Matlab

UNIVESIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ
PROGRAMACIÓN DIGITAL
CÁTEDRA: PROGRAMACIÓN DIGITAL
CATEDRÁTICO: Ing. ÁNGELES SUAZO, Julio
ESTUDIANTE:
 ARROYO SOLANO,Marco Polan
SEMESTRE: I V
METODOS NUMERICOS EN
MATLAB
HUANCAYO-PERÚ
2016

INTRODUCCIÓN
Tanto la ciencia y la tecnología nos describen los fenómenos reales mediante modelos
matemáticos. El estudio de estos modelos permite un conocimiento más profundo del
fenómeno, así como de su evolución futura.
Desafortunadamente, no siempre es posible aplicar métodos analíticos clásicos por diferentes
razones: La solución formal es tan complicada que hace imposible cualquier interpretación
posterior; simplemente no existen métodos analíticos capaces de proporcionar soluciones al
problema; no se adecuan al modelo concreto; o su aplicación resulta excesivamente compleja.
Para estos tipos de casos son útiles las técnicas numéricas, que mediante una labor de cálculo
más o menos intensa, conducen a soluciones aproximadas que son siempre numéricos.
La importante del cálculo radica en que implica la mayoría de estos métodos hacen que su
uso esté íntimamente ligado al empleo de computadores, que mediante la programación nos
permite la solución de problemas matemáticos.
Para la realización de este trabajo se utilizó el programa MATLAB.

1. MÉTODO DE LA BISECCIÓN:
1.1. TEORÍA:
En matemáticas, el método de bisección es un algoritmo de búsqueda de raíces que
trabaja dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo que tiene
la raíz.
PROCEDIMIENTO:
 Elija valores Iniciales para “a” y “b” de forma tal que lea función cambie
de signo sobre el intervalo. Esto se puede verificar asegurándose de que:
𝑓(𝑎) ∗ 𝑓(𝑏) < 0
 La primera aproximación a la raíz se determina con la fórmula:
𝑥 𝑛 = (𝑎 + 𝑏) / 2
 Realizar las siguientes evaluaciones para determinar en que subintervalo se
encuentra la raíz:
𝑓(𝑎) ∗ 𝑓(𝑥 𝑛) < 0 Entonces 𝑏 = 𝑥 𝑛
𝑓(𝑎) ∗ 𝑓(𝑥𝑛) > 0 Entonces 𝑎 = 𝑥 𝑛
𝑓(𝑎) ∗ 𝑓(𝑥𝑛) = 0 Entonces 𝑥 𝑛 Es la Raíz
 Calcule la nueva aproximación:
𝑥 𝑛 + 1 = (𝑎 + 𝑏) / 2
 Evaluar la aproximación relativa:
| (𝑥 𝑛 + 1 − 𝑥 𝑛) /𝑥 𝑛 + 1 | < 𝐸
No. (Falso) Repetir el paso 3, 4 y 5
Sí. (Verdadero) Entonces 𝒙 𝒏+𝟏 Es la Raíz

1.2. VENTANA DE DISEÑO Y APLICACIÓN:
2. MÉTODO DEL PUNTO FIJO:
2.1. TEORÍA:
Dada la ecuación 𝑓(𝑥) = 0, el método de las aproximaciones sucesivas
reemplaza esta ecuación por una equivalente, 𝑥 = 𝑔(𝑥), definida en la
forma 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑥. Para encontrar la solución, partimos de un valor inicial
𝑥0 y calculamos una nueva aproximación 𝑥1 = 𝑔(𝑥0). Reemplazamos el nuevo
valor obtenido y repetimos el proceso. Esto da lugar a una sucesión de valores,
{𝑥0, 𝑥1,…, 𝑥 𝑛} que, si converge, tendrá como límite la solución del problema.
En la figura se representa la interpretación geométrica del método. Partimos de
un punto inicial x0 y calculamos 𝑦 = 𝑔(𝑥0). La intersección de esta solución
con la recta 𝑦 = 𝑥 nos dará un nuevo valor 𝑥1 más próximo a la solución final.

Sin embargo, el método puede divergir fácilmente. Es fácil comprobar que el
método sólo podrá converger si la derivada 𝑔′(𝑥) es menor en valor absoluto que
la unidad (que es la pendiente de la recta definida por 𝑦 = 𝑥. Un ejemplo de este
caso se muestra en la figura. Esta condición, que a priori puede considerarse una
severa restricción del método, puede obviarse fácilmente. Para ello basta elegir
la función 𝑔(𝑥) del siguiente modo:
𝑔( 𝑥) = 𝑥+∝ 𝑓(𝑥)
De forma que tomando un valor de ∝ adecuado, siempre podemos hacer que 𝑔( 𝑥)
cumpla la condición de la derivada.
CONVERGENCIA:
El método de aproximaciones sucesivas converge si |𝑔 ′(𝑥)| < 1
Co
Convergencia Monótona Divergencia Monótona
𝟎 < 𝐠′( 𝐱) < 𝟏 𝐠′(𝐱) > 𝟏

