Este documento describe un estudio sobre la eficiencia de métodos aproximados con el software Mathematica para determinar las raíces de ecuaciones no lineales en estudiantes de ingeniería. El estudio utilizará un diseño cuasi-experimental con dos grupos, uno experimental y uno de control, a los que se les aplicarán pruebas de entrada y salida. El objetivo es determinar si los métodos aproximados con Mathematica producen resultados superiores en el grupo experimental.

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO PUNOUNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO PUNO
ESCUELA DE POST GRADOESCUELA DE POST GRADO
MAESTRIA EN EDUCACIONMAESTRIA EN EDUCACION
““EFICIENCIA DE MÉTODOS APROXIMADOS CONEFICIENCIA DE MÉTODOS APROXIMADOS CON
SOFTWARE MATHEMÁTICA EN LA DETERMINACIÓN DESOFTWARE MATHEMÁTICA EN LA DETERMINACIÓN DE
RAÍCES DE ECUACIONES NO LINEALES EN ESTUDIANTESRAÍCES DE ECUACIONES NO LINEALES EN ESTUDIANTES
DE INGENIERÍA UNA - PUNO”DE INGENIERÍA UNA - PUNO”
TESISTESIS
PRESENTADO POR:PRESENTADO POR:
Bach. RUBEN TICONA HUAYHUABach. RUBEN TICONA HUAYHUA
PARA OPTAR EL GRADO ACADEMICO DE:PARA OPTAR EL GRADO ACADEMICO DE:
MAGISTER SCIENTIEA EN EDUCACIONMAGISTER SCIENTIEA EN EDUCACION
MENCION DIDACTICA DE LA MATEMATICAMENCION DIDACTICA DE LA MATEMATICA
PUNO-PERUPUNO-PERU
20102010

2. CAPITULO ICAPITULO I
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA DEPLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA DE
INVESTIGACIONINVESTIGACION
1.1 Descripción del Problema1.1 Descripción del Problema
1.2 Enunciado del Problema1.2 Enunciado del Problema
1.3 Justificación de la Investigación1.3 Justificación de la Investigación
1.4 Objetivos de la Investigación1.4 Objetivos de la Investigación

3. 1.1 DESCRIPCIÓN DEL1.1 DESCRIPCIÓN DEL
PROBLEMAPROBLEMA
A)A) Si se tiene el polinomio de tercer grado de laSi se tiene el polinomio de tercer grado de la
forma:forma:
B)B) Mas aún, si se tiene la ecuación no lineal deMas aún, si se tiene la ecuación no lineal de
la forma:la forma:
El trabajo de investigación está orientado aEl trabajo de investigación está orientado a
utilizar los métodos aproximados con el usoutilizar los métodos aproximados con el uso
del software “mathematica” en el aprendizajedel software “mathematica” en el aprendizaje
de métodos numéricos, en estudiantes dede métodos numéricos, en estudiantes de
ingeniería.ingeniería.
3 2
0ax bx cx d+ + + =
2
( ) 3 0x
x xsen x x e+ − + =

4. 1.2 ENUNCIADO DEL1.2 ENUNCIADO DEL
PROBLEMAPROBLEMA
¿De que manera es eficiencia los¿De que manera es eficiencia los
métodos aproximados con softwaremétodos aproximados con software
“Mathemática” en la determinación de las“Mathemática” en la determinación de las
raíces de ecuaciones no lineales en losraíces de ecuaciones no lineales en los
estudiantes de ingeniería de laestudiantes de ingeniería de la
Universidad Nacional del Altiplano Puno?Universidad Nacional del Altiplano Puno?

5. 1.3 JUSTIFICACIÓN DE LA1.3 JUSTIFICACIÓN DE LA
INVESTIGACIÓNINVESTIGACIÓN
En la solución de problemas deEn la solución de problemas de
ecuaciones no lineales los docentes yecuaciones no lineales los docentes y
estudiantes tienen dificultades en laestudiantes tienen dificultades en la
obtención de raíces, por los métodosobtención de raíces, por los métodos
exactos, motivo por el que surge comoexactos, motivo por el que surge como
alternativa de solución los métodosalternativa de solución los métodos
aproximados.aproximados.

