RECONOCE LOS CONCEPTOS DE CÍRCULO, DIAMETRO, ARCO SECTOR CIRCULAR. REALIZA ÁREAS Y PERÍMETROS DE LOS CIRCULOS

1. GEOMETRIA 8°<br />594995466090<br />CUARTO PERÍODO<br />OCTAVO<br />PROGRAMA<br />CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO PERÍMETROS<br />RELACIONES ENTRE EL PUNTO Y LA CIRCUNFERENCIA<br />PROPIEDADES DE LOS DIÁMETROS<br />ARCO<br />SECTOR CIRCULAR<br />SEGMENTO CIRCULAR<br />CORONA CIRCULAR<br />LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA<br />ÁREA DEL CÍRCULO<br />PERÍMETRO DE FIGURAS GEOMÉTRICAS<br />LOGROS<br />RECONOCE LOS CONCEPTOS DE CÍRCULO, DIAMETRO, ARCO SECTOR CIRCULAR.<br />REALIZA ÁREAS Y PERÍMETROS DE LOS CIRCULOS<br />23495-200025<br />Áreas.<br />Como el cuadrado es un cuadrilátero en donde la base u la altura son iguales, su área es igual al producto de las dos dimensiones, así:<br />1 x 1 = 1²<br />Unidad de medida<br />212663564Explicación Suponiendo que la medida común( unidad de medida) está contenida 3 veces en cada lado. Si dividimos un lado (en nuestro caso la altura) con la unidad elegida y por los puntos de división trazamos paralelas al lado que hemos tomado como base (DC), el cuadrado quedará dividido en 3 rectángulos parciales de 3 unidades de largo por (1) de alto.<br />Ahora bien, al trazar paralelas al lado que hemos tomado como altura (AD) cada rectángulo parcial quedará dividido en 3 cuadros iguales a la unidad de área.<br />Donde, el cuadro ABCD contiene 3 veces 3 unidades de are, lo que se representa por el producto 3 x 3 = 9.<br />NOTA: AL área que tiene por lado la unidad de longitud, se denomina unidad de área (véase Figura a)<br />6350034290<br />Aplicación: averiguar el área de un cuadrado que mide 8 metros de lado.<br />Soluciones<br />Formula: 1 x 1 = 1²<br />Sustitución:<br />8 x 8 = 8² = 64 m²<br />20955-13970<br />Como ya se ha enseñando, el rectángulo es un cuadrilátero de lados opuestos iguales.<br />El área del rectángulo es igual al producto de su base por la altura, así:<br />A=b X a<br />21145532385Explicación: Tal como se indico en el área del cuadrado, se dividen tanto la base y así formamos 5 rectángulos parciales de 7 unidades de largo por uno<br />De alto. Si por los puntos de división de la base trazamos paralelas a la altura, cada rectángulo parcial queda dividido en 7 cuadrados iguales a la unidad de área.<br />De donde el rectángulo ABCD (figura C) contiene 5 veces 7 unidades de área, lo que se representa con el producto<br />5 X 7 = 35<br />2095546990<br />Averiguar el área de un rectángulo que mide de base 4 decímetros y de altura 7 decímetros.<br />Solución<br />Fórmula: b X a<br />Sustitución: 4 X 7 = 28 dms²<br />Triangulo: Como se ve en la figura de la izquierda, el triángulo es la mitad de un rectángulo.<br /> ABCD<br />De donde el área de triangulo BAD = 2<br />AB = DC<br />20955-2540 b X a <br />AB = altura A= 2<br />DC = altura<br />AD = base<br />Paralelogramo:<br />-25400125095<br />La simple observación de las figuras de la izquierda (j y k) nos dejan ver que el paralelogramo ABCD es equivalente al rectángulo ABC’D’. Por lo tanto, el área de un paralelogramo es igual a la de un rectángulo de igual base y altura.<br />A = b .a<br />Aplicación. Averiguar el área de un paralelogramo que tiene 5 decímetros de base y 2 decímetros de altura.<br />Paralelogramo:<br />212663266<br />-2540033020rombo <br />Como se aprecia en la figura 11 de la izquierda, el rombo es un paralelogramo cuyos 4 lados son iguales y sus ángulos no son rectos.