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CONDUCCIÓN DE CALOR EN
RÉGIMEN TRANSITORIO
Ing. Pedro Flores Larico
2024A
SISTEMAS CONCENTRADOS Y ESPACIALES
ANÁLISIS DE SISTEMAS CONCENTRADOS
• Un cuerpo de forma arbitraria, masa m,
volumen V, área superficial As, densidad ρ,
calor especifico Cp.
• Ti temperatura inicial a τ=0, el cuerpo
colocado en un medio a la temperatura 𝑇∞,
coeficiente de transferencia de calor h.
• Se supondrá 𝑇∞ > 𝑇𝑖 y que la temperatura
permanece uniforme dentro del cuerpo en
todo momento y solo cambia con el tiempo
T=T(τ).
SISTEMA CONCENTRADO
• La temperatura de un sistema concentrado se
acerca a la del medio a medida que transcurre el
tiempo
b =
ℎ𝐴𝑠
𝜌𝑉𝐶𝑝
TEMPERATURA UNIFORME DENTRO DEL
CUERPO
• Durante un intervalo diferencial de tiempo, dτ, se eleva
en una cantidad diferencial dT.
• Un balance de energía del sólido.
•
𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟
ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑒𝑟𝑝𝑜
𝑑𝑢𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑τ
=
𝐸𝑙 𝑖𝑛𝑐𝑟𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎
𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑒𝑟𝑝𝑜
𝑑𝑢𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝜏
• ℎ𝐴𝑠 𝑇∞ − 𝑇 𝑑τ = mCpdT
• m=ρdV y 𝑑𝑇 = 𝑑 𝑇 − 𝑇∞ si 𝑇∞ = constante
•
𝑑 𝑇−𝑇∞
𝑇−𝑇∞
= −
ℎ𝐴𝑠
𝜌𝑉𝐶𝑝
𝑑𝜏
ECUACIÓN TEMPERATURA CON TIEMPO
• Integrando, para τ=0 → T = Ti
• τ → T = T(τ)
• ln
𝑇(𝜏)−𝑇∞
𝑇𝑖−𝑇∞
= −
ℎ𝐴𝑠
𝜌𝑉𝐶𝑝
𝜏
•
𝑇(𝜏)−𝑇∞
𝑇𝑖−𝑇∞
= 𝑒
−
ℎ𝐴𝑠
𝜌𝑉𝐶𝑝
𝜏
• Si b =
ℎ𝐴𝑠
𝜌𝑉𝐶𝑝
→
𝑇(𝜏)−𝑇∞
𝑇𝑖−𝑇∞
= 𝑒− 𝑏𝜏
•
1
𝑏
=
𝜌𝑉𝐶𝑝
ℎ𝐴𝑠
constante de tiempo
TRANSFERENCIA DE CALOR
Velocidad de transferencia de calor
𝑄 𝜏 = ℎ𝐴𝑠 𝑇 𝜏 − 𝑇∞ W
Cantidad total de transferencia de calor entre el cuerpo y el medio
ambiente desde τ = 0 hasta τ
𝑄 = 𝑚𝐶𝑝 𝑇 𝜏 − 𝑇𝑖 J
La transferencia de calor máxima entre el cuerpo y alrededores
𝑄𝑚𝑎𝑥 = 𝑚𝐶𝑝 𝑇∞ − 𝑇𝑖 J
CRITERIOS Lc y BIOT
El número de Biot se puede concebir como la razón
entre la convección en la superficie del cuerpo con
respecto a la conducción dentro de éste.
NÚMERO DE BIOT
• Longitud característica 𝐿𝐶 =
𝑉
𝐴𝑠
• 𝐵𝑖 =
𝐶𝑜𝑛𝑣𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑒𝑟𝑝𝑜
𝐶𝑜𝑛𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑒𝑟𝑝𝑜
=
ℎ
𝐾
𝐿𝑐
• Bi=
ℎ𝐿𝑐
𝐾
=
ℎ∆𝑇
𝐾∆𝑇
𝐿𝑐
• 𝐵𝑖 =
𝐿𝑐
𝐾
1
ℎ
=
𝑅𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑒𝑟𝑝𝑜
𝑅𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑒𝑟𝑝𝑜
• Se acepta para sistemas concentrados con Bi≤ 0.1
• Para cuerpos pequeños con conductividad térmica alta y
cuando se encuentran en medios conductores malos como
aire u otro gas que este inmóvil.
CONDUCCIÓN DE CALOR EN RÉGIMEN TRANSITORIO EN
PAREDES PLANAS, CILINDROS LARGOS Y ESFERAS CON
EFECTOS ESPACIALES
• La temperatura dentro de un cuerpo cambia
de punto a punto así como de tiempo en
tiempo.
CONDUCCIÓN TRANSITORIA UNIDIMENSIONAL
• Para una pared plana de espesor 2L, inicialmente a Ti (τ
= 0), la pared se sumerge en un fluido de temperatura
𝑇∞, h coeficiente de transferencia de calor por
convección.
• La altura y ancho de la pared son grandes con relación
al espesor.
• Resolvemos el problema de conducción de calor en la
mitad positiva, 0 ≤ x ≤ L.
• Propiedades termofisicas constantes, sin generación de
calor, simetría térmica respecto al plano medio,
temperatura inicial uniforme, coeficiente constante de
convección
Perfil de temperatura es simétrico
Perfil de temperatura cada vez más aplanado
T = Tꚙ se ha alcanzado el equilibrio térmico
SOLUCIÓN ANALÍTICA
•
𝜕2𝑇
𝜕𝑥2 =
1
𝛼
𝜕𝑇
𝜕𝑡
(1)
• ∝=
𝐾
𝜌𝐶𝑝
𝑑𝑖𝑓𝑢𝑠𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑚𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙
• Condiciones de frontera
•
𝜕𝑇 0,𝑡
𝜕𝑥
= 0
• −𝐾
𝜕𝑇 𝐿,𝑡
𝜕𝑥
= ℎ 𝑇 𝐿,𝑡 − 𝑇∞ (2)
• 𝑇 𝑥,0 = 𝑇𝑖
𝑋 =
𝑥
𝐿
0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿
𝜃 𝑥,𝑡 =
𝑇 𝑥,𝑡 −𝑇∞
𝑇𝑖−𝑇∞
0 ≤ 𝜃 ≤ 1 (3)
𝜕𝜃
𝜕𝑋
=
𝜕𝜃
𝜕
𝑥
𝐿
=
𝐿
𝑇𝑖−𝑇∞
𝜕𝑇
𝜕𝑥
𝜕𝑇
𝜕𝑥
=
𝑇𝑖−𝑇∞
𝐿
𝜕𝜃
𝜕𝑋
𝜕2𝜃
𝜕𝑋2 =
𝐿2
𝑇𝑖−𝑇∞
𝜕2𝑇
𝜕𝑥2
𝜕2𝑇
𝜕𝑥2 =
𝑇𝑖−𝑇∞
𝐿2
𝜕2𝜃
𝜕𝑋2
𝜕𝜃
𝜕𝑡
=
1
𝑇𝑖−𝑇∞
𝜕𝑇
𝜕𝑡
𝜕𝑇
𝜕𝑡
= 𝑇𝑖 − 𝑇∞
𝜕𝜃
𝜕𝑡
En (1)
𝑇𝑖−𝑇∞
𝐿2
𝜕2𝜃
𝜕𝑋2 =
1
∝
𝑇𝑖 − 𝑇∞
𝜕𝜃
𝜕𝑡
→
𝜕2𝜃
𝜕𝑋2 =
𝐿2
∝𝜕𝑡
𝜕𝜃
𝜕2𝜃
𝜕𝑋2 =
1
𝜏
𝜕𝜃 𝜏 =
∝𝑡
𝐿2
En (2) −𝐾
𝑇𝑖−𝑇∞
𝐿
𝜕𝜃
𝜕𝑋
= ℎ𝜃 𝑇𝑖 − 𝑇∞
𝜕𝜃
𝜕𝑋
=
ℎ𝐿
𝐾
𝜃 𝐵𝑖 =
ℎ𝐿
𝐾
𝜕𝜃 𝐿,𝑡
𝜕𝑋
=
ℎ𝐿
𝐾
𝜃 𝐿,𝑡
Numero de Biot 𝐵𝑖 =
ℎ𝐿
𝐾
Modulo de Fourier 𝜏 =
∝𝑡
𝐿2
Tiempo adimensional 𝜏
Ecuación diferencial adimensional
𝜕2𝜃
𝜕𝑋2 =
𝜕𝜃
𝜕𝜏
𝜕𝜃 0,𝜏
𝜕𝑋
= 0
𝜕𝜃 1,𝜏
𝜕𝑋
= −𝐵𝑖𝜃 1,𝜏 𝜃 𝑋,0 = 1
Para el caso de sistemas concentrados
𝜃 =
𝑇 𝑡 − 𝑇∞
𝑇𝑖 − 𝑇∞
= 𝑒−𝑏𝑡 = 𝑒
−ℎ𝐴𝑡
𝜌𝐶𝑝𝑉
= 𝑒−𝐵𝑖𝐹𝑜
SOLUCIONES EXACTAS DE CONDUCCIÓN
TRANSITORIA UNIDIMENSIONAL
• Se utilizara el método de separación de variables
utilizado por J. Fourier, se supone que la variable
dependiente es un producto de varias funciones, en
donde cada una de ellas es función de una sola
variable independiente. Se aplica si la configuración
geométrica es sencilla y finita, si las ecuación
diferencial y las condiciones de frontera e inicial,
son lineales y solo contienen un término no
homogéneo.
