Este documento presenta información sobre las leyes de Kirchhoff, circuitos RLC en serie y paralelo, y aplicaciones de la transformada de Laplace para analizar dichos circuitos. Explica las leyes de corrientes y tensiones de Kirchhoff, define circuitos RLC en serie y paralelo, y muestra ejemplos resueltos de circuitos RLC utilizando la transformada de Laplace para determinar corrientes y cargas.

1. Leyes de Kirchhoff
Circuitos en Serie RLC
Circuitos Paralelo RLC
- Guillermo Bermeo
- Juan Castillo
- Daniel Ochoa

2. LEYES DE KIRCHHOFF
LEY DE CORRIENTES.
ESTA LEY TAMBIÉN ES LLAMADA LEY DE NODOS O PRIMERA LEY DE
KIRCHHOFF Y ES COMÚN QUE SE USE LA SIGLA LCK PARA REFERIRSE A ESTA
LEY. LA LEY DE CORRIENTES DE KIRCHHOFF NOS DICE QUE:
EN CUALQUIER NODO, LA SUMA DE LA CORRIENTE QUE ENTRA EN ESE NODO
ES IGUAL A LA SUMA DE LA CORRIENTE QUE SALE. DE IGUAL FORMA, LA
SUMA ALGEBRAICA DE TODAS LAS CORRIENTES QUE PASAN POR EL NODO ES
IGUAL A CERO.
LA LEY SE BASA EN EL PRINCIPIO DE LA CONSERVACIÓN DE LA CARGA DONDE
LA CARGA EN COULOMB ES EL PRODUCTO DE LA CORRIENTE EN AMPERIOS Y
EL TIEMPO EN SEGUNDOS.
LEY DE TENSIONES.
ESTA LEY ES LLAMADA TAMBIÉN SEGUNDA LEY DE KIRCHHOFF, LEY DE LAZOS
DE KIRCHHOFF Y ES COMÚN QUE SE USE LA SIGLA LVK PARA REFERIRSE A
ESTA LEY.

3. EN TODA MALLA LA SUMA DE TODAS LAS CAÍDAS DE TENSIÓN ES IGUAL A LA
TENSIÓN TOTAL SUMINISTRADA. DE FORMA EQUIVALENTE, EN TODA MALLA
LA SUMA ALGEBRAICA DE LAS DIFERENCIAS DE POTENCIAL ELÉCTRICO ES
IGUAL A CERO.
CIRCUITOS EN SERIE
UN CIRCUITO EN SERIE ES AQUEL CIRCUITO EL DONDE LOS RECEPTORES,
RESISTENCIAS, CONDESADORES, ETC .SON CONECTADOS DE FORMA
SECUENCIAL.
LA INTENSIDAD ES LA MISMA EN TODO EL CIRCUITO; LA TENSION SE
REPARTE ENTRE LOS RECEPTORES
CIRCUITOS EN SERIE RLC

4. L = BOBINA O INDUCTOR
C = CONDESDOR O CAPACITOR
R = RESITENCIA
UN CIRCUITO RLC ES AQUEL QUE TIENE COMO COMPONENTES UNAQ
RESISTENCIA, UNA CONDESADOR Y UN INDUCTOR CONECTADOS EN SERIE
CAIDAS DE VOLTAJE
INDUCTOR:
RESISTOR:
CAPACITOR:
TENIENDO EN CUENTA LA SEGUNDA LEY DE KIRCHHOFF REALIZAMOS LA
SUMATORIA DE TODAS LAS CAIDAD DE VOLTAJE DEL SISTEMA:
LA IGUALAMOS CON LA TENSION TOTAL SUMINISTRADA

5. COMO SABEMOS LA CARGA q (t) SE RELACIONA CON LA CORRIENTE i (t)
CON ENTONCES TENDREMOS LA SIGIENTE ECUACION
CIRCUITOS EN PARALELO
EL CIRCUITO PARALELO ES UNA CONEXIÓN DONDE, LOS BORNES O
TERMINALES DE ENTRADA DE TODOS LOS DISPOSITIVOS (GENERADORES,
RESISTENCIAS, CONDENSADORES, ETC.) CONECTADOS COINCIDAN ENTRE SÍ,
LO MISMO QUE SUS TERMINALES DE SALIDA.
LA TENSION ES LA MISMA EN TODOS LOS PUNTOS DEL CIRCUITO.
CIRCUITOS EN PARALELO RLC

