Este documento resume los conceptos fundamentales sobre integrales definidas, incluyendo las propiedades, interpretación geométrica como área bajo una curva, teoremas como el valor medio y el fundamental del cálculo. También explica métodos como el cambio de variable y cómo calcular el área de una región delimitada por funciones.
Esta es un presentación hecha especialmente para jóvenes en nivel medio superior que desean conocer un poco sobre el uso de las integrales.
Este texto es INFORMATIVO y no utiliza el lenguaje matemático formal.
Esta es un presentación hecha especialmente para jóvenes en nivel medio superior que desean conocer un poco sobre el uso de las integrales.
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Definición de integral definida, propiedades,regla de Barrow,teorema fundamental del cálculo integral, cálculo de áreas, ejercicios de aplicación. Nivel: 2º Bachillerato
En esta sección, repasamos el concepto integral definida, motivada por áreas bajo curvas y algunas de las propiedades. Definimos de manera rigurosa la integra como el límite de una suma de Riemann.
Definición de integral definida, propiedades,regla de Barrow,teorema fundamental del cálculo integral, cálculo de áreas, ejercicios de aplicación. Nivel: 2º Bachillerato
En esta sección, repasamos el concepto integral definida, motivada por áreas bajo curvas y algunas de las propiedades. Definimos de manera rigurosa la integra como el límite de una suma de Riemann.
3. Área bajo una curva
Suponiendo f(x) acotada y positiva, la región limitada por la gráfica de f y el eje OX
en el intervalo [a, b] se denota por R(f; [a, b]).
4. Sumas de Riemann
Como la función es contínua en cada
intervalo existen un mínimo y un máximo
(Tª de Weiersstra)
Sea mi el mínimo de f(x) en Ii = [xi-1, xi]
Las sumas inferiores(suma de los rectángulos)
s(f; Pn) = m1 . x1 + m2 . x2 + ... + mn . xn
Sea Mi el máximo de f(x) en Ii = [xi-1, xi]
Las sumas superiores (suma de los rectángulos
superiores) se expresan así
S(f; Pn) = M1 . x1 + M2 . x2 + ... + Mn . xn
Cualquiera de los valores s(f; Pn) o S(f; Pn) es una aproximación al área R(f; [a, b] )
5. Cálculo de áreas
• En multitud de problemas que se presentan en Ciencia y Tecnología es preciso
calcular el área encerrada por varias curvas.
• Este problema pasa por encontrar el área limitada por una curva y = f(x), el eje OX y
las abscisas entre los valores x = a, x = b. Inicialmente calcularemos el área mediante
aproximaciones
Área (Trapecio rectilíneo) = Área (Trapecio curvilíneo)
f(a) + f(b) . f(a) + f(b) .
Error que se comete al
= (b – a) (b – a) tomar una por otra
6. Integral definida
Cuando se aplica el proceso anterior a cualquier función (no necesariamente positiva)
en el intervalo [a, b] obtenemos las sumas superiores e inferiores de Riemann sobre la
partición Pn.
Sea mi el mínimo de f(x) en Ii = [xi-1, xi]
s(f; Pn) = m1 . x1 + m2 . x2 + ... + mn . xn
Sea Mi el máximo de f(x) en Ii = [xi-1, xi]
S(f; Pn) = M1 . x1 + M2 . x2 + ... + Mn . xn
Si la función f es continua al considerar las particiones con mayor número de
intervalos de manera que la longitud de estos tienda a decrecer, las sumas de
Riemann se acercan a un número que se llama integral definida de la función f en
b f(x) dx
[a, b] y se escribe a
.
7. Integral definida y área bajo una curva I
f(x) 0 x [a, b] f(x)
f(x)
b
R A(R) = f(x) dx
a
f(x) 0 x [a, b] b
A(R) = – f(x) dx =
a
b
– f(x) dx =
a
= | b
a
f(x) dx |
8. Integral definida y área bajo una curva II
Si f(x) toma valores
positivos y negativos
en el intervalo [a, b],
se calculan cada una
por separado y se
suman los resultados
teniendo en cuenta
los signos.
c d e b
A(R) = f(x) dx – f(x) dx + f(x) dx – f(x) dx
a c d e
9. Propiedades de la integral definida
a b
1. f ( x)dx f ( x)dx.
b a
a
2. f ( x) dx 0.
a
b
3. kdx k (b a) siendo k un número real.
a
b b b
4. f ( x) g ( x) dx f ( x)dx g ( x)dx.
a a a
b b
5. kf ( x)dx k f ( x)dx siendo k un número real.
a a
10. Propiedades de la integral definida
b c b
6. f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx para cualquier c [a, b].
a a c
b
7. Si f ( x) 0 para todo x [a, b], f ( x)dx 0.
a
8. Si f ( x) g ( x) para todo x [a, b],
b b
f ( x)dx g ( x)dx.
a a
9. Si n f ( x) m para todo x [a, b],
b
n(b a) f ( x)dx m(b a).
a
b b
10. a
f ( x)dx a
f ( x)dx .
