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    Algebra

  Unidad 1
Números Reales
Unidad 1: Números Reales
• Comenzaremos a mencionar los
  números reales: sus propiedades y
  leyes. Estas nos servirán de
  herramienta para entender los
  conceptos algebraicos.
• El conjunto de enteros no negativos los
  identificamos como:
          W = {0, 1, 2, 3, . . .}
Ejemplo: 5 + 9 = 9 + 5
     Sección 1.1
     Suma de enteros no negativos:
     Para dos enteros no negativos cualesquiera a y b
     existe un entero no negativo único llamado su
suma. La suma de a y b es a + b.
     Ahora vamos a presentar las leyes de la suma de
     enteros no negativos.

 ·    Ley Conmutativa de la suma
      a + b = b +a
     Ejemplo: 5 + 9 = 9+5
Ley Asociativa de la Suma

a + ( b +c ) = (a +b) + c
Ejemplo: 5 + ( 4 + 3) = ( 5 + 4 ) + 3


Elemento Identidad para la suma
El cero es el elemento identidad aditivo.

     a+0=0+a=a

Ejemplo: 4 + 0 = 0 + 4 = 4
Secc. 1.2

    Multiplicación de enteros no negativos
                         
      El producto de dos enteros no negativos
 a y b se define como el entero no negativo a . b
que representa la suma b + b + b + . . . + b
              a términos iguales a b.
Multiplicación por cero

                 ax0=0

          Ejemplo: 5 x 0 = 0


Ley conmutativa de la Multiplicación
               ab = ba

      Ejemplo: (5)(3) = (3)(5)
Ley Asociativa de la Multiplicación
               a (b . c) = (a . b) c

Elemento Identidad para .la multiplicación
          Ejemplo: 5 (3 4) = (5 . 3) 4

El uno se denomina como identidad multiplicativo.
               ax1=1xa=a

         Ejemplo: 5 x 1 = 1 x 5 = 5
Ley Distributiva de la
 multiplicación sobre la suma.
 (b + c) a = a ( b + c) = ab + ac


Ejemplo: (5 + 3) 2 = 2 (5 + 3) =
          2x5 + 2x3
Números Enteros - es la combinación de
los enteros negativos y de los enteros no
                 negativos.
         I = {. . . , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}

Ahora pasamos a ver las reglas de estos
números llamados enteros negativos y
        enteros no negativos.
Para entender mejor el concepto
  de los Números Enteros debes
accesar a la siguiente dirección de
           YOUTUBE:

http://www.youtube.com/watch?v=Vtd8_XmJPE4&featu
Secc. 1.3
     Suma de números enteros

Si tienen signos iguales, se suman y
se usa el signo en común. Si tienen
signos diferentes, se restan y se usa
     el signo del número mayor.
Ejemplos:

       (-5) + (-3) = -8
       (15) + (-7) = 8
       (-20) + (3) = -17
       (-11) + 6 = -5
       (-3) + (-2) + (12) = 7
       (7) + (2) = 9
Sección 1.4
          Resta de números enteros
  Se le cambia el signo del sustraendo y se
procede a sumar, o sea, que usamos las reglas
que vimos para la suma de números enteros.
                   Ejemplos:
               (4) - (-3) = (4) + (3) = 7
             (-5) - (2) = (-5) + (-2) = -7
               (8) - (6) = (8) + (-6) = 2
      Restar -6 de 4 es (4) - (-6) = 4 + 6 = 10
           (-10) - (3) = (-10) + (-3) = -13
Sección 1.5
   Multiplicación de números enteros

Si tienen signos iguales el resultado de la
 multiplicación, llamado producto, va a
         ser un número positivo.

Si tienen signos diferentes el resultado va
        a ser un número negativo.
Ejemplos:

    (5) (-6) = -30
    (-3) (-4) =12
    (-8) (3) = -24
    (7) (2) = 14
    (3) (2) (-4) (-1) = 24
    (-3) (-8) (-2) = -48
    (2) (-8) (0) (-3) = 0
 
Sección 1.6
    División de los números enteros


Se aplican las mismas reglas que en la
 multiplicación de números enteros.

