Este documento presenta 5 problemas relacionados con la aplicación de la ecuación de conducción de calor. El primer problema involucra calcular la temperatura en el centro de un plato que genera calor de forma uniforme. El segundo problema determina la generación máxima de calor en una pared sólida. El tercer problema deriva la distribución de temperatura en una esfera con generación de calor uniforme. Los problemas 4 y 5 utilizan el concepto de resistencias térmicas para calcular espesores requeridos de aislamiento.

1. Tarea 2
Problemas de aplicación de la Ecuación de Calor (Conducción)
Transferencia de Calor y Masa
Adalberto Cortés Ruiz
Profesor: Dr. Miguel Ángel Morales Cabrera

2. APLICANDO EL BALANCE DE CALOR (ECUACIÓN DE CONDUCCIÓN)
Problema 1.
Se genera calor de forma uniforme en un plato de acero inoxidable con una conductividad térmica k de
20W/(m°C). El espesor del plato es de 1cm y el calor de generación es de 500MW/m3
. Si los dos lados del plato
se mantienen a 100 y 200°C, respectivamente, calcular la temperatura en el centro del plato.
Suposiciones
 Estado estable (estacionario)
 Transporte unidireccional
Entradas Salidas Generación Acumulación
(A) x x
q (A) x x x
q 
(A ) genx 0
dT
dt

Se determina el modelo del perfil de temperaturas a partir de la ecuación de calor (ecuación (1.1) para éste
caso) y de la ley de Fourier, en seguida se usa la expresión obtenida para hallar la temperatura a la mitad del
plato, (x=0.5cm).
 / /Entradas Salidas Generación Consumo Acumulación   
(A) (A ) 0x x genx x x
q q x
      (1.1)
1
1
2 1
1 2
0
2
x xx x x
gen
x
gen x gen x gen
gen
gen gen
q q
x
dq
dq dx q x c
dx
dT
k x c
dx
c
dT xdx c dx T x x c
k k k


 

     
  
       
 
  
2
[0.01m][100°C]
[100°C]
2 [0.01m] 2
gen gen
T x x
k k
 
      
 
(1.2)
Al sustituir x=0.005m en el perfil de temperatura (1.2), se obtiene una temperatura de 462.5°C, la
cual es razonable debido a la cantidad de generación de energía que se tiene.
8 3
5 10 W/mgen  x
20W/m °Ck  
L=0.01m
Elemento de volumen
A x
Condiciones de frontera
0 100
0.01m 200
x T
x T
  
  

3. Problema 2.
Un cable calefactor eléctrico es instalado en una pared sólida que tiene un espesor de 8cm y una conductividad
térmica por conducción de k=2.5W/(m°C). La cara derecha es expuesta a un ambiente con h=50W/(m2
°C) y
T =30°C, mientras que la cara izquierda es expuesta a h=75W/(m2
°C) y T =50°C. ¿Cuál es la velocidad
máxima de generación de calor aceptable de tal forma que la temperatura máxima en el sólido no exceda los
300°C?
Suposiciones
 Estado estable (estacionario)
 Transporte unidireccional
2
1 2
(50 30) W
306.122
0.081 1 1 1 m
50 2.5 75
x
T
q
x
h k h
 
  
   
Temperatura en las caras:
1
306.122
30 36.122°C
50
x
R R
q
T T
h
    
2
306.122
50 45.9184°C
75
x
L L
q
T T
h
      
Del perfil de temperatura (2.1), se halla una expresión que represente la posición cuando la temperatura es
de Tmax=300°C y a partir de la misma, se halla a la generación de calor como una función de ésta posición
correspondiente a T
2
2 2
gen genL R
R
LT T
T x x T
k L k
 
      
 
(2.1)
max
2
max 2
2
2 2
L R
R
gen genL R
R gen
T T
T T xL LT T
T x x T k
k L k Lx x
                 
(2.2)
Sustituyendo al perfil de temperatura (2.1) en la ley de Fourier
 
 
2
2 2
2
2 2
gen genL R
x R
gen genL R
x
gen L R
x gen gen L R
LT Td
q k x x T
dx k L k
LT T
q k x
k L k
L T T k L k
q x x T T
L L
  
