Este documento presenta una guía para resolver ecuaciones diferenciales de orden uno y dos, sujetas a condiciones iniciales. Incluye problemas para determinar soluciones de ecuaciones homogéneas e inhomogéneas usando métodos como reducción de orden. También cubre ecuaciones diferenciales de orden superior y condiciones de frontera.

1. Universidad Nacional de Moquegua
Carrera Profesional de Ingeniería de Minas
Guia 03 Matemática IV
_______________________________________________
A Determine la solución en cada ecuación diferencial de los problemas 1 al 24. Use la
reducción de orden. Suponga un intervalo adecuado de validez.
1. y 00 + 5y 0 = 0; y1 = 1
2. y 00
y 0 = 0; y1 = 1
3. y 00
4y 0 + y = 0; y1 = e2x
4. y 00 + 2y 0 + y = 0; y1 = xe
x
5. y 00 + 16y = 0; y1 = cos 4x
6. y 00 + 9y = 0; y1 = sen 3x
7. y 00
y = 0; y1 = cosh x
8. y 00
25y = 0; y1 = e5x
9. 9y 00
12y 0 + 4y = 0; y1 = e2x=3
y = 0; y1 = ex=3
10. 6y 00 + y 0
11. x2 y 00
7xy 0 + 16y = 0; y1 = x4
12. x2 y 00 + 2xy 0
6y = 0; y1 = x2
13. xy 00 + y 0 = 0; y1 = ln x
14. 4x2 y 00 + y 0 = 0; y1 = x1=2 ln x
x2 ) y 00 + 2 (1 + x) y 0
15. (1
2x
16. (1
x2 ) y 00
2y = 0; y1 = x + 1
2xy 0 = 0; y1 = 1
17. x2 y 00
xy 0 + 2y = 0; y1 = x sen (ln x)
18. x2 y 00
3xy 0 + 5y = 0; y1 = x2 cos (ln x)
19. (1 + 2x) y 00 + 4xy 0
20. (1 + x) y 00 + xy 0
4y = 0; y1 = e
2x
y = 0; y1 = x
21. x2 y 00
xy 0 + y = 0; y1 = x
22. x2 y 00
20y = 0; y1 = x
4
1

2. 23. x2 y 00
5xy 0 + 9y = 0; y1 = x3 ln x
24. x2 y 00 + xy 0 + y = 0; y1 = cos (ln x)
B Aplique el método de reducción para determinar una solución de la ecuación
no homogénea dada en los problemas 25 a 28. La función indicada, y1 (x),
es una solución de la ecuación homogénea asociada. Determine una segunda
solución de la ecuación homogénea y una solución particular de la ecuación no
homogenéa.
25. y 00
4y = 2; y1 = e
2x
26. y 00 + y 0 = 1; y1 = 1
27. y 00
3y 0 + 2y = 5e3x ; y1 = ex
28. y 00
4y 0 + 3y = x; y1 = ex
Problema para discusión:
(a) Haga una demostración convincente de que la ecuación de segundo orden ay 00 +
by 0 + cy = 0, a; b y c constantes siempre tiene cuando menos una solución de
la forma y1 = em1 x ; donde m1 es una constante.
(b) Explique por qué la ecuación diferencial en la parte a. debe tener, en consecuencia,una segunda solución de la forma y2 = em2 x o de la forma y2 = xem1 x
donde m1 y m2 son constantes.
C En los problemas de 1 a 36 determine la solución general de cada ecuación diferencial.
1. 4y 00 + y 0 = 0
2. 2x00
5y 0 = 0
3. y 00
36y = 0
4. y 00
8y = 0
5. y 00 + 9y = 0
6. 3y 00 + y = 0
7. y 00
y0
8. y 00
3y 0 + 2y = 0
9.
d2 y
dx2
10.
d2 y
dx2
6y = 0
dy
+ 8 dx + 16y = 0
dy
10 dx + 25y = 0
11. y 00 + 3y 0
5y = 0
2