Signos iguales resultado positivo, signos
     diferentes resultado negativo.
Ejemplos:

(40) ÷ (-5) = -8
(-70) ÷ (-10) = 7
(-50) ÷ (2) = -25
(15) ÷ (3) = 5

-100 = 5
-20

0= 0
8

8 = No definido
0
Para entender mejor la suma, resta,
    multiplicación y división de los Números
     Enteros debes accesar a las siguientes
            direcciones de YOUTUBE:

http://www.youtube.com/watch?v=qHdUDPqyrxI&feature=related




http://www.youtube.com/watch?v=r0_Y30yg80k&feature=related
Sección 1.7
   Otra parte importante par entender bien los procesos
  algebraicos es estudiar el tema: Orden de Operaciones.
Cuando vamos a realizar un ejercicio en matemática tenemos
               que seguir un orden que será:

     1) Eliminar símbolos de agrupación de adentro hacia
                     fuera del ejercicio.
     2) Resolver las potencias o toda aquella expresión que
                   contenga exponentes.
    3) Resolver la multiplicación y la división de izquierda a
            derecha o lo primero que aparezca.
    4) Resolver la suma y la resta de izquierda a derecha.
Ejemplos:
              1)     12 x 5 ÷ 3 x 2 = 40

                     12 x 5 = 60
                     60 ÷ 3 = 20
                     20 x 2 = 40


Este ejercicio tiene las operaciones de multiplicación
y división, por lo tanto, las realizamos en el orden en
                     que aparecen.
2)       11 - 3 x 2 = 5
               3x2=6
               11- 6 =5




3)        32 x 7 - 2³ ÷ 4 = 61
            32 = (3) (3) =9
          23 = (2) (2) (2) = 8

              9 x 7 = 63
               8÷4=2
              63 - 2 = 61
4)    56 ÷ 8 + 3 x 2 = 13
             56 ÷ 8 = 7
              3x2=6
             7 + 6 = 13


 5)   3 + 4 (5 + 2) = 31
         5+2=7
         4 x 7 = 28
        3 + 28 = 31
6)        (5 - 2)2 x (3 - 2)2 = 9
      (5 – 2)² = (3)2 = (3) (3) = 9
      (3 – 2)² = (1)2 = (1) (1) = 1
                   9x1=9

7)        8 + 4 ÷ 2 + 8 x 2 - 6 ÷ 3 = 24
                 4 ÷2 = 2
                8 x 2 = 16
                 6÷3=2
            8 + 2 + 16 - 2 = 24

          8)      -7 (5 - 21) = 112
                      5 - 21 = -16
                    (-7) (-16) = 112
Para entender mejor el tema de Orden de
Operaciones debes accesar a las siguintes
       direcciones de YOUTUBE:

 http://www.youtube.com/watch?v=jdcxyjLxHfY

 http://www.youtube.com/watch?v=Y3CZ_JBQ0do

 http://www.youtube.com/watch?v=Zdv-oBbLp0E
Sección 1.8
 Uno de los temas que debemos repasar
 para también entender las operaciones
    algebraicas es el tema:
 Números Racionales o Fracciones.
  En casi todos lo temas de algebra las
fracciones están presentes, es por eso que
 debemos repasar los conceptos básicos.
A.    Simplificación Fracciones:
          1. 24 ‗ 2/3
                36


Se simplifica con el 12 por lo tanto:

               24 ÷ 12 ‗ 2
               36 12 3
2.        -12 ‗ - 2/5
                  30

           3.    21 ‗ 3/5
                 35

 4.          8 ‗ 8 ‗ 4/5
            12-2 10


5.     18 - 20 ‗ -2 ‗ - 1/4
         3+5      8
6.   -8 - 10 ‗ -18 ‗ 3
     6 - 12     -6



