Este documento presenta varios ejemplos de cálculo de integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas. Incluye la evaluación de integrales dentro de regiones delimitadas por cilindros, conos, esferas y planos; y muestra las transformaciones de las integrales a las coordenadas apropiadas. También asigna como tarea al estudiante calcular seis integrales triples usando estas técnicas.

1. 100
Unidad 5 : INTEGRALES MÚLTIPLES
Tema 5.6 : Integrales Triples en Coordenadas Cilíndricas y Esféricas
(Estudiar la Sección 15.8 en el Stewart 5ª Edición; Hacer la Tarea No. 23)
Ejemplo 1 en Coordenadas Cilíndricas:
Evalúe la integral triple: dVyx
E
∫∫∫ + 22
, en donde E es el volumen dentro del
cilindro 122
=+ yx , debajo del plano 4=z , y arriba del paraboloide
22
1 yxz −−=
[ ] ( )[ ] ( )
5
12
2
5
6
5
1
1
5
314
2
0
1
0
2
0
5
3
2
0
1
0
42
2
0
1
0
22
2
0
1
0
4
1
2
2
0
1
0
4
1
2
2
0
1
0
4
1
22
2
22
π
πθθ
θθθ
θθ
ππ
πππ
ππ
=⋅=





+=





+=
=+=−−==
===+
∫∫
∫ ∫∫ ∫∫ ∫
∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫∫∫
−
−−
dd
r
r
ddrrrddrrrddrzr
ddrdzrddrrdzrdVyx
r
rr
E
Ejemplo 2 en Coordenadas Cilíndricas: Evalúe la integral
( )∫ ∫ ∫
+
−
−+
−− +
+
2
2
4
4
2
22
2
2 22
x
x yx
dxdydzyx cambiando a coordenadas cilíndricas,
Solución:
La curva de intersección del cono 22
yxz += , y el plano 2=z , es el círculo de
422
=+ yx , que limita la región de integración:
[ ]
( )
5
16
2
5
8
5
32
8
52
2
2
0
2
0
2
0
542
0
2
0
43
2
0
2
0
2 2
0
2
0
233
2
0
2
0
2
2
π
π
θθθ
θθθ
πππ
π ππ
=⋅=
=





−=





−=−=
===
∫∫∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫
dd
rr
ddrrr
ddrzrddrdzrddrrdzr
r
r
r

2. 101
Ejemplo 3 en coordenadas esféricas: Evalúe la integral ( ) dVe
E
zyx
∫∫∫
++ 2
3
222
, en
donde ( ){ }1,, 222
=++= zyxzyxE
Solución:
( ) [ ]
( ) [ ]
( ) ( ) ( )1
3
4
2
3
12
3
12
cos
3
1
3
1
1
3
1
3
1
2
0
0
2
00
2
00
2
0
0
2
0
1
0
0
2
2
0
1
0
332
3
222
−=⋅
−
=
−
=
−
−
=
−
=−=
==
∫
∫∫ ∫∫ ∫
∫ ∫∫ ∫ ∫∫∫∫
++
e
e
d
e
d
e
ddsen
e
ddsene
ddsenedddsenedVe
E
zyx
π
πθ
θϕϕθϕϕθϕ
ϕθϕϕθρϕρ
π
πππ ππ π
π π
ρ
π π
ρ
Ejemplo 4 en coordenadas esféricas: Encuentre el volumen del sólido sobre el cono
22
yxz += y debajo de la esfera zzyx =++ 222
Solución:
Completando el cuadrado la ecuación de la esfera es:
22
22
2
1
2
1






=





−++ zyx y en
coordenadas esféricas es: ϕρρ cos2
= , o simplificada: ϕρ cos= . Entonces:
( )[ ] 8
21
4
1
12
1
0cos4cos
12
1
4
cos
3
1
cos
3
1
3
2
0
4
4
0
2
0
4
4
0
2
0
34
0
2
0
cos
0
3
4
0
2
0
cos
0
22
π
πθπθ
φ
φθϕϕφθϕ
ρ
φθρϕρφθρϕρ
π
π
π
π ππ π
ϕ
π π ϕ
=





−
−
=−
−
=




−
=
=





=
===
∫∫
∫ ∫∫ ∫
∫∫∫ ∫∫∫ ∫ ∫ ∫
dd
ddsenddsen
dddsendddsendVV

3. 102
Diferencial de volumen en coordenadas esféricas:
Para la próxima clase estudiar las secciones
15.8 Integrales Triples en Coordenadas Cilíndricas y Esféricas
16.1 Campos Vectoriales
Tarea para entregar la próxima clase
Tarea No. 23 Integrales Triples en Coordenadas Cilíndricas y Esféricas
ρd
θϕρ dsen
ϕρ d
( )( )( )
ϕθρϕρ
θϕρϕρρ
dddsendV
dsendddV
2
=
=

4. 103
Ma-817 : MATEMÁTICAS III PARA INGENIERIA
Tarea No 23 : Integrales Triples en Coordenadas Cilíndricas y Esféricas
(Sección 15.8 del Stewart 5ª Edición)
En los problemas 1 y 2 evalúe la integral triple en coordenadas cilíndricas:
P1: Evalúe
∫∫∫E
dVy en donde E es el sólido que está entre los
cilindros 4,1 2222
=+=+ yxyx , arriba del plano xy, y abajo
del plano 2+= xz
0:1R
P2: Evalúe
∫∫∫E
dVx2
en donde E es el sólido que está dentro del
cilindro 122
=+ yx , arriba del plano 0=z , y abajo del cono
222
44 yxz +=
5
2
:2
π
R
En los problemas 3 y 4 evalúe la integral triple en coordenadas esféricas:
P3: Evalúe
∫∫∫E
dVz , donde E está entre las esferas
4,1 222222
=++=++ zyxzyx en el primer octante.
16
15
:3
π
R
P4: Calcule el volumen del sólido que está sobre el cono 3πφ = y
debajo de la esfera φρ cos4=
π10:4R
P5: Transforme a coordenadas cilíndricas y evalúe la integral:
( )∫ ∫ ∫−
−
−−
−−
+
+
1
1
1
1
2
2322
2
2
22
22
dxdydzyx
x
x
yx
yx
35
8
:5
π
R
P6: Transforme a coordenadas esféricas y evalúe la integral:
∫ ∫ ∫−
−
−−
−−
++
3
3
9
9
9
0
222
2
2
22
x
x
yx
dxdydzzyxz 5
243
:6
π
R