6. 1.4 OBJETIVOS DE LA1.4 OBJETIVOS DE LA
INVESTIGACIÓNINVESTIGACIÓN
1.4.1. OBJETIVO GENERAL1.4.1. OBJETIVO GENERAL
Determinar la eficiencia de los métodos aproximados con el usoDeterminar la eficiencia de los métodos aproximados con el uso
software “mathemática” en la determinación de las raíces desoftware “mathemática” en la determinación de las raíces de
ecuaciones no lineales en estudiantes de ingeniería de laecuaciones no lineales en estudiantes de ingeniería de la
Universidad Nacional del Altiplano Puno.Universidad Nacional del Altiplano Puno.
1.4.2. OBJETIVOS ESPECIFICOS1.4.2. OBJETIVOS ESPECIFICOS
 Diagnosticar el nivel de aprendizaje de métodos numéricos en losDiagnosticar el nivel de aprendizaje de métodos numéricos en los
estudiantes de ingeniería del grupo control y experimental.estudiantes de ingeniería del grupo control y experimental.
 Aplicar los métodos aproximados en la determinación de raícesAplicar los métodos aproximados en la determinación de raíces
de ecuaciones no lineales en estudiantes de ingeniería haciendode ecuaciones no lineales en estudiantes de ingeniería haciendo
uso software “mathematica”.uso software “mathematica”.
 Evaluar el nivel de aprendizaje de los estudiantes del grupoEvaluar el nivel de aprendizaje de los estudiantes del grupo
control y experimental después de la aplicación de métodoscontrol y experimental después de la aplicación de métodos
aproximados en la determinación de raíces de ecuaciones noaproximados en la determinación de raíces de ecuaciones no
lineales haciendo uso de software “mathemática”.lineales haciendo uso de software “mathemática”.

7. CAPITULO IICAPITULO II
MARCO TEÓRICOMARCO TEÓRICO
2.1 Antecedentes de la Investigación2.1 Antecedentes de la Investigación
2.2 Sustento Teórico2.2 Sustento Teórico
2.3 Marco Conceptual2.3 Marco Conceptual
2.4 Hipótesis de la Investigación2.4 Hipótesis de la Investigación
2.5 Sistema de Variables2.5 Sistema de Variables

8. 2.1 ANTECEDENTES DE LA2.1 ANTECEDENTES DE LA
INVESTIGACIÓNINVESTIGACIÓN
Entre los antecedentes relacionados con el problema deEntre los antecedentes relacionados con el problema de
investigación se tienen:investigación se tienen:
1) Amat, Bermudez, Busquier y Plaza, en la tesis titulada “ESTUDIO1) Amat, Bermudez, Busquier y Plaza, en la tesis titulada “ESTUDIO
UNIFICADO DE METODOS DE ALTO ORDEN PARAUNIFICADO DE METODOS DE ALTO ORDEN PARA
ECUACIONES NO LINEALES”ECUACIONES NO LINEALES”, llegan a la siguiente, llegan a la siguiente
conclusión:conclusión:
En la investigación se estudia una familia general deEn la investigación se estudia una familia general de
métodos iterativos de alto orden para la aproximación demétodos iterativos de alto orden para la aproximación de
ecuaciones no lineales. Los métodos están compuestosecuaciones no lineales. Los métodos están compuestos
de dos pasos. El segundo de ellos depende de unade dos pasos. El segundo de ellos depende de una
función auxiliarfunción auxiliar GG que determina el método. Si la funciónque determina el método. Si la función
GG es regular, entonces el orden del primer paso se vees regular, entonces el orden del primer paso se ve
incrementado en al menos dos unidades.incrementado en al menos dos unidades.