7.   20 + 7 ‗ 27 ‗ - 9/2
       -6     -6
B.        Suma y Resta Fracciones



           1. 1/7 + 4/7 = 5/7


     2.     8/9 - 1/9 + 3/9 = 10/9
3. 7/4 - 7/8 + 1/12 ‗

     42/24 – 21/24 +2/24 =
             23/24

4.      -3 - 5 ‗ -9 - 10 ‗ -19/12
       4 6      12
Para repasar la suma y resta de
 fracciones deberás accesar a las
     siguientes direcciones de
           YOUTUBE:

  http://www.youtube.com/watch?v=JUEson1cpyo

http://www.youtube.com/watch?v=5vf9lOgKuXI&featur
C. Multiplicación y División Fracciones


             1.     3 x 7 ‗ 21 ‗ 7/24
                    4 18 72


                      1
                      2
        2.   6 x 14 x 15 ‗ 1,260 ‗ 1/2
             35 9     8   2,520
3.   -12 ÷ 32 ‗ -12 x 14 ‗ -168 ‗ -1/4
      21 14 21 32          672



     4.       24 x 49 ÷ 21 =
              35 32


           24 x 49 x 1 ‗ 1,176 ‗ 1/20
          35 32 21 23,520
5. 1 + 16 x 3 ‗
   6 9      4

16 x 3 ‗ 48 ‗ 4
9 4 36 3


1 + 4 ‗ 1 + 8 9 ‗ 3/2
6 3       6 6
Para entender mejor la multiplicación y
división de fracciones debes accesar a las
      direcciones a continuación de
               YOUTUBE:


http://www.youtube.com/watch?v=Mnu16kCRW4U

 http://www.youtube.com/watch?v=heo7-qXbl0M
Secc. 1.9

 Valor Absoluto – es la distancia que está un
punto de origen. Siempre se expresa en forma
                  positiva.