3. 12. y 00 + 4y 0
13. 12y 00
y=0
5y 0
2y = 0
14. 8y 00 + 2y 0 + y = 0
15. y 00
4y 0 + 5y = 0
16. 2y 00
3y 0 + 4y = 0
17. 3y 00 + 2y 0 + y = 0
18. 2y 00 + 2y 0 + y = 0
19. y 000
4y 00
5y 0 = 0
20. 4y 000 + 4y 00 + y 0 = 0
21. y 000
y=0
22. y 000
5y 00 = 0
23. y 000
5y 00 + 3y 0
24. y 000 + 3y 00
9y = 0
4y 0 + 12y = 0
25. y 000 + y 00
2y = 0
26. y 000
4y = 0
y 00
27. y 000 + 3y 00 + 3y 0 + y = 0
28. y 000
29.
d4 y
dx4
30.
6y 00 + 12y 0
d4 y
dx4
+
d3 y
dx3
+
d2y
dx2
8y = 0
=0
2
d
2 dxy + y = 0
2
4
2
d
d
31. 16 dxy + 24 dxy + 9y = 0
4
2
32.
d4 y
dx4
d
7 dxy
2
33.
d5 y
dx5
dy
16 dx = 0
34.
d5 y
dx5
d
d
2 dxy + 17 dxy = 0
4
3
35.
d5 y
dx5
5
2
18y = 0
4
3
4
d
2 dxy
3
d
+ 5 dxy
4
d
36. 2 dxy
5
4
3
2
d
10 dxy +
2
3
dy
dx
+ 5y = 0
2
d
d
d
7 dxy + 12 dxy + 8 dxy = 0
4
3
2
D En los problemas 37 a 52 resuelva cada ecuación diferencial, sujeta a las condiciones iniciales indicadas.
3

4. 37. y 00 + 16y = 0; y (0) = 2; y 0 (0) =
38. y 00
2
y = 0; y (0) = y 0 (0) = 1
39. y 00 + 6y 0 + 5y = 0; y (0) = 0; y 0 (0) = 3
40. y 00
41. 2y 00
42. y 00
8y 0 + 17y = 0; y (0) = 4; y 0 (0) =
2y 0 + y = 0; y (0) =
1
1; y 0 (0) = 0
2y 0 + y = 0; y (0) = 5; y 0 (0) = 10
43. y 00 + y 0 + 2y = 0; y (0) = y 0 (0) = 0
44. 4y 00
4y 0
3y = 0; y (0) = 1; y 0 (0) = 5
45. y 00 + 3y 0 + 2y = 0; y (1) = 0; y 0 (1) = 1
46. y 00 + y = 0; y
3
= 0; y 0
3
=2
47. y 000 + 12y 00 + 36y 0 = 0; y (0) = 0; y 0 (0) = 1; y 00 (0) =
48. y 000 + 2y 00
49. y 000
5y 0
7
6y = 0; y (0) = y 0 (0) = 0; y 00 (0) = 1
8y = 0; y (0) = 0; y 0 (0) =
1; y 00 (0) = 0
50.
d4 y
dx4
51.
d4 y
dx4
d
d
3 dxy + 3 dxy
3
2
52.
d4 y
dx4
y = 0; y (0) = y 0 (0) = y 00 (0) = 0; y 000 (0) = 1
= 0; y (0) = 2; y 0 (0) = 3; y 00 (0) = 4; y 000 (0) = 5
3
2
dy
dx
= 0; y (0) = y 0 (0) = 0; y 00 (0) = y 000 (0) = 1
E En los problemas de 53 a 56 resuelva la ecuación diferencial respectiva, sujeta a
las condiciones iniciales señaladas.
53. y 00
10y 0 + 25y = 0; y (0) = 1; y (1) = 0
54. y 00 + 4y = 0; y (0) = 0; y ( ) = 0
55. y 00 + y = 0; y 0 (0) = 0; y 0
56. y 00
2
=2
y = 0; y (0) = 1; y 0 (1) = 0
57. ¿Qué condiciones deben llenar los coe…cientes constantes a; b y c para garantizar que
todas las soluciones de la ecuación diferencial de segundo orden ay 00 + by 0 + cy = 0
sean acotadas en el intervalo [0; 1)?:
En los problemas 1 a 26 resuelba las ecuaciones diferenciales por coefícientes indeterminados.
1. y 00 + 3y 0 + 2y = 6
4