PLACA PLANA
𝜃 𝑋, 𝜏 = 𝐹 𝑋 𝐺 𝜏
𝜕2𝜃
𝜕𝑋2 =
𝜕𝜃
𝜕𝜏
1
𝐹
𝑑2𝐹
𝑑𝑋2 =
1
𝐺
𝑑𝐺
𝑑𝜏
= −𝜆2
𝑑2𝐹
𝑑𝑋2 + 𝜆2𝐹 = 0 𝐹 = 𝐶1 cos 𝜆𝑋 + 𝐶2 sin 𝜆𝑋
𝑑𝐺
𝑑𝜏
+ 𝜆2𝐺 = 0 𝐺 = 𝐶3𝑒−𝜆2𝜏
𝜃 = 𝐹𝐺 = 𝐶3𝑒−𝜆2𝜏 𝐶1 cos 𝜆𝑋 + 𝐶2 sin 𝜆𝑋 = 𝑒−𝜆2𝜏 𝐴 cos 𝜆𝑋 + 𝐵 sin 𝜆𝑋
𝜕𝜃 0,𝜏
𝜕𝑋
= 0 → −𝑒−𝜆2𝜏
𝐴 sin 0 − 𝐵 cos 0 = 0 → 𝐵 = 0
𝜃 = 𝐴𝑒−𝜆2𝜏
cos 𝜆𝑋
𝜕𝜃 1,𝜏
𝜕𝑋
= −𝐵𝑖𝜃 1,𝜏 → −𝐴𝑒−𝜆2𝜏
𝜆 sin 𝜆 = −𝐵𝑖𝐴𝑒−𝜆2𝜏
cos 𝜆 → 𝜆 tan 𝜆 = 𝐵𝑖
λ1= (o, π), λ2= ( π, 2 π), λn = ((n-1)π, nπ)
𝜆
𝐵𝑖
= cot 𝜆 𝑦 =
𝜆
𝐵𝑖
𝑦 = cot 𝜆
Se dibujan las curvas y las intercepciones dan 𝜆1 = 0.86 Bi, λ2=3.43Bi, λ3 = 6.44Bi, ………
𝜃 =
𝑛=1
∞
𝐴𝑛𝑒−𝜆2𝜏
cos 𝜆𝑛𝑋
La constante An se determina con condición inicial:
𝜃 𝑋,0 = 1 → 1 =
𝑛=1
∞
𝐴𝑛𝑒−𝜆2𝜏 cos 𝜆𝑛𝑋 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑑𝑒 𝑓𝑜𝑢𝑟𝑖𝑒𝑟
Multiplicando ambos lados por cos(λnX) e integrando desde X=0 a X=1
0
1
cos 𝜆𝑛𝑋 𝑑𝑋 = 𝐴𝑛
0
1
𝑐𝑜𝑠2
𝜆𝑛𝑋 𝑑𝑋 → 𝐴𝑛 =
4 sin 𝜆𝑛
2𝜆𝑛 + sin 2𝜆𝑛
SOLUCIONES Y RAICES
Configuración
geométrica
Solución Las λn son las raíces de
Pared plana
𝜃 =
𝑛=1
∞
4 sin 𝜆𝑛
2𝜆𝑛 + sin 2𝜆𝑛
𝑒−𝜆2𝜏
cos 𝜆𝑛𝑥/𝐿
𝜆 tan 𝜆 = 𝐵𝑖
Cilindro
𝜃 =
𝑛=1
∞
2
𝜆𝑛
𝐽1 𝜆𝑛
𝐽0
2
𝜆𝑛 + 𝐽1
2
𝜆𝑛
𝑒−𝜆2𝜏𝐽0 𝜆𝑛𝑟/𝑟𝑜
𝜆𝑛
𝐽1 𝜆𝑛
𝐽0 𝜆𝑛
= 𝐵𝑖
Esfera
𝜃 =
𝑛=1
∞
4 sin 𝜆𝑛 − 𝜆𝑛 cos 𝜆𝑛
2𝜆𝑛 − sin 2𝜆𝑛
𝑒−𝜆2𝜏
sin 𝜆𝑛𝑟/𝑟𝑜
𝜆𝑛𝑟/𝑟𝑜
1 − 𝜆𝑛 cot 𝜆𝑛 = 𝐵𝑖
SOLUCIONES APROXIMADAS
• Longitud característica :
• Placa plana (2L) L Cilindro r Esfera r
• Las soluciones en serie convergen al aumentar el tiempo τ > 0.2,
usando el primer término y despreciando los demás.