3. MÉTODO DE NEWTON RAPHSON:
3.1. TEORÍA:
Este método parte de una aproximación inicial 𝑥0 y obtiene una aproximación
mejor, 𝑥1, dada por la fórmula:
𝑥1 = 𝑥0 −
𝑓(𝑥0)
𝑓′(𝑥0)
Este método está definido por el denominador 𝑓 ’(𝑥𝑖) hace que geométricamente
se base en una aproximación a una recta tangente a la curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) trazada en
el punto correspondiente a la aproximación presente, esto puede observarse en la
figura:

4. MÉTODO DE LA SECANTE:
4.1. TEORÍA:
El principal inconveniente del método de Newton estriba en que requiere conocer
el valor de la primera derivada de la función en el punto. Sin embargo, la forma
funcional de 𝑓(𝑥) dificulta en ocasiones el cálculo de la derivada. En estos casos
es más útil emplear el método de la secante.
El método de la secante parte de dos puntos (y no sólo uno como el método de
Newton) y estima la tangente (es decir, la pendiente de la recta) por una
aproximación de acuerdo con la expresión:
𝑥 𝑖+1 = 𝑥 𝑖 −
𝑓(𝑥 𝑖)(𝑥𝑖−1 − 𝑥 𝑖)
𝑓( 𝑥 𝑖−1) − 𝑓(𝑥 𝑖)
En general, el método de la secante presenta las mismas ventajas y limitaciones
que el método de Newton-Raphson explicado anteriormente.

4.2. VENTANA DE DISEÑO y APLICACION:
5. MÉTODO DE LIN:
5.1. TEORÍA:
Dada la ecuación 𝑃(𝑥) = 0 donde P tiene la forma:
𝑃( 𝑥) = 𝑎0 𝑥 𝑛
+ 𝑎1 𝑥 𝑛−1
+ 𝑎2 𝑥 𝑛−2
+ ⋯+ 𝑎 𝑛−1 𝑥 + 𝑎 𝑛; 𝑎0 ≠ 0… (1)
Sea el factor cuadrático:
𝑥2
+ 𝑝𝑥 + 𝑞 …. (2)
Con lo cual la ecuación anterior resulta:
𝑃( 𝑥) = ( 𝑥2
+ 𝑝𝑥 + 𝑞)( 𝑏0 𝑥 𝑛−2
+ 𝑏1 𝑥 𝑛−3
+ ⋯+ 𝑏 𝑛−3 𝑥 + 𝑏 𝑛) + 𝑅𝑥 + 𝑆
Donde 𝑅𝑥 + 𝑆 es el residuo
Polinomio reducido 𝑄( 𝑥) = 𝑏0 𝑥 𝑛−2
+ 𝑏1 𝑥 𝑛−3
+ ⋯+ 𝑏 𝑛−3 𝑥 + 𝑏 𝑛

Multiplicando 𝑃(𝑥)
𝐏( 𝐱) = ( 𝐛𝟎 𝐱 𝐧
+ 𝐩𝐛 𝟎 𝐱 𝐧−𝟏
+ 𝐪𝐛 𝟎 𝐱 𝐧−𝟐) + ( 𝐛 𝟏 𝐱 𝐧−𝟏
+ 𝐩𝐛 𝟏 𝐱 𝐧−𝟐
+ 𝐪𝐛 𝟏 𝐱 𝐧−𝟑) + ( 𝐛 𝟐 𝐱 𝐧−𝟐
+ 𝐩𝐛 𝟐 𝐱 𝐧−𝟑
+ 𝐪𝐛 𝟐 𝐱 𝐧−𝟒) + ⋯
+ ( 𝐛 𝐧−𝟑 𝐱 𝟑
+ 𝐩𝐛 𝐧−𝟑 𝐱 𝟐
+ 𝐪𝐛 𝐧−𝟑 𝐱) + ( 𝐛 𝐧−𝟐 𝐱 𝟐
+ 𝐩𝐛 𝐧−𝟐 𝐱 + 𝐪𝐛 𝐧−𝟐) + 𝐑𝐱 + 𝐒
Igualando coeficientes de la misma potencia
𝑎0 = 𝑏0 𝑏0 = 𝑎0
𝑎1 = 𝑝𝑏0 + 𝑏1 𝑏1 = 𝑎1 − 𝑝𝑏0
𝑎2 = 𝑞𝑏0 + 𝑝𝑏1 + 𝑏2 𝑏2 = 𝑎2 − 𝑞𝑏0 − 𝑝𝑏1
𝑎3 = 𝑞𝑏1 + 𝑝𝑏2 + 𝑏3 𝑏3 = 𝑎3 − 𝑞𝑏1 − 𝑝𝑏2
…. …….
𝑎 𝑛−1 = 𝑞𝑏 𝑛−3 + 𝑝𝑏 𝑛−2 + 𝑅 𝑅 = 𝑎 𝑛−1 − 𝑞𝑏 𝑛−2 − 𝑝𝑏 𝑛−3
𝑎 𝑛 = 𝑞𝑏 𝑛−2 + 𝑆 𝑆 = 𝑎 𝑛 − 𝑞𝑏 𝑛−2
En general: 𝑏 𝑘 = 𝑎 𝑘 − 𝑝𝑏 𝑘−1 − 𝑞𝑏 𝑘−2; 𝑘 = 0,1,2,3 …. 𝑛 − 2
Los residuos están dados por:
𝑅 = 𝑎 𝑛−1 − 𝑝𝑏 𝑛−2 − 𝑞𝑏 𝑛−3
𝑆 = 𝑎 𝑛 − 𝑞𝑏 𝑛−2
Para que 𝑥2
+ 𝑝𝑥 + 𝑞 sea un factor cuadrático R y S tienen que ser cero.
𝑅 = 𝑎 𝑛−1 − 𝑝𝑏 𝑛−2 − 𝑞𝑏 𝑛−3 = 0 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑝 =
𝑎 𝑛−1 − 𝑞𝑏 𝑛−3
𝑏 𝑛−2
𝑆 = 𝑎 𝑛 − 𝑞𝑏 𝑛−2 = 0 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑞 =
𝑎 𝑛
𝑏 𝑛−2
Se define:
Si ∆𝑝 =
𝑅
𝑏 𝑛−2
𝑦 ∆𝑞 =
𝑆
𝑏 𝑛−2
Entonces