5. 2. 4y 00 + 9y = 15
3. y 00
10y 0 + 25y = 30x + 3
4. y 00 + y 0
5.
1 00
y
4
6. y 00
6y = 2x
+ y 0 + y = x2
2x
26xex
8y 0 + 20y = 100x2
7. y 00 + 3y =
48x2 e3x
8. 4y 00 + 4y 0
3y = cos 2x
9. y 00
3
y0 =
10. y 00 + 2y 0 = 2x + 5
2x
e
11. y 00
y 0 + 1 y = 3 + ex=2
4
12. y 00
16y = 2e4x
13. y 00 + 4y = 3 sen 2x
14. y 00 + 4y = (x2
3) sen 2x
15. y 00 + y = 2x sen x
16. y 00
5y 0 = 2x3
4x2
17. y 00
2y 0 + 5y = ex cos 2x
18. y 00
2y 0 + 2y = e2x (cos x
x+6
3 sen x)
19. y 00 + 2y 0 + y = sen x + 3 cos 2x
20. y 00 + 2y 0
24y = 16 (x + 2) e4x
21. y 000
6y 00 = 3
22. y 000
2y 00
23. y 000
3y 00 + 3y 0
24. y 000
y 00
cos x
4y 0 + 8y = 6xe2x
y = x + 4ex
4y 0 + 4y = 5
25. y (4) + 2y 00 + y = (x
1)2
26. y (4)
ex + e2x
x
y 00 = 4x + 2xe
F En los problemas 1 a 10, resuelva la ecuación diferencial respectiva, sujeta a las
condiciones iniciales indicadas.
5

6. 1. y 00 + 4y =
2; y
= 1 ; y0
2
8
2. 2y 00 + 3y 0 + 2y = 14x2
3. 5y 00 + y 0 =
4x
8
=2
11; y (0) = 0; y 0 (0) = 0
6x; y (0) = 0; y 0 (0) =
4. y 00 + 4y 0 + 4y = (3 + x) e
5. y 00 + 4y 0 + 5y = 35e
4x
2x
10
; y (0) = 2; y 0 (0) = 5
; y (0) =
3; y 0 (0) = 1
6. y 00 + y = cosh x; (0) = 2; y 0 (0) = 12
7.
d2 x
dt2
+ w2 x = F0 sen wt; x (0) = 0; x0 (0) = 0
8.
d2 x
dt2
+ w2 x = F0 cos yt; x (0) = 0; x0 (0) = 0
9. y 000
2y 00 + y 0 = 2
10. y 000 + 8y = 2x
24ex + 40e5x ; y (0) = 1 ; y 0 (0) = 5 ; y 00 (0) =
2
2
5 + 8e
2x
; y (0) =
5; y 0 (0) = 3; y 00 (0) =
9
2
4
G En los problemas 1 y 3, resuelva la ecuación diferencial sujeta a las condiciones
en la frontera indicadas.
1. y 00 + y = x2 + 1; y (0) = 5; y (1) = 0
2. y 00
2y 0 + 2y = 2x
2; y (0) = 0; y ( ) =
3. Muchas veces, la función g(x) es discontinua en las aplicaciones. Resuelva el problema de valores iniciales
y 00 + 4y = g (x) ; y (0) = 1; y 0 (0) = 2;
en donde
sen x; 0 x
0;
x>
g (x) =
2
2
[Sugerencia: resuelva el problema en los dos intervalos y después determine una
solución tal que y y y 0 sean continuas en x = =2:]
H En los problemas 1 a 10 escriba la ecuación diferencial dada en la forma L (y) =
g (x) ; donde L es un operador diferencial lineal con coe…cientes. Si es posible,
factorice L:
1. 900 y
4y = sen x
2. y 00
5y = x2
3. y 00
4y
4. 2y 00
3y 0
2x
12y = x
6
2y = 1
5. y 000 + 10y 00 + 250 = ex
6. y 000 + 4y 0 = ex cos 2x
6

7. 7. y 000 + 2y 00
13y 0 + 10y = xe
8. y 000 + 4y 00 + 3y 0 = x2 cos x
x
3x
9. y (4) + 8y 0 = 4
10. y (4)
8y 00 + 16y = (x3
2x) e4x
I En los problemas 1 a 4, determine un operador diferencial lineal que anule la
función dada.
1. D4 ; y = 10x3
2x
2. 2D
1; y = 4ex=2
3. (D2
2) (D + 5) ; y = e2x + 3e
4. D2 + 64; y = 2 cos 8x
5x
5 sen 8x
J En los problemas 1 a 12, determine un operador diferencial lineal que anule la
función dada.
1. 1 + 6x
2x3
2. x3 (1 + 5x)
3. 1 + 7e2x
4. x + 3xe6x
5. cos 2x
6. 1 + sen x
7. 13x + 9x2
8. 8x
9. e
x
sen 4x
sen x + 10 cos 5x
+ 2xex
x2 ex
ex )2
10. (2
11. 3 + ex cos 2x
12. e
x
sen x
e2x cos x
K En los problemas 1 a 8, determine funciones lineales independientes que anulen
el operador diferencial dado.
1. D5
2. D2 + 4D
7

