Algebra 1 con_maxima

Álgebra 1 con Maxima
https://goo.gl/QizcrU
Margarito Soriano Montero
Área de Matemáticas
Preparatoria Agr´ıcola
Universidad Autónoma Chapingo
Junio, 2017

1. Introducción
Introducción
En este documento se explica como usar el software libre Maxima para resolver
ejercicios del curso de Álgebra I que se imparte en la Preparatoria Agr´ıcola de
la Universidad Autónoma Chapingo.
Maxima es un programa de cálculo simbólico que puede manipular polinomios,
ecuaciones, desigualdades, expresiones racionales, integrales, derivadas.
Maxima esta disponible para Windows, Linux, Mac Os, Android y en l´ınea
Para descargar los archivos de instalación para sistemas operativos
Windows, Linux, Macintosh visitar:
http://maxima.sourceforge.net/es/download.html
Para instalar Maxima en Windows se puede descargar el archivo de
instalación del siguiente enlace
https://goo.gl/qLJy4U
Para instalarlo en dispositivos Android: https://goo.gl/lUIDrr
Para trabajar en linea: http://maxima.cesga.es/ o desde
http://maxima-online.org/
En la Sección 7 se explica brevemente como empezar a usar Maxima
Álgebra I con Maxima

1. Introducción
Notación
Cada diapositiva contiene uno o dos ejemplos de un tema del curso de Álgebra
I. Cada ejemplo tiene tres partes
Ejercicio a resolver. Por ejemplo en el tema de reducción de términos
semejantes el ejercicio que se presenta es:
5 a + 2 b − 7 a − b
Código máxima para obtener el resultado. La instrucción aparece en color
azul después de la etiqueta de entrada: (%in)
Cada instrucción se finaliza con ;
Resultado. Aparece después de la etiqueta de salida: (%on)
donde n indica el número de instrucción ejecutada en esa sesión de
Maxima.
Ejemplo
(%i1) 5*a+2*b-7*a-b;
(%o1) b − 2 · a

2. Operaciones básicas en Maxima
Operaciones básicas
Suma. El operador para sumar es: +
(%i2) 2+2+3;
(%o2) 7
Resta. El operador para restar es: -
(%i3) 8-9;
(%o3) − 1
Multiplicación. El operador para multiplicar es: *. TODAS las
multiplicaciones se deben indicar con este operador.
(%i4) 8*x*y;
(%o4) 8 · x · y
La instrucción 8xy es incorrecta.
(%i6)
8xy;
incorrect syntax: xy is not an infix operator
8xy;
ˆ

2. Operaciones básicas en Maxima
Operaciones básicas
División. El operador para dividir es: /
(%i5) 18/2;
(%o5) 9
Potencia. Los operadores para elevar una expresión a una potencia son: ^
o **
(%i6) 8^2;
(%o6) 64
(%i7) 8**2;
(%o7) 64
Ra´ız cuadrada. El operador para calcular la ra´ız cuadrada de una expresión
es: sqrt
(%i8) sqrt(144);
(%o8) 12

3. Unidad 1. Aritmética Factorización de un número en factores primos
Factorización de un número
Ejemplo 1. Factorizar como producto de números primos
75
(%i13) factor(75);
(%o13) 3 · 52
Ejemplo 2. Factorizar el número
456974892
(%i19) factor(456974892);
(%o19) 22
· 33
· 114
· 172

3. Unidad 1. Aritmética M´ınimo común múltiplo de dos o más números
M´ınimo común múltiplo (m.c.m)
Ejemplo 1. Calcular el m.c.m de dos números
75 y 45
(%i26) lcm(75,45);
(%o26) 225
Ejemplo 2. Calcular el m.c.m. de tres números
18, 132 y 33
(%i34) lcm(18,132,33);
(%o34) 396

3. Unidad 1. Aritmética Máximo común divisor de dos o más un números
Máximo común divisor (M.C.D)
Ejemplo 1. Calcular el M.C.D. de dos números
75 y 45
(%i41) gcd(75,45);
(%o41) 15
Ejemplo 2. Calcular el M.C.D. de tres números
18, 132 y 66
La instrucción gcd() solamente calcula el M.C.D. de dos números; para
calcular el M.C.D. de tres o más números de debe anidar la función.
(%i49) gcd(gcd(18,132),66);
(%o49) 6

3. Unidad 1. Aritmética Fracciones
Simplificación
Ejemplo 1. Simplificar
75
12
Maxima simplifica autómaticamente las fracciones
(%i55) 75/12;
(%o55)
25
4
18
132
(%i63) 18/132;
(%o63)
3
22