6. CUANDO SE CONECTA UN CIRCUITO RLC
(RESISTENCIA, BOBINAYCONDENSADOR ) EN PARALELO, ALIMENTADO POR
UNA SEÑALALTERNA (FUENTE DE TENSIÓN DECORRIENTE ALTERNA), HAY UN
EFECTO DE ÉSTA EN CADA UNO DE LOS COMPONENTES.EN EL
CONDENSADOR O CAPACITOR APARECERÁ UNA REACTANCIA CAPACITIVA, Y
EN LA BOBINA O INDUCTOR UNA REACTANCIAINDUCTIVA. ESTOS CIRCUITOS
OBEDECEN LA PRIMERA LEY DE KIRCHHOFF LEY DE LAS CORRIENTES
ENTONCES SE TIENE QUE:

7. Ley General para todo tipo de circuito:
PARÁMETRIOS Y COMPONENTES
EL PARÁMETRO RESISTIVO
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE EN UN CIRCUITO
MERAMENTE RESISTIVO, NO TIENE EFECTO SINO EN LAS
FUNCIONES DE VOLTAJE Y CORRIENTE:
CUYA TRANSFORMADA ES:
ESTOS RESULTADOS SE PUEDEN OBSERVAR EN LA FIGURA:
PARÁMETRO INDUCTIVO
OBSERVE LA FIGURA, Y DETALLE QUE PARA UNA INDUCTANCIA L
EN HENRYS, QUE POSEE UNA CORRIENTE INICIAL DE I (0+) A EN LA
DIRECCIÓN DE LA CORRIENTE I (T), SE TRANSFORMA EN EL

8. DOMINIO DE S COMO UNA
IMPEDANCIA SL EN OHMIOS, EN SERIE CON UNA FUENTE DE
VOLTAJE CUYO VALOR EN S ES LI (T) Y QUE VA EN LA DIRECCIÓN DE
LA CORRIENTE I(S).
LA ECUACIÓN QUE DESCRIBE EL COMPORTAMIENTO DEL
INDUCTOR EN EL DOMINIO DEL TIEMPO ES:
CUYA RESPECTIVA TRANSFORMADA ES:
PARÁMETRO CAPACITIVO
LA FIGURA QUE SE OBSERVA EN ESTA SECCIÓN, MUESTRA UNA
CAPACITANCIA DE C FARADS EN EL DOMINIO DEL TIEMPO; EN EL
DOMINIO DE S, ÉSTA SE TRANSFORMA EN UNA IMPEDANCIA Y UNA
FUENTE DE VOLTAJE EN SERIE OPONIÉNDOSE A LA CORRIENTE I (T),
CUYOS VALORES SE OBSERVAN TAMBIÉN EN DICHA FIGURA:

9. EN EL DOMINIO DEL TIEMPO SE TIENE:
TRANSFORMAMOS ESTA ECUACIÓN, Y OBTENEMOS:
FUENTES
EN CUANTO A FUENTES, LA TRANSFORMADA DEPENDE DE LA
FUNCIÓN QUE CARACTERICE A DICHA FUENTE. OTRA
HERRAMIENTA QUE DEBEMOS APRENDER, ES EL INTERCAMBIO DE
FUENTES:

10. EN LA PRIMERA FIGURA, SE CUMPLE:
DESPEJAMOS I(S):
RESULTADO QUE NOS CONDUCE A LA SEGUNDA FIGURA. ESTAS
TRANSFORMACIONES SON BIDIRECCIONALES, ES DECIR, SI
TENEMOS UNA FUENTE DE CORRIENTE EN PARALELO CON UNA
IMPEDANCIA SE CONVERTIRÁN EN UNA FUENTE DE VOLTAJE EN
SERIE CON LA IMPEDANCIA, Y VICEVERSA.
COMO SEGUNDA INSTANCIA, SE APRENDERÁN A RESOLVER
CIRCUITOS QUE CONTENGAN LOS ANTERIORES PARÁMETROS,
E INVOLUCREN CORRIENTES, VOLTAJES Y CONDICIONES
INICIALES.

11. APLICACIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE A LOS CIRCUITOS
ELÉCTRICOS
CIRCUITO RLC SERIE CON CONDICIONES INICIALES
CONSIDERE EL CIRCUITO DE LA FIGURA, DONDE LA CORRIENTE
INICIAL DEL INDUCTOR ES AMPERIOS, Y EL VOLTAJE INICIAL EN
EL CONDENSADOR ES VOLTS, CON LA POLARIDAD INDICADA:
SI APLICAMOS LVK, OBTENEMOS LA ECUACIÓN INTEGRO-
DIFERENCIAL:
APLICAMOS TRANSFORMADA DE LAPLACE, Y SE OBTIENE:
ARREGLAMOS ESTA ECUACIÓN

12. EL PRIMER FACTOR PUEDE SER EXPRESADO DE LA SIGUIENTE
FORMA:
Y DADA LA RELACIÓN ENTRE ADMITANCIA E IMPEDANCIA:
PODEMOS DEDUCIR QUE:
AHORA, DEJAMOS TODO EN UNA SOLA FRACCIÓN:
SI DETALLAMOS LA ÚLTIMA ECUACIÓN ESCRITA, Y LA
RELACIONAMOS CON LA ECUACIÓN DONDE ESTÁ DESPEJADA I(S),
VEREMOS QUE LOS CEROS DE Z(S) SON LOS QUE EN ÚLTIMAS
DETERMINAN EL COMPORTAMIENTO DEL CIRCUITO. LO
ANTERIOR, ESCRITO EN UNA ECUACIÓN SERÍA:

13. DESPUÉS DE TENER EN CUENTA TODAS ESTAS CONSIDERACIONES,
LO ÚNICO QUE RESTA ES ENCONTRAR LA RESPUESTA EN EL
DOMINIO DEL TIEMPO; SIN EMBARGO, NO SE PUEDE GENERALIZAR
UNA RESPUESTA DEBIDO A QUE DEPENDIENDO DE LAS FUNCIONES
DE EXCITACIÓN Y DE LAS CONDICIONES INICIALES, LA RESPUESTA
EN EL TIEMPO CAMBIA. LO QUE HAREMOS ENTONCES ES
PLANTEAR LA ECUACIÓN DE TRANSFORMADA INVERSA DE
LAPLACE:
COMO PODEMOS OBSERVAR LA ECUACIÓN ES SIMILAR A LA QUE
UTILIZAMOS EN SISTEMAS RESORTE MASA.
SI E(T)=0, SE DICE QUE LAS VIBRACIONES ELÉCTRICAS DEL CIRCUITO
ESTÁN LIBRES.
SI TENEMOS QUE LA ECUACIÓN AUXILIAR PARA 3 DADA POR
HAY TRES FORMAS DE SOLUCIÓN CON
,DEPENDIENDO DEL DISCRIMINANTE, ES DECIR:
SOBREAMORTIGUADO
CRÍTICAMENTE AMORTIGUADO

14. SUBAMORTIGUADO
EJERCICIOS RESUELTOS
EJEMPLO 1
Dado el circuito de la figura, con las siguientes condiciones iniciales:
Encuentre i(t), utilizando la transformada de Laplace.
SOLUCIÓN:
Como primer paso, incluimos las condiciones iniciales en el circuito del dominio del tiempo,
y luego transformamos todo el circuito al dominio de la frecuencia:

15. La ecuación principal para resolver el problema, es:
Ahora planteamos dos ecuaciones de malla, teniendo en cuenta que la segunda ecuación
corresponde a la malla exterior del circuito:

16. despejamos estas ecuaciones:
Y reemplazando en la ecuación principal:
separamos el primer sumando en fracciones parciales, ya que el segundo sumando ya
posee coeficiente:
hallamos estos coeficientes:
con lo cual la función respuesta en el dominio de la frecuencia, es:
Esta ecuación podemos convertirla directamente al dominio del tiempo:
________________________________________________________________________________

17. EJEMPLO 2
Según el circuito de la figura, encuentre:
a)
b) h (t)
c) i2(t) si
SOLUCIÓN:
a) Transformamos el circuito al dominio de la frecuencia:
Planteamos las siguientes ecuaciones de malla:

18. Organizando estas ecuaciones:
despejamos de la segunda ecuación el valor de I1(s), y lo reemplazamos en la primera
ecuación:
Esta última ecuación es una función de transferencia del circuito.
b) Para saber el equivalente de H(s) en el dominio del tiempo, aplicamos fracciones
parciales:
En esta ocasión, empleamos el planteamiento de ecuaciones para hallar los coeficientes A
y B:
resolvemos este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

19. con lo cual, la función H(s) queda:
ecuación a la que aplicamos directamente la tabla de transformadas inversas, lo que se
traduce en una respuesta en el dominio del tiempo:
c) Tomamos la función de transferencia H(s) y despejamos el valor de I2(s) en términos
de Vs(s):
Aplicamos la transformada de Laplace a la función vs (t), y reemplazamos el
resultado en la anterior ecuación:
hallamos estos coeficientes, utilizando la misma técnica que se uso en el ítem anterior:
ordenando:

20. resolviendo este sistema, obtenemos:
con lo cual la función I2(s) se puede rescribir como:
y finalmente, aplicando pares de transformadas para regresar al dominio del tiempo, se
llega a:
________________________________________________________________________________
EJEMPLO 3
Problema modelo: planteo y resolución El circuito RLC de la figura está
formado por un resistor R, un capacitor C y un inductor L conectados en serie
a una fuente de voltaje e(t). Antes de cerrar el interruptor en el tiempo t=0,
tanto la carga en el capacitor como la corriente resultante en el circuito son
cero. El objetivo es determinar la carga q(t) en el capacitor y la corriente
resultante i(t) en el circuito en el tiempo t, sabiendo que R=160,L=1,C=10^-
4,E(t)=20.

21. Aplicando la segunda ley de Kirchhoff al circuito antes mostrado, se obtiene:
Usando al ecuación (2), se tiene:
Sustituyendo los valores dados para R, C, L y e(t) se obtiene:
Ésta será la ecuación diferencial que se deberá resolver. Entonces, aplicando
la transformada de Laplace en ambos lados, se llega a la siguiente ecuación:
Donde Q(s) es la transformada de q(t). Se supone que q(0)=0, q’(0)=0 y i(0)=0,
con lo cual la ecuación anterior se reduce simplemente a:
Esto es,

22. Haciendo el desarrollo en fracciones simples se obtiene:
Luego, la corriente resultante en el circuito i(t) está dada por:
________________________________________________________________________________
Ejemplo 4
Se conecta en serie una fuente de voltaje V = 1.5 V, una resistencia R =20
ohmios, un capacitor de 103 F y un inductor L = 0.1 H. Determinar la carga
en el capacitor y la corriente que circula por el circuito en todo tiempo, si
inicialmente el capacitor está totalmente descargado y no fluye corriente
sobre el circuito. La ecuación diferencial asociada al circuito RLC en serie
de este ejemplo es

23. con las condiciones iniciales Q(0) = 0 C & I(0) = 0 A. Esta ecuación es similar a
la ecuación diferencial de un resorte amortiguado sometido a una fuerza
constante externa. La ecuación auxiliar es
Cuyas raíces son r1;2 =- 100. Como las raíces son iguales, la solución general
de la ecuación homogénea es de la forma
Por otra parte, una solución particular es Q(t) =15/ 10000=0.0015. Así que la
carga está dada por:
Y la corriente por:
Usando las condiciones iniciales Q(0)=0, I(0)=0, obtenemos el sistema de
ecuaciones
De donde, c1 = -0.0015 & c2 = -0.15. Finalmente, la
carga y la corriente son, para tiempos t >= 0,

24. Observe que la corriente tiene un máximo cuando di/dt=0
.
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Ejemplo 5
Se conecta en serie una fuente de voltaje V = 110V, un capacitor de 103 F y
un inductor L = 0.1 H. Determinar la carga en el capacitor y la corriente que
circula por el circuito en todo tiempo, si inicialmente el capacitor estaba
totalmente descargado y no fluía corriente sobre el circuito.
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25. ____________________________________________________________________________
Ejemplo 6