8. 3. (D
6) (2D + 3)
4. D2
9D
36
5. D2 + 5
6. D2
6D + 10
7. D3
10D2 + 25D
8. D2 (D
5) (D
7)
L En los problemas 1 a 30 resuelva la respectiva ecuación diferencial por el método
de los coe…cientes indeterminados.
1. y 00
2. 2y 00
9y = 54
7y 0 + 5y =
29
3. y 00 + y 0 = 3
4. y 000 + 2y 00 + y 0 = 10
5. y 00 + 4y 0 + 4y = 2x + 6
6. y 00 + 3y 0 = 4x
5
7. y 000 + y 00 = 8x2
8. y 00
2y 0 + y = x3 + 4x
9. y 00
y0
12y = e4x
10. y 00 + 2y 0 + 2y = 5e6x
11. y 00
2y 0
3y = 4ex
12. y 00 + 6y 0 + 8y = 3e
9
2x
+ 2x
13. y 00 + 25y = 6 sen x
14. y 00 + 4y = 4 cos x + 3 sen x
15. y 00 + 6y 0 + 9y =
16. y 00 + 3y 0
17. y 00
xe4x
10y = x (ex + 1)
y = x2 ex + 5
18. y 00 + 2y 0 + y = x2 e
19. y 00
8
x
2y 0 + 5y = ex sen x
8

9. 20. y 000 + y 0 + 1 y = ex (sen 3x
4
cos 3x)
21. y 00 + 25y = 20 sen 5x
22. y 00 + y = 4 cos x
sen x
23. y 00 + y 0 + y = x sen x
24. y 00 + 4y = cos2 x
25. y 000 + 8y 00 =
6x2 + 9x + 2
y = xex
26. y 000
y 00 + y 0
27. y 000
3y 00 + 3y 0
y = ex
e
x
+7
x + 16
2
3y 0 + 2y = (ex + e x )
28. 2y 000
3y 00
29. y (4)
2y 000 + y 00 = ex + 1
30. y (4)
4y 00 = 5x2
e2x
LL Resuelva la ecuación diferencial de cada uno de los problemas 1 a 8, sujeta a
las condiciones iniciales dadas.
1. y 00
64y = 16; y (0) = 1; y 0 (0) = 0
2. y 00
ty 0 = x; y (0) = 1; y 0 (0) = 0
3. y 00
5y 0 = x
4. y 00 + 5y 0
2; y (0) = 0; y 0 (0) = 2
6y = 10e2x ; y (0) = 1; y 0 (0) = 1
5. y 00 + y = 8 cos 2x
4 sen x; y
2
=
1; y 0
2
=0
6. y 000
2y 00 + y 0 = xex + 5; y (0) = 2; y 0 (0) = 2; y 00 (0) =
7. y 00
4y 0 + 8y = x3 ; y (0) = 2; y 0 (0) = 4
8. y (4)
1
y 000 = x + ex ; y (0) = 0; y 0 (0) = 0; y 00 (0) = 0; y 000 (0) = 0
M Resolver las siguientes ecuaciones de Cauchy Euler
1. x2 y 00 + xy 0
y=0
2. x2 y 00 + 3xy 0 + y = 0
3. x2 y 00 + 2xy 0 + 6y = 0
4. xy 00 + y 0 = 0
5. (x + 2)2 y 00 + 3 (x + 2) y 0
3y = 0
9