Suma, resta, multiplicaci´on
Ejemplo 1. Calcular
1
2
+
1
4
−
1
5
(%i69) 1/2+1/4-1/5;
(%o69)
11
20
Ejemplo 2. Calcular
5
8
2
25
(%i74) (5/8)*(2/25);
(%o74)
1
20

Divisi´on
Ejemplo 1. Calcular
1
2
÷
1
4
(%i79) (1/2)/(1/4);
(%o79) 2
Ejemplo 2. Calcular
5
8
÷
25
2
(%i84) (5/8)/(25/2);
(%o84)
1
20

3. Unidad 1. Aritmética S´ımbolos de agrupación
S´ımbolos de agrupación
En Maxima sólo hay un s´ımbolo de agrupación: ().
−2
1
2
− 3
5
2
−
1
3
+
5
8
−
3
5
(%i89) -2*(1/2-3*(5/2-(1/3+5/8-(3/5))));
(%o89)
237
20
Ejemplo 2. Calcular
1
2
−
3
2
− 3
1
4
+
1
7
(%i94) 1/2-(3/2-3*(1/4+1/7));
(%o94)
5
28

4. Unidad 2. Operatividad Reducción de términos semejantes
Reducción de términos semejantes
Ejemplo 1. Reducir términos semejantes
5 a + 2 b − 7 a − b
(%i99) 5*a+2*b-7*a-b;
(%o99) b − 2 · a
Ejemplo 2.
3 x2
y − 6 x y2
+ 4 x2
y − 12 x y2
− 5 x2
y2
(%i104) 3*x**2*y-6*x*y**2+4*x**2*y-12*x*y**2-5*x**2*y**2;
(%o104) − 5 · x2
· y2
− 18 · x · y2
+ 7 · x2
· y

4. Unidad 2. Operatividad Suma y resta de polinomios
Suma y resta de polinomios
Ejemplo 1. Sumar los siguientes polinomios
2 x − y + 3 z, 4 x − 3 y + 2 z
(%i111) 2*x-y+3*z+(4*x-3*y+2*z);
(%o111) 5 · z − 4 · y + 6 · x
Ejemplo 2. Restar el primer polinomio menos el segundo
x2
4
+
2 x y
3
−
y2
5
; −5 x2
−
2 x y
5
+ 2 y2
(%i118) x**2/4+2/3*x*y-y**2/5-(-5*x**2-2/5*x*y+2*y**2);
(%o118) −
11 · y2
5
+
16 · x · y
15
+
21 · x2
4

4. Unidad 2. Operatividad S´ımbolos de agrupación
S´ımbolos de agrupación: sumas y restas
Maxima sólo usa un s´ımbolo de agrupación: ()
3 x − {2 x + 3 [3 x − 2 y − 2 (5 x − 4 y) − 2 x] − 5 y}
(%i124) 3*x-(2*x+3*(3*x-2*y-2*(5*x-4*y)-2*x)-5*y),expand;
(%o124) 28 · x − 13 · y
2 b − 3 5 a −
2 a
3
− 3 b −
a
2
(%i129) 2*b-3*(5*a-(2*a/3-3*b)-(a/2)),expand;
(%o129) − 7 · b −
23 · a
2

4. Unidad 2. Operatividad Leyes de exponentes
Leyes de exponentes
2 a2
b3
3
(%i134) (2*a**2*b**3)**3;
(%o134) 8 · a6
· b9
2 a2
b−3
1
2
(%i139) (2*a**2*b**(-3))**(1/2);
(%o139)
√
2 · |a|
b
3
2
se obtiene el resultado anterior porque
√
a2 = |a|. Para que se simplifique√
a2 = a se agrega la instrucción radexpand:all;
(%i361) radexpand:all;
(2*a**2*b**(-3))**(1/2);
(%o360) all
√Álgebra I con Maxima

4. Unidad 2. Operatividad Multiplicaci´on de monomios
Multiplicaci´on de monomios
5 x2
y3
7 x y4
(%i144) (5*x**2*y**3)*(7*x*y**4);
(%o144) 35 · x3
· y7
3 x2
y 2 x z2
4 y2
z
(%i149) (3*x**2*y)*(2*x*z**2)*(4*y**2*z);
(%o149) 24 · x3
· y3
· z3

4. Unidad 2. Operatividad Multiplicaci´on de polinomios
Algebra 1. Unidad 2
Multiplicaci´on de polinomios
Ejemplo 1. Multiplicar
2 x2
− 2 x y − 3 y2
(4 x − 9 y)
Hay dos opciones
(%i154) expand((2*x**2-2*x*y-3*y**2)*(4*x-9*y));
(%o154) 27 · y3
+ 6 · x · y2
− 26 · x2
· y + 8 · x3
(%i155) (2*x**2-2*x*y-3*y**2)*(4*x-9*y), expand;
(%o155) 27 · y3
+ 6 · x · y2
− 26 · x2
· y + 8 · x3