6. INTERPOLACIÓN LINEAL:
6.1. TEORÍA:
Nos centraremos ahora en el problema de obtener, a partir de una tabla de parejas
(𝑥, 𝑓(𝑥))definida en un cierto intervalo [𝑎, 𝑏], el valor de la función para cualquier
x perteneciente a dicho intervalo.
Supongamos que disponemos de las siguientes parejas de datos:
x x0 x1 x2 … xn
y y0 y1 y2 … 𝑦 𝑛
El objetivo es encontrar una función continua lo más sencilla posible tal que:
( 𝑥𝑖) = 𝑦𝑖 (0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛)
Se dice entonces que la función 𝑓(𝑥) definida por la ecuación es una función de
interpolación de los datos representados en la tabla.
Existen muchas formas de definir las funciones de interpolación, lo que da origen
a un gran número de métodos (polinomios de interpolación de Newton,
interpolación de Lagrange, interpolación de Hermite, etc.). Sin embargo, nos
centraremos exclusivamente en dos funciones de interpolación:

 Los polinomios de interpolación de Lagrange.
 Las funciones de interpolación splines. Estas funciones son especialmente
importantes debido a su idoneidad en los cálculos realizados con ordenador.
7. REGLA DEL TRAPECIO:
7.1. TEORÍA:
Este método resulta de sustituir la función 𝑦 = 𝑓(𝑥) por un polinomio de
primer grado 𝑃( 𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 en [ 𝑎, 𝑏] = [ 𝑥0, 𝑥1] al polinomio 𝑃(𝑥) se le
puede representar mediante un polinomio 𝑃(𝑥) se le puede representar
mediante un polinomio de Lagrange, es decir:
∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 =
𝑏
𝑎
∫ 𝑃( 𝑥) 𝑑𝑥 =
𝑥1
𝑥0
∫ [
( 𝑥 − 𝑥1)
( 𝑥0 − 𝑥1)
𝑓( 𝑥0)+
( 𝑥 − 𝑥0)
( 𝑥1 − 𝑥0)
𝑓( 𝑥1)]
𝑥1
𝑥0
𝑑𝑥
Resolviendo:
∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 =
𝑏
𝑎
ℎ
2
[ 𝑓(𝑥0)− 𝑓(𝑥1)], 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 ℎ = 𝑥1 − 𝑥0
Generalizando:
∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 +
𝑏
𝑎
∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 + ⋯ + ∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 =
𝑥1
𝑥0
∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥
𝑥 𝑛
𝑥 𝑛−1
𝑥2
𝑥1
𝑥1
𝑥0

Aplicando la regla del trapecio a c/u de las integrales se tiene:
∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 = lim
𝑛→∞
∑ 𝑓(𝑥 𝑛)∆
𝑛
𝑘=1
𝑏
𝑎
𝑥 𝑘
7.2. VENTANA DE DISEÑO Y APLICACION:
8. REGLA DE SIMPSON 1/3:
8.1. TEORÍA:
La regla de Simpson de 1/3 resulta cuando se sustituye la función y=f(x) por un
polinomio de segundo grado, es decir:
∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 ≈
𝑏
𝑎
∫ 𝑃( 𝑥) 𝑑𝑥 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒
𝑏
𝑎
𝑃( 𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥2