10. 6. (2x + 1)2 y 00
7. x2 y 000
2 (2x + 1) y 0 + 4y = 0
3xy 00 + 3y 0 = 0
8. x2 y 000 = 2y 0
9. (x + 1)2 y 000
12y 0 = 0
10. (2x + 1)2 y 000 + 2 (2x + 1) y 00 + y 0 = 0
11. x2 y 00 + xy 0 + y = x (6
12. x2 y 00
xy 0 + y = 2x
13. x2 y 00
xy 0
14. x2 y 00
2xy 0 + 2y = x2
ln x)
3y =
16 ln x
x
2x + 2
y = xm ; jmj = 1
6
15. x2 y 00 + xy 0
16. x2 y 00 + 4xy 0 + 2y = 2 ln2 x + 12x
N Utilice el método de Variación de Parámetros
1. y 00 + 4y =
1
cos 2x
2. y 00 + y = tan2 x
3. y 00
y=
4. y 00
y0 =
5. y 00 + y =
6. y 000
1
ex +1
p
1
sen5 x cos x
2y 00
7. y 00 + y =
8. y 00
2ex
ex 1
y 0 + 2y =
p
3
1
sen7 x cos8 x
2y 0 + y =
ex
x2 +1
9. y 00 + 2y 0 + 2y =
10. y 00
2x3 +x2 4x 6
x4
1
ex sen x
y 0 = e2x cos ex
1
x
11. y 00 + y 0 =
12. y 00 + 3y 0 + 2y =
13. y 00 + y =
x
(x+1)2
1
x2
10

11. 14.
Dx (D + 1) y =
et
x + (D 1) y = e2t
15.
(D + 2) x + (D + 1) y = t
5x + (D 3) y = t2
16.
(D + 1) x + (2D + 7) y = et + 2
2x + (D 3) y = et 1
(D 1) x + (D + 3) y = e t 1
(D + 2) x + (D + 1) y = e2t + t
17.
D2 + 16 x 6Dy = 0
6Dx + D2 + 16 y = 0
18.
D2 + 4 x + y = sen2 t
D2 + 1 y 2x = cos2 t
19.
D2 + D + 1 x + D2 + 1 y = et
D2 + D x + D2 y = e t
20.
(D 1) x + (D + 2) y = 1 + et
(D + 2) y + (D + 1) z = 2 + et
(D 1) x + (D + 1) z = 3 + et
21. Un peso de 2lb suspendido de un resorte lo estira 1:5pulgadas. Si el peso se hala
3pulgadas por debajo de la posición de equilibrio y se suelta:
(a) Establezca una ecuación diferencial y condiciones que describan el movimiento.
(b) Encuentre la velocidad y posición del peso como una función del tiempo.
11

12. (c) Encuentre la amplitud, el periodo y la frecuencia del movimiento.
(d) Determine la posición, velocidad y aceleración =64 seg. después de soltar el
peso.
22. Un peso de 3lb en un resorte lo estira 6 pulgadas. Cuando se alcanza el equilibrio
el peso se golpea con una velocidad hacia abajo de 2pies=seg: Encuentre:
(a) La velocidad y posición del peso en tiempo t seg. después del impacto;
(b) La amplitud, periodo y frecuencia;
(c) La velocidad y aceleración cuando el peso está 1 pulgada por encima de la
posición de equilibrio y se mueve hacia arriba.
23. Un resorte suspendido de un techo tiene una constante de 12lb=pie: Un peso de 8lb
se coloca en el resorte, y cuando se alcanza el equilibrio, el peso se eleva 5pulgadas
por encima de la posición de equilibrio y se suelta. Describa el movimiento dando
la amplitud, periodo y frecuencia.
24. Un peso de 256lb está suspendido de un resorte vertical el cual tiene una constante
de 200lb=pie: Si el peso se eleva 3pulgadas por encima de su posición de equilibrio
y se suelta:
(a) Encuentre la posición del peso en un tiempo =3 seg después y determine en
cuál dirección y qué tan rápido se está moviendo el peso en este tiempo.
(b) Encuentre la amplitud, periodo y frecuencia de la vibración.
(c) En qué tiempos está el peso 1:5 pulgadas por debajo de la posición de equilibrio
y movíendose hacia abajo?
25. Un peso de 64lb está suspendido de un resorte con constante 50lb=pie. El peso
está bajo la in‡
uencia de una fuerza resistente numéricamente en libras igual a 12
veces la velocidad instantanea en pies por segundo. Si el peso se hala 6pulgadas
por debajo de la posición de equilibrio y se suelta, describa el movimiento, dando
la amplitud tiempo variante y el periodo del movimiento.
26. Un resorte vertical con constante de 5lb=pie tiene suspendido un peso de 16lb: Se
aplica una fuerza externa dada por F (t) = 24 sen 10; t
0: Se asume que actúa
una fuerza amortiguadora dada numéricamente igual en libras 4v, donde v es la
velocidad instantánea del peso en pies por segundo. Inicialmente el peso está en
reposo en su posición de equilibrio. Determine la posición del peso en cualquier
tiempo. Indique las soluciones transitoria y de estado estacionario. Encuentre la
amplitud, periodo y frecuencia de la solució de estado estacionario.
27. Un resorte vertical con constante de 8lb=pie tiene suspendido un peso de 64lb: Se
aplica una fuerza dada por F (t) = 16 cos 4t; t 0: Asumiendo que al peso, inicialmente en la posición de equilibrio, se le da una velocidad hacia arriba de 10pies=seg:
y en la posicion de equilibrio, se le da una velocidad hacia arriba de 10pies/seg. y
12