                 │- 6 │= 6

            │2 – 11│= │- 9 │= 9

          │-11 -4 │ = │-15 │ = 15
•- │ - 5 │= -5

    -│3 │= -3

-│3 │= -3


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Para entender mejor el tema de Valor
 Absoluto deberás accesar a la siguiente
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  • 1. Math 2301 Algebra Unidad 1 Números Reales
  • 2. Unidad 1: Números Reales • Comenzaremos a mencionar los números reales: sus propiedades y leyes. Estas nos servirán de herramienta para entender los conceptos algebraicos. • El conjunto de enteros no negativos los identificamos como: W = {0, 1, 2, 3, . . .}
  • 3. Ejemplo: 5 + 9 = 9 + 5 Sección 1.1 Suma de enteros no negativos: Para dos enteros no negativos cualesquiera a y b existe un entero no negativo único llamado su suma. La suma de a y b es a + b. Ahora vamos a presentar las leyes de la suma de enteros no negativos. · Ley Conmutativa de la suma a + b = b +a Ejemplo: 5 + 9 = 9+5
  • 4. Ley Asociativa de la Suma a + ( b +c ) = (a +b) + c Ejemplo: 5 + ( 4 + 3) = ( 5 + 4 ) + 3 Elemento Identidad para la suma El cero es el elemento identidad aditivo. a+0=0+a=a Ejemplo: 4 + 0 = 0 + 4 = 4
  • 5. Secc. 1.2 Multiplicación de enteros no negativos   El producto de dos enteros no negativos a y b se define como el entero no negativo a . b que representa la suma b + b + b + . . . + b a términos iguales a b.
  • 6. Multiplicación por cero ax0=0 Ejemplo: 5 x 0 = 0 Ley conmutativa de la Multiplicación ab = ba Ejemplo: (5)(3) = (3)(5)
  • 7. Ley Asociativa de la Multiplicación a (b . c) = (a . b) c Elemento Identidad para .la multiplicación Ejemplo: 5 (3 4) = (5 . 3) 4 El uno se denomina como identidad multiplicativo. ax1=1xa=a Ejemplo: 5 x 1 = 1 x 5 = 5
  • 8. Ley Distributiva de la multiplicación sobre la suma. (b + c) a = a ( b + c) = ab + ac Ejemplo: (5 + 3) 2 = 2 (5 + 3) = 2x5 + 2x3
  • 9. Números Enteros - es la combinación de los enteros negativos y de los enteros no negativos. I = {. . . , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …} Ahora pasamos a ver las reglas de estos números llamados enteros negativos y enteros no negativos.
  • 10. Para entender mejor el concepto de los Números Enteros debes accesar a la siguiente dirección de YOUTUBE: http://www.youtube.com/watch?v=Vtd8_XmJPE4&featu
  • 11. Secc. 1.3 Suma de números enteros Si tienen signos iguales, se suman y se usa el signo en común. Si tienen signos diferentes, se restan y se usa el signo del número mayor.
  • 12. Ejemplos: (-5) + (-3) = -8 (15) + (-7) = 8 (-20) + (3) = -17 (-11) + 6 = -5 (-3) + (-2) + (12) = 7 (7) + (2) = 9
  • 13. Sección 1.4 Resta de números enteros Se le cambia el signo del sustraendo y se procede a sumar, o sea, que usamos las reglas que vimos para la suma de números enteros. Ejemplos: (4) - (-3) = (4) + (3) = 7 (-5) - (2) = (-5) + (-2) = -7 (8) - (6) = (8) + (-6) = 2 Restar -6 de 4 es (4) - (-6) = 4 + 6 = 10 (-10) - (3) = (-10) + (-3) = -13
  • 14. Sección 1.5 Multiplicación de números enteros Si tienen signos iguales el resultado de la multiplicación, llamado producto, va a ser un número positivo. Si tienen signos diferentes el resultado va a ser un número negativo.
  • 15. Ejemplos: (5) (-6) = -30 (-3) (-4) =12 (-8) (3) = -24 (7) (2) = 14 (3) (2) (-4) (-1) = 24 (-3) (-8) (-2) = -48 (2) (-8) (0) (-3) = 0  
  • 16. Sección 1.6 División de los números enteros Se aplican las mismas reglas que en la multiplicación de números enteros. Signos iguales resultado positivo, signos diferentes resultado negativo.
  • 17. Ejemplos: (40) ÷ (-5) = -8 (-70) ÷ (-10) = 7 (-50) ÷ (2) = -25 (15) ÷ (3) = 5 -100 = 5 -20 0= 0 8 8 = No definido 0