9. 2) MORALES BITAR, en la tesis titulada”2) MORALES BITAR, en la tesis titulada”VENTAJAS YVENTAJAS Y
DESVENTAJAS DE LOS MÉTODOSDESVENTAJAS DE LOS MÉTODOS
ITERATIVOSITERATIVOS COMPARADOS CON LOSCOMPARADOS CON LOS
MÉTODOS DIRECTOSMÉTODOS DIRECTOS " en" en la solución de sistemasla solución de sistemas
lineales, que llega a las siguienteslineales, que llega a las siguientes conclusiones.conclusiones.
VENTAJAS DESVENTAJAS
• Probablemente más eficientes que los directos
para sistemas de orden muy alto.
• Más simples de programar.
• Puede aprovecharse una aproximación a la
solución, si tal aproximación existe.
• Se obtiene la solución fácilmente aproximando
los valores de las incognitas.
• Son menos sensibles a los errores de
redondeo (valioso en sistemas mal
condicionados).
• Se requiere menos memoria de máquina,
generalmente las necesidades de memoria
son proporcionales al orden de la matriz
• Si se tienen varios sistemas que comparten la
matriz coeficiente, esto no representará ahorro
de cálculos ni tiempo de máquina, ya que por
cada vector a la derecha de A tendrá que
aplicarse el método seleccionado.
• Aún cuando la convergencia este asegurada,
puede ser lenta y por lo tanto, los cálculos
requeridos para obtener una solución particular
no son predecibles.
• El tiempo de máquina y la exactitud del
resultado dependen del criterio de
convergencia.
• Si la convergencia es lenta, los resultados
deben interpretarse con cautela.
• No se tiene ventaja particular alguna (tiempo de
máquina por iteración) si la matriz coeficiente
es simétrica.
• No se obtiene la inversa de A ni el
determinante de A.

10. 2.2 MARCO TEÓRICO2.2 MARCO TEÓRICO
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE (Anexo 7 y 8)ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE (Anexo 7 y 8)
Problema.- Usando el método de punto fijoProblema.- Usando el método de punto fijo
resolver la ecuación:resolver la ecuación:
SoluciónSolución
Paso1.- Transformamos (1) a la forma x=g(x);Paso1.- Transformamos (1) a la forma x=g(x);
esto es:esto es:
3
( ) 3 1 0..........(1)f x x x= − + =
3 3
1 1
/ ( )
3 3
x x
x g x
+ +
= =

11. Paso2: Graficamos las funciones (conPaso2: Graficamos las funciones (con
ayudaayuda de software “mathemática”)de software “mathemática”)
3
1
,
3
x
y x y
+
= =
-3 -2 -1 1 2 3
-2
-1
1
2

12. Paso3: Elegimos : aproximación inicialPaso3: Elegimos : aproximación inicial
Paso4: Aplicamos el criterio , enPaso4: Aplicamos el criterio , en
efecto:efecto:
Entonces g(x) conduce a una convergencia.Entonces g(x) conduce a una convergencia.
Paso5: Usamos el algoritmo del punto fijo:Paso5: Usamos el algoritmo del punto fijo:
Proceso de iteración:Proceso de iteración:
SiSi
0x
0 0.2x =
'
0( ) 1g x <
' 2 ' 2
( ) (0.2) (0.2) 0.04 1g x x g= ⇒ = = <
1
3
n
( );
1
= , 0,
3
n nx g x
x
n n N
+ =
+
∀ ≥ ∈
1 0
3
0
3
1
0, ( )
1
=
3
(0.2) 1
=
3
= 0.336
n x g x
x
x
= ⇒ =
+
+

13. SiSi
Siguiendo el mismo proceso obtenemos laSiguiendo el mismo proceso obtenemos la
siguiente tabla:siguiente tabla:
2 1
3
1
3
2
1, ( )
1
=
3
(0.336) 1
=
3
= 0.3459776853
n x g x
x
x
= ⇒ =
+
+