13. que la fuerza amortiguadora es despreciables, determine la posición y velocidad del
peso en cualquier tiempo.Un resorte vertical con constante de 4lb=pie tiene acoplado
un peso de 32lb. Se aplica una fuerza dada por F (t) = 16 sen 2t; t 0: Asumiendo
que en t = 0 el peso está en reposo en la posición de equilibrio y que la fuerza amortiguadora es despreciable. Establezca una ecuación diferencial y condiciones que
describan el movimiento; Determine la posición y velocidad del peso en cualquier
tiempo.
28. Se encontró experimentalmente que un peso de 4lb estira un resorte 6 pulgadas. Si
el peso se suelta desde la posicion de equilibrio con una velocidad dirigida hacia
abajo de 4pul/s, determine:
(a) La ecuación diferencial y condiciones iniciales que describen el movimiento.
(b) La ecuación del movimiento.
(c) La posición, velocidad y aceleración del peso 2 segundos después.
29. Una fuerza de 9lb estira un resorte 3 pulgadas. Un cuerpo que pesa 24 lb se sujeta
a un resorte y se suelta desde un punto que está 3 pulgadas abajo de la posición de
equilibrio con una velocidad dirigida hacia arriba de 36pulgadas/s.
(a) Determine la ecuación del movimiento x (t) :
(b) ¿En qué instante pasa el cuerpo por la posición de equilibrio en dirección hacia
arriba por tercera vez?
(c) ¿En que instantes está el cuerpo 3 pulgadas abajo de la posición de equilibrio?
30. Una fuerza de 10 N estira un resorte 0:125m. Después, al extremo libre de ese
resorte se …ja una masa de 5kg:
(a) Encuentre la ecuación del movimiento si la masa se suelta desde un punto que
está a 0:4m arriba de la posición de equilibrio con una velocidad dirigida hacia
abajo de 1:2m=s:
(b) Escriba la ecuación del movimiento en su forma alternativa.
(c) ¿Cuántas oscilaciones completas realiza el cuerpo durante un intervalo de 8
segundos?
31. Cuando se sujeta una masa de 100kg al extremo de un gran resorte, éste se estira
0:98m: Se quita esta masa y se reemplaza por una de 40kg; la cual se suelta desde un
punto que está 0:6m debajo de la posición de equilibrio, con una velocidad dirigida
haacia arriba de 4m=s:
(a) Determine la ecuación del movimiento.
(b) Escriba la ecuación del movimiento en su forma alternativa.
(c) Obtenga los instantes en los cuales el cuerpo pasa por la posición de equilibrio.
13