  • 18. Para entender mejor la suma, resta, multiplicación y división de los Números Enteros debes accesar a las siguientes direcciones de YOUTUBE: http://www.youtube.com/watch?v=qHdUDPqyrxI&feature=related http://www.youtube.com/watch?v=r0_Y30yg80k&feature=related
  • 19. Sección 1.7 Otra parte importante par entender bien los procesos algebraicos es estudiar el tema: Orden de Operaciones. Cuando vamos a realizar un ejercicio en matemática tenemos que seguir un orden que será: 1) Eliminar símbolos de agrupación de adentro hacia fuera del ejercicio. 2) Resolver las potencias o toda aquella expresión que contenga exponentes. 3) Resolver la multiplicación y la división de izquierda a derecha o lo primero que aparezca. 4) Resolver la suma y la resta de izquierda a derecha.
  • 20. Ejemplos: 1) 12 x 5 ÷ 3 x 2 = 40 12 x 5 = 60 60 ÷ 3 = 20 20 x 2 = 40 Este ejercicio tiene las operaciones de multiplicación y división, por lo tanto, las realizamos en el orden en que aparecen.
  • 21. 2) 11 - 3 x 2 = 5 3x2=6 11- 6 =5 3) 32 x 7 - 2³ ÷ 4 = 61 32 = (3) (3) =9 23 = (2) (2) (2) = 8 9 x 7 = 63 8÷4=2 63 - 2 = 61
  • 22. 4) 56 ÷ 8 + 3 x 2 = 13 56 ÷ 8 = 7 3x2=6 7 + 6 = 13 5) 3 + 4 (5 + 2) = 31 5+2=7 4 x 7 = 28 3 + 28 = 31
  • 23. 6) (5 - 2)2 x (3 - 2)2 = 9 (5 – 2)² = (3)2 = (3) (3) = 9 (3 – 2)² = (1)2 = (1) (1) = 1 9x1=9 7) 8 + 4 ÷ 2 + 8 x 2 - 6 ÷ 3 = 24 4 ÷2 = 2 8 x 2 = 16 6÷3=2 8 + 2 + 16 - 2 = 24 8) -7 (5 - 21) = 112 5 - 21 = -16 (-7) (-16) = 112
  • 24. Para entender mejor el tema de Orden de Operaciones debes accesar a las siguintes direcciones de YOUTUBE: http://www.youtube.com/watch?v=jdcxyjLxHfY http://www.youtube.com/watch?v=Y3CZ_JBQ0do http://www.youtube.com/watch?v=Zdv-oBbLp0E
  • 25. Sección 1.8 Uno de los temas que debemos repasar para también entender las operaciones algebraicas es el tema: Números Racionales o Fracciones. En casi todos lo temas de algebra las fracciones están presentes, es por eso que debemos repasar los conceptos básicos.
  • 26. A. Simplificación Fracciones: 1. 24 ‗ 2/3 36 Se simplifica con el 12 por lo tanto: 24 ÷ 12 ‗ 2 36 12 3
  • 27. 2. -12 ‗ - 2/5 30 3. 21 ‗ 3/5 35 4. 8 ‗ 8 ‗ 4/5 12-2 10 5. 18 - 20 ‗ -2 ‗ - 1/4 3+5 8
  • 28. 6. -8 - 10 ‗ -18 ‗ 3 6 - 12 -6 7. 20 + 7 ‗ 27 ‗ - 9/2 -6 -6
  • 29. B. Suma y Resta Fracciones 1. 1/7 + 4/7 = 5/7 2. 8/9 - 1/9 + 3/9 = 10/9
  • 30. 3. 7/4 - 7/8 + 1/12 ‗ 42/24 – 21/24 +2/24 = 23/24 4. -3 - 5 ‗ -9 - 10 ‗ -19/12 4 6 12
  • 31. Para repasar la suma y resta de fracciones deberás accesar a las siguientes direcciones de YOUTUBE: http://www.youtube.com/watch?v=JUEson1cpyo http://www.youtube.com/watch?v=5vf9lOgKuXI&featur
  • 32. C. Multiplicación y División Fracciones 1. 3 x 7 ‗ 21 ‗ 7/24 4 18 72 1 2 2. 6 x 14 x 15 ‗ 1,260 ‗ 1/2 35 9 8 2,520
  • 33. 3. -12 ÷ 32 ‗ -12 x 14 ‗ -168 ‗ -1/4 21 14 21 32 672 4. 24 x 49 ÷ 21 = 35 32 24 x 49 x 1 ‗ 1,176 ‗ 1/20 35 32 21 23,520
  • 34. 5. 1 + 16 x 3 ‗ 6 9 4 16 x 3 ‗ 48 ‗ 4 9 4 36 3 1 + 4 ‗ 1 + 8 9 ‗ 3/2 6 3 6 6
  • 35. Para entender mejor la multiplicación y división de fracciones debes accesar a las direcciones a continuación de YOUTUBE: http://www.youtube.com/watch?v=Mnu16kCRW4U http://www.youtube.com/watch?v=heo7-qXbl0M
  • 36. Secc. 1.9 Valor Absoluto – es la distancia que está un punto de origen. Siempre se expresa en forma positiva. │- 6 │= 6 │2 – 11│= │- 9 │= 9 │-11 -4 │ = │-15 │ = 15
  • 37. •- │ - 5 │= -5 -│3 │= -3 -│3 │= -3 -│-5 │= -5
  • 38. Para entender mejor el tema de Valor Absoluto deberás accesar a la siguiente dirección de YOUTUBE: http://www.youtube.com/watch?v=Nv57kGxhiIc