 𝑥′ + 5 ℒ 𝑥 = ℒ 𝑆𝑒𝑛
𝜋
2
𝑡 + 5 𝛿 𝑡 − 10 + 10 𝛿 𝑡 − 20
𝑠2 𝑋 − 𝑠 𝑥 0 − 𝑥′(0) + 2.5 𝑠𝑋 − 𝑥(0) + 5𝑋 =
𝜋
2
𝑠2 +
𝜋2
4
+ 5𝑒−10𝑠 + 10𝑒−20𝑠
Sabemos que en t = 0 el cuerpo es lanzado con una velocidad inicial hacia arriba y además es desplazado 50 cm por
debajo de su posición de equilibrio, entonces:
𝑠2
𝑋 − 0.5𝑠 + 1 + 2.5 𝑠𝑋 − 0.5 + 5𝑋 =
𝜋
2
𝑠2 +
𝜋2
4
+ 5𝑒−10𝑠
+ 10𝑒−20𝑠
𝑠2
𝑋 − 0.5 𝑠 + 1 + 2.5 𝑠𝑋 − 1.25 + 5𝑋 =
𝜋
2
𝑠2 +
𝜋2
4
+ 5𝑒−10𝑠
+ 10𝑒−20𝑠
𝑋 𝑠2
+
5
2
𝑠 + 5 =
𝜋
2
𝑠2 +
𝜋2
4
+ 5𝑒−10𝑠
+ 10𝑒−20𝑠
+
1
4
𝑋 =
𝜋
2
𝑠2 +
𝜋2
4
𝑠 +
5
4
2
+
15
8
+ 5
𝑒−10𝑠
𝑠 +
5
4
2
+
15
8
+ 10
𝑒−20𝑠
𝑠 +
5
4
2
+
15
8
+
1
4
1
𝑠 +
5
4
2
+
15
8