•
• Pared Plana 𝜃𝑃 =
𝑇 𝑥,𝜏 −𝑇∞
𝑇𝑖−𝑇∞
= 𝐴1𝑒−𝜆1
2𝜏 cos
𝜆1𝑥
𝐿
•
• Cilindro 𝜃𝑐𝑖𝑙 =
𝑇 𝑟,𝜏 −𝑇∞
𝑇𝑖−𝑇∞
= 𝐴1𝑒−𝜆1
2𝜏𝐽0
𝜆1 𝑟
𝑟0
• Esfera 𝜃𝑒𝑠𝑓 =
𝑇 𝑟,𝜏 −𝑇∞
𝑇𝑖−𝑇∞
= 𝐴1𝑒−𝜆1
2𝜏
sin
𝜆1𝑟
𝑟0
𝜆1𝑟
𝑟0
SOLUCIONES APROXIMADAS
Para el centro de una pared (x = 0), cilindro (r = 0) y esfera (r = 0)
𝜃0,𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑,𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜,𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 =
𝑇0−𝑇∞
𝑇𝑖−𝑇∞
= 𝐴1𝑒−𝜆1
2𝜏
Para cualquier parte de la pared
𝜃𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑
𝜃0,𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑
= cos
𝜆1𝑥
𝐿
,
𝜃𝑐𝑖𝑙
𝜃0,𝑐𝑖𝑙
= 𝐽0
𝜆1𝑟
𝑟0
𝑦
𝜃𝑒𝑠𝑓
𝜃0,𝑒𝑠𝑓
=
sin
𝜆1𝑟
𝑟0
𝜆1𝑟
𝑟0
A1 y λ1 son funciones de Bi
Bi Pared plana
λ1 A1
Cilindro
λ1 A1
Esfera
λ1 A1
0.01 0.0998 1.0017 0.1412 1.0025 0.1730 1.0030
0.02 0.1410 1.0033 0.1995 1.0050 0.2445 1.0060
0.04 0.1987 1.0066 0.2814 1.0099 0.3450 1.0120
0.06 0.2425 1.0098 0.3438 1.0148 0.4217 1.0179
0.08 0.2791 1.0130 0.3960 1.0197 0.4860 1.0239
0.1 0.3111 1.0161 0.4417 1.0246 0.5423 1.0298
0.2 0.4328 1.0311 0.6170 1.0483 0.7593 1.0592
0.3 0.5218 1.0450 0.7465 1.0712 0.9208 1.0880
0.4 0.5932 1.0580 0.8516 1.0931 1.0528 1.1164
0.5 0.6533 1.0701 0.9408 1.1143 1.1656 1.1441
0.6 0.7051 1.0814 1.0184 1.1345 1.2644 1.1713
0.7 0.7506 1.0918 1.0873 1.1539 1.3525 1.1978
0.8 0.7910 1.1016 1.1490 1.1724 1.4320 1.2236
0.9 0.8274 1.1107 1.2048 1.1902 1.5044 1.2488
1.0 0.8603 1.1191 1.2558 1.2071 1.5708 1.2732
2.0 1.0769 1.1785 1.5995 1.3384 2.0288 1.4793
3.0 1.1925 1.2102 1.7887 1.4191 2.2889 1.6227
4.0 1.2646 1.2287 1.9081 1.4698 2.4556 1.7202
5.0 1.3138 1.2403 1.9898 1.5029 2.5704 1.7870
6.0 1.3496 1.2479 2.0490 1.5253 2.6537 1.8338
7.0 1.3766 1.2532 2.0937 1.5411 2.7165 1.8673
8.0 1.3978 1.2570 2.1286 1.5526 2.7654 1.8920
9.0 1.4149 1.2598 2.1566 1.5611 2.8044 1.9106
10.0 1.4289 1.2620 2.1795 1.5677 2.8363 1.9249
20.0 1.4961 1.2699 2.2880 1.5919 2.9857 1.9781
30.0 1.5202 1.2717 2.3261 1.5973 3.0372 1.9898
40.0 1.5325 1.2723 2.3455 1.5993 3.0632 1.9942
50.0 1.5400 1.2727 2.3572 1.6002 3.0788 1.9962
100.0 1.5552 1.2730 2.3809 1.6015 3.1102 1.9990
∞ 1.5708 1.2732 2.4048 1.6021 3.1416 2.0000
TABLA 4-2 CENGEL
Bi = hL/K para una pared plana de espesor de 2L de espesor
Bi = hr0/K para cilindro y esfera con radio r0
GRÁFICAS DE TEMPERATURAS TRANSITORIAS
• GRÁFICAS DE HEISLER
• 1ra Gráfica: Determina temperatura To en el
centro de la configuración, en un instante
• 2da Gráfica: Determina temperatura en otros
lugares, en el mismo instante.
• 3ra Gráfica: Determina la cantidad total de
transferencia de calor hasta el instante τ
TRANSFERENCIA DE CALOR
Cantidad máxima de calor de un cuerpo es igual al cambio de en el contenido de energía del
cuerpo. Tiempo infinito
𝑄𝑚𝑎𝑥 = 𝑚𝐶𝑝 𝑇∞ − 𝑇𝑖 = 𝜌𝑉𝐶𝑝 𝑇∞ − 𝑇𝑖
Cantidad de transferencia de calor en un tiempo finito 𝑄 = 𝑉
𝜌𝐶𝑝 𝑇 𝑥, 𝑡 − 𝑇𝑖 𝑑𝑉
La razón de Q/Qmax
𝑄
𝑄𝑚𝑎𝑥
= 𝑉
𝜌𝐶𝑝 𝑇 𝑥,𝑡 −𝑇𝑖 𝑑𝑉
𝜌𝐶𝑝 𝑇∞−𝑇𝑖 𝑉
=
1
𝑉 𝑉
1 − 𝜃 𝑑𝑉
𝑄
𝑄𝑚𝑎𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑
= 1 − 𝜃0,𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑
sin 𝜆1
𝜆1
𝑄
𝑄𝑚𝑎𝑥 𝑐𝑖𝑙
= 1 − 2𝜃0,𝑐𝑖𝑙
𝐽1 𝜆1
𝜆1
𝑄
𝑄𝑚𝑎𝑥 𝑒𝑠𝑓
= 1 − 3𝜃0,𝑒𝑠𝑓
sin 𝜆1−𝜆1 cos 𝜆1
𝜆1
3
MÓDULO DE FOURIER
• 𝜏 =
𝛼𝑡
𝐿2 =
𝐾
𝜌𝐶𝑝
𝑡
𝐿2
𝐿2
𝐿2 =
𝐾
𝜌𝐶𝑝
𝑡𝐿2/𝐿
𝐿3
∆𝑇
∆𝑇
=
𝐾𝐿2 1
𝐿
∆𝑇
𝜌𝐶𝑝
𝐿3
𝑡
∆𝑇
•
• 𝜏 =
𝑅𝑎𝑧𝑜𝑛 𝑎 𝑙𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑐𝑖𝑑𝑜
𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑣𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝐿 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑐𝑢𝑒𝑟𝑝𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝐿3
𝑅𝑎𝑧𝑜𝑛 𝑎 𝑙𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑠 𝑎𝑙𝑚𝑎𝑐𝑒𝑛𝑎𝑑𝑜
𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑐𝑢𝑒𝑟𝑝𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝐿3
• τ =
𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑐𝑖𝑑𝑜
𝐶𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑚𝑎𝑐𝑒𝑛𝑎𝑑𝑜
PLACA PLANA
PLACA PLANA
CILINDRO LARGO
CILINDRO LARGO
ESFERA
ESFERA
CONDUCCIÓN DE CALOR EN ESTADO
TRANSITORIO EN SÓLIDOS SEMINFINITOS
• Un sólido seminfinito es un cuerpo idealizado que tiene
una sola superficie plana y se extiende hacia el infinito
en todas las demás direcciones. Nos interesa la región
cercana a la superficie y el cambio de temperatura es
debido a las condiciones térmicas de la superficie.
• Ejemplos, la tierra, pieza de acero cuando se enfría para
endurecer su superficie y una superficie que se calienta
con laser, etc.
• Se considera la profundidad del solido grande x→∞ en
comparación con la profundidad es decir T(x→ꝏ, t) =
Ti, y depende grandemente de la condición de frontera
en x = 0.