14. 32. Un cuerpo de 2kg se suspende de un resorte de constante 162N=m:
(a) Encuentre la ecuación del movimiento si la masa se suelta desde un punto a
0:1m sobre la posición de equilibrio con una velocidad dirigida hacia arriba de
1:2m=s:
(b) Escriba la ecuación del movimiento en su forma alternativa.
(c) Obtenga los instantes en los cuales el cuerpo pasa por la posición de equilibrio
moviéndose hacia arriba.
(d) ¿En qué posición se encuentra el cuerpo para t = =8; =9; =3?
33. Se encontró experimentalmente que un cuerpo de 4lb estira un resorte 6pulgadas.
El medio ofrece una resistencia al movimiento del cuerpo numéricamente igual a 2:5
veces la velocidad instantánea. Encuentre la ecuación del movimiento si el peso se
desplaza 4 pulgadas por debajo de la posicición de equilibrio y se suelta.
34. Se encontró experimentalmente que un cuerpo de 4lb estira un resorte 6pulgadas.
El medio ofrece una resistencia al movimiento del cuerpo numéricamente igual a 2
veces la velocidad instantánea. Encuentre la ecuación del movimiento si el peso se
desplaza 4 pulgadas por debajo de la posicición de equilibrio y se suelta.
35. Después de que un cuerpo que pesa 10lb se sujeta a un resorte de 5f t de largo,
el resorte mide 7f t: Se quita el cuerpo de 10lb y se reemplaza por uno de 8lb: El
sistema completo se coloca en un medio que ofrece una resistencia numéricamente
igual a la velocidad instantánea.
(a) Obtenga la ecuación del movimiento si el peso se suelta desde un punto que se
encuentra 1=2f t abajo de la posición de equilibrio con una velocidad dirigida
hacia abajo de 1f t=s:
(b) Encuentre los instantes en los cuales el cuerpo pasa por la posición de equilibrio
en dirección hacia abajo.
36. Un peso de 2lb está sujeto a un resorte el cual tiene una constante de elasticidad
de 4lb=f t: El peso se suelta desde un punto que se encuentra 6pulgadas abajo de la
posición de equilibrio con una velocidad dirigida hacia abajo de 2f t=s; en un medio
que presenta una resistencia al movimiento numéricamente igual a la velocidad instantánea. Determine:
(a) La ecuación del movimiento.
(b) Los instantes en los cuales el cuerpo pasa por la posición de equilibrio.
(c) Los desplazamientos extremos del peso.
37. Un resorte vertical con constante de 6lb=f t tiene suspendida una masa de 1=2slug:
Se aplica una fuerza externa dada por f (t) = 40 sen 2t, t 0. Supóngase que actúa
una fuerza amortiguadora numéricamente igual a dos veces la velocidad instantánea
y que inicialmente el cuerpo está en reposo en su posición de equilibrio. Determine
la posición del cuerpo en cualquier tiempo t > 0:
14

15. 38. Un peso de 4lb se suspende de un resorte cuya constante es de k = 8lb=f t: Suponga
que una fuerza externa dada por f (t) = 4 cos 8t se aplica al resorte y que no hay
amortiguamiento. Describa el movimiento que resulta si se asume que inicialmente
el peso está en la posición de equilibrio y que su velocidad inicial es cero.
39. Una masa de 1slug se encuentra suspendida de un resorte de constante de elasticidad
igual a 4lb=f t y el sistema está inmerso en un medio que ofrece una resistencia
numéricamente igual a 5 veces la velocidad instantánea. Si la masa se suelta 6
pulgadas arriba de la posición de equilibrio con una velocidad dirigida hacia abajo
de 4f t=s: Encuentre la ecuación del movimiento, si actúa una fuerza externa sobre
la masa dad por f (t) = 20 cos 2t + 10 sen 2t:
40. Un peso de 32lb se sujeta a un resorte de constante de elasticidad igual a 5lb=f t. El
peso y el resorte se sumergen en un medio que ofrece una resistencia numéricamente
igual a 6 veces la velocidad instantánea. El movimiento se inicia en un punto que
se encuentra a 4 pulgadas abajo de la posición de equilibrio y partiendo del reposo.
Encuentre la ecuación del movimiento si sobre el peso se aplica una fuerza externa
igual a f (t) = e t .
41. Un resorte tiene una constante de elasticidad igual a 1lb=f t. Un peso de 8lb se
suspende de un extremo del resorte y el sistema se coloca en un medio que ofrece
una resistencia numéricamente igual a la velocidad instantánea. Si el peso se suelta
en resposo, 4 pulgadas sobre la posición de equilibrio y sobre él actúa una fuerza
externa f (t) = 25 sen 4t, obtenga la ecuación del movimiento y su grá…ca.
42. Un peso de 3:2lb estira un resorte 6:4f t. Si el peso se suelta 3 pulgadas abajo
de la posición de equilibrio con una velocidad dirigida hacia abajo de 6f t=s y el
medio en que está el sistema masa resorte ofrece una fuerza de amortiguamiento
numéricamente igual a la quinta parte de la velocidad instantánea, determine la
ecuación del movimiento si además se aplica al peso una fuerza externa dada por
f (t) = e t cos 2t:
15