Conduccion en estado_estacionario

Ley de Fourier
t < 0
x
y
y = Y
y = 0
T0
t = 0
T0 T1
t > 0
( , )T t y
T0 T1
t   ( )T y
T0 T1
y
dT
q k
dy
 
Q
Q
Q
Y
T
tA
Q 

*
Y
TT
k
tA
Q )(
*
10 


CONDUCCION
UNIDIMENSIONAL EN ESTADO
ESTACIONARIO

Consideremos la
conducción de calor a
través de las paredes de
una casa durante un día de
invierno. Se sabe que se
pierde calor de forma
continua hacia el exterior
a través de la pared en
forma normal a su
superficie y no tiene lugar
alguna transferencia de
calor significativa en ella
en otras direcciones.

El espesor pequeño de la
pared hace que el
gradiente de temperatura
en esa dirección sea
grande. Además, si las
temperaturas dentro y
fuera de la casa
permanecen constantes,
entonces la transferencia
de calor a través de la
pared de una casa se
puede considerar como
estacionaria y
unidimensional.

Pared rectangular plana
Distribución de temperatura
T1
T2
e
x
Flujo de calor
q
dx
dT
kq 
k (ctte)
)( 21
e
TT
kq



Pared rectangular plana
Resistencia térmica por conducciónT1
T2
e
x
q
(k =ctte)
e
TT
Akq
)(
' 21 

Reordenando
Ak
e
TT
q
)(
' 21 

Resistencia Termica
TCR
T
q

'
Ak
e
RTC 
RTC
q’

h2
Pared rectangular plana con convección
Resistencia térmica por convecciónTα1
Tα2
e
x
q(k =ctte)
)(' 11 TTAhq  
Reordenando
Ah
TT
q
1
)(
' 11 
 
Resistencia Termica
TCR
T
q

'
Ah
RTC
1

R2
q’
h1
R1 R3

h2
Pared rectangular plana con convección
Resistencia térmica totalTα1
Tα2
e
x
q(k =ctte) 321 RRRRT 
Flujo se calor
321
21 )(
'
RRR
TT
q


 
Resistencias termicas
1
1
1
Ah
R 
Ak
e
R 2
R2
q’
h1
R1 R3
2
3
1
Ah
R 

El lado exterior de un muro de ladrillo de 0,1 m de
espesor (k = 0,7 W/mK) se expone a un viento frio a
270 K con un coeficiente de transferencia de calor
por convección de 40 W/m2 K. En el lado interior del
muro el aire esta a 330 K, con un coeficiente de
transferencia de calor por convección de 10 W/m2 K.
Determine el flujo de calor en estado estable, así
como las temperaturas de las superficies interior y
exterior del muro.

h2
Paredes en serie
Tα2
e1
x
q(k =ctte) 4321 RRRRRT 
Flujo se calor
4321
21 )(
'
RRRR
TT
q


 
R2
q’
h1
R1 R4
e2
R3

h2
Coeficiente global de transferencia
Tα2
e1
x
q’(k =ctte) 22
2
1
1
1
11
AhAk
e
Ak
e
Ah
Ri 
Flujo se calor
TUAq '
R2
q’
h1
R1 R4
e2
R3
Cuando el área es constante
)
11
(
1
22
2
1
1
1 hk
e
k
e
hA
Ri 
iR
U


1
Coeficiente global de transferencia

 La pared compuesta de un horno, consiste en tres
materiales, dos de los cuales son de conductividad térmica
conocida, kA =20 W/mºK y kC =50W/mºK. De espesores
conocidos e1=0.20 m y e3=0.15 m. el tercer material B que se
intercala entre A y C tiene espesor conocido e2=0.15 m,
pero conductividad kB desconocida. En condiciones de
estado estable, las mediciones indican que la pared de la
superficie externa en el material C es de 20ºC y la superficie
interna del horno está a 600ºC, con una temperatura del
aire en el horno de 800ºC. Se sabe que el coeficiente
convectivo en el interior del horno es de 25 w/m2 ºK.
Calcular el valor de kB.