14. 2.4 HIPOTESIS DE LA2.4 HIPOTESIS DE LA
INVESTIGACIÓNINVESTIGACIÓN
2.4.1 HIPOTESIS GENERAL2.4.1 HIPOTESIS GENERAL
Los métodos aproximados con software “mathemática” sonLos métodos aproximados con software “mathemática” son
eficientes en la determinación de raíces de ecuaciones no linealeseficientes en la determinación de raíces de ecuaciones no lineales
en estudiantes de ingeniería de la Universidad Nacional delen estudiantes de ingeniería de la Universidad Nacional del
Altiplano-Puno.Altiplano-Puno.
2.4.2 HIPOTESIS ESPECIFICOS2.4.2 HIPOTESIS ESPECIFICOS
11. El nivel de aprendizaje de los métodos numéricos en los. El nivel de aprendizaje de los métodos numéricos en los
estudiantes de ingeniería es deficiente y homogéneo en la pruebaestudiantes de ingeniería es deficiente y homogéneo en la prueba
de entrada.de entrada.
22. Los métodos aproximados con el uso de software “mathemática”. Los métodos aproximados con el uso de software “mathemática”
permite la interacción de los estudiantes del grupo experimental enpermite la interacción de los estudiantes del grupo experimental en
comparación al grupo control.comparación al grupo control.
33. Los métodos aproximados con el uso de software “mathematica”. Los métodos aproximados con el uso de software “mathematica”
produce resultados superiores en el grupo experimental enproduce resultados superiores en el grupo experimental en
comparación al grupo control.comparación al grupo control.

15. CAPITULO IIICAPITULO III
DISEÑO METODOLOGICODISEÑO METODOLOGICO
3.1 TIPO Y DISEÑO DE INVESTIGACIÓN3.1 TIPO Y DISEÑO DE INVESTIGACIÓN
3.1.1 TIPO DE INVESTIGACIÓN3.1.1 TIPO DE INVESTIGACIÓN
La investigación es de tipo experimental y está enmarcado dentro del enfoque cuantitativo enLa investigación es de tipo experimental y está enmarcado dentro del enfoque cuantitativo en
el que se manipulan deliberadamente una o más variables independientes (supuestasel que se manipulan deliberadamente una o más variables independientes (supuestas
causas) para analizar las consecuencias de la manipulación que generan efectos sobre una ocausas) para analizar las consecuencias de la manipulación que generan efectos sobre una o
más variables dependientes (supuestos efectos) dentro del entorno de control.más variables dependientes (supuestos efectos) dentro del entorno de control.
( HERNANDEZ, 2000:107)( HERNANDEZ, 2000:107)
3.1.2 DISEÑO DE INVESTIGACIÓN3.1.2 DISEÑO DE INVESTIGACIÓN
El diseño de investigación adoptado es cuasi experimental con dos grupos, los cuales seEl diseño de investigación adoptado es cuasi experimental con dos grupos, los cuales se
administran la pre prueba y la post prueba al grupo experimental y control.administran la pre prueba y la post prueba al grupo experimental y control.
El diseño tiene el siguiente diagrama:(HERNANDEZ.2000,107).El diseño tiene el siguiente diagrama:(HERNANDEZ.2000,107).
Diagrama del diseño de investigación cuasi experimental.Diagrama del diseño de investigación cuasi experimental.
P.E.P.E. : Prueba de entrada: Prueba de entrada
P.S.P.S. : Prueba de salida: Prueba de salida
XX : Con tratamiento: Con tratamiento
-- : Sin tratamiento: Sin tratamiento
2O1O

16. CAPITULO IVCAPITULO IV
ANALISIS E INTERPRETACIÓN DEANALISIS E INTERPRETACIÓN DE
RESULTADOSRESULTADOS
4.1 RESULTADOS DE LA PRE PRUEBA DEL4.1 RESULTADOS DE LA PRE PRUEBA DEL
GRUPO CONTROL Y EXPERIMENTAL.GRUPO CONTROL Y EXPERIMENTAL.
A los 42 estudiantes del grupo de control y 30 estudiantes del grupo experimental se aplicó pre prueba elA los 42 estudiantes del grupo de control y 30 estudiantes del grupo experimental se aplicó pre prueba el
cual tuvo una duración de 2 horas pedagógicas, los resultados obtenidos se presentan en los siguientescual tuvo una duración de 2 horas pedagógicas, los resultados obtenidos se presentan en los siguientes
cuadros.cuadros.
4.1.14.1.1 HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS DE G.E.HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS DE G.E.
YY G.C, EN LA PRE PRUEBA.G.C, EN LA PRE PRUEBA.
FuenteFuente : Cuadro 6 y 7: Cuadro 6 y 7
ElaboraciónElaboración : investigador: investigador