4. Unidad 2. Operatividad División de polinomios
División de polinomios
Ejemplo 1. Dividir el primer polinomio entre el segundo
2 x3
− x2
− 8 x − 2; 2 x + 3
La instrucción es divide(dividendo,divisor,variable_principal
calcula el cociente y residuo del polinomio dividendo dividido por el
polinomio divisor con respecto a variable principal.
(%i162) divide(2*x**3-x**2-8*x-2,2*x+3,x);
(%o162) [x2
− 2 · x − 1, 1]
x2
− 2 · x − 1 es el cociente
1 es el residuo de la división
Ejemplo 2. Dividir con respecto a x
2 x3
− 5 x2
y + 31 x y2
− 45 y3
2 x − 3 y
(%i169) divide(2*x^3-5*x^2*y+31*x*y^2-45*y^3,2*x-3*y,x);
(%o169) [14 · y2
− x · y + x2
, −3 · y3
]

5. Unidad 3 Productos notables
Productos notables
Ejemplo 1. Calcular el producto
2 a3
+ 2 b 2 a3
− 2 b
(%i174) expand((2*a**3+2*b)*(2*a**3-2*b));
(%o174) 4 · a6
− 4 · b2
Ejemplo 2. Calcular el producto
7 x2
− 5 y 7 x2
+ 3 y
(%i179) (7*x**2-5*y)*(7*x**2+3*y),expand;
(%o179) − 15 · y2
− 14 · x2
· y + 49 · x4

5. Unidad 3 Factorizaci´on
Factorizaci´on
Ejemplo 1. Factorizar
9 x2
− 12 a − 5
(%i184) factor(9*x**2-12*x-5);
(%o184) (3 · x − 5) · (3 · x + 1)
Ejemplo 2. Factorizar
36 m2
+ 96 m n + 64 n2
(%i189) factor(36*m**2+96*m*n+64*n**2);
(%o189) 4 · (4 · n + 3 · m)2

5. Unidad 3 Simpliﬁcaci´on de fracciones algebraicas
Fracciones algebraicas
x2
− 3 x + 2
x2 + x − 2
(%i194) ratsimp((x**2-3*x+2)/(x**2+x-2));
(%o194)
x − 2
x + 2
x4
+ x2
y2
+ y4
x6 − y6
(%i199) ratsimp((x**4+x**2*y**2+y**4)/(x**6-y**6));
(%o199) −
1
y2 − x2

5. Unidad 3 Fracciones algebraicas: m.c.m.
m.c.m de dos o m´as fracciones algebraicas
Ejemplo 1. Calcular el m.c.m.
6 x2
y3
, 27 x y7
, 33 x y
(%i208) lcm(6*x**2*y**3,27*x*y**7,33*x*y);
(%o208) 594 · x2
· y7
Ejemplo 2. Calcular el m.c.m.
x2
− 5 x + 6, x2
− 4 x + 4, x2
− 10 x + 21
(%i220) lcm(x**2-5*x+6,x**2-4*x+4,x**2-10*x+21);
(%o220) (x − 7) · (x − 3) · (x − 2)2

5. Unidad 3 Fracciones algebraicas: M.C.D.
M.C.D. de dos o más fracciones algebraicas
Ejemplo 1. Calcular el M.C.D.
6 x2
y3
, 27 x y7
, 33 x y
Recordar que la función gcd solamente calcula el M.C.D. de dos
expresiones. Para obtener el M.C.D. de tres o más expresiones se debe
anidar la función.
(%i229) gcd(gcd(6*x**2*y**3,27*x*y**7),33*x*y);
(%o229) 3 · x · y
Ejemplo 2. Calcular el M.C.D.
x2
− 5 x + 6, x2
− 4 x + 4, x2
− 5 x + 6
(%i241) gcd(gcd(x**2-5*x+6,x**2-4*x+4),x**2-5*x+6);
(%o241) x − 2

5. Unidad 3 Multiplicación y división de fracciones algebraicas
Multiplicación de fracciones algebraicas
Ejemplo 1. Simplificar el siguiente producto
2 x2
+ x − 3
x2 + 4 x − 5
·
2 x2
+ 11 x + 5
2 x2 + 7 x + 6
(%i252) frac1:(2*x**2+x-3)/(x**2+4*x-5);
frac2:(2*x**2+11*x+5)/(2*x**2+7*x+6);
ratsimp(frac1*frac2);
(%o250)
2 · x2
+ x − 3
x2 + 4 · x − 5
(%o251)
2 · x2
+ 11 · x + 5
2 · x2 + 7 · x + 6
(%o252)
2 · x + 1
x + 2
(%i253) ratsimp(((2*x**2+x-3)/(x**2+4*x-5))*
((2*x**2+11*x+5)/(2*x**2+7*x+6)));
(%o253)
2 · x + 1
x + 2
El operador : asigna (guarda) la expresión del lado derecho a la variable del
lado izquierdo.