         
  
 
      
 
  
       
 
 
2
x gen L R
L k
q x T T
L
 
    
 
(2.3)
50°CLT 30°CRT 
k
LT
0.08cmL 
RT

4. Se sustituye (2.2) en (2.3) y también los valores constantes:
 
max
2
2
2
L R
R
x L R
T T
T T x
L L k
q k x T T
Lx x L
              
    
 
(2.4)
Usando un software de cálculo como MATLAB, a partir de la función integrada fsolve, se halló a x con un valor
de 0.0408m, el cual indica la posición de la generación de calor dentro de la pared. Ya con x=0.0411m, se
sustituye en la ecuación (2.2) con Tmax y se despeja la generación de calor:
 max
2 2 3
3
45.9184 36.122300 36.122 (0.0408) W0.082 2(2.5) 876680
(0.08)(0.0408) (0.0408) m
0.87MW m
L R
R
gen
gen
T T
T T x
L
k
Lx x
       
   
 

Problema 3.
Derive una expresión para la distribución de temperatura en una esfera de radio r con una generación de calor
uniforme gen y una temperatura constante de superficie wT .
Suposiciones
 Estado estable (estacionario)
 Transporte unidireccional
Entradas Salidas Generación Acumulación
 2
4 r
r
r q  2
4 r
r r
r q
  2
4 genr r  0
dT
dt

Para la ecuación de calor, se sigue la estructura de un balance de materia/energía, es decir:
 / /Entradas Salidas Generación Consumo Acumulación    (1)
Según (1), la ecuación de Calor para un cuerpo esférico con generación constante de calor es la ecuación (3.2):
   2 2
4 4 0r r genr r r
r q q r r 
      (3.2)
Dividiendo a (2) por el elemento de volumen:
 2
2
0
r rr r r
gen
r q q
r
r

    

(3.3)
r
gen
wT
R
Elemento de volumen
2
4 r r 
Condiciones de frontera
0 r
w
r q q
r R T T
  
  

5. Aplicando el límite cuando r tiende a 0 a (3):
2
2( )r
gen
d r q
r
dr
 (3.4)
Integrando a (4) de forma indefinida:
3
2 1
1 2
3 3
r gen r gen
cr r
r q c q
r
     (3.5)
Sustituyendo a rq por la ley de Fourier:
1
2
3
gen cdT
k r
dr r
   (3.6)
Integrando a (6) de forma indefinida:
21
2
6
genc
T r c
rk k
   (3.7)
En (7), la constante 1c se debe forzar a ser 0 para que sea posible cumplir las condiciones de frontera
2
2
6
gen
T r c
k
   (3.8)
Utilizando la segunda condición de frontera, se obtiene el perfil de temperatura:
2
2
6
gen
wc T R
k
 
2 2
6 6
gen gen
wT r T R
k k
   
2 2
6
gen
wT R r T
k
     (3.9)

6. APLICANDO EL CONCEPTO DE RESISTENCIAS TÉRMICAS
Problema 4.
Una pared de 2cm de grosor se va a construir a partir de un material que tiene una conductividad térmica
promedio de 1.3 W/(m°C). La pared se va a aislar con un material que posee una conductividad térmica
promedio de 0.35 W/(m°C), de tal forma que la pérdida de calor por metro cuadrado no excederá los 1830 W.
Asumiendo que las temperaturas de las superficies interior y exterior de la pared aislada son de 1300 y 30°C,
calcular el grosor del aislante requerido.
Suposiciones
 Estado estable (estacionario)
 Transporte unidireccional
 Trasporte de calor por conducción
Se pide calcular 2x . Para ello se despeja de la ecuación (4.1) y se evalúa
1 2
1 2
f i
x
T T
q
x x
k k


 

(4.1)
1
2 2 2
1
1300°C 30°C 0.02m
(0.35W m °C) 0.2375m
1830W/m 1.3W m °C
f i
x
T T x
x k
q k
    
         
  