SOLUCIÓN ANALÍTICA
Utilizamos:
𝜕2
𝑇
𝜕𝑥2
=
1
∝
𝜕𝑇
𝜕𝑡
𝑇 0, 𝑡 = 𝑇𝑠 𝑦 𝑇 𝑥 → ∞, 𝑡 = 𝑇𝑖 𝑇 𝑥, 0 = 𝑇𝑖
Utilizamos la variable de semejanza para trabajar en ecuación diferencial ordinaria, combina x y
t en una sola variable η
𝜂 =
𝑥
4𝛼𝑡
𝜕2𝑇
𝜕𝑥2 =
1
∝
𝜕𝑇
𝜕𝑡
𝜕𝑇
𝜕𝑡
=
𝑑𝑇
𝑑𝜂
𝜕𝜂
𝜕𝑡
=
𝑥
2𝑡 4𝛼𝑡
𝑑𝑇
𝑑𝜂
𝜕𝑇
𝜕𝑥
=
𝑑𝑇
𝑑𝜂
𝜕𝜂
𝜕𝑥
=
𝑥
4𝛼𝑡
𝑑𝑇
𝑑𝜂
𝜕2𝑇
𝜕𝑥2 =
𝑑
𝑑𝜂
𝜕𝑇
𝜕𝑥
𝜕𝜂
𝜕𝑥
=
1
4𝛼𝑡
𝜕2𝑇
𝜕𝜂2
Entonces
η =0 en x = 0, y η→∞ conforme x →∞ así como con t = 0
𝜕2
𝑇
𝜕𝜂2 = −2𝜂
𝑑𝑇
𝑑𝜂
𝑇 0 = 𝑇𝑆 𝑇 𝑥 → ∞ = 𝑇𝑖
Definimos w 𝑤 =
𝑑𝑇
𝑑𝜂
𝜕𝑤
𝜕η
=
𝜕2𝑇
𝜕𝜂2 = −2ηw
𝑑𝑤
𝑤
= −2ηdη → ln w = − η2
+ ln C1 → w = C1e−η2
=
𝑑𝑇
𝑑𝜂
𝑇 = 𝐶1 0
η
𝑒−𝑢2
𝑑𝑢 + 𝐶2
Para η = 0 → C2 = TS y η → ∞
𝑇𝑖 = 𝐶1
0
∞
𝑒−𝑢2
𝑑𝑢 + 𝐶2 = 𝐶1
𝜋
2
+ 𝑇𝑆 → 𝐶1 =
2 𝑇𝑖 − 𝑇𝑆
𝜋
𝑇−𝑇𝑠
𝑇𝑖−𝑇𝑆
=
2
𝜋 0
η
𝑒−𝑢2
𝑑𝑢 = 𝑒𝑟𝑓 η = 1 − 𝑒𝑟𝑓𝑐 η
𝑒𝑟𝑓 η =
2
𝜋 0
η
𝑒−𝑢2
𝑑𝑢 𝐹𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟
𝑒𝑟𝑓𝑐 η = 1 −
2
𝜋 0
η
𝑒−𝑢2
𝑑𝑢 𝐹𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑟𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟
I CASO: TEMPERATURA ESPECÍFICA DE LA
SUPERFICIE (Ts ≠ Ti)
•
𝑇 𝑥,𝑡 −𝑇𝑖
𝑇𝑆−𝑇𝑖
= 𝑒𝑟𝑓𝑐
𝑥
2 ∝𝑡
𝑞𝑆 = −𝐾
𝜕𝑇
𝜕𝑥
|𝑥=0 = −𝐾
𝑑𝑇
𝑑η
𝜕η
𝜕𝑥
|η=0 = −𝐾𝐶1𝑒−η2 1
4 ∝ 𝑡
|η=0 =
𝐾 𝑇𝑆 − 𝑇𝑖
𝜋𝛼𝑡
II CASO: FLUJO ESPECÍFICO DE CALOR
• 𝑇 𝑥, 𝑡 − 𝑇𝑖 =
𝑞𝑆
𝐾
4∝𝑡
𝜋
𝑒𝑥𝑝 −
𝑥2
4𝛼𝑡
−
III CASO:CONVECCIÓN EN LA SUPERFICIE
•
𝑇 𝑥,𝑡 −𝑇𝑖
𝑇∞−𝑇𝑖
= 𝑒𝑟𝑓𝑐
𝑥
2 𝛼𝑡
− 𝑒𝑥𝑝
ℎ𝑥
𝐾
+
ℎ2∝𝑡
𝐾2 𝑒𝑟𝑓𝑐
𝑥
2 𝛼𝑡
+
ℎ 𝛼𝑡
𝐾
IV CASO: PULSO DE ENERGÍA EN LA
SUPERFICIE
• 𝑇 𝑥, 𝑡 − 𝑇𝑖 =
𝑒𝑆
𝐾 𝜋𝑡/𝛼
𝑒𝑥𝑝 −
𝑥2
4𝛼𝑡
CONDUCCIÓN DE CALOR EN RÉGIMENTRANSITORIO
EN SISTEMAS MULTIDIMENSIONALES
BARRA RECTANGULAR
• Ecuaciones a utilizar, para una barra rectangular
TRANSFERENCIA DE CALOR
• Para dos configuraciones
• Para tres configuracioines
PROBLEMA
• En la vulcanización de llantas el casco se coloca dentro de un
molde de la llanta y se introduce repentinamente vapor a
150°C sobre ambos lados. Si el espesor de la llanta es 1” y la
temperatura inicial es 21°C, considerar h= 300 W/m2-K.
Determinar el tiempo necesario para que la capa central
alcance 120°C
• Propiedades de la llanta: Cp = 2,006 KJ/Kg-°C, K = 0,15 W/m-
°C, ρ = 1200 Kg/m3 y α = 6,18*10-8 m2/s
SOLUCION
• 𝑇∞ = 150℃ Para x=0
• 𝐿′ = 1 →L=0,5" = 0,0127𝑚 𝐵𝑖 = ℎ𝐿
𝐾
=
300∗0,0127
0,15
=25,4
• Ti=21°C 1
𝐵𝑖
=0,03937
• ℎ = 300 𝑊
𝑚2−℃
𝜃0 = 𝑇0−𝑇∞
𝑇𝑖−𝑇∞
=
120−150
21−150
=0,232558139
• t =?? 𝑇(𝑥=0,𝑡) = 120℃
• 𝐶𝑝 = 2,006 𝑊
𝐾𝑔−℃
De gráfica con:
• 𝐾 = 0,15 𝑊
𝑚−℃
𝜃0 = 0,23
• 𝜌 = 1200𝐾𝑔
𝑚3
1
𝐵𝑖
=0,04
• 𝛼 = 6,18 ∗ 10−8𝑚2
𝑠
Encontramos F=0,7
•
• 𝜏 = 𝐹 = 𝛼∗𝑡
𝐿2 =
6,18∗10−8∗𝑡
0,01272 0,7 = 3,83160766 ∗ 10−4
∗ 𝑡
• t =1826,9 s
PROBLEMA
• Una placa grande de latón de 4cm de espesor que se encuentran inicialmente a una temperatura
uniforme de 20°C, se calienta al pasar por un horno que se mantiene a 500°C. La placa permanece en
el horno solo 7 minutos. Si el coeficiente combinado de transferencia de calor es h=120 W/m2-K.
Determine la temperatura superficial de la placa cuando sale del horno.
• SOLUCION
• Propiedades del latón:
• K=110 W/m-°C, Cp= 380 J/Kg-°C, α= 33,9-10-6 m2/s, ρ= 8530 Kg/m3
• Utilizando diagramas de Heisler
•
1
𝐵𝑖
=
𝐾
ℎ𝐿
=
110
120∗0,020
= 45,8
•
• 𝜏 =
𝛼𝑡
𝐿2 =
33,6∗10−6∗420
0,022 = 35,6
• En la primera grafica con 1/Bi = 45,8 y τ = 35,6 encontramos
𝑇0−𝑇∞
𝑇𝑖−𝑇∞
= 0,46
•
• Con la segunda grafica
•
1
𝐵𝑖
= 45,8 𝑦
𝑥
𝐿
=
𝐿
𝐿
= 1 encontramos
𝑇𝑥
𝐿
−𝑇∞
𝑇0−𝑇∞
= 0,99
•
• Hacemos
•
•
𝑇𝑥
𝐿
−𝑇∞
𝑇𝑖−𝑇∞
=
𝑇𝑥
𝐿
−𝑇∞
𝑇0−𝑇∞
∗
𝑇0−𝑇∞
𝑇𝑖−𝑇∞
= 0,99 ∗ 0,46 = 0,455
•
• 𝑇𝑥
𝐿
= 𝑇∞ + 𝑇𝑖 − 𝑇∞ ∗ 0,455 = 500 + 20 − 500 ∗ 0,455
•
• 𝑇𝑥
𝐿
= 282℃

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  • 1. CONDUCCIÓN DE CALOR EN RÉGIMEN TRANSITORIO Ing. Pedro Flores Larico 2024A
  • 3. ANÁLISIS DE SISTEMAS CONCENTRADOS • Un cuerpo de forma arbitraria, masa m, volumen V, área superficial As, densidad ρ, calor especifico Cp. • Ti temperatura inicial a τ=0, el cuerpo colocado en un medio a la temperatura 𝑇∞, coeficiente de transferencia de calor h. • Se supondrá 𝑇∞ > 𝑇𝑖 y que la temperatura permanece uniforme dentro del cuerpo en todo momento y solo cambia con el tiempo T=T(τ).