En el intervalo [ 𝑎, 𝑏] = [𝑥0, 𝑥2] al polinomio 𝑃( 𝑥) se le puede representar por un
polinomio de LaGrange de segundo orden
Es decir:
∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 ≈
𝑏
𝑎
∫ [𝑓( 𝑥0) 𝐿2,0( 𝑥) + 𝑓( 𝑥1) 𝐿2,1( 𝑥) + 𝑓( 𝑥2) 𝐿2,2(𝑥)]𝑑𝑥
𝑏
𝑎
∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 ≈
𝑏
𝑎
∫ [(
𝑥 − 𝑥1
𝑥0 − 𝑥1
)(
𝑥 − 𝑥2
𝑥0 − 𝑥2
) 𝑓( 𝑥0) + (
𝑥 − 𝑥0
𝑥1 − 𝑥0
)(
𝑥 − 𝑥2
𝑥1 − 𝑥2
) 𝑓( 𝑥1) + (
𝑥 − 𝑥0
𝑥2 − 𝑥0
) (
𝑥 − 𝑥1
𝑥2 − 𝑥1
)𝑓( 𝑥2)] 𝑑𝑥
𝑥1
𝑥0
Resolviendo la integral se obtiene:
∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 ≈
𝑏
𝑎
ℎ
3
[ 𝑓( 𝑥0) + 4𝑓( 𝑥1)+ 𝑓( 𝑥2)], 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 ℎ =
𝑥2 − 𝑥0
2
GENERALIZANDO PARA ''n'' INTERVALOS
Los intervalos se toman de dos en dos:
∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 =
𝑏
𝑎
∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥
𝑥2
𝑥0
+ ∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥
𝑥4
𝑥2
+ ∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥
𝑥6
𝑥4
+ ⋯+ ∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥
𝑥 𝑛
𝑥 𝑛−2
Aplicando la regla de Simpson de 1/3 para cada integral de tiene:
∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 ≈
𝑏
𝑎
ℎ
3
[ 𝑓( 𝑥0
)+ 4𝑓( 𝑥1
) + 2𝑓( 𝑥2
) + 4𝑓( 𝑥3
) + 2𝑓( 𝑥4
) + ⋯+ 2𝑓( 𝑥 𝑛−2
)+ 4𝑓( 𝑥 𝑛−1
)+ 𝑓( 𝑥 𝑛
)]
Dónde:
ℎ =
𝑏 − 𝑎
𝑛
=
𝑥 𝑛 − 𝑥0
𝑛
; 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑛 𝑒𝑠 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒 2
𝑥 𝑖 = 𝑥0 + 𝑖ℎ; 𝑖 = 1,2,3… 𝑛

8.2. VENTANA DE DISEÑO Y APLICACIÓN
9. REGLA DE SIMPSON DE 3/8:
9.1. TEORÍA:
La regla de Simpson de 3/8 resulta cuando se sustituye la función 𝑦 = 𝑓(𝑥) por
un polinomio de tercer grado, es decir:
∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 ≈
𝑏
𝑎
∫ 𝑃( 𝑥) 𝑑𝑥 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒
𝑏
𝑎
𝑃( 𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥2
+ 𝑎3 𝑥3
En el intervalo [ 𝑎, 𝑏] = [𝑥0, 𝑥2] al polinomio 𝑃( 𝑥) se le puede representar por un
polinomio de LaGrange de tercer orden.
Es decir:
∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 ≈
𝑏
𝑎
∫ [ 𝑓( 𝑥0) 𝐿3,0( 𝑥) + 𝑓( 𝑥1) 𝐿3,1( 𝑥) + 𝑓( 𝑥2) 𝐿3,2( 𝑥) + 𝑓( 𝑥3) 𝐿3,3(𝑥)] 𝑑𝑥
𝑏=𝑥3
𝑎=𝑥0
Resolviendo la integral se obtiene:

∫ 𝐟(𝐱)𝐝𝐱 ≈
𝐛
𝐚
𝟑𝐡
𝟖
[ 𝐟( 𝐱 𝟎)+ 𝟑𝐟( 𝐱 𝟏)+ 𝟑𝐟( 𝐱 𝟐)+ 𝐟( 𝐱 𝟑)], 𝐝𝐨𝐧𝐝𝐞 𝐡 =
𝐱 𝟐 − 𝐱 𝟎
𝟑
10. INTEGRALES MÚLTIPLES
10.1.TEORÍA:
Para el cálculo de integrales de funciones de varias variables se pueden usar las
reglas ya estudiadas como la regla del trapecio, regla de Simpson 1/3 y 3/8 son
útiles para resolver integrales dobles y triples.
En esta ocasión usaremos Simpson de 1/3 para el cálculo de una integral doble
de la forma:
∫ ∫ 𝑓( 𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴
.
𝑅
Dónde:
𝑅 = {( 𝑥, 𝑦) 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 ; 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑⁄ }
𝑅 = {( 𝑥, 𝑦) 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 ; 𝑐 ≤ 𝑔( 𝑥) ≤ 𝑑⁄ }
Para aproximar la solución de la integral

∫ ∫ 𝑓( 𝑥, 𝑦)
𝑔2( 𝑥)
𝑔1( 𝑥)
𝑑𝑦 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
Utilizando la regla de Simpson 1/3
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 ℎ1 =
𝑥2 − 𝑥0
2
; ℎ2 =
𝑔2(𝑥) − 𝑔1(𝑥)
2
Por lo tanto:
∫ ∫ 𝑓( 𝑥, 𝑦)
𝑔2( 𝑥)
𝑔1( 𝑥)
𝑑𝑦 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= ∫ 𝑤( 𝑥) 𝑑𝑥
𝑥2
𝑥0
=
ℎ1
3
[ 𝑤( 𝑥0) + 4𝑤( 𝑥1) + 𝑤( 𝑥2)]
Dónde:
𝑤( 𝑥) =
ℎ2
3
[ 𝑓(𝑥, 𝑔1( 𝑥)) + 4𝑓(𝑥, 𝑔1( 𝑥) + ℎ2(𝑥)) + 𝑓(𝑥, 𝑔2 ( 𝑥))]