Problema 5.
Un lado de un bloque de cobre de 4cm de grosor se mantiene a 175°C. El otro lado es cubierto con una capa de
fibra de vidrio de 1.5cm de grosor. El lado exterior de la capa de fibra de vidrio se mantiene a 80°C, y el flujo
de calor total a través del bloque compuesto es de 300W. ¿Cuál es el área de la placa?
Suposiciones
 Estado estable (estacionario)
 Transporte unidireccional
 Trasporte de calor por conducción
1 2
|200 |85
A A(221.6114)i f
Cu C fg C
T T
Q
x x
k k 

 
 

; 2
A= 1.3537m
221.6114
Q

1k 2k1 0.02mx 
30°CfT 
1300°CiT 
1x 2x
iT fT
2 0.35W m °Ck  
1 1.3W m °Ck  
2
1830W/mxq 
175°CiT 
iT
2x
2 0.015mx 
1x
1 0.04mx 
80°CfT 
fT
|200
|85
374W m °C
0.035W m °C
Cu C
fg C
k
k


 
 

7. Problema 6.
Un cierto material tiene un espesor de 30cm y una conductividad térmica de 0.04 W/(m°C). En un tiempo en
particular, la distribución de temperatura con x, la distancia de la cara izquierda, es T=150x2
-30x, donde x está
expresado en metros. Calcular el flux de calor en x=0 y x=30cm. ¿El sólido se está calentando o enfriando?
Suposiciones
 Estado estable (estacionario)
 Transporte unidireccional
Cuando x=0
 2 2
0
150 30 (300 30) (0.04)( 30) 1.2W/mx
d
q k x x k x
dx
         
Se está calentando
Cuando x=0.3
 2 2
0.3
150 30 (300 30) (0.04)(300(0.3) 30) 2.4W/mx
d
q k x x k x
dx
          
Se está enfriando
Problema 7.
Un tanque esférico, con 1m de diámetro, se mantiene a una temperatura de 120°C y es expuesto a una
convección con el ambiente. Con h=25 W/(m2
°C) y 15 CT   , ¿Cuál es el espesor que la espuma de uretano
debe añadirse para asegurar que la temperatura exterior del aislante no exceda los 40°C? ¿Cuál es el porcentaje
de reducción de la pérdida de calor a partir de la instalación del aislante?
Suposiciones
 Estado estable (estacionario)
 Transporte unidireccional
2
2 2 2
2 2 24 ( ) (100 )(40 15) 2500r uConvección
Q r h T T r r      
2
2
2
2 1
4 R u
r Conducción
T T
Q r k
r r



 2 2r rConducción Convección
Q Q
2
150 30T x x 
0.3mx 
0.04W m °Ck  
15 CT  
120 CRT  
RT
T
2
25W/m Ch  
0.02W/m °Cuk  
40 CuT  
1 0.5mr 
uT
1r
2r

8. 2 2
2 2
2 1
2500 4 R uT T
r r k
r r
 



3
2
2 1
625 120 40
(0.02) 2.56 10 m
625 625
R u R uT T T T
r k
k r r
  
     

El porcentaje de pérdida está definido como:
sin Re
sin
100
al
aislante
aislante
Q Q
Q
 
  
 
 
2
sin 14 ( ) 8246.68WR
aislante
Q r h T T    y 2
Re 24 ( ) 1983.65Wal uQ r h T T   
Porcentaje de pérdida: 75.95%
Problema 8.
Un flujo de aire a 120°C en un tubo de pared delgada de acero inoxidable con h=65W/(m2
°C). El diámetro
interno del tubo es de 2.5cm y el espesor de la pared es de 0.4mm. k=18W/(m °C) para el acero. El tubo es
expuesto a el ambiente con h=6.5W/(m2
°C) y T =15°C. Calcular el coeficiente de transferencia de calor global
total y la pérdida de calor por metro de longitud. ¿Cuál es espesor de un aislante de k=40mW/(m °C) debería
ser adicionado para reducir la pérdida de calor un 90%?
Suposiciones
 Estado estable (estacionario)
 Transporte unidireccional
2 1
2
1
2
2 1
1 2
2 3 2
15 C 120 C
65W/m C
6.5W/m C 0.0125m
18W/ °C 0.0165m
0.04W/ °C (0.0165 )m
T T
h
h r
k r
k r e
    