  • 4. SISTEMA CONCENTRADO • La temperatura de un sistema concentrado se acerca a la del medio a medida que transcurre el tiempo b = ℎ𝐴𝑠 𝜌𝑉𝐶𝑝
  • 5. TEMPERATURA UNIFORME DENTRO DEL CUERPO • Durante un intervalo diferencial de tiempo, dτ, se eleva en una cantidad diferencial dT. • Un balance de energía del sólido. • 𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑒𝑟𝑝𝑜 𝑑𝑢𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑τ = 𝐸𝑙 𝑖𝑛𝑐𝑟𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑒𝑟𝑝𝑜 𝑑𝑢𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝜏 • ℎ𝐴𝑠 𝑇∞ − 𝑇 𝑑τ = mCpdT • m=ρdV y 𝑑𝑇 = 𝑑 𝑇 − 𝑇∞ si 𝑇∞ = constante • 𝑑 𝑇−𝑇∞ 𝑇−𝑇∞ = − ℎ𝐴𝑠 𝜌𝑉𝐶𝑝 𝑑𝜏
  • 6. ECUACIÓN TEMPERATURA CON TIEMPO • Integrando, para τ=0 → T = Ti • τ → T = T(τ) • ln 𝑇(𝜏)−𝑇∞ 𝑇𝑖−𝑇∞ = − ℎ𝐴𝑠 𝜌𝑉𝐶𝑝 𝜏 • 𝑇(𝜏)−𝑇∞ 𝑇𝑖−𝑇∞ = 𝑒 − ℎ𝐴𝑠 𝜌𝑉𝐶𝑝 𝜏 • Si b = ℎ𝐴𝑠 𝜌𝑉𝐶𝑝 → 𝑇(𝜏)−𝑇∞ 𝑇𝑖−𝑇∞ = 𝑒− 𝑏𝜏 • 1 𝑏 = 𝜌𝑉𝐶𝑝 ℎ𝐴𝑠 constante de tiempo
  • 7. TRANSFERENCIA DE CALOR Velocidad de transferencia de calor 𝑄 𝜏 = ℎ𝐴𝑠 𝑇 𝜏 − 𝑇∞ W Cantidad total de transferencia de calor entre el cuerpo y el medio ambiente desde τ = 0 hasta τ 𝑄 = 𝑚𝐶𝑝 𝑇 𝜏 − 𝑇𝑖 J La transferencia de calor máxima entre el cuerpo y alrededores 𝑄𝑚𝑎𝑥 = 𝑚𝐶𝑝 𝑇∞ − 𝑇𝑖 J
  • 8. CRITERIOS Lc y BIOT El número de Biot se puede concebir como la razón entre la convección en la superficie del cuerpo con respecto a la conducción dentro de éste.
  • 9. NÚMERO DE BIOT • Longitud característica 𝐿𝐶 = 𝑉 𝐴𝑠 • 𝐵𝑖 = 𝐶𝑜𝑛𝑣𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑒𝑟𝑝𝑜 𝐶𝑜𝑛𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑒𝑟𝑝𝑜 = ℎ 𝐾 𝐿𝑐 • Bi= ℎ𝐿𝑐 𝐾 = ℎ∆𝑇 𝐾∆𝑇 𝐿𝑐 • 𝐵𝑖 = 𝐿𝑐 𝐾 1 ℎ = 𝑅𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑒𝑟𝑝𝑜 𝑅𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑒𝑟𝑝𝑜 • Se acepta para sistemas concentrados con Bi≤ 0.1 • Para cuerpos pequeños con conductividad térmica alta y cuando se encuentran en medios conductores malos como aire u otro gas que este inmóvil.
  • 10. CONDUCCIÓN DE CALOR EN RÉGIMEN TRANSITORIO EN PAREDES PLANAS, CILINDROS LARGOS Y ESFERAS CON EFECTOS ESPACIALES • La temperatura dentro de un cuerpo cambia de punto a punto así como de tiempo en tiempo.
  • 11. CONDUCCIÓN TRANSITORIA UNIDIMENSIONAL • Para una pared plana de espesor 2L, inicialmente a Ti (τ = 0), la pared se sumerge en un fluido de temperatura 𝑇∞, h coeficiente de transferencia de calor por convección. • La altura y ancho de la pared son grandes con relación al espesor. • Resolvemos el problema de conducción de calor en la mitad positiva, 0 ≤ x ≤ L. • Propiedades termofisicas constantes, sin generación de calor, simetría térmica respecto al plano medio, temperatura inicial uniforme, coeficiente constante de convección
  • 12. Perfil de temperatura es simétrico Perfil de temperatura cada vez más aplanado T = Tꚙ se ha alcanzado el equilibrio térmico
  • 13. SOLUCIÓN ANALÍTICA • 𝜕2𝑇 𝜕𝑥2 = 1 𝛼 𝜕𝑇 𝜕𝑡 (1) • ∝= 𝐾 𝜌𝐶𝑝 𝑑𝑖𝑓𝑢𝑠𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑚𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙 • Condiciones de frontera • 𝜕𝑇 0,𝑡 𝜕𝑥 = 0 • −𝐾 𝜕𝑇 𝐿,𝑡 𝜕𝑥 = ℎ 𝑇 𝐿,𝑡 − 𝑇∞ (2) • 𝑇 𝑥,0 = 𝑇𝑖
  • 14. 𝑋 = 𝑥 𝐿 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿 𝜃 𝑥,𝑡 = 𝑇 𝑥,𝑡 −𝑇∞ 𝑇𝑖−𝑇∞ 0 ≤ 𝜃 ≤ 1 (3) 𝜕𝜃 𝜕𝑋 = 𝜕𝜃 𝜕 𝑥 𝐿 = 𝐿 𝑇𝑖−𝑇∞ 𝜕𝑇 𝜕𝑥 𝜕𝑇 𝜕𝑥 = 𝑇𝑖−𝑇∞ 𝐿 𝜕𝜃 𝜕𝑋 𝜕2𝜃 𝜕𝑋2 = 𝐿2 𝑇𝑖−𝑇∞ 𝜕2𝑇 𝜕𝑥2 𝜕2𝑇 𝜕𝑥2 = 𝑇𝑖−𝑇∞ 𝐿2 𝜕2𝜃 𝜕𝑋2 𝜕𝜃 𝜕𝑡 = 1 𝑇𝑖−𝑇∞ 𝜕𝑇 𝜕𝑡 𝜕𝑇 𝜕𝑡 = 𝑇𝑖 − 𝑇∞ 𝜕𝜃 𝜕𝑡 En (1) 𝑇𝑖−𝑇∞ 𝐿2 𝜕2𝜃 𝜕𝑋2 = 1 ∝ 𝑇𝑖 − 𝑇∞ 𝜕𝜃 𝜕𝑡 → 𝜕2𝜃 𝜕𝑋2 = 𝐿2 ∝𝜕𝑡 𝜕𝜃 𝜕2𝜃 𝜕𝑋2 = 1 𝜏 𝜕𝜃 𝜏 = ∝𝑡 𝐿2
  • 15. En (2) −𝐾 𝑇𝑖−𝑇∞ 𝐿 𝜕𝜃 𝜕𝑋 = ℎ𝜃 𝑇𝑖 − 𝑇∞ 𝜕𝜃 𝜕𝑋 = ℎ𝐿 𝐾 𝜃 𝐵𝑖 = ℎ𝐿 𝐾 𝜕𝜃 𝐿,𝑡 𝜕𝑋 = ℎ𝐿 𝐾 𝜃 𝐿,𝑡 Numero de Biot 𝐵𝑖 = ℎ𝐿 𝐾 Modulo de Fourier 𝜏 = ∝𝑡 𝐿2 Tiempo adimensional 𝜏 Ecuación diferencial adimensional 𝜕2𝜃 𝜕𝑋2 = 𝜕𝜃 𝜕𝜏 𝜕𝜃 0,𝜏 𝜕𝑋 = 0 𝜕𝜃 1,𝜏 𝜕𝑋 = −𝐵𝑖𝜃 1,𝜏 𝜃 𝑋,0 = 1 Para el caso de sistemas concentrados 𝜃 = 𝑇 𝑡 − 𝑇∞ 𝑇𝑖 − 𝑇∞ = 𝑒−𝑏𝑡 = 𝑒 −ℎ𝐴𝑡 𝜌𝐶𝑝𝑉 = 𝑒−𝐵𝑖𝐹𝑜
  • 16. SOLUCIONES EXACTAS DE CONDUCCIÓN TRANSITORIA UNIDIMENSIONAL • Se utilizara el método de separación de variables utilizado por J. Fourier, se supone que la variable dependiente es un producto de varias funciones, en donde cada una de ellas es función de una sola variable independiente. Se aplica si la configuración geométrica es sencilla y finita, si las ecuación diferencial y las condiciones de frontera e inicial, son lineales y solo contienen un término no homogéneo.
