2. 1
INDICE DE CONTENIDO
Índice
AGRODESIA.......................................................................................................................................... 2
METODO NUMERO 1........................................................................................................................... 2
CÁLCULO DE LA SUPERFICIE TOTAL..................................................................................................... 3
CALCULO DEL ANGULO α .................................................................................................................... 6
CALCULO DE LA SUPERFICIE DE AJUSTE .............................................................................................. 7
CALCULO DE LA DISTANCIA ........................................................................................................... 8
OBTENCIÓN DE COORDENADA“ DE F ............................................................................................ 10
COMPROBACIÓN DE LA SUPERFICE................................................................................................... 11
3. 2
AGRODESIA
Es la parte de la topografía, se puede considerar como una subdivisión de la agrimensura,
y trata de los métodos que existen para la división de terrenos en una o varias partes; los
métodos a considerar son:
1. Ajuste de una superficie por medio de un triángulo.
2. Ajuste de una superficie por medio de un cuadrilátero o trapecio.
METODO NUMERO 1.
Con los datos que se tienen a continuación de un levantamiento realizado por el método
de ángulos internos y radiaciones se pretende dividirlo en dos partes iguales y cuya línea
diviso ia te ga u o de sus vé ti es e el pu to E de la poligo al. E o t a las
coordenadas del otro punto que dividirá al polígono.
Vértice coordenadas
Y X
A 408.20 -436.60
B 740.10 335.30
C 355.40 875.50
D -76.80 548.40
E -195.00 95.10
CROQUIS
4. 3
CÁLCULO DE LA SUPERFICIE TOTAL
Para calcular la superficie de total de un terreno a partir de las coordenadas que nos
arroja la planilla de cálculo utilizamos la siguiente formula general.
SUPERFICIE =|
∑ − ∑
|
Esta fórmula se lee como: valor absoluto de sumatoria de productos hacia abajo menos
sumatoria de productos hacia arriba entre dos.
Procedemos a calcular la superficie con las coordenadas.
Vértice coordenadas productos
Y X ↘ ↗
A 408.20 -436.60 -323127.66
B 740.10 335.30 136869.46 119165.62
C 355.40 875.50 647957.55 -67238.40
D -76.80 548.40 194901.36 -106938
E -195.00 95.10 -7303.68 38819.82
A 408.20 -436.60 85137
SUMATORIA DE PRODUCTOS ( ∑ ∑ ) 1057561.69 -339318.62
En la tabla anterior se colocan las coordenadas con sus respectivos vértices repitiendo siempre las
coordenadas del primer vértice para cerrar el polígono se hace una multiplicación cruzada con la
coordenadas de Y po las de X , p i e a e te los p odu tos ha ia a ajo señalados o u a
flecha color azul y después los productos hacia arriba señalados con una flecha color rojo.
Ahora tenemos la sumatoria de los productos nos queda sustituir esos resultados en la fórmula:
SUPERFICIE =|
∑ − ∑
| ST= superficie total
ST =|
. − − .
|=|
.
|=| . | =698440.16 m
Tenemos la superficie total (ST) ahora nos pide dividir el terreno en dos partes iguales es
decir encontrar la superficie buscada (SB).
CALCULO DE LA SUPERFICIE BUSCADA
SB= =
.
= 349200.08 m
5. 4
Ya sabemos la superficie buscada (SB) y el problema al principio nos dice que se tiene que
dividi a pa ti de pu to fijo E , o via e te podemos observar en la figura y estimar que
la mitad de la superficie se puede encontrar en la figura que se forma con los puntos A, B
y E ahora procederemos a calcular la superficie A, B y E
FIGURA 1.1
Esa superficie podemos calcularla con la tabla de productos o con otra fórmula ya que si
vemos tiene la forma de un triángulo y podemos utilizar esta fórmula. (Dará el mismo
resultado de las dos maneras)
Superficie =
. . ∝
imagen de ejemplo 1.2
Esta fórmula la empleamos para calcular la superficie cuando conocemos dos lados de un
triángulo y el ángulo donde intersectan esos dos lados.