11. METODO DE EULER:
11.1.TEORÍA:
Este método consiste en dividir el intervalo [𝑎, 𝑏] en n subintervalos de longitud
'h'; ℎ =
( 𝑏−𝑎)
𝑛
,de manera que se obtiene los n+ 1 puntos 𝑥0, 𝑥1, 𝑥2,. ., 𝑥 𝑛 = 𝑥 𝑓
donde 𝑥 𝑖 = 𝑥0 + 𝑖ℎ; 𝑖 = 1,2,3 … 𝑛 la condición inicial 𝑦( 𝑥0) = 𝑦0
representada por el punto 𝑃0 = (𝑥0, 𝑦0 ) por donde pasa la curva solución, donde
:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
|
( 𝑥0,𝑦0 )
= 𝑓( 𝑥0, 𝑦0 )

FORMULA DE EULER
𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + ℎ ( 𝑥𝑖, 𝑦𝑖) , 𝑖 = 1,2,3… 𝑛
Es decir, se genera una sucesión de aproximación:
𝑦1 = 𝑦0 + ℎ 𝑓( 𝑥0, 𝑦0)
𝑦2 = 𝑦1 + ℎ 𝑓( 𝑥1, 𝑦1)
𝑦3 = 𝑦2 + ℎ 𝑓( 𝑥2, 𝑦2)
…
𝑦 𝑛 = 𝑦 𝑛−1 + ℎ 𝑓( 𝑥 𝑛−1, 𝑦 𝑛−1)

11.2.VENTANA DE DISEÑO Y APLICACIÓN:
12. METODO RUNGE – KUTTA DE CUARTO
ORDEN:
12.1.TEORÍA:
El método de Runge-Kutta es un método genérico de resolución numérica de
ecuaciones diferenciales. Este conjunto de métodos fue desarrollado alrededor
del año 1900 por los matemáticos C. Runge y M. W. Kutta.
Este método puede ser usado para resolver un número grande de ecuaciones
diferenciales.
Dada la ecuación diferencial ordinaria 𝑦′
=
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓( 𝑥, 𝑦) con condiciones
iniciales 𝑦(𝑥0) = 𝑦0 entonces por el segundo teorema fundamenta del cálculo
se tiene:
∫ 𝑦′
𝑑𝑥 = 𝑦(
𝑥 𝑛+1
𝑥 𝑛
𝑥 𝑛+1) − 𝑦(𝑥 𝑛)
Para aplicar la regla de Simpson de 1/3 a [ 𝑥 𝑛, 𝑥 𝑛+1] se le dividió en dos
intervalos, es decir:

Entonces
∫ 𝑦′
𝑑𝑥 =
𝑥 𝑛+1
𝑥 𝑛
ℎ/2
3
[𝑦′( 𝑥 𝑛)+ 4𝑦′
(𝑥 𝑛 +
ℎ
2
) + 𝑦′( 𝑥 𝑛+1)]
Al término 4𝑦′
(𝑥 𝑛 +
ℎ
2
) se le expresa como: 2𝑦′
(𝑥 𝑛 +
ℎ
2
) + 2𝑦′
(𝑥 𝑛 +
ℎ
2
)
para aproximar la pendiente de 𝑦′
(𝑥 𝑛 +
ℎ
2
) en el punto promedio (𝑥 𝑛 +
ℎ
2
)
𝑦( 𝑥 𝑛+1) = 𝑦( 𝑥 𝑛)+
ℎ
6
[𝑦′( 𝑥 𝑛)+ 2𝑦′
(𝑥 𝑛 +
ℎ
2
) + 2𝑦′
(𝑥 𝑛 +
ℎ
2
) + 𝑦′( 𝑥 𝑛+1)]
Pero
𝑦′
= 𝑓( 𝑥 𝑛, 𝑦 𝑛)
Por EULER se tiene que: 𝑦( 𝑥 𝑛+1) = 𝑦( 𝑥 𝑛) + ℎ𝑓( 𝑥 𝑛, 𝑦 𝑛)
Hacemos cambios de variables:
 Hagamos 𝑘1 = 𝑦′( 𝑥 𝑛) entonces 𝑘1 = 𝑓( 𝑥 𝑛, 𝑦 𝑛)
 Hagamos 𝑘2 = 𝑦′
(𝑥 𝑛 +
ℎ
2
) entonces 𝑘2 = 𝑓 (𝑥 𝑛 +
ℎ
2
, 𝑦(𝑥 𝑛 +
ℎ
2
)) por
Euler: 𝑦 (𝑥 𝑛 +
ℎ
2
) = 𝑦( 𝑥 𝑛)+
ℎ
2
𝑓( 𝑥 𝑛, 𝑦 𝑛) entonces
𝑘2 = 𝑓 (𝑥 𝑛 +
ℎ
2
, 𝑦 𝑛 +
ℎ
2
𝑘1)
 Hagamos 𝑘3 = 𝑦′
(𝑥 𝑛 +
ℎ
2
) entonces 𝑘3 = 𝑓 (𝑥 𝑛 +
ℎ
2
, 𝑦(𝑥 𝑛 +
ℎ
2
)) por euler
𝑦(𝑥 𝑛 +
ℎ
2
) = 𝑦( 𝑥 𝑛)+
ℎ
2
𝑦′( 𝑥 𝑛, 𝑦 𝑛) entonces:
𝑘3 = 𝑓 (𝑥 𝑛 +
ℎ
2
, 𝑦 𝑛 +
ℎ
2
𝑘2)
 Hagamos 𝑘4 = 𝑦′( 𝑥 𝑛 + 1) entonces 𝑘4 = 𝑓 (𝑥 𝑛 +
ℎ
2
, 𝑦(𝑥 𝑛 +
ℎ
2
)) por euler
𝑦( 𝑥 𝑛 + 1) = 𝑦( 𝑥 𝑛) + ℎ𝑦′
(𝑥 𝑛 +
ℎ
2
) entonces:
𝑘4 = 𝑓( 𝑥 𝑛 + 1, 𝑦0 + ℎ𝑘3)
Por lo tanto:
𝑦( 𝑥 𝑛 + 1) = 𝑦 𝑛 +
ℎ
6
[ 𝑘1 + 2𝑘2 + 3𝑘3 + 𝑘4]
Dónde:
ℎ =
𝑥 𝑛+1 − 𝑥 𝑛
𝑚
; 𝑚 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜𝑠.

