Algebra de boole libro

Algebra de Boole . Lic. Eduardo Aldana G Systecom ¡Tu mejor Opción!
ALGEBRA DE BOOLE
INTRODUCCIÓN nivel. Éstas funciones, en la etapa de diseña
Si se hace un análisis comparativo del cálculo del hardware, son interpretadas como
proposicional y la teoría de conjuntos, con sus funciones de Boole.
conectivos lógicos y las operaciones unión,
intersección y complemento respectivamente, se DEFINICIÓN DE ALGEBRA DE BOOLE :
observa un comportamiento idéntico. En general, un álgebra cualquiera es una estructura
Posteriormente se verá la misma analogía con el matemática que se define dando un conjunto de
álgebra de circuitos de conmutación ( booleanos) elementos , unas operaciones binarias ó leyes de
En efecto, la analogía entre el álgebra de composición interna que se aplican a los elementos
proposiciones y el álgebra de conjuntos es tan grande del conjunto. Y unos principios básicos ó axiomas que
que no puede ignorarse. Este hecho sugiere la se aplican a éstas leyes de composición interna y a
presencia de un modelo matemático abstracto, que los elementos del conjunto.
vacío de todo contenido, sirve de soporte tanto a la Para definir el algebra de Boole se necesita un
lógica como a la teoría de conjuntos. Este molde o conjunto de elementos que llamaremos
estructura que se alcanza a vislumbrar es el ÁLGEBRA
DE BOOLE. está dotado de
El algebra booleana , estudiada por primera vez en dos leyes de composición interna , que se
detalle por George Boole , constituye un área de las representan: y , que se denominan :
matemáticas que ha pasado a ocupar un lugar ( Producto “y” ) y (Suma “ó” ) , respectivamente:
prominente con la aparición y desarrollo de la
computadora digital , en este caso proporcionan un
eslabón entre el álgebra de conjuntos y el cálculo
proposicional . Son usadas ampliamente en el diseño Entonces se tiene una estructura de algebra de
de circuitos de distribución y computadoras y sus Boole si se verifican estas condiciones y las
aplicaciones van en aumento en muchas otras áreas, siguientes propiedades primitivas ó axiomas, que
por ejemplo: deben cumplir la PROPIEDAD DUAL , entendiéndose
Las aplicaciones de la electrónica digital a los ésta como la forma de partir de una propiedad
procesos de control y automatismo para obtener otra , mediante la simple sustitución
industriales están fundamentadas de por y por , y viceversa, en todos
teóricamente en éste sistema matemático. los lugares en que aparezcan; estas son a saber :
Esto se debe a que los circuitos digitales ó
lógicos operan de un modo binario donde 1º) ASOCIATIVA :
cada voltaje ( señal ) de entrada ó de salida
es un cero ( 0) ó un uno (1) . Las
designaciones 0 y 1 representan intervalos
predefinidos de voltaje. Esta característica de
los circuitos lógicos permite emplear el 2º) CONMUTATIVA:
álgebra booleana en el análisis y diseño de
sistemas digitales.
En el nivel de lógica digital de una
3º) MODULATIVA:
computadora, lo que comúnmente se llama
hardware, y que está formado por los
tal que :
componentes electrónicos de la máquina, se
tal que :
trabaja también con diferencias de tensión,
las cuales generan funciones que son
calculadas por los circuitos que forman el

Eduardo Carlos Aldana Guerrero Lic : Matemáticas y Física Unicor 96 1

4º) COMPLEMENTARIA: TEOREMA 7º : llamado ley de : LEYES DE DE
, existe un único MORGAN
elemento , , llamado complementario de ,
tal que :

5º) DISTRIBUTIVA:
Cada ley es distributiva respecto a la otra: TEOREMA 1º : llamado ley de : INVOLUCIÓN

Demostración:
TEOREMAS FUNDAMENTALES
Se presentaran un conjunto de teoremas con sus
duales, seleccionados por la aplicación en la
simplificación que tienen y/o por los hechos
fundamentales que establecen , los cuales pueden
demostrarse con el uso de los axiomas ó propiedades
primitivas .