Para ello calculamos las distancias de ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ de nuestro terreno utilizando la fórmula
de distancia entre dos puntos.
� � =
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ √ − + −
6. 5
Sustituimos los valores de las coordenadas de los puntos AB en la fórmula para encontrar
la distancia.
VERTICE COORDENADAS
Y X
A 408.20 -436.60
B 740.10 335.30
E -195.00 95.10
Tenemos ̅̅̅̅ = √ − . − . + . − .
=√ − . + − . =840.23 m (el resultado lo redondeamos a 2 décimas)
Tenemos ̅̅̅̅ = √ − . − . + . − − .
=√ − . + . =804.09 m (el resultado lo redondeamos a 2 décimas)
AHORA TENEMOS ̅̅̅̅= 840.23 Y ̅̅̅̅= 804.09
Solo falta calcular el ángulo
FIGURA 1.3
90°
7. 6
En la (figura 1.3) se muestra como tomamos la superficie A, B y E que es un triángulo y formamos
un ángulos de 90° a partir del vértice A para hacer esto es indispensable tomar los lados que
tengan coordenadas para formar estos ángulos y hacer los procedimientos que siguen.
FIGURA 1.4
En la figura 1.4 vemos de manera más clara el triángulo A, B y C, lo que apreciamos es que
estamos representando los catetos de los triángulo con coordenadas de los vértices ya antes
mencionados por ejemplo siendo los catetos adyacentes oo de adas e Y de A menos las
oo de adas e Y de E ,sie do así lo is o pa a las oo de adas e del lado de e ho solo
a ia el pla o de posi ió e las ;sie do aho a las oo de adas e de B menos las
oo de adas e X de A.
CALCULO DEL ANGULO α
Utilizando la razón trigonométrica de tangente y despejando, y sustituyendo coordenadas
tenemos esto:
VERTICE COORDENADAS
Y X
A 408.20 -436.60
B 740.10 335.30
E -195.00 95.10
α´= ���− −
−
= ���− − . − .
. − − .
= ���− − .
.
= ���−
-0.88 = - ° ´
α = ���− −
−
= ���− . − − .
. − .
= ���− .
− .
= ���−
-2.32 = -66° 44´0.1
8. 7
Convertir a grados, minutos y segundos el resultado y a eso le sumamos 90°
Ahora sumamos los dos ángulos ya con los 90° sumados
α= α´+α α= ° ´ + ° ´ α= ° ´ ángulo alfa
Ahora solo aplicamos la formula sustituyendo las distancias y el angulo.
Superficie =
. . ∝
S A-B-E =
.
̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ° ´ "
S A-B-E =
. . ° ´ "
= 321038.98 m²
Cabe recordar que podemos utilizar el otro método pero será el que más nos
convenga pueden elegir el que sea.
CALCULO DE LA SUPERFICIE DE AJUSTE
La superficie de ajuste (S´) será lo que le falta a la superficie que tenemos
para llegar a la superficie buscada (SB)
Entonces S´= SB- S A-B-E S´= 349220.08-321038.98 = 28181.10 m²
Es una muestra de cuál sería la superficie de ajuste solo que un poco
exagerada
FIGURA 1.5
9. 8
CALCULO DE LA DISTANCIA ̅̅̅̅
La distancia ̅̅̅̅ es la que nos dará a cuantos metros a partir del punto B se recorrerá la
superficie para ajustarse con la superficie buscada (SB).
Según esta fórmula para calcular la superficie deducida por el triángulo que se forma con
los vértices B, E � F
S´=
.
̅̅̅̅̅̅̅̅̅ �
despejamos ̅̅̅̅ y obtenemos ̅̅̅̅ =
´
̅̅̅̅. �
FIGURA 1.6
Esta fórmula siempre nos ayudara a conocer la distancia de ajuste en problemas como
este.