12.2.VENTANA DE DISEÑO Y APLICACIÓN:
13. MÉTODO DE GAUSS - JORDAN
13.1.TEORÍA:
Sea un sistema de ecuaciones lineales de la forma:
{
𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + 𝑎13 𝑥3 + ⋯+ 𝑎1𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏1
𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + 𝑎23 𝑥3 + ⋯+ 𝑎2𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏2
𝑎31 𝑥1 + 𝑎32 𝑥2 + 𝑎33 𝑥3 + ⋯+ 𝑎3𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏3
……
𝑎 𝑛1 𝑥1 + 𝑎 𝑛2 𝑥2 + 𝑎 𝑛3 𝑥3 + ⋯+ 𝑎 𝑛𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏 𝑛
Se trata de un sistema de n ecuaciones con n incógnitas, x1,x2,..., xn.Los elementos
aij y bi son números reales fijados.
El sistema de ecuaciones se puede escribir, empleando una muy útil representación
matricial, como:

(
𝑎11 𝑎12 𝑎13 ⋯ 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⋯ 𝑎2𝑛
𝑎31 𝑎32 𝑎33 ⋯ 𝑎3𝑛
⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮
𝑎11 𝑎12 𝑎13 ⋯ 𝑎1𝑛 ) (
𝑥1
𝑥2
𝑥3
⋮
𝑥 𝑛)
=
(
𝑏1
𝑏2
𝑏3
⋮
𝑏 𝑛 )
Es decir 𝐴 𝑋 = 𝐵
Donde A es la matriz de coeficientes, X es el vector incógnitas y B es el vector
términos independientes.
PROCEDIMIENTO:
Crear la matriz cuyos elementos son los de la matriz A y el vector B. A es la matriz
se le denomina la matriz aumentada.
(
𝑎11 𝑎12 𝑎13 ⋯ 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⋯ 𝑎2𝑛
𝑎31 𝑎32 𝑎33 ⋯ 𝑎3𝑛
⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮
𝑎 𝑛1 𝑎 𝑛2 𝑎 𝑛3 ⋯ 𝑎 𝑛𝑛
|
|
𝑏1
𝑏2
𝑏3
⋮
𝑏 𝑛)
Matriz aumentada
Mediante transformaciones elementales de filas en la matriz aumentada, los
elementos de la matriz de coeficientes A debe transformarse en la matriz identidad
y los elementos que están en la posición del vector de términos independientes B,
será la solución del sistema.
(
1 0 0 ⋯ 0
0 1 0 ⋯ 0
0 0 1 ⋯ 0
⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮
0 0 0 ⋯ 1
|
|
𝑏∗
1
𝑏∗
2
𝑏∗
3
⋮
𝑏∗
𝑛)
Matriz transformada
Y las raíces del sistema de ecuaciones son:
𝑥1 = 𝑏∗
1 ; 𝑥2 = 𝑏∗
2 ; 𝑥3 = 𝑏∗
3; …; 𝑥 𝑛 = 𝑏∗
𝑛
El proceso, requiere de
𝑛3
2
+ 𝑛2
−
𝑛
2
multiplicaciones y
𝑛3
2
−
𝑛
2
sumas.