5. Unidad 3 Multiplicación y división de fracciones algebraicas
División de fracciones algebraicas
Ejemplo 2. Simplificar la siguiente división
6 x2
+ x − 1
2 x2 + 5 x + 2
÷
3 x2
− 7 x + 2
x2 − x − 6
(%i262) frac1:(6*x**2+x-1)/(2*x**2+5*x+2);
frac2:(3*x**2-7*x+2)/(x**2-x-6);
ratsimp(frac1/frac2);
(%o260)
6 · x2
+ x − 1
2 · x2 + 5 · x + 2
(%o261)
3 · x2
− 7 · x + 2
x2 − x − 6
(%o262)
x − 3
x − 2
(%i263) ratsimp(((6*x**2+x-1)/(2*x**2+5*x+2))/
((3*x**2-7*x+2)/(x**2-x-6)));
(%o263)
x − 3
x − 2

5. Unidad 3 Suma y resta de fracciones algebraicas
Suma y resta de fracciones algebraicas
Ejemplo 1. Realizar la siguiente suma y resta de fracciones
4
x4 + x2 + 1
+
x2
+ x − 1
x2 − x + 1
−
x2
− x − 1
x2 + x + 1
(%i277) frac1:4/(x**4+x**2+1);
frac2:(x**2+x-1)/(x**2-x+1);
frac3:(x**2-x-1)/(x**2+x+1);
ratsimp(frac1+frac2-frac3);
(%o274)
4
x4 + x2 + 1
(%o275)
x2
+ x − 1
x2 − x + 1
(%o276)
x2
− x − 1
x2 + x + 1
(%o277)
4 · x + 4
x2 + x + 1

5. Unidad 3 Fracciones algebraicas complejas
Fracciones complejas
Ejemplo 1. Reducir a fracci´on simple
2 − 7
x
+ 3
x2
2 + 3
x
− 2
x2
(%i285) fracc:(2-7/x+3/x**2)/(2+3/x-2/x**2);
ratsimp(fracc);
(%o284)
−7
x
+ 3
x2 + 2
3
x
− 2
x2 + 2
(%o285)
x − 3
x + 2

6. Unidad 4. Ecuaciones y desigualdades lineales Solución de una ecuación
Solución de una ecuación
Ejemplo 1. Determinar si el valor dado para x es solución de la ecuación
2 x + 1
4
+
x
3
=
18 x − 24
2
, x =
3
2
Para evaluar la ecuación en el valor dado de x hay varias opciones
(%i295) (2*x+1)/4+x/3=(18*x-24)/2,x=3/2;
(%o295)
3
2
=
3
2
(%i296) at((2*x+1)/4+x/3=(18*x-24)/2,x=3/2);
(%o296)
3
2
=
3
2
(%i297) subst(3/2,x,(2*x+1)/4+x/3=(18*x-24)/2);
(%o297)
3
2
=
3
2
Por lo tanto x = 3
2
si es solución de la ecuación 2 x+1
4
+ x
3
= 18 x−24
2

6. Unidad 4. Ecuaciones y desigualdades lineales Solución de una ecuación
Solución de una ecuación
Ejemplo 2. Determinar si el valor dado para x es solución de la ecuación
6 x + 3 = 18 x − 1, x =
1
4
(%i306) 6*x+3=18*x-1,x=1/4;
(%o306)
9
2
=
7
2
(%i307) at(6*x+3=18*x-1,x=1/4);
(%o307)
9
2
=
7
2
(%i308) subst(1/4,x,6*x+3=18*x-1);
(%o308)
9
2
=
7
2
Por lo tanto x = 1
4
no es solución de la ecuación 6 x + 3 = 18 x − 1