Para poder utilizar la formula necesitamos conocer la distancia BE y el ángulo alfa que se
forma.
VERTICE COORDENADAS
Y X
B 740.10 335.30
E -195.00 95.10
Primero la distancia ̅̅̅̅ = √ . − . + . − − .
=√ . + . =965.46m
En la figura 1.7 vemos un triángulo formado por los puntos B, F y E
Y un ángulo alfa que nos ayudara a calcular la distancia ̅̅̅̅
Para calcular ese ángulo primero tenemos que formar triángulos
Rectángulos con el polígono.
FIGURA 1.7
10. 9
Para ello hacemos algo como esto formando triangulos rectangulos internamente como se
muestra en la figura 1.8 y como en el ejercicio anterior del triangulo representar los catetos con
oo de adas de los pu tos e X Y .
FIGURA 1.8
Nueva e te supo e os ue α´+ α =α p o ede e os a al ula ada á gulo de la
siguiente manera.
α´=���− −
−
=���− . − .
. − − .
=
.
.
=���−
. = ° ´
α =���− −
−
=���− . − .
. − .
=
.
.
=���−
(1.40) =54° 32´37
“u a os los dos á gulos: ° ´ + ° ´ = ° ´
̅̅̅̅ =
´
̅̅̅̅. �
Sustituimos en la formula ̅̅̅̅=
. ²
. . ° ´ ”
= 62.55
11. 10
Y obtendremos nuestra distancia de separación ̅̅̅̅
OBTENCIÓN DE COORDENADA“ DE F
FIGURA 1.9
Pa a al ula las oo de ada de F
Ha e os u t iá gulo e tá gulo e t e los pu tos B F u o á gulo a sa e os ue es α
y coordenados los puntos que ya conocemos o sea los de B y para encontrar las
coordenadas de F hacemos lo siguiente:
YF= YB-Y
XF= XB+X
Lo siguiente es relacionar alguna función trigonométrica para encontrar X y Y de F
Cos α = ̅̅̅̅
; Y= ̅̅̅̅ . os α sustitui os se α = ̅̅̅̅
; Y= ̅̅̅̅ . se α sustitui os
Y= . os ° ´ = . X= . se ° ´ = .
YF= 740.10 – 36.28 = 703.82 coordenada Y XF= 335.30 + 50.95 = 386.25 coordenada X
12. 11
COMPROBACIÓN DE LA SUPERFICE
Ahora bien tenemos las coordenadas del punto F y su distancia de separación ahora nos queda
comprobar si la superficie A, B, F y E es igual a la superficie buscada (SB)
Procedemos a calcular la superficie con las coordenadas.
Vértice coordenadas productos
Y X ↘ ↗
A 408.20 -436.60 -323127.66
B 740.10 335.30 136869.46 235990.85
F 703.82 386.25 285863.63 -75318.75
E -195.00 95.10 66933.28 38819.82
A 408.20 -436.60 85137.00
SUMATORIA DE PRODUCTOS ( ∑ ∑ ) 574803.37 -123635.74
SUPERFICIE =|
∑ − ∑
| ST= superficie total
ST =|
. − − .
|=|
.
|=| . | =349219.56 m²
SB= 349200.08 m²
La diferencia de 19.48 m² se puede compensar con los esquineros del terreno
Convertimos 349200.08 a Hs-As-Cs
Dividimos 349200.08 entre 10000 -------------------------- 34.920008
920008 entre 10000--------------------------------------------- 92.0008
0008 entre 100---------------------------------------------------- 0.08
Entonces tenemos 34Hs-92As-0.08Cs que es la superficie buscada expresada en Hs-As-Cs
Y para regresar a la cantidad inicial
Multiplicamos 34 x 10000-------------------------------------- 340000
Multiplicamos 92 x 100----------------------------------------- 9200
Multiplicamos 0.08 x 1------------------------------------------ 0.08
Resultado----------------------------------------------------------- 349200.08