TEOREMA 1º : llamado ley de : INVOLUCIÓN

TEOREMA 2º : llamado ley de : IDEMPOTENCIA:
permite eliminar términos de la forma:

TEOREMA 3º : llamado ley de : ACOTACIÓN:

TEOREMA 4º : llamado ley de : RECIPROCIDAD
COMPLEMENTARIA TEOREMA 2º : llamado ley de : IDEMPOTENCIA:
permite eliminar términos de la forma:

2a)
De izquierda a derecha :
TEOREMA 5º : llamado ley de: ABSORCIÓN :
Permite eliminar términos de la forma :
:

TEOREMA 6º : llamado ley de : COMPLEMENTACIÓN Por propiedad distributiva a la
SUCESIVA: inversa


De derecha a izquierda : De derecha a izquierda :

2b) 3b)

De izquierda a derecha : De izquierda a derecha:

Por propiedad distributiva a la
izquierda

De derecha a izquierda :
De derecha a izquierda:

TEOREMA 3º : llamado ley de : ACOTACIÓN:
TEOREMA 4º : llamado ley de : RECIPROCIDAD
3a) COMPLEMENTARIA

De izquierda a derecha:
4a)



4b) De derecha a izquierda :


TEOREMA 5º : llamado ley de: ABSORCIÓN :
Permite eliminar términos de la forma : TEOREMA 6º : llamado ley de : COMPLEMENTACIÓN
: SUCESIVA:
5a)
De izquierda a derecha : 6a)



6b)


5b) De derecha a izquierda :


TEOREMA 7º : llamado ley de : LEYES DE DE
MORGAN

7a)
Por el tipo de demostración que merece tiene un solo
sentido :
Se está indicando que el complemento de
es . Si esto es así entonces debe cumplir las
dos condiciones que se exigen a un elemento
complementario , el cual debe ser único para cada
elemento del algebra de boole. Los cuales son los
dos axiomas complementarios ( axioma 4a y 4b), es
decir: …….Y …..

Tenemos que demostrar que :

Con lo cual queda demostrado

6b)
Por el tipo de demostración que merece tiene un solo
sentido :
Se está indicando que el complemento de es
. Si esto es así entonces debe cumplir las
dos condiciones que se exigen a un elemento
complementario , el cual debe ser único para cada
elemento del algebra de boole. Los cuales son los
dos axiomas complementarios ( axioma 4a y 4b), es
decir: …….Y …..

: Tenemos que demostrar que :

: Tenemos que demostrar que:



FUNCIONES BOOLEANAS
Definición:
Sea

del conjunto PRODUCTO CARTESIANO
, es decir : es
: Tenemos que demostrar que:
llamada FUNCIÓN BOOLEANA de variables.
Se llama EXPRESIÓN BOOLEANA, a la expresión que
identifica a la función Booleana , y está
estructurada por la combinación en .
de uno ó varios productos de variables ,
,con ó sin complemento.
Cada uno de éstos productos , llamados productos
fundamentales , está compuesto por una ó algunas
variables distintas , complementadas ó no , llamados
minterms incompletos , ó también , el producto
fundamental puede estar compuesto por todas las
variables distintas correspondientes
complementadas ó no en éste caso el producto
fundamental es llamado minterm completo ó
simplemente minterm.
Ejemplo 1:
Si
Al formar el conjunto de todos los posibles
completos , que simbolizaremos con : , se tiene :
, éste conjunto se puede
obtener de la tabla de verdad para dos
proposiciones( como lo veremos más adelante ) ,es
decir que pueden salir :
MINTERMS.
Por tanto el número de funciones está dado por la
fórmula : , para el caso funciones
donde cada una puede ser un único MINTERM ó una
suma de dos ó más MINTERMS, para el caso se tiene
por ejemplo que :
(Con dos minterms)
( Con tres minterms)
( Con un único minterms)
Ejemplo 2 :
Si
Al formar el conjunto de todos los posibles
minterms que simbolizaremos con :