 
  
  
   
El flujo de calor sin el aislante por metro es:
1 2
2 1
1 1 1 2 2
120 15
62.4145W
1 1 ln(0.0165/ 0.0125) 1ln( / )1 1 1
2 65(0.0125) 18 (6.5)(0.0165)2
T T
Q
r r
L h r k h r 
  
  
   
     
  
2r
1r
3r
1k
2k
2T
2h
1h
1T
2e

9. (62.4145W)(0.9) 56.173WTotalQ  
1 2
2 1 2 2 2
1 1 1 2 2 2
ln( / ) ln(( ) / )1 1 1
2
Total
T T
Q
r r r e r
L h r k k h r
 

 
   
 
4
2 8 10 me 
 
Problema 9.
Una tubería con vapor caliente tiene una temperatura superficial interna de 250°C y tiene un diámetro interno
de 8cm y un espesor de 5.5mm. Se cubre con 9cm de una capa de aislante que tiene k=0.5W/(m °C), seguido
de una capa de aislante de 4cm teniendo k=0.25W/(m°C). La temperatura exterior del aislante es de 20°C.
Calcular la pérdida de calor por metro de longitud. Asuma que k=47W/(m °C) para la tubería.
Suposiciones
 Estado estable (estacionario)
 Transporte unidireccional
1 1
2 2
3 3
4
250 C
20 C
0.04m 47W/m°C
0.0455m 0.5W/m°C
0.1355m 0.5W/m°C
0.1755m
i
f
T
T
r k
r k
r k
r
 
 
 
 
 

3 42
31 2
448.8W
lnln ln
2 2 2
i fT T
Q
r rr
rr r
kL kL kL  

 
 
 
  
 
 
iT1r
2r
1k
2k
3k
fT
3r4r

10. USANDO COMSOL Multiphysics
Problema 10.
Una tubería de acero con 5cm de diámetro exterior se cubre con 6.4mm de aislante de asbesto [k=0.096Btu/(h
ft °F)] seguido de una capa de aislante de fibra de vidrio de 2.5cm [k=0.028Btu/(h ft °F)]. La temperatura de la
pared de la tubería es de 315°C, y la temperatura del aislante exterior es de 38°C. Calcular la temperatura de
interfaz entre los asbestos y la fibra de vidrio.
Procedimiento
Se deben definir las suposiciones que restrinjan la física del planteamiento. Una vez hecho esto, se diseña la
geometría del problema en COMSOL Multiphysics y se le añaden los datos o parámetros y suposiciones físicas
al cuerpo geométrico.
Suposiciones:
 Transferencia de calor por conducción en sólidos.
 Estado estable (estacionario).
 Transporte unidireccional.
 Se desprecia la parte de acero del tubo como una resistencia. Es decir, permite el paso de flujo de
calor sin generar pérdidas y por consecuencia se tendrá la misma temperatura en el área del radio
interno y el externo.
Tabla de parámetros:
Descripción Simbología
Valor
proporcionado
por el problema
Conversión de unidades Valor empleado*
Conductividad térmica por
conducción del aislante de
asbesto
1k 0.096Btu/h·ft·°F - 0.096Btu/h·ft·°F
Conductividad térmica por
conducción del aislante fibra
de vidrio
2k 0.028Btu/h·ft·°F - 0.028Btu/h·ft·°F
Temperatura de la pared
interna de la tubería iT 315°C
°F=1.8(°C)+32
599°F
Temperatura de la pared
exterior de la última capa de
aislante
fT 38°C 100.4°F
Radio exterior del tubo 1r 2.5cm
ft=0.032808(cm)
0.082021 ft
espesor del aislante de fibra
de vidrio 2e 2.5cm 0.082021 ft
espesor del aislante de
asbesto 1e 6.4mm  mmft=0.032808
10 0.0209974 ft
Radio exterior del aislante de
asbesto 2 1 1r r e  - - 0.1030184 ft
Radio exterior del aislante de
fibra de vidrio
3 2 2r r e 
- - 0.1850394 ft
*Se utilizó el sistema de unidades inglés