  • 17. PLACA PLANA 𝜃 𝑋, 𝜏 = 𝐹 𝑋 𝐺 𝜏 𝜕2𝜃 𝜕𝑋2 = 𝜕𝜃 𝜕𝜏 1 𝐹 𝑑2𝐹 𝑑𝑋2 = 1 𝐺 𝑑𝐺 𝑑𝜏 = −𝜆2 𝑑2𝐹 𝑑𝑋2 + 𝜆2𝐹 = 0 𝐹 = 𝐶1 cos 𝜆𝑋 + 𝐶2 sin 𝜆𝑋 𝑑𝐺 𝑑𝜏 + 𝜆2𝐺 = 0 𝐺 = 𝐶3𝑒−𝜆2𝜏 𝜃 = 𝐹𝐺 = 𝐶3𝑒−𝜆2𝜏 𝐶1 cos 𝜆𝑋 + 𝐶2 sin 𝜆𝑋 = 𝑒−𝜆2𝜏 𝐴 cos 𝜆𝑋 + 𝐵 sin 𝜆𝑋 𝜕𝜃 0,𝜏 𝜕𝑋 = 0 → −𝑒−𝜆2𝜏 𝐴 sin 0 − 𝐵 cos 0 = 0 → 𝐵 = 0 𝜃 = 𝐴𝑒−𝜆2𝜏 cos 𝜆𝑋
  • 18. 𝜕𝜃 1,𝜏 𝜕𝑋 = −𝐵𝑖𝜃 1,𝜏 → −𝐴𝑒−𝜆2𝜏 𝜆 sin 𝜆 = −𝐵𝑖𝐴𝑒−𝜆2𝜏 cos 𝜆 → 𝜆 tan 𝜆 = 𝐵𝑖 λ1= (o, π), λ2= ( π, 2 π), λn = ((n-1)π, nπ) 𝜆 𝐵𝑖 = cot 𝜆 𝑦 = 𝜆 𝐵𝑖 𝑦 = cot 𝜆 Se dibujan las curvas y las intercepciones dan 𝜆1 = 0.86 Bi, λ2=3.43Bi, λ3 = 6.44Bi, ……… 𝜃 = 𝑛=1 ∞ 𝐴𝑛𝑒−𝜆2𝜏 cos 𝜆𝑛𝑋 La constante An se determina con condición inicial: 𝜃 𝑋,0 = 1 → 1 = 𝑛=1 ∞ 𝐴𝑛𝑒−𝜆2𝜏 cos 𝜆𝑛𝑋 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑑𝑒 𝑓𝑜𝑢𝑟𝑖𝑒𝑟 Multiplicando ambos lados por cos(λnX) e integrando desde X=0 a X=1 0 1 cos 𝜆𝑛𝑋 𝑑𝑋 = 𝐴𝑛 0 1 𝑐𝑜𝑠2 𝜆𝑛𝑋 𝑑𝑋 → 𝐴𝑛 = 4 sin 𝜆𝑛 2𝜆𝑛 + sin 2𝜆𝑛
  • 19. SOLUCIONES Y RAICES Configuración geométrica Solución Las λn son las raíces de Pared plana 𝜃 = 𝑛=1 ∞ 4 sin 𝜆𝑛 2𝜆𝑛 + sin 2𝜆𝑛 𝑒−𝜆2𝜏 cos 𝜆𝑛𝑥/𝐿 𝜆 tan 𝜆 = 𝐵𝑖 Cilindro 𝜃 = 𝑛=1 ∞ 2 𝜆𝑛 𝐽1 𝜆𝑛 𝐽0 2 𝜆𝑛 + 𝐽1 2 𝜆𝑛 𝑒−𝜆2𝜏𝐽0 𝜆𝑛𝑟/𝑟𝑜 𝜆𝑛 𝐽1 𝜆𝑛 𝐽0 𝜆𝑛 = 𝐵𝑖 Esfera 𝜃 = 𝑛=1 ∞ 4 sin 𝜆𝑛 − 𝜆𝑛 cos 𝜆𝑛 2𝜆𝑛 − sin 2𝜆𝑛 𝑒−𝜆2𝜏 sin 𝜆𝑛𝑟/𝑟𝑜 𝜆𝑛𝑟/𝑟𝑜 1 − 𝜆𝑛 cot 𝜆𝑛 = 𝐵𝑖
  • 20. SOLUCIONES APROXIMADAS • Longitud característica : • Placa plana (2L) L Cilindro r Esfera r • Las soluciones en serie convergen al aumentar el tiempo τ > 0.2, usando el primer término y despreciando los demás. • • Pared Plana 𝜃𝑃 = 𝑇 𝑥,𝜏 −𝑇∞ 𝑇𝑖−𝑇∞ = 𝐴1𝑒−𝜆1 2𝜏 cos 𝜆1𝑥 𝐿 • • Cilindro 𝜃𝑐𝑖𝑙 = 𝑇 𝑟,𝜏 −𝑇∞ 𝑇𝑖−𝑇∞ = 𝐴1𝑒−𝜆1 2𝜏𝐽0 𝜆1 𝑟 𝑟0 • Esfera 𝜃𝑒𝑠𝑓 = 𝑇 𝑟,𝜏 −𝑇∞ 𝑇𝑖−𝑇∞ = 𝐴1𝑒−𝜆1 2𝜏 sin 𝜆1𝑟 𝑟0 𝜆1𝑟 𝑟0
  • 21. SOLUCIONES APROXIMADAS Para el centro de una pared (x = 0), cilindro (r = 0) y esfera (r = 0) 𝜃0,𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑,𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜,𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 = 𝑇0−𝑇∞ 𝑇𝑖−𝑇∞ = 𝐴1𝑒−𝜆1 2𝜏 Para cualquier parte de la pared 𝜃𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑 𝜃0,𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑 = cos 𝜆1𝑥 𝐿 , 𝜃𝑐𝑖𝑙 𝜃0,𝑐𝑖𝑙 = 𝐽0 𝜆1𝑟 𝑟0 𝑦 𝜃𝑒𝑠𝑓 𝜃0,𝑒𝑠𝑓 = sin 𝜆1𝑟 𝑟0 𝜆1𝑟 𝑟0 A1 y λ1 son funciones de Bi
  • 22. Bi Pared plana λ1 A1 Cilindro λ1 A1 Esfera λ1 A1 0.01 0.0998 1.0017 0.1412 1.0025 0.1730 1.0030 0.02 0.1410 1.0033 0.1995 1.0050 0.2445 1.0060 0.04 0.1987 1.0066 0.2814 1.0099 0.3450 1.0120 0.06 0.2425 1.0098 0.3438 1.0148 0.4217 1.0179 0.08 0.2791 1.0130 0.3960 1.0197 0.4860 1.0239 0.1 0.3111 1.0161 0.4417 1.0246 0.5423 1.0298 0.2 0.4328 1.0311 0.6170 1.0483 0.7593 1.0592 0.3 0.5218 1.0450 0.7465 1.0712 0.9208 1.0880 0.4 0.5932 1.0580 0.8516 1.0931 1.0528 1.1164 0.5 0.6533 1.0701 0.9408 1.1143 1.1656 1.1441 0.6 0.7051 1.0814 1.0184 1.1345 1.2644 1.1713 0.7 0.7506 1.0918 1.0873 1.1539 1.3525 1.1978 0.8 0.7910 1.1016 1.1490 1.1724 1.4320 1.2236 0.9 0.8274 1.1107 1.2048 1.1902 1.5044 1.2488 1.0 0.8603 1.1191 1.2558 1.2071 1.5708 1.2732 2.0 1.0769 1.1785 1.5995 1.3384 2.0288 1.4793 3.0 1.1925 1.2102 1.7887 1.4191 2.2889 1.6227 4.0 