11. Función área o función integral
Dada una función f(x) continua y positiva en [a, b], se define la función integral
F(x) como la función que mide el área sombreada bajo f. Se representa por:
x
f (t ) dt F ( x)
a
12. Teorema del valor medio: interpretación geométrica
b
Enunciado: Si f es continua existe c [a,b] en el que f (x)dx (b a )·f (c)
a
Interpretación geométrica (para funciones positivas) Entre los rectángulos abB'A (rojo) y
abBA‘(azul) existe un rectángulo intermedio (verde) que tiene la misma área que el área
del recinto R(f; [a, b]). La altura de este rectángulo es precisamente f(c).
Por tanto R1 = R2
13. Teorema del valor medio para integrales
Enunciado:
Si f es continua en el intervalo [a, b], existe c [a, b] en el que b f(x) dx = (b – a) f(c).
a
M Demostración: área pequeña < A.curva < área grande
b
m (b – a) f(x) dx M (b – a)
a
1 b
m b–a a f(x) dx M
1 b
f(x) dx
b–a a Puesto que f es continua en [a, b] toma todos los
valores entre m y M. Por tanto existe un c [a, b]
tal que:
1 b
b – a a f(x) dx = f(c)
m
Si multiplicamos por (b – a) se obtiene la función
a integral
c b
¡¡Atención!! Puede haber varios puntos, en los
que la función alcanza el valor medio.
14. Teorema fundamental del cálculo. Interpretación geométrica
Sea f una función continua, positiva y creciente en el intervalo (a,b).
Sea F la función que mide el área sombreada hasta x. En el límite
cuando h tiende a cero, F’(x) coincide con f(x)
Sea x (a, b) y h 0.
Y
F ( x h) F ( x)
f ( x h)
área pequeña < A.curva < área grande
f ( x)
h f ( x ) F ( x h) F ( x ) h f ( x h )
F ( x h) F ( x )
f ( x) f ( x h)
h
x x+h X
15. Teorema fundamental del cálculo
Enunciado: Sea f una función continua, positiva y creciente en el
intervalo (a,b). La función F que mide el área sombreada hasta x, es la
primitiva de f, es decir F’(x) = f(x).
Dem.: x h x x h a
f ( t )dt f ( t )dt f ( t )dt f ( t )dt
F( x h ) F( x )
F' ( x ) lim lim a a
lim a x
h 0
h h 0
h h 0
h
x h
f ( t )dt f (c)·(x h x )
lim x
y por el teorema del valor medio lim
h 0
h h 0
h
f ( c) h
lim lim f (c) f ( x )
h 0
h h 0
a c b
Si h tiende a 0 c tiende a x por lo que f(x)=F’(x)
16. Regla de Barrow
Si f(x) es una función continua en [a, b] y G(x) es una primitiva de f(x)
b f(x) dx = G(b) – G(a).
en [a, b], entonces
a
Demostración:
• Como F(x) (función de áreas) es también una primitiva de f(x) en [a, b], F(x) y G(x)
se diferencian en una constante: por tanto F(x) = G(x) + C.
• Como F(a) = 0 C = – G(a). Por tanto F(x) = G(x) – G(a).
• Para x = b, F(b) = G(b) – G(a).
b
Por tanto F(b) = a
f ( x ) dx = G(b) - G(a)
b
Que también se puede poner así: a f ( x ) dx = G(b) – G(a) = F(x) b
a
17. El método de «cambio de variable» para integrales definidas
Sea g una función derivable en el intervalo [a, b] y f una función continua en el
recorrido de g. Se tiene entonces:
b f(g(x))g'(x) dx = g(b) f(u) du
a g(a)
Esto significa que si F es una primitiva de f.
b f(g(x))g'(x) dx = F(g(b)) – F(g(a))
a
8
x dx 1
69
du dx –1 69
–1 1 13
Ejemplo: 22 = 2 = 2u = + =
(5 + x) 2 u 30 138 60 1380
–5 30
Cambio u = 5 + x2 = g(x) du = 2xdx
g(–5) = 30; g(8) = 69
18. Área del recinto limitada por una función
Y R f(x)
+ +
c d e b
a
– – X
c d e b
Área (R) = f(x) dx - f(x) dx + f(x) dx - f(x) dx
a c d e
19. Área del recinto limitado por dos funciones
c b
Área (R) = [g(x) – f(x)] dx + [f(x) – g(x)] dx
a c
20. Área del recinto limitado por dos curvas: ejemplo
Calcula el área de la región limitada por las curvas y = x3 – 6x2 + 9x e y = x.
2
y = x3 – 6x2 + 9x y=x Área (R) = x3 6 x 2 9 x x dx
0
4
x x3 6 x 2 9 x dx
2
R
4 2 4
x 3 2 x4
2x 4x 2 x3 4 x 2
4 0 4 2
4 4 8u 2
0 2 4