<br />Por lo tanto su área es:<br />A = b . a<br />En caso que solo se conozcan las diagonales, se tiene que el área es igual al semiproducto de las diagonales.<br />21266-1724<br />d . d<br />A= 2<br />Explicación grafica. La grafica m (figura de la izquierda), nos muestra al rombo formado por los triángulos BDA y BDC, cuyas áreas son:<br />Triángulo BDA = <br /> 1<br /> diagonal <br />Diagonal BD. 2 <br /> <br /> 2<br />Triangulo BDC=<br /> 1<br /> diagonal <br />Diagonal BD. 2 <br /> 2<br />Al resumir se tiene:<br /> AH HCAH + HC<br />BD. ___+ BD. ____ = BD. ( ____________) =<br /> 2 2 2 <br />Se ha sacado factor común (BD)<br />ACd’ d . d<br />= BD._____ = d. _______ = ________<br /> 2 2 2<br />Nótese:<br />BD = d = Base de los dos triángulos.<br />AC= d’ = AH + HC<br />AC d’<br />___ = ___ = Ah = HC (las diagonales se cortan en su punto medio).<br /> 2 2 <br />4340860132080<br />Luego el área del rombo es<br />d. d’<br />2<br />Aplicación Averiguar el área de un rombo cuyas diagonales miden 12 y 6 cms. Respectivamente.<br />Rombo<br />-16510-3810<br />Solución<br />Formula= d . d’<br /> 2 <br />Sustitución = 12 . 6 = 36 cms²<br /> 2 <br />2095514605Área del polígono regular<br />Al descomponer un polígono regular en triángulos, estos resultan iguales.<br />Ahora bien, si se busca el área de un triángulo y se multiplica por el número que indica el total de triángulos en que se ha dividido el polígono, se obtiene el área buscada.<br />En la figura o (hexágono regular), el área se busca:<br />(base X apotema) . 6 b X ap <br />________________ = _________ . 6 <br /> 2 2<br />ap = apotema = altura<br />base= radio = lado<br />6b = 61 = perímetro <br />Nb = nl = perímetro en general <br />Generalizando resulta: b X ap <br /> _________ . n<br /> 2<br />N = número de triángulos.<br />A la altura de triangulo, en un polígono regular se le llama apotema (ap).<br />El contorno de una figura ( suma de los lados ) se llama perímetro (p).<br />Luego el área del polígono regular, es igual a la mitad del producto del perímetro por la apotema, y se representa:<br /> P. ap P <br />A= ___________ = _________ . ap<br /> 2 2<br />Aplicación Averiguar el área de un octágono regular cuyo lado mide 18 cm. Y de apotema 12 cms.<br />Solución: <br />20955134620<br />P<br />Formula: --------- . ap <br />2 <br />Sustitución: 18 X 8<br />_________ . n<br /> 2<br />12= 864 cms² <br />R= 864 cms² <br />2095589535Área de un polígono cualquiera<br />El área de un polígono cualquiera se halla:<br />Descomponiéndolo en triángulos, lo cual se logra trazando las diagonales por vértice. (figura q).<br />Áreas de los triángulos.<br /> 16 X 9<br />Área del triangulo DEA = __________ = 72 cms²<br /> 2 <br />DA, DB…. = diagonales<br />DEA, DAB y DBC = triángulos<br />EH, AM, SC = Alturas trazadas en los 3 triángulos.<br /> 13 X 12 <br />Área del triangulo DAB = ____________ =…. 78 cms²<br /> 2<br /> 13 X 12 <br />Área del triangulo DBC = ____________ =…. 39 cms²<br /> 2<br />Área del polígono =… 189 Cms²<br />NOTA: la diagonales se han tomado como bases<br />20955179070<br />Descomponiendo en trapecios y triángulos por diagonal y las perpendiculares a ella trazadas desde los vértices. ( Figura r)<br />FC = diagonal<br />a y a’ = alturas<br />CDEF y ABCH = trapecios<br />AFH = triángulo<br />Nótese los colores.