14. MÉTODO DE GAUSS SEIDEL
14.1.TEORÍA:
Método iterativo que su utiliza para resolver sistema de ecuaciones de la forma:
{
𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + 𝑎13 𝑥3 + ⋯+ 𝑎1𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏1
𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + 𝑎23 𝑥3 + ⋯+ 𝑎2𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏2
𝑎31 𝑥1 + 𝑎32 𝑥2 + 𝑎33 𝑥3 + ⋯+ 𝑎3𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏3
……
𝑎 𝑛1 𝑥1 + 𝑎 𝑛2 𝑥2 + 𝑎 𝑛3 𝑥3 + ⋯+ 𝑎 𝑛𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏 𝑛
Que matricialmente se puede escribir como A X=B, supongamos que
𝑎𝑖𝑖 ≠ 0, 𝑖 = 1,2,3… . 𝑛 Despejamos los X
𝑥1 = ( 𝑏1 − 𝑎12 𝑥2 − 𝑎13 𝑥3 − ⋯− 𝑎1𝑛 𝑥 𝑛) 𝑎11⁄
𝑥2 = ( 𝑏2 − 𝑎21 𝑥1 − 𝑎23 𝑥3 − ⋯− 𝑎2𝑛 𝑥 𝑛) 𝑎22⁄
𝑥3 = ( 𝑏3 − 𝑎31 𝑥1 − 𝑎32 𝑥2 − ⋯+ 𝑎3𝑛 𝑥 𝑛) 𝑎33⁄
……
El proceso se inicia dando un valor inicial para los puntos 𝑥 𝑖 ; 𝑖 = 1,2,3… . 𝑛 se
podría usar, por ejemplo, la solución trivial 𝑥1 = 𝑥2 = 𝑥3 = ⋯ = 𝑥 𝑛 = 0 si este
fuera el caso se tendría que:
𝑥1 = 𝑏1 𝑎11⁄
𝑥2 = (𝑏2 − 𝑎21 ( 𝑏1 𝑎11⁄ )) 𝑎22⁄
𝑥3 = (𝑏3 − 𝑎31 ( 𝑏1 𝑎11⁄ ) − 𝑎32 (𝑏2 − 𝑎21 ( 𝑏1 𝑎11⁄ )) 𝑎22⁄ ) 𝑎33⁄
…..
Los 𝑥1, 𝑥2,. . . , 𝑥𝑛 son los nuevos valores iníciales que serán utilizados en una
segunda iteración.
La convergencia puede definirse mediante
𝐸𝑥 𝑖
= |
𝑥 𝑖
𝑗
− 𝑥 𝑖
𝑗−1
𝑥 𝑖
𝑗
| 100 < 𝑇
Dónde:
𝐸𝑥 𝑖
: Error relativo porcentual dela 𝑥 𝑖 raíz
𝑗: Iteración actual
𝑗 − 1: Iteración anterior
𝑇: Tolerancia prefijada
RE ARREGLO DE ECUACIONES

El proceso de gauss - Seidel converge si la matriz coeficientes cada elemento de
la diagonal es el mayor en valor absoluto que la suma de todos los demás
elementos de la misma fila o columna .Es decir se asegura la convergencia sí.
| 𝑎𝑖𝑖| > ∑ 𝑎𝑖𝑗
𝑛
𝑖=1
𝑗≠𝑖
ó | 𝑎𝑖𝑖| > ∑ 𝑎𝑗𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑗≠𝑖
15. POLINOMIO DE LAGRANGE:
15.1.TEORÍA:
Si 𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, …, 𝑥 𝑛 son 𝑛 + 1 puntos distintos y 𝑓(𝑥) es una función cuyos valores
están dados en esos puntos entonces existe un único polinomio P de grado a lo mas
de grado n con la propiedad que 𝑓( 𝑥 𝑘) = 𝑃(𝑥 𝑘)para cada k=0, 1,2,…n.
Este polinomio está dado por:
𝑃( 𝑥) = ∑ 𝑓( 𝑥 𝑘) 𝐿 𝑛,𝑘(𝑥) 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑔𝑟𝑎𝑛𝑔𝑒
𝑛
𝑘=0
Dónde:
𝐿 𝑛,𝑘( 𝑥) = ∏
𝑥 − 𝑥 𝑖
𝑥 𝑘 − 𝑥 𝑖
𝑛
𝑖=0
𝑖≠𝑘
Para un polinomio lineal la aproximación es:
𝑃( 𝑥) = 𝑓( 𝑥0) 𝐿1,0( 𝑥) + 𝑓( 𝑥1) 𝐿1,1(𝑥)
Dónde:
𝐿1,0( 𝑥) =
𝑥 − 𝑥1
𝑥0 − 𝑥1
; 𝐿1,1 (𝑥) =
𝑥 − 𝑥0
𝑥1 − 𝑥0
Entonces:
𝑃( 𝑥) = (
𝑥 − 𝑥1
𝑥0 − 𝑥1
) 𝑓( 𝑥0) + (
𝑥 − 𝑥0
𝑥1 − 𝑥0
) 𝑓( 𝑥1)