Queda demostrado


MINTERMS. Por tanto el número de La forma canónica disyuntiva de una función
funciones está dado por la fórmula : , para el , se obtiene a partir de los
caso funciones donde cada una puede valores 1 que toma la función.
ser un único MINTERM. ó una suma de dos ó más La única forma en la que un producto de
MINTERMS, para el caso se tiene por ejemplo que : todas las variables ( ó sus complementarias )
(Con dos minterms) toma valor 1 es con todos sus factores
( Con tres tomando valor 1 .Así el numero de minterms
minterms) en la forma disyuntiva es igual al numero de
( Con un único minterms) unos ( 1) que aparecen en la tabla de valores
de .
La forma canónica conjuntiva de una
FORMAS NORMALES DE LAS FUNCIONES
función se obtiene a partir de
BOOLEANAS
los valores 0 que toma la función.
Las funciones booleanas pueden adoptar dos formas La única posibilidad para que una suma de
útiles para las aplicaciones tecnológicas; tales todas las variables ( ó sus complementarias )
expresiones están conformadas por una suma de toma valor 0 es con todos sus términos
productos ó por un producto de sumas , tomando valor 0 .Así el numero de
denominadas : maxterms en la forma conjuntiva es igual al
a) LA FORMA NORMAL DISYUNTIVA COMPLETA numero de unos ( 0) que aparecen en la tabla
Una función de boole ( no nula ) , con de valores de .
se dice que está en forma completa Para una función la suma del numero
disyuntiva ,si la expresión booleana tiene estructura de minterms en la forma canónica disyuntiva y el
de suma minterms completos numero de maxterms en la forma canónica
Ejemplos: conjuntiva es igual a el cual coincide con el
(Con dos minterms) numero de términos de .
( Con tres Ejemplo:
minterms) Obtener las formas canónicas disyuntivas y
( Con un único minterms) conjuntiva de la función cuya tabla de
verdad es :
b) LA FORMA NORMAL CONJUNTIVA COMPLETA
Una función de boole ( no nula ) , con 0 0 0 1
se dice que está en forma completa 0 0 1 0
conjuntiva ,si la expresión booleana tiene 0 1 0 1
estructura de productos maxterms completos; 0 1 1 1
donde un maxterm completo ó simplemente 1 0 0 0
maxterm , es la suma de las variables diferentes 1 0 1 0
definidas en la función , complementadas ó no. 1 1 0 1
1 1 1 1
Ejemplos: Forma canónica disyuntiva:
(Con dos
maxterms)

( Con tres maxterms ) Forma canónica conjuntiva:
( Con un único maxterms)

METODOS DE OBTENCIÓN DE LAS FORMAS
CANONICAS Ó NORMALES Número de minterms = 5
Estas formas completas canónicas disyuntivas ó Numero de maxterms = 3
conjuntivas se pueden obtener a partir de:
Total =
1º). La tabla de valores de la función