<br />Área de los trapecios.<br /> CF + DE<br />Área de los trapecios CDEF = (___________ ) . a<br /> 2<br /> CH + AB<br />Área de los trapecios ABCH = (___________) . a<br /> 2<br /> <br /> FH . a’<br />Área del triangulo = (___________)<br />2<br />NOTA: el profesor hará que los alumnos den valores numéricos a las bases y a las alturas del triangulo y de los trapecios.<br />Circunferencias y círculo. Perímetros<br />1252855485140Circunferencia: Conjunto de puntos de un plano que están a igual distancia de otro que se toma como centro. Esta distancia recibe el nombre de radio.<br />Relaciones entre el punto y la circunferencia.<br />C, D, E, A, B: puntos de la circunferencia<br />M= Punto interior a la circunferencia<br />H= punto exterior<br />Circulo Parte de plano Limitada por la circunferencia.<br />20955179070<br />Radios Son los segmentos que tienen por extremos el centro y un punto cualquiera de la circunferencia<br />Todos los radios de una circunferencia son iguales<br />Cuerda: segmento cuyos extremos son dos puntos de la circunferencia.<br />Diámetros: Son las cuerdas que pasan por el centro<br />Propiedades de los diámetros:<br />Todos los diámetros de una misma circunferencia son iguales.<br />Un diámetro es igual a dos radios<br />Un diámetro divide a la circunferencia y al círculo en dos partes iguales llamadas semicircunferencias y semicírculos.<br />Arco: es la parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos que se llaman extremos del arco<br />Sector circular: es la porción de circulo limitada por un arco y lo radios de sus extremos.<br />Segmento circular: es la porción de circulo comprendida entre un arco y un cuerda.<br />2026920492760Corona circular: superficie comprendida entre dos circunferencias que tienen el mismo centro y distinto radio<br />Longitud de la circunferencia<br />184023079375<br />C= Circunferencia<br />D= diámetro<br />R= Radio<br />2r= d<br /> C<br />___ = 3.1416<br /> d<br /> C<br />1º) ___ = ¶ { ¶ = Pi (letra griega)<br /> d<br /> C<br />2º) ___ = ¶ { C = 2 ¶ . r <br /> 2r<br />De la igualdad (1) al dividir la circunferencia © por el diámetro (d) nos resulta el número ¶ (pi) que es igual a 3.1416.<br />En la igualdad (2) hemos reemplazado al diámetro por su equivalente 2 r (2 radios).<br />Y por último hemos despejado el valor de C, que es igual a 2 veces el radio por ¶<br />C= 2 ¶ . r = longitud de la circunferencia.<br />De la explicación se deduce que la longitud de la circunferencia es igual también a 3 diámetros, mas una fracción de diámetro.<br />Área del círculo<br />2095513335<br />Como s observa en la figura t, de la izquierda, la circunferencia es el limite del perímetro de un polígono regular inscrito de infinito número de lados, y el radio es el límite de la apotema.<br />Por lo tanto:<br />Circunferencia . r <br />Área del circulo = _________________ = <br />2<br /> C . r 2¶ .r . r <br />= ____________=__________= ¶. r²<br />2 2<br />C= longitud de la circunferencia.<br />C= 2 ¶ . r <br />R= apotema.<br />Nótese que el factor 2 se ha cancelado.<br />El profesor debe hacer hincapié en que el circulo es un polígono regular de infinito número de lados y explicar:<br /> P . ap C . r 2¶ . r . r <br />A= _______ = _______ = __________ = ¶<br /> 2 2 2 <br />Perímetro de figuras geométricas<br />281940177165<br />OM = AB + BC + CD + DA<br />OM = 5 + 5 + 5 + 5 = 20 <br />Nota: repasar suma de segmentos<br />