17. 4.1.24.1.2 PRUEBA DE DIFERENCIA DE MEDIASPRUEBA DE DIFERENCIA DE MEDIAS
ENTRE EL GRUPO CONTROL Y EL GRUPOENTRE EL GRUPO CONTROL Y EL GRUPO
EXPERIMENTAL PRE PRUEBA.EXPERIMENTAL PRE PRUEBA.
Para determinar la diferencia de aprendizajes en los estudiantes entre el grupo control y experimental se usa laPara determinar la diferencia de aprendizajes en los estudiantes entre el grupo control y experimental se usa la
estadística de prueba Zeta, en virtud a que la población estudiantil en estudio es mayor a 30, dicha prueba seestadística de prueba Zeta, en virtud a que la población estudiantil en estudio es mayor a 30, dicha prueba se
detalla continuación:detalla continuación:
Estadígrafos de los grupos control y experimentalEstadígrafos de los grupos control y experimental
Fuente : Cuadros 8 y 9.Fuente : Cuadros 8 y 9.
Elaboración : El investigador.Elaboración : El investigador.
Establecemos la región de rechazo (RR) y la región de aceptación (RA)Establecemos la región de rechazo (RR) y la región de aceptación (RA)
Finalmente se interpreta el valor de Zc del siguiente modo:Finalmente se interpreta el valor de Zc del siguiente modo:
Dado que: , entonces se acepta la hipótesis nula consecuentemente se rechaza la hipótesisDado que: , entonces se acepta la hipótesis nula consecuentemente se rechaza la hipótesis
alterna.alterna.
Conclusión.-Conclusión.-Antes de la aplicación del método aproximado ambos grupos parten en igualdad deAntes de la aplicación del método aproximado ambos grupos parten en igualdad de
condiciones(homogeneidad en el aprendizaje) cumpliendo con uno de los criterios de validez interna de lacondiciones(homogeneidad en el aprendizaje) cumpliendo con uno de los criterios de validez interna de la
investigación.investigación.
0.4049 1.96C tZ Z= < =

18. 4.2 RESULTADOS DE LA POST PRUEBA DEL4.2 RESULTADOS DE LA POST PRUEBA DEL
GRUPO CONTROL Y EXPERIMENTAL.GRUPO CONTROL Y EXPERIMENTAL.
A los 22 de los estudiantes del grupo experimental y a 37 estudiantes del grupo de controlA los 22 de los estudiantes del grupo experimental y a 37 estudiantes del grupo de control
se aplicó post prueba el cual tuvo una duración de 2 horas pedagógicas, los resultadosse aplicó post prueba el cual tuvo una duración de 2 horas pedagógicas, los resultados
obtenidos se presentan en los siguientes cuadrosobtenidos se presentan en los siguientes cuadros..
4.2.14.2.1 HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS DE G.E.HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS DE G.E.
YY G.C, EN LA POST PRUEBA -2009G.C, EN LA POST PRUEBA -2009
Fuente : Cuadros 11 Y 12.Fuente : Cuadros 11 Y 12.
Elaboración : Investigador.Elaboración : Investigador.