2º). Una función normal disyuntiva ó conjuntiva Obtener la forma canónica conjuntiva de la función
incompleta definida en el ejemplo anterior :
Se presenta cuando está en la forma Entonces :
canónica sólo para una ó para algunas de las Por
variables complementadas ó no de la propiedad distributiva dela respecto a la . (
función en cada ó algunos minterms ó Nótese la utilidad de ésta propiedad , la cual consiste
maxterms. en separar el producto de las variables y sumarlo con
Para obtener la forma canónica ó normal disyuntiva la otra variable común , guardando el producto de las
a partir de una expresión cualquiera conviene sumas por separado)
proceder así: Por propiedad
 Obtener una suma de productos , aunque modulativa de la y la complementaria de la
estos productos no sean minterms. La Por asociativa de
propiedad que en mayor medida permita la
este procedimiento es la distributiva del
producto respecto a la suma: Por la propiedad distributiva , nótese de nuevo la
observación hecha antes .
 Cada variable que no figure en un
producto se puede añadir al mismo al mismo Por propiedad conmutativa de la x
multiplicando por el modulo 1 en la forma :
Por propiedad idempotencia de la x
 Se vuelve a aplicar la propiedad distributiva.
Ejemplo: SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES BOOOLENAS
Obtener la forma canónica disyuntiva del a función : Las formas canónicas ó normales de una función
: definida por : Booleana en un conjunto son expresiones únicas
que identifican cada función Booleana y la diferencia
Entonces :
de las restantes funciones . No son , sin embargo ,
expresiones sencillas ni tienen una forma simplificada
, es decir que la función presenta complementos
Módulativa y complementaria de la +
de sumas y/ó productos de las variables.
Por
El objetivo de ésta sección es la obtención de
( distributiva de la respecto ala )
expresiones simplificadas para las funciones
Booleanas , tanto si su expresión inicial es una de las
Por Distributiva. formas canónicas como si no
Por lo es.
conmutativa de la +
METODOS COMUNES
Por idempotencia de la + . 1º) Método de propiedades del algebra de Boole
Para obtener la forma canónica conjuntiva se Consiste en la utilización de las propiedades
procede así. generales
 Transformar la expresión inicial en un ( axiomas y teoremas ) del algebra de Boole.
producto de sumas, a través del uso Ejemplos
esencialmente de la propiedad distributiva a) Simplificar la función Booleana : :
de la suma respecto al producto: definida por:

 Una vez obtenido el producto de sumas ,
cada variable que no figure en una suma Por
se puede añadir a la misma sumando el propiedad conmutativa y asociativa
modulo : 0 , en la forma : . Por
 A continuación se vuelve a aplicar la complementación sucesiva y absorción
propiedad distributiva . Por propiedad
Ejemplo: asociativa


Por propiedad
distributiva
Por propiedad de
acotación
Por propiedad de
complementación sucesiva
Por propiedad modulativa
b) Simplificar la función Booleana : :
definida por:

Por
propiedad
asociativa
dela x
Por
propiedad
distributiva
Por
propiedad idempotente – conmutativa –
complentaria .
Por
propiedad
asociativa
Por
propiedad

Distributiva
Por propiedad
complementaria
Por propiedad
modulativa
Por asociativa
Por idempotente
Por distributiva
Por complementaria
Por modulativa

Ejemplo : Simplificar mediante propiedades
del álgebra booleana la función lógica TALLER
1º) Simplificar las siguientes funciones Booleanas :
expresada en su forma normal disyuntiva.
a)
b)
c)
d)
′+ ′


e) d)
f) e)
′+ ′
g) 4º) Simplificar las siguientes funciones mediante la
′′ ley de De Morgan y otras propiedades ó usando las
h) tablas :
i) a)
j) b)

k) c)

l) d)

m) e)

n) f)

o) 5º) Simplificar y expresarlas en forma canoníca ó
normal , simplificada.

2º) Escribir cada una de las siguientes funciones en la a)
forma normal ó canónica disyuntiva con el menor
0 0 0 0
número posible de variables y luego transfórmela a 0 0 1 1
su forma completa : 0 1 0 1
0 1 1 0
a)
1 0 0 0
′ 1 0 1 1
1 1 0 0
b)
1 1 1 0
c)
b)
d)
e) 0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
3º) Escribir cada una de las siguientes funciones en la 0 1 1 0
forma normal conjuntiva con el menor numero 1 0 0 1
1 0 1 0
posible de variables y luego transfórmela a su forma 1 1 0 1
completa: 1 1 1 1

a)
′
b)
c)



c)

0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0

d)