Consideremos la conducción estacionaria de calor a través
de un tubo que fluye agua caliente. Se sabe que se pierde
calor de forma continua hacia el exterior a través de la
pared del tubo en forma normal a su superficie y no tiene
lugar alguna transferencia de calor significativa en ella en
otras direcciones.
Recuerde que la transferencia
de calor en cierta dirección es
impulsada por el gradiente de
temperatura en esa dirección.
Sistemas Radiales : Tubo

Sistemas Radiales: Tubo
Distribución de temperatura
Ctteqr )(
T2
T1
r1
r2
dr
dT
kAq '
1
2
21
ln
)(2
'
r
r
TTLk
q



L

)
2
)ln(
(
)(
'
12
21
Lk
rr
TT
q



Lk
rr
RTC
2
)ln( 12

T2
T1
r1
r2
RTC
L

Considerando convección
22
12
11
21
2
1
)
2
)ln(
(
2
1
)(
'
hLrLk
rr
hLr
TT
q





T1
r1
r2
R2
Tα1
Tα2h1
h2
R1 R3
321
21 )(
'
RRR
TT
q


 

Paredes compuestas
24
342312
11
21
2
1
)
2
)ln(
()
2
)ln(
()
2
)ln(
(
2
1
)(
'
hLrLk
rr
Lk
rr
Lk
rr
hLr
TT
q
CBA 




54321
21 )(
'
RRRRR
TT
q


 
h1
h2

24
1
34
1
23
1
12
1
1
1
1
)ln()ln()ln(
1
1
hr
r
rr
k
r
rr
k
r
rr
k
r
h
U
CBA


)(
)(
' 2111
21


TTAU
R
TT
q
i




Referida al área interior
En general:
1
44332211 )( 
 iRAUAUAUAU

 Se tiene un tubo de acero(k=60.7 W/mºK) de 48
mm de diámetro exterior y 34mm de diámetro
interior que transporta un refrigerante. La
temperatura de la pared interior del tubo es de -
15ºC. Se desea que la ganancia de calor que tiene
el refrigerante a través del tubo desnudo se
reduzca en un 25%, forrando la tubería con un
aislante de conductividad térmica 0.74 W/mºK. La
temperatura del aire ambiente es de 21ºC y el
coeficiente convectivo 20 W/m2 ºK. Calcular el
espesor de aislante requerido.
EJEMPLO

Sistemas Radiales: Esfera
Consideremos la conducción
estacionaria de calor a través
de una capa esférica que
contiene. Si la temperatura
del interior de la esfera es
mayor a la temperatura
exterior, se sabe que se
pierde calor de forma
continua hacia el exterior a
través de la capa de la esfera
en forma normal a su
superficie.

El espesor pequeño de la capa de la
esfera hace que el gradiente de
temperatura en esa dirección sea
grande. Además, si las
temperaturas dentro y fuera de la
esfera permanecen constantes,
entonces la transferencia de calor a
través de la pared esférica se puede
considerar como
estacionaria y unidimensional.
En este caso, la temperatura de la
pared de la esfera presentara
dependencia solo en una dirección
(es decir la dirección r) y se puede
expresar como T(r).

Ctteqr )( 2
dr
dT
kAq '
T2
T1
r1
r2
2
4 rA 
21
21
11
)(4
'
rr
TTk
q





)
4
11
(
)(
'
21
21
k
rr
TT
q




21
12
4 rkr
rr
RTC



T2
T1
r1
r2
RTC

Considerando convección
2
2
221
12
1
2
1
21
4
1
)
4
(
4
1
)(
'
hrkrr
rr
hr
TT
q







T1
r1
r2
R2
Tα1
Tα2h1
h2
R1 R3
321
21 )(
'
RRR
TT
q


 

Area Media Logarítmica:
T2
T1
r1
r2
1
2
21
ln
)(2
'
r
r
TTLk
q



L
2
1
21
ln
ln
A
A
AA
Am



T2
T1
r1
r2
21
21
11
)(4
'
rr
TTk
q




21 AAAmG 
Area Media Geométrica:

Sistemas con área variable



A
dx
x
Am
Area Media:

Espesor Económico
 Obtener el coste total mínimo cuando se aísla una
pared para disminuir el flujo de calor.
 COSTOS:
 Costo de pérdida (o ganancia) de calor
 Costo del sistema de aislamiento
Coste por perdida de energía
Espesor
Coste por aislamiento
PerdidaoAislamientTotal CCC Coste total
Espesor optimo
de aislamiento

Espesor Económico
 Consideraciones para la selección de un aislante:
 Superficies CALIENTES -> Evitar pérdidas de calor :
 Selección de la forma física
 Temperatura lado caliente
 Conductividad térmica
 Resistencia al deterioro mecánico
 Resistencia a la absorción de humedad
 Inflamabilidad
 Eliminación y/o reutilización
 Riesgos a la salud

Espesor Económico
 Superficies FRIAS -> Evitar ganancia de calor
 Disminuir el calor que ingresa, que podría
eliminarse refrigerando la instalación ó donde
exista líquidos sometidos a su propia presión de
vapor saturado, para disminuir el incremento de su
presión
 Para impedir ó disminuir la condensación
superficial
 Para evitar que un fluido cambie de estado por
bajas temperaturas

Espesor Económico
 Consideraciones para la selección de un aislante:
 Superficies FRIAS -> Evitar ganancia de calor
 Selección de la forma física
 Temperatura de los lados frio y caliente
 Dilatación y contracción térmica
 Conductividad térmica
 Permeabilidad
 Riesgos a la salud

Criterios para elegir espesor de aislamiento
SUPERFICIE CALIENTE SUPERFICIE FRIA
 Pérdida Térmica
máxima permisible
 Espesor económico
 Razones de
seguridad
 Máximo incremento de
calor permisible
 Espesor económico
 Limitación de la
condensación
superficial

Superficies extendidas
 Se usan superficies extendidas o aletas con el fin de
incrementar la razón de transferencia de calor de una
superficie, aumentando el área total disponible para la
transferencia de calor.
 En el análisis de las aletas, se considera estado
estacionario sin generación de energía en la aleta y se
supone que la conductividad térmica (k) del material
permanece constante.

Area de treansferencia
)(' TThAq s 
Ts
Ta
h

0)()(  TT
dx
dA
k
h
dx
dT
A
dx
d S
C
0))(
1
()
1
(2
2
 TT
dx
dA
k
h
Adx
dT
dx
dA
Adx
Td S
C
C
C
Ecuación de energía para conducción
unidimensional en una superficie extendida.

0)(2
2
 TT
kA
hP
dx
Td
C
Aleta con área uniforme
CkA
hP
m 2
mxmx
eCeCTT 
 21
0))(
1
()
1
(2
2
 TT
dx
dA
k
h
Adx
dT
dx
dA
Adx
Td S
C
C
C

0)(2
2
 TT
kA
hP
dx
Td
C
Condiciones frontera
mxmx
eCeCTT 
 21
Tb
x
L
x=0 T=Tb
x=L ?

Condiciones frontera
)cosh(
))(cosh(
mL
xLm
TT
TT
b






 A)Extremo adiabático

Flujo de calor
0
'


x
Cb
dx
dT
kAqq’b
)tanh()(' mLTThPkAq bCb 

Efectividad de una aleta
)(
'


TThA
q
bC
b
f


q’b
Se justifica el uso de aleta si la efectividad es mayor a 2
Estudiar: Eficiencia de aletas

Ejemplo
Una aleta de cobre (k = 386 W/mºK) de 15 cm de
largo, 5 cm de ancho y 1cm. de espesor, tiene una
temperatura en la pared de 204ºC. La aleta se
encuentra en un cuarto cuya temperatura del aire
es de 21ºC. Calcule el calor perdido por la aleta,
(considerar frontera adiabática) si el coeficiente
de transferencia de calor entre su superficie y el
aire que la rodea es igual a 27,7 W/m2 ºK . Calcular
la efectividad de la aleta.

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