11. Geometría del problema
Debido a que se desprecia la existencia de pérdida de calor en el tubo de acero, se puede asumir que la
temperatura se mantendrá constante a lo largo del tubo de acero. Por lo tanto, se puede comenzar la
simulación a partir de la capa del aislante de asbesto.
Figura 1. Geometría del problema. En rojo se encuentra la capa representativa del
aislante de asbesto; En gris, la capa representativa del aislante de fibra de vidrio.
Simulación1
1. Una vez iniciado COMSOL Multiphysics, en el Model Wizard, se dirige a Select
Space Dimention y se elige 3D, después se da “click” en Next, (flecha derecha).
2. Enseguida aparecerá el panel de Add Physics. Se selecciona y dar
“click” en Next.
3. Se despliega y se selecciona después dar “click” en Finish
4. Dar “click” derecho en y después en
Aquí aparecerá una ventana (Settings) en la cual se deben ingresar los datos de la tabla de
parámetros, especificando entre corchetes las unidades dimensionales en las que se encuentran,
(Figura 2).
5. En dar “click” derecho y seleccionar A continuación,
aparecerá una nueva lista de dar “click” derecho e ingresar dos círculos con
Circle. Se verán dos cuadros similares a los siguientes:
6. En el radio del círculo 1 se agrega r1 y en el del círculo 2 será r2, se da “click” en Build All. Después,
se da “click” derecho de nuevo en y se selecciona Boolean Operations y luego
Ahí aparecerá un recuadro en el que se agregará el círculo de radio r1 a Objects to
Substract y el círculo de r2 a Objects to Add. A continuación, se obtendrá un contorno semejante al
de la Figura 3 en la parte de la gráfica. Este contorno representa la primera capa de aislante en el
tubo.
Para agregar la longitud, se da “click” derecho en y se selecciona
Luego se despliega una ventana en la que pide la longitud que tendrá la figura en la
parte de Distances from Work Planes.
Debido a las suposiciones realizadas, la distribución de calor a lo largo de la tubería no cambiará. Es
decir, sólo cambiará la temperatura de la tubería respecto al radio y no de la longitud.
1
Éste procedimiento es aplicable para la versión 4.2a de COMSOL Multiphysics, para otras versiones el
procedimiento puede variar debido que pueden cambiar las ubicaciones de las herramientas manejadas.

12. Con esto se tiene que, es posible agregar cualquier longitud y no se alterarán los resultados. Para
ésta simulación se agregó 0.2 ft de longitud. Al final, se da click en Build Selected
7. Se repiten los puntos 5 y 6, pero ahora usando los radios r2 y r3 para los círculos 1 y 2
respectivamente. Al dar click en Build Selected, se deberá visualizar una figura como la Figura 4.
8. Se unen las figuras con
9. En se da click derecho y se añaden dos cuadros de Materials, al primer material se le
asigna la conductividad térmica k1 que le debe corresponder al aislante de asbesto, y el k2 al aislante
de fibra de vidrio.
10. Se agregan las temperaturas Ti y Tf a las caras interna y externa de la tubería, respectivamente. Esto
se hace dando click derecho en y seleccionando Temperature.
11. Se realiza el mallado de la figura con obteniendo algo semejante a la Figura 5.
12. Se da click derecho en y se selecciona Compute. A continuación, se obtendrán los
resultados de la Figura 6.
Figura 2. Tabla de parámetros en COMSOL Multiphysics
Figura 3. Grosor del aislante de asbesto

13. Figura 4. Figura representativa de las capas de
aislantes
Figura 5. Mallado de la figura representativa de la
tubería
Figura 6. Distribución de la temperatura alrededor de las capas de aislantes
La temperatura entre la interfaz del aislante de asbesto y el aislante de fibra de vidrio es de 559.885K. Esto
se puede detectar si se realiza una gráfica con los datos de la temperatura que recolecta una línea a lo ancho
de la tubería (Figura 7), con

14. Figura 7. Perfil de temperatura a través de los espesores de la tubería