6º)
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 1
7º)
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0

e)

0 0 0 1 8º)
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 0

f)

0 0 0 1
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 0

G) Practicar ejercicios en la forma numérica :



2º) Método gráfico : Mapas de Karnaugh

3º) Método iterativo : El método de Quine – Mc
Cluskey
( opcional )


Nota:
- (punto): significa producto lógico
- + (signo de suma): significa suma lógica
Operaciones básicas

Cualquier función de boole que sea una suma de
productos se puede escribir en forma completa de
suma de productos . En efecto, si un producto
fundamental de la expresión booleana de la función ,
no usa , entonces podemos multiplicar , a éste
producto fundamental por , éste se puede
hacer ya que : . Continuamos hasta que Ley Distributiva, ley Asociativa, ley Conmutativa
todos los productos usen todas las variables . Otra
consideración demuestra que la forma completa de
suma de productos es única .

Cuando se trabaja con circuitos digitales es muy
común que al final de un diseño se tenga un circuito
con un número de partes (circuitos integrados y
otros) mayor al necesario.

Para lograr que el circuito tenga la cantidad de partes
correcta (la menor posible) hay que optimizarlo
(reducirlo).
Un diseño óptimo causará que:
- El circuito electrónico sea más simple Precedencia y Teorema de Morgan
- El número de componentes sea el menor
- El precio de proyecto sea el más bajo
- La demanda de potencia del circuito sea menor
- El mantenimiento del circuito sea más fácil.
- Es espacio necesario (en el circuito impreso) para la
implementación del circuito será menor.
En consecuencia que el diseño sea el más económico
posible.
Una herramienta para reducir las expresiones lógicas
de circuitos digitales es la matemáticas de Para asegurarse de que la reducción del circuito
expresiones lógicas, que fue presentada por George electrónico fue exitosa, se puede utilizar la tabla de
Boole en 1854, herramienta que desde entonces se verdad que debe dar el mismo resultado para el
conoce como álgebra de Boole. circuito simplificado y el original.
Las reglas del álgebra Booleana son:


Tabla de verdad

1 Circuitos lógicos 2 Tabla de verdad

La tabla de verdad es un intrumento
utilizado para la simplificación de circuitos
digitales a través de su ecuación booleana. Los circuitos lógicos son básicamente un
Las tablas de verdad pueden tener muchas arreglo de interruptores, conocidos como
columnas, pero todas las tablas funcionan de "compuertas lógicas" (compuertas AND,
igual forma. NAND, OR, NOR, NOT, etc.). Cada compuerta
lógica tiene su tabla de verdad.

Hay siempre una columna de salida (última
Si pudiéramos ver con más detalle la
columna a la derecha) que representa el
construcción de las "compuertas lógicas",
resultado de todas las posibles combinaciones
de las entradas. veríamos que son circuitos constituidos por
transistores, resistencias, diodos, etc.,
conectados de manera que se obtienen
salidas específicas para entradas específicas

La utilización extendida de las compuertas
lógicas, simplifica el diseño y análisis de
circuitos complejos. La tecnología moderna
actual permite la construcción de circuitos
integrados (ICs) que se componen de miles
(o millones) de compuertas lógicas.
El número total de columnas en una tabla de
verdad es la suma de las entradas que hay
+ 1 (la columna de la salida). Función booleana

Convierte un argumento en un valor booleano.
El número de filas de la tabla de verdad es la
cantidad de combinaciones que se pueden
lograr con las entradas y es igual a 2n, donde Esta función convierte argumentos en valores
n es el número de columnas de la tabla de booleanos, según las siguientes reglas.
verdad (sin tomar en cuenta la columna de
salida)
Si el argumento es un número negativo o
positivo, se convierte en el valor booleano
Ejemplo: en la siguiente tabla de verdad true. Si el argumento es cero o un NaN
hay 3 columnas de entrada, entonces value, se convierte en false.
habrán: 23 = 8 combinaciones (8 filas)
Si el argumento es un conjunto de nodos
con contenido, se convierte en true. Un
Un circuito con 3 interruptores de entrada conjunto de nodos vacíos se convierte en
(con estados binarios "0" o "1"), tendrá 8 false.
posibles combinaciones. Siendo el resultado
(la columna salida) determinado por el estado Si el argumento es una cadena con
de los interruptores de entrada. contenido, se convierte en true. Una
cadena vacía se convierte en false.