6. Unidad 4. Ecuaciones y desigualdades lineales Ecuaciones lineales
Ecuación lineal
Ejemplo 1. Resolver la ecuación
6 (4 x − 7) − 5 (2 x + 5) = 3
Para resolver una ecuación la instrucción es solve(ecuacion,var),
donde var es la variable con respecto a la que se resolverá la ecuación
(%i315) solve(6*(4*x-7)-5*(2*x+5)=3,x);
(%o315) [x = 5]
otra forma de resolverla
(%i317) ec1:6*(4*x-7)-5*(2*x+5)=3;
solve(ec1,x);
(%o316) 6 · (4 · x − 7) − 5 · (2 · x + 5) = 3
(%o317) [x = 5]
Nota: Si la ecuación contiene sólo una literal se puede omitir el argumento
var de la instrucción solve.
(%i318) solve(6*(4*x-7)-5*(2*x+5)=3);
(%o318) [x = 5]

6. Unidad 4. Ecuaciones y desigualdades lineales Ecuaciones con literales
Ecuaci´on con literales
Ejemplo 2. Resolver la ecuaci´on con respecto a x
b x + a
a
+
b x − a
b
= 2
(%i325) solve((b*x+a)/a+(b*x-a)/b=2,x);
(%o325) [x =
a
b
]

6. Unidad 4. Ecuaciones y desigualdades lineales F´ormulas: despejes
F´ormulas: despejes
Ejemplo 1. Despejar la variable indicada
S = v t +
a t2
2
; a
(%i332) solve(S=v*t+1/2*a*t**2,a);
(%o332) [a =
2 · S − 2 · t · v
t2
]
Ejemplo 2. Despejar la variable indicada
p =
f V
V − S
; S
(%i339) solve(p=f*V/(V-S),S);
(%o339) [S =
(p − f ) · V
p
]

6. Unidad 4. Ecuaciones y desigualdades lineales Desigualdades lineales
Desigualdad lineal
Para resolver una desigualdad lineal con Maxima, considerar los siguiente
El s´ımbolo ≥ se escribe como >=,
el s´ımbolo ≤ se escribe como <=
Se debe cargar el paquete solve_rat_ineq con la instrucción
load(solve_rat_ineq);. En una sesión sólo es necesario cargar una vez
este paquete.
La instrucción para resolver una desigualdad es
solve_rat_ineq(desigualdad);

6. Unidad 4. Ecuaciones y desigualdades lineales Desigualdades lineales
Desigualdad lineal
Ejemplo 1. Resolver la desigualdad
2 x − 1
3
+ 1 ≥
x + 1
2
(%i346) load(solve_rat_ineq)$
(%i347) solve_rat_ineq((2*x-1)/3+1>= (x+1)/2);
(%o347) [[x >= −1]]
El s´ımbolo $ al final de la instrucción load es para ejecutar la instrucción
sin mostrar la salida
Ejemplo 2. Resolver la desigualdad
−2 x + 1 < x + 3
(%i354) load(solve_rat_ineq)$
(%i355) solve_rat_ineq(-2*x+1<x+3);
(%o355) [[x > −
2
3
]]

7. Primeros pasos en Maxima Maxima en computadoras personales
En una computadora personal se trabaja con el ambiente gr´aﬁco de Maxima
llamado wxMaxima
Al iniciar aparece una ventana con un consejo. Si no se desea que
aparezca en cada inicio de wxMaxima se debe desactivar la casilla
Show tips at startup

7. Primeros pasos en Maxima Maxima en computadoras personales
Las instrucciones se ingresan en la región de color blanco (lienzo) donde
aparece la l´ınea horizontal (cursor horizontal)
Las instrucciones se finalizan con punto y coma.
Para ejecutar la instrucción se presiona Shift+enter

7. Primeros pasos en Maxima Maxima en Android
Instalar la aplicación Maxima on Android desde https://goo.gl/lUIDrr
Abrir la aplicación
Ingresar la instrucción en la celda de entrada
Ejecutar la instrucción presionando el boton Enter

7. Primeros pasos en Maxima Maxima en l´ınea
Para trabajar con Maxima en l´ınea hay dos opciones
Maxima on line: http://maxima.cesga.es/
Online Algebra Calculator: http://maxima-online.org/

Maxima on line: http://maxima.cesga.es/
Las instrucciones se ingresan en la ventana en color amarillo.
Para ejecutar una instrucción se presiona el botón clic
NO se ejecuta la instrucción si no se finaliza con punto y coma
Para borrar la ventana se presiona el botón Clear

Online Algebra Calculator: http://maxima-online.org/
Ingresar las instrucciones en la ventana Instructions to Maxima
Para ejecutar las instrucciones se presiona Calculate
Para borrar las instrucciones seleccionar las instrucciones y presionar la
tecla Supr
Esta p´agina permite exportar las instrucciones a
wxMaxima:Export to wxMaxima file

8. Referencias
Referencias
Manuales de Maxima.
http://maxima.sourceforge.net/es/documentation.html

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