1.2646 1.2287 1.9081 1.4698 2.4556 1.7202 5.0 1.3138 1.2403 1.9898 1.5029 2.5704 1.7870 6.0 1.3496 1.2479 2.0490 1.5253 2.6537 1.8338 7.0 1.3766 1.2532 2.0937 1.5411 2.7165 1.8673 8.0 1.3978 1.2570 2.1286 1.5526 2.7654 1.8920 9.0 1.4149 1.2598 2.1566 1.5611 2.8044 1.9106 10.0 1.4289 1.2620 2.1795 1.5677 2.8363 1.9249 20.0 1.4961 1.2699 2.2880 1.5919 2.9857 1.9781 30.0 1.5202 1.2717 2.3261 1.5973 3.0372 1.9898 40.0 1.5325 1.2723 2.3455 1.5993 3.0632 1.9942 50.0 1.5400 1.2727 2.3572 1.6002 3.0788 1.9962 100.0 1.5552 1.2730 2.3809 1.6015 3.1102 1.9990 ∞ 1.5708 1.2732 2.4048 1.6021 3.1416 2.0000 TABLA 4-2 CENGEL Bi = hL/K para una pared plana de espesor de 2L de espesor Bi = hr0/K para cilindro y esfera con radio r0
  • 23. GRÁFICAS DE TEMPERATURAS TRANSITORIAS • GRÁFICAS DE HEISLER • 1ra Gráfica: Determina temperatura To en el centro de la configuración, en un instante • 2da Gráfica: Determina temperatura en otros lugares, en el mismo instante. • 3ra Gráfica: Determina la cantidad total de transferencia de calor hasta el instante τ
  • 24. TRANSFERENCIA DE CALOR Cantidad máxima de calor de un cuerpo es igual al cambio de en el contenido de energía del cuerpo. Tiempo infinito 𝑄𝑚𝑎𝑥 = 𝑚𝐶𝑝 𝑇∞ − 𝑇𝑖 = 𝜌𝑉𝐶𝑝 𝑇∞ − 𝑇𝑖 Cantidad de transferencia de calor en un tiempo finito 𝑄 = 𝑉 𝜌𝐶𝑝 𝑇 𝑥, 𝑡 − 𝑇𝑖 𝑑𝑉 La razón de Q/Qmax 𝑄 𝑄𝑚𝑎𝑥 = 𝑉 𝜌𝐶𝑝 𝑇 𝑥,𝑡 −𝑇𝑖 𝑑𝑉 𝜌𝐶𝑝 𝑇∞−𝑇𝑖 𝑉 = 1 𝑉 𝑉 1 − 𝜃 𝑑𝑉 𝑄 𝑄𝑚𝑎𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑 = 1 − 𝜃0,𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑 sin 𝜆1 𝜆1 𝑄 𝑄𝑚𝑎𝑥 𝑐𝑖𝑙 = 1 − 2𝜃0,𝑐𝑖𝑙 𝐽1 𝜆1 𝜆1 𝑄 𝑄𝑚𝑎𝑥 𝑒𝑠𝑓 = 1 − 3𝜃0,𝑒𝑠𝑓 sin 𝜆1−𝜆1 cos 𝜆1 𝜆1 3
  • 25. MÓDULO DE FOURIER • 𝜏 = 𝛼𝑡 𝐿2 = 𝐾 𝜌𝐶𝑝 𝑡 𝐿2 𝐿2 𝐿2 = 𝐾 𝜌𝐶𝑝 𝑡𝐿2/𝐿 𝐿3 ∆𝑇 ∆𝑇 = 𝐾𝐿2 1 𝐿 ∆𝑇 𝜌𝐶𝑝 𝐿3 𝑡 ∆𝑇 • • 𝜏 = 𝑅𝑎𝑧𝑜𝑛 𝑎 𝑙𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑐𝑖𝑑𝑜 𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑣𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝐿 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑐𝑢𝑒𝑟𝑝𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝐿3 𝑅𝑎𝑧𝑜𝑛 𝑎 𝑙𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑠 𝑎𝑙𝑚𝑎𝑐𝑒𝑛𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑐𝑢𝑒𝑟𝑝𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝐿3 • τ = 𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑐𝑖𝑑𝑜 𝐶𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑚𝑎𝑐𝑒𝑛𝑎𝑑𝑜
  • 32. CONDUCCIÓN DE CALOR EN ESTADO TRANSITORIO EN SÓLIDOS SEMINFINITOS • Un sólido seminfinito es un cuerpo idealizado que tiene una sola superficie plana y se extiende hacia el infinito en todas las demás direcciones. Nos interesa la región cercana a la superficie y el cambio de temperatura es debido a las condiciones térmicas de la superficie. • Ejemplos, la tierra, pieza de acero cuando se enfría para endurecer su superficie y una superficie que se calienta con laser, etc. • Se considera la profundidad del solido grande x→∞ en comparación con la profundidad es decir T(x→ꝏ, t) = Ti, y depende grandemente de la condición de frontera en x = 0.