Si el argumento es un objeto de un tipo tratan las funciones booleanas,
distinto a los cuatro tipos básicos, se haciendo una correlación con las fórmulas
convierte en un valor booleano de tal proposicionales. Asimismo, se plantean dos
modo que dependa de uno de estos tipos. formas canónicas de las funciones booleanas, que
EJERCICIOS son útiles para varios propósitos, tales como el de
determinar si dos expresiones representan o no la
1 Sol..- misma función. Pero para otros propósitos son a
. menudo engorrosas, por tener más operaciones
2 que las necesarias. Particularmente, cuando
. Sol..- estamos construyendo los circuitos electrónicos
3 Sol..- con que implementar funciones booleanas, el
. problema de determinar una expresión mínima
4
para una función es a menudo crucial. No
. Sol..- resultan de la misma eficiencia en dinero y
5 tiempo, principalmente, dos funciones las cuales
. Sol..- calculan lo mismo pero donde una tiene menos
6 Sol..- variables y lo hace en menor tiempo. Como
. solución a este problema, se plantea un método
de simplificación, que hace uso de unos
7 Sol..-
diagramas especiales llamados mapas o
.
diagramas de Karnaugh, y el cual tiene la
8 limitación de poder trabajar adecuadamente sólo
. Sol..-
con pocas variables.
9 Sol..- Se realizan estas presentaciones con el fin de
. demostrar la afinidad existente entre el álgebra de
1 boole y la lógica proposicional, y con el objeto de
0 Sol..- cimentar el procedimiento de simplificación
. presentado en la lógica de proposiciones.

Álgebra Booleana
. Introducción

Las álgebras booleanas, estudiadas por primera El álgebra booleana es un sistema matemático
vez en detalle por George Boole , constituyen un deductivo centrado en los valores cero y uno
área de las matemáticas que ha pasado a ocupar (falso y verdadero). Un operador binario " º "
un lugar prominente con el advenimiento de la definido en éste juego de valores acepta un par de
computadora digital. Son usadas ampliamente en entradas y produce un solo valor booleano, por
el diseño de circuitos de distribución y ejemplo, el operador booleano AND acepta dos
computadoras, y sus aplicaciones van en aumento entradas booleanas y produce una sola salida
en muchas otras áreas. En el nivel de lógica booleana.
digital de una computadora, lo que comúnmente Para cualquier sistema algebraico existen una
se llama hardware, y que está formado por los serie de postulados iniciales, de aquí se pueden
componentes electrónicos de la máquina, se deducir reglas adicionales, teoremas y otras
trabaja con diferencias de tensión, las cuales propiedades del sistema, el álgebra booleana a
generan funciones que son calculadas por los menudo emplea los siguientes postulados:
circuitos que forman el nivel. Éstas funciones, en
la etapa de diseña del hardware, son interpretadas Cerrado. El sistema booleano se considera
como funciones de boole. cerrado con respecto a un operador binario si
En el presente trabajo se intenta dar una para cada par de valores booleanos se
definición de lo que es un álgebra de boole; se produce un solo resultado booleano.