19. 4.1.24.1.2 PRUEBA DE DIFERENCIA DE MEDIAS DEPRUEBA DE DIFERENCIA DE MEDIAS DE
LA POST PRUEBA ENTRE EL GRUPOLA POST PRUEBA ENTRE EL GRUPO
CONTROL Y EL GRUPO EXPERIMENTALCONTROL Y EL GRUPO EXPERIMENTAL
Para determinar la diferencia de aprendizajes en los estudiantes entre el grupo control y experimental se usa laPara determinar la diferencia de aprendizajes en los estudiantes entre el grupo control y experimental se usa la
estadística de prueba Zeta, en virtud a que la población estudiantil en estudio es mayor a 30, dicha prueba seestadística de prueba Zeta, en virtud a que la población estudiantil en estudio es mayor a 30, dicha prueba se
detalla continuación:detalla continuación:
Estadígrafos de los grupos control y experimentalEstadígrafos de los grupos control y experimental
Fuente : Cuadros 13 Y 14.Fuente : Cuadros 13 Y 14.
Elaboración : El investigador.Elaboración : El investigador.
Establecemos la región de rechazo (RR) y la región de aceptación (RA)Establecemos la región de rechazo (RR) y la región de aceptación (RA)
Finalmente se interpreta el valor de Zc del siguiente modo:Finalmente se interpreta el valor de Zc del siguiente modo:
Dado que: , entonces se rechaza la hipótesis nula consecuentemente se acepta laDado que: , entonces se rechaza la hipótesis nula consecuentemente se acepta la
hipótesis alterna.hipótesis alterna.
ConclusiónConclusión.- Después de la aplicación del método aproximado con software ”mathemática“ en la determinación.- Después de la aplicación del método aproximado con software ”mathemática“ en la determinación
de raíces de ecuaciones no lineales, los estudiantes del grupo experimental, en promedio de notas es mayor ende raíces de ecuaciones no lineales, los estudiantes del grupo experimental, en promedio de notas es mayor en
comparación con el promedio de notas de los estudiantes del grupo de control y este resultado es en virtud acomparación con el promedio de notas de los estudiantes del grupo de control y este resultado es en virtud a
que el material didáctico utilizado es eficiente en los resultados y en el tiempo.que el material didáctico utilizado es eficiente en los resultados y en el tiempo.
9.26424 1.96C tZ Z= > =

20. CONCLUSIONESCONCLUSIONES
PRIMERA.-PRIMERA.- Los métodos aproximados de solución de ecuaciones noLos métodos aproximados de solución de ecuaciones no
lineales son eficientes en la determinación de los ceros de una función conlineales son eficientes en la determinación de los ceros de una función con
el uso de software “mathemática” en los estudiantes del quinto semestre deel uso de software “mathemática” en los estudiantes del quinto semestre de
la escuela profesional de ingeniería electrónica, en virtud a que el promediola escuela profesional de ingeniería electrónica, en virtud a que el promedio
de notas de los estudiantes del grupo experimental es mayor que elde notas de los estudiantes del grupo experimental es mayor que el
promedio de notas de los estudiantes del grupo control.promedio de notas de los estudiantes del grupo control.
SEGUNDA.-SEGUNDA.-El nivel de conocimiento de los estudiantes de métodosEl nivel de conocimiento de los estudiantes de métodos
aproximados antes del experimento es homogéneo y este resultado seaproximados antes del experimento es homogéneo y este resultado se
comprueba observando el promedio de notas de los estudiantes en la precomprueba observando el promedio de notas de los estudiantes en la pre
prueba en los grupos control y experimental.prueba en los grupos control y experimental.
TERCERATERCERA.-Durante el desarrollo de los fundamentos teóricos de los.-Durante el desarrollo de los fundamentos teóricos de los
métodos aproximados se observó que el aprendizaje de los estudiantes demétodos aproximados se observó que el aprendizaje de los estudiantes de
ingeniería electrónica mejora y esta se comprobó en las sesiones deingeniería electrónica mejora y esta se comprobó en las sesiones de
aprendizaje mejorando las participaciones de los estudiantes.aprendizaje mejorando las participaciones de los estudiantes.
CUARTACUARTA.-.- Después de aplicar los métodos aproximados con softwareDespués de aplicar los métodos aproximados con software
“mathematica” en la determinación de raíces de ecuaciones no lineales se“mathematica” en la determinación de raíces de ecuaciones no lineales se
comprueba que el aprendizaje de los contenidos conceptualescomprueba que el aprendizaje de los contenidos conceptuales
procedimentales y actitudinales en el grupo experimental se incrementa enprocedimentales y actitudinales en el grupo experimental se incrementa en
el promedio de notas de los estudiantes de 2.5 en la pre prueba a 13.5 enel promedio de notas de los estudiantes de 2.5 en la pre prueba a 13.5 en
la post prueba, en cambio en el grupo control el promedio de notas de losla post prueba, en cambio en el grupo control el promedio de notas de los
estudiantes es 2.2 en la pre prueba y 9.4 en la post prueba; lo cualestudiantes es 2.2 en la pre prueba y 9.4 en la post prueba; lo cual
demuestra que los métodos aproximados con el uso de softwaredemuestra que los métodos aproximados con el uso de software
“mathemática” es eficiente.“mathemática” es eficiente.