26. Ejemplo 7
Ejemplo 8

28. Ejemplo 9

29. _____________________________________________________________________________
Ejemplo 10
Ejercicios propuestos
1) Determine la carga, q(t), y la corriente, i(t), en un circuito en
serie, en el que l = 1 h, r = 20 r, c = 0.01 f, e(t) = 120 sen(10t)
v, q(o) = 0 c e i(o) = 0 a. ¿cuál es la corriente de estado
estable?
2) Un capacitor de 10 uf y un inductor de 2 H están conectados
en serie con una fuente de 100 v y 60 Hz. Determine la
intensidad de corriente por el circuito.
3) Se conecta un resistor de 12 ohmios, un capacitor de 0:1 F, un
inductor de 2 H y una fuente de voltaje V = 20 V, formando un
circuito RLC. Si inicialmente se encuentra descargado el
capacitor y no circula corriente por el circuito, determinar en
todo tiempo posterior expresiones para la carga y la
corriente.
4) ¿Cuál es la cargar y la corriente para un t=0.7seg en un
circuito rlc en serie donde L=0.8 H , R=100 ohmios, c=0,005 f y

30. E(t)=120cos(5t) teniendo en cuenta que la carga y la corriente
en condiciones iniciales son nulas
5) Se conecta en serie un resistor R=5 ohmios, un capacitor de
0.04 F, un inductor de 0.5 H y una fuente de voltaje V=120 V.
Determinar la carga en el capacitor y la corriente por el
circuito en el tiempo t, si inicialmente la carga es de 10 C y la
corriente de 5 A.
6) Un circuito RLC está formado por un resistor R =3.2 ohmios,
un inductor L=0.4 H y un capacitor C=0.1 F. Si colocamos una
fuente de voltaje directa de 50 V en t=0 s, y la suspendemos
en t = π/3 s, determinar la carga en el capacitor y la corriente
sobre el circuito antes y después de t =π/3 s, suponiendo que
inicialmente el capacitor tiene una carga de 5 C y circula una
corriente de 12 A.
7) Se conecta en serie un resistor de 4 ohmios, un capacitor de
0.05 F y un inductor de 0.2 H a una fuente de voltaje V=50 V
formando un circuito RLC. Determinar la carga en el capacitor
y la corriente por el circuito en el tiempo t, si inicialmente la
carga es de 2 C y no circula corriente por el circuito. ¿En qué
tiempo el capacitor obtiene su mayor carga?
8) En un circuito RLC en serie formado por un generador que
produce 110 volts con una frecuencia de 60 Hz., un inductor
de 0.2 H, un capacitor de 50 μ f. y una resistencia de 90 Ω.
hallar la corriente en el circuito si la corriente en t=0s es
cero.
9) En el circuito de la figura de terminar las cargas i1 (t), i2 (t) e
i3 (t). si E (t) = 20 sen (4 ×104t) V, R1 = 8Ω, R2 = 4Ω, L = 0,2mH
y C = 3,125µF.

31. 10) Monte el circuito RLC con Vef = 7 V para la fuente con R =
330 Ω, L = 9 mH y C = 5,7 µF. Mida i(t), VR , VL , VC con
i(0)=0.
Conclusiones
La resolución de los problemas con ayuda de los teoremas de Laplace
resulta de gran ayuda ya que el trabajo resulta mucho más fácil y
además optimiza el tiempo de resolución.
En estos tipos de problemas se utilizan muchos teoremas de Laplace
como por ejemplo los teoremas de traslación, Laplace de una integral,
Laplace de una derivada lo cual hace que estos tipos de ejercicios sean
muy completos
Las leyes de kirchhoff son fundamentales para la teoría de los circuitos
rlc ya que con ellas se deducen las ecuaciones de corriente y voltaje

32. Los ejercicios de circuitos se podrían resolver también con los otros
métodos para resolver una ecuación diferencial
Recomendaciones
Para poder resolver los ejercicios se necesita saber los teoremas
de Laplace o los métodos para resolver una ecuación deferencial
así que se recomienda repasar lo antes mencionado
Al momento de resolver los ejercicios tomar en cuenta que tipo
de circuito es y qué es lo que se pide para dar paso al
planteamiento y utilizar las ecuaciones correspondientes