  • 33. SOLUCIÓN ANALÍTICA Utilizamos: 𝜕2 𝑇 𝜕𝑥2 = 1 ∝ 𝜕𝑇 𝜕𝑡 𝑇 0, 𝑡 = 𝑇𝑠 𝑦 𝑇 𝑥 → ∞, 𝑡 = 𝑇𝑖 𝑇 𝑥, 0 = 𝑇𝑖 Utilizamos la variable de semejanza para trabajar en ecuación diferencial ordinaria, combina x y t en una sola variable η 𝜂 = 𝑥 4𝛼𝑡 𝜕2𝑇 𝜕𝑥2 = 1 ∝ 𝜕𝑇 𝜕𝑡 𝜕𝑇 𝜕𝑡 = 𝑑𝑇 𝑑𝜂 𝜕𝜂 𝜕𝑡 = 𝑥 2𝑡 4𝛼𝑡 𝑑𝑇 𝑑𝜂 𝜕𝑇 𝜕𝑥 = 𝑑𝑇 𝑑𝜂 𝜕𝜂 𝜕𝑥 = 𝑥 4𝛼𝑡 𝑑𝑇 𝑑𝜂 𝜕2𝑇 𝜕𝑥2 = 𝑑 𝑑𝜂 𝜕𝑇 𝜕𝑥 𝜕𝜂 𝜕𝑥 = 1 4𝛼𝑡 𝜕2𝑇 𝜕𝜂2 Entonces η =0 en x = 0, y η→∞ conforme x →∞ así como con t = 0 𝜕2 𝑇 𝜕𝜂2 = −2𝜂 𝑑𝑇 𝑑𝜂 𝑇 0 = 𝑇𝑆 𝑇 𝑥 → ∞ = 𝑇𝑖
  • 34. Definimos w 𝑤 = 𝑑𝑇 𝑑𝜂 𝜕𝑤 𝜕η = 𝜕2𝑇 𝜕𝜂2 = −2ηw 𝑑𝑤 𝑤 = −2ηdη → ln w = − η2 + ln C1 → w = C1e−η2 = 𝑑𝑇 𝑑𝜂 𝑇 = 𝐶1 0 η 𝑒−𝑢2 𝑑𝑢 + 𝐶2 Para η = 0 → C2 = TS y η → ∞ 𝑇𝑖 = 𝐶1 0 ∞ 𝑒−𝑢2 𝑑𝑢 + 𝐶2 = 𝐶1 𝜋 2 + 𝑇𝑆 → 𝐶1 = 2 𝑇𝑖 − 𝑇𝑆 𝜋 𝑇−𝑇𝑠 𝑇𝑖−𝑇𝑆 = 2 𝜋 0 η 𝑒−𝑢2 𝑑𝑢 = 𝑒𝑟𝑓 η = 1 − 𝑒𝑟𝑓𝑐 η 𝑒𝑟𝑓 η = 2 𝜋 0 η 𝑒−𝑢2 𝑑𝑢 𝐹𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑒𝑟𝑓𝑐 η = 1 − 2 𝜋 0 η 𝑒−𝑢2 𝑑𝑢 𝐹𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑟𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟
  • 35.
  • 36. I CASO: TEMPERATURA ESPECÍFICA DE LA SUPERFICIE (Ts ≠ Ti) • 𝑇 𝑥,𝑡 −𝑇𝑖 𝑇𝑆−𝑇𝑖 = 𝑒𝑟𝑓𝑐 𝑥 2 ∝𝑡 𝑞𝑆 = −𝐾 𝜕𝑇 𝜕𝑥 |𝑥=0 = −𝐾 𝑑𝑇 𝑑η 𝜕η 𝜕𝑥 |η=0 = −𝐾𝐶1𝑒−η2 1 4 ∝ 𝑡 |η=0 = 𝐾 𝑇𝑆 − 𝑇𝑖 𝜋𝛼𝑡
  • 37. II CASO: FLUJO ESPECÍFICO DE CALOR • 𝑇 𝑥, 𝑡 − 𝑇𝑖 = 𝑞𝑆 𝐾 4∝𝑡 𝜋 𝑒𝑥𝑝 − 𝑥2 4𝛼𝑡 −
  • 38. III CASO:CONVECCIÓN EN LA SUPERFICIE • 𝑇 𝑥,𝑡 −𝑇𝑖 𝑇∞−𝑇𝑖 = 𝑒𝑟𝑓𝑐 𝑥 2 𝛼𝑡 − 𝑒𝑥𝑝 ℎ𝑥 𝐾 + ℎ2∝𝑡 𝐾2 𝑒𝑟𝑓𝑐 𝑥 2 𝛼𝑡 + ℎ 𝛼𝑡 𝐾
  • 39. IV CASO: PULSO DE ENERGÍA EN LA SUPERFICIE • 𝑇 𝑥, 𝑡 − 𝑇𝑖 = 𝑒𝑆 𝐾 𝜋𝑡/𝛼 𝑒𝑥𝑝 − 𝑥2 4𝛼𝑡
  • 40. CONDUCCIÓN DE CALOR EN RÉGIMENTRANSITORIO EN SISTEMAS MULTIDIMENSIONALES
  • 41. BARRA RECTANGULAR • Ecuaciones a utilizar, para una barra rectangular
  • 42. TRANSFERENCIA DE CALOR • Para dos configuraciones • Para tres configuracioines
  • 43.
  • 44.
  • 45. PROBLEMA • En la vulcanización de llantas el casco se coloca dentro de un molde de la llanta y se introduce repentinamente vapor a 150°C sobre ambos lados. Si el espesor de la llanta es 1” y la temperatura inicial es 21°C, considerar h= 300 W/m2-K. Determinar el tiempo necesario para que la capa central alcance 120°C • Propiedades de la llanta: Cp = 2,006 KJ/Kg-°C, K = 0,15 W/m- °C, ρ = 1200 Kg/m3 y α = 6,18*10-8 m2/s
  • 46. SOLUCION • 𝑇∞ = 150℃ Para x=0 • 𝐿′ = 1 →L=0,5" = 0,0127𝑚 𝐵𝑖 = ℎ𝐿 𝐾 = 300∗0,0127 0,15 =25,4 • Ti=21°C 1 𝐵𝑖 =0,03937 • ℎ = 300 𝑊 𝑚2−℃ 𝜃0 = 𝑇0−𝑇∞ 𝑇𝑖−𝑇∞ = 120−150 21−150 =0,232558139 • t =?? 𝑇(𝑥=0,𝑡) = 120℃ • 𝐶𝑝 = 2,006 𝑊 𝐾𝑔−℃ De gráfica con: • 𝐾 = 0,15 𝑊 𝑚−℃ 𝜃0 = 0,23 • 𝜌 = 1200𝐾𝑔 𝑚3 1 𝐵𝑖 =0,04 • 𝛼 = 6,18 ∗ 10−8𝑚2 𝑠 Encontramos F=0,7 • • 𝜏 = 𝐹 = 𝛼∗𝑡 𝐿2 = 6,18∗10−8∗𝑡 0,01272 0,7 = 3,83160766 ∗ 10−4 ∗ 𝑡 • t =1826,9 s
  • 47. PROBLEMA • Una placa grande de latón de 4cm de espesor que se encuentran inicialmente a una temperatura uniforme de 20°C, se calienta al pasar por un horno que se mantiene a 500°C. La placa permanece en el horno solo 7 minutos. Si el coeficiente combinado de transferencia de calor es h=120 W/m2-K. Determine la temperatura superficial de la placa cuando sale del horno. • SOLUCION • Propiedades del latón: • K=110 W/m-°C, Cp= 380 J/Kg-°C, α= 33,9-10-6 m2/s, ρ= 8530 Kg/m3 • Utilizando diagramas de Heisler • 1 𝐵𝑖 = 𝐾 ℎ𝐿 = 110 120∗0,020 = 45,8 • • 𝜏 = 𝛼𝑡 𝐿2 = 33,6∗10−6∗420 0,022 = 35,6 • En la primera grafica con 1/Bi = 45,8 y τ = 35,6 encontramos 𝑇0−𝑇∞ 𝑇𝑖−𝑇∞ = 0,46 • • Con la segunda grafica • 1 𝐵𝑖 = 45,8 𝑦 𝑥 𝐿 = 𝐿 𝐿 = 1 encontramos 𝑇𝑥 𝐿 −𝑇∞ 𝑇0−𝑇∞ = 0,99 • • Hacemos • • 𝑇𝑥 𝐿 −𝑇∞ 𝑇𝑖−𝑇∞ = 𝑇𝑥 𝐿 −𝑇∞ 𝑇0−𝑇∞ ∗ 𝑇0−𝑇∞ 𝑇𝑖−𝑇∞ = 0,99 ∗ 0,46 = 0,455 • • 𝑇𝑥 𝐿 = 𝑇∞ + 𝑇𝑖 − 𝑇∞ ∗ 0,455 = 500 + 20 − 500 ∗ 0,455 • • 𝑇𝑥 𝐿 = 282℃