21. SUGERENCIASSUGERENCIAS
PRIMERAPRIMERA.-En la enseñanza-aprendizaje de los métodos.-En la enseñanza-aprendizaje de los métodos
aproximados para resolver ecuaciones no lineales, se sugiere usaraproximados para resolver ecuaciones no lineales, se sugiere usar
software ”mathemática” como material didáctico, ya que su manejosoftware ”mathemática” como material didáctico, ya que su manejo
es relativamente fácil, el mismo que ayuda a estimar los gráficos yes relativamente fácil, el mismo que ayuda a estimar los gráficos y
valores de las raíces aproximadas con facilidad.valores de las raíces aproximadas con facilidad.
SEGUNDASEGUNDA.-Se recomienda a los estudiantes y docentes.-Se recomienda a los estudiantes y docentes
dedicados en la investigación elegir la teoría de aproximaciones ydedicados en la investigación elegir la teoría de aproximaciones y
programación digital como fundamentos básicos en el modeladoprogramación digital como fundamentos básicos en el modelado
matemático de fenómenos físicos, económicos y sociales.matemático de fenómenos físicos, económicos y sociales.
TERCERATERCERA.-Se sugiere a las autoridades de la Universidad.-Se sugiere a las autoridades de la Universidad
Nacional del Altiplano-Puno, Implementar las aulas virtuales para laNacional del Altiplano-Puno, Implementar las aulas virtuales para la
enseñanza-aprendizaje de los fundamentos básicos de los métodosenseñanza-aprendizaje de los fundamentos básicos de los métodos
aproximados e innovar las aulas de enseñanza con equipos deaproximados e innovar las aulas de enseñanza con equipos de
tecnología conducente a ser una institución de excelenciatecnología conducente a ser una institución de excelencia
académica acreditada y reconocida por la sociedad; con liderazgoacadémica acreditada y reconocida por la sociedad; con liderazgo
en la Región Andina, en el desarrollo de las ciencias, la tecnologíaen la Región Andina, en el desarrollo de las ciencias, la tecnología
y las humanidades.y las humanidades.

22. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO PUNOUNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO PUNO
ESCUELA DE POST GRADOESCUELA DE POST GRADO
MAESTRIA EN EDUCACIONMAESTRIA EN EDUCACION
““EFICIENCIA DE MÉTODOS APROXIMADOS CONEFICIENCIA DE MÉTODOS APROXIMADOS CON
SOFTWARE MATHEMÁTICA EN LA DETERMINACIÓN DESOFTWARE MATHEMÁTICA EN LA DETERMINACIÓN DE
RAÍCES DE ECUACIONES NO LINEALES EN ESTUDIANTESRAÍCES DE ECUACIONES NO LINEALES EN ESTUDIANTES
DE INGENIERÍA UNA - PUNO”DE INGENIERÍA UNA - PUNO”
TESISTESIS
PRESENTADO POR:PRESENTADO POR:
Bach. RUBEN TICONA HUAYHUABach. RUBEN TICONA HUAYHUA
PARA OPTAR EL GRADO ACADEMICO DE:PARA OPTAR EL GRADO ACADEMICO DE:
MAGISTER SCIENTIEA EN EDUCACIONMAGISTER SCIENTIEA EN EDUCACION
MENCION DIDACTICA DE LA MATEMATICAMENCION DIDACTICA DE LA MATEMATICA
GRACIAS POR SUGRACIAS POR SU
ATENCIÓNATENCIÓN