Para un polinomio de segundo grado está dado por:
𝑃( 𝑥) = 𝑓( 𝑥0) 𝐿2,0( 𝑥)+ 𝑓( 𝑥1) 𝐿2,1( 𝑥) + 𝑓( 𝑥2) 𝐿2,2(𝑥)
Dónde:
𝐿1,0( 𝑥) = (
𝑥 − 𝑥1
𝑥0 − 𝑥1
)(
𝑥 − 𝑥2
𝑥0 − 𝑥2
)
𝐿2,1( 𝑥) = (
𝑥 − 𝑥0
𝑥1 − 𝑥0
)(
𝑥 − 𝑥2
𝑥1 − 𝑥2
)
𝐿2,2( 𝑥) = (
𝑥 − 𝑥0
𝑥2 − 𝑥0
)(
𝑥 − 𝑥1
𝑥2 − 𝑥1
)
Entonces el polinomio para segundo grado es:
𝑃( 𝑥) = (
𝑥 − 𝑥1
𝑥0 − 𝑥1
)(
𝑥 − 𝑥2
𝑥0 − 𝑥2
) 𝑓( 𝑥0
)+ (
𝑥 − 𝑥0
𝑥1 − 𝑥0
)(
𝑥 − 𝑥2
𝑥1 − 𝑥2
) 𝑓( 𝑥1
)+ (
𝑥 − 𝑥0
𝑥2 − 𝑥0
)(
𝑥 − 𝑥1
𝑥2 − 𝑥1
) 𝑓( 𝑥2
)
Donde x es el valor a interpolar.
16. REGRESIÓN POLINOMIAL:
16.1. TEORÍA:
Supongamos que se conocen los datos (𝑥o, 𝑦o),(𝑥1, 𝑦1),… . . (𝑥n, 𝑦n) con
𝑥0, 𝑥1, …. . , 𝑥𝑛 números reales distintos, y se desea encontrar un polinomio:
𝑃𝑚 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥2
+ ⋯+ 𝑎 𝑚 𝑥 𝑚
, 𝑐𝑜𝑛 𝑚 < 𝑛
Tal que:
Sea mínima.
El grado m del polinomio 𝑝m(𝑥)se puede escoger previamente con base en algún
resultado teórico, alguna expectativa o por la aplicación que se le pretenda dar al
polinomio. En cualquier caso, estamos “libres” de elegir el grado que parezca
mejor. En muchos casos el grado será uno y el polinomio obtenido se llamará la
recta que mejor se ajusta o la recta de mínimos cuadrados para la tabla de
datos.
    
2n
0k
k
m
km
2
k2k10
2n
0k
kkmm10 yxa,.....,xaxaayxp)a,.....,a,S(a  


Volviendo a la función 𝑆(𝑎0, 𝑎1, … . ., 𝑎m), una condición necesaria para la
existencia de un mínimo relativo de esta función es que las derivadas parciales de
𝑆(𝑎0, 𝑎1, …. . , 𝑎m) con respecto a 𝑎j, 𝑗 = 0, 1,2, … , 𝑚 sean cero.
Resultan entonces las siguientes m+1 ecuaciones lineales en las incógnitas
𝑎0, 𝑎1, … . . , 𝑎m:
 
  
  
  
   0xyxa.....xaxaa2
a
S
............
0xyxa.....xaxaa2
a
S
..........
0xyxa.....xaxaa2
a
S
0xyxa.....xaxaa2
a
S
0yxa.....xaxaa2
a
S
m
kk
m
km
2
k2k10
n
0km
j
kk
m
km
2
k2k10
n
0kj
2
kk
m
km
2
k2k10
n
0k2
kk
m
km
2
k2k10
n
0k1
k
m
km
2
k2k10
n
0k0


























Si en las ecuaciones anteriores cancelamos el 2, desarrollamos los paréntesis y
usamos que
Obtenemos:
Este es un SEL de m+1 ecuaciones lineales en las m+1 incógnitas a0, a1, … am, que
se llama Sistema de Ecuaciones Normales. Este sistema de ecuaciones normales
se puede escribir en forma simplificada como sigue:
Estas ecuaciones se pueden reproducir a partir de:
Multiplicando a ambos lados por 𝑥𝑗
𝑖
, 𝑗 = 0,1, …, 𝑚,
Sumando sobre k
  0
n
0k
0 a1na 
 






























































































































































































n
0k
k
m
km
n
0k
mm
k2
n
0k
m2
k1
n
0k
m1
k0
n
0k
m
k
n
0k
k
j
km
n
0k
jm
k2
n
0k
j2
k1
n
0k
j1
k0
n
0k
j
k
n
0k
k
2
km
n
0k
2m
k2
n
0k
4
k1
n
0k
3
k0
n
0k
2
k
n
0k
kkm
n
0k
1m
k2
n
0k
3
k1
n
0k
2
k0
n
0k
k
n
0k
km
n
0k
m
k2
n
0k
2
k1
n
0k
k0
yxax.....axaxax
:::
yxax.....axaxax
......
.
.
yxax.....axaxax
yxax.....axaxax
yax.....axaxa1n
m0,1,....,.jconyxxa
n
0k
k
j
k
n
0k
ji
k
m
0i
i   


  k
m
km
2
k2k10km yxa,.....,xaxaaxp 
k
j
k
jm
km
j2
k2
j1
k1
j
k0
j
kk
j
k
m
km
j
k
2
k2
j
kk1
j
k0
yxxa,.....,xaxaxa
xyxxa,.....,xxaxxaxa



m.,0,1,2,....jconyxxa.....xaxaxa
m
0k
k
j
k
m
0k
jm
km
n
0k
j2
k2
n
0k
j1
k1
n
0k
j
k0   







16.2.VENTANA DE DISEÑO Y APLICACION:

Matlab

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