Conmutativo. Se dice que un operador P1 El álgebra booleana es cerrada bajo las
binario " º " es conmutativo si A º B = B º A operaciones AND, OR y NOT
para todos los posibles valores de A y B. P2 El elemento de identidad con respecto a
Asociativo. Se dice que un operador binario " · es uno y con respecto a + es cero. No
º " es asociativo si (A º B) º C = A º (B º C) existe elemento de identidad para el
para todos los valores booleanos A, B, y C. operador NOT
Distributivo. Dos operadores binarios " º " y " P3 Los operadores · y + son conmutativos.
% " son distributivos si A º (B % C) = (A º B) % P4 · y + son distributivos uno con respecto al
(A º C) para todos los valores booleanos A, B, otro, esto es, A· (B+C) = (A·B)+(A·C) y A+ (B·C)
y C. = (A+B) ·(A+C).
Identidad. Un valor booleano I se dice que es P5 Para cada valor A existe un valor A' tal que
un elemento de identidad con respecto a un A·A' = 0 y A+A' = 1. Éste valor es el
operador binario " º " si A º I = A. complemento lógico de A.
Inverso. Un valor booleano I es un elemento P6 · y + son ambos asociativos, ésto es, (AB)
inverso con respecto a un operador booleano C = A (BC) y (A+B)+C = A+ (B+C).
" º " si A º I = B, y B es diferente de A, es
decir, B es el valor opuesto de A. Es posible probar todos los teoremas del álgebra
booleana utilizando éstos postulados, además es
Para nuestros propósitos basaremos el álgebra buena idea familiarizarse con algunos de los
booleana en el siguiente juego de operadores y teoremas más importantes de los cuales podemos
valores: mencionar los siguientes:
- Los dos posibles valores en el sistema booleano
son cero y uno, a menudo llamaremos a éstos Teorema 1: A + A = A
valores respectivamente como falso y verdadero. Teorema 2: A · A = A
- El símbolo · representa la operación lógica Teorema 3: A + 0 = A
AND. Cuando se utilicen nombres de variables Teorema 4: A · 1 = A
de una sola letra se eliminará el símbolo ·, por lo Teorema 5: A · 0 = 0
tanto AB representa la operación lógica AND Teorema 6: A + 1 = 1
entre las variables A y B, a esto también le Teorema 7: (A + B)' = A' · B'
llamamos el producto entre A y B. Teorema 8: (A · B)' = A' + B'
- El símbolo "+" representa la operación lógica Teorema 9: A + A · B = A
OR, decimos que A+B es la operación lógica OR Teorema 10: A · (A + B) = A
entre A y B, también llamada la suma de A y B. Teorema 11: A + A'B = A + B
- El complemento lógico, negación ó NOT es un Teorema 12: A' · (A + B') = A'B'
operador unitario, en éste texto utilizaremos el Teorema 13: AB + AB' = A
símbolo " ' " para denotar la negación lógica, por Teorema 14: (A' + B') · (A' + B) = A'
ejemplo, A' denota la operación lógica NOT de Teorema 15: A + A' = 1
A. Teorema 16: A · A' = 0
- Si varios operadores diferentes aparecen en una
sola expresión booleana, el resultado de la Los teoremas siete y ocho son conocidos como
expresión depende de la procedencia de los Teoremas de DeMorgan en honor al matemático
operadores, la cual es de mayor a menor, que los descubrió.
paréntesis, operador lógico NOT, operador lógico
AND y operador lógico OR. Tanto el operador Características:
lógico AND como el OR son asociativos por la Un álgebra de Boole es un conjunto en el que
izquierda. Si dos operadores con la misma destacan las siguientes características:
procedencia están adyacentes, entonces se 1- Se han definido dos funciones binarias (que
evalúan de izquierda a derecha. El operador necesitan dos parámetros) que llamaremos aditiva
lógico NOT es asociativo por la derecha. (que representaremos por x
Utilizaremos además los siguientes postulados: + y) y multiplicativa (que representaremos por

xy) y una función monaria (de un solo Supongamos que cuatro amigos deciden ir al cine
parámetro) que representaremos por x'. si lo quiere la mayoría. Cada uno puede votar si o
2- Se han definido dos elementos (que no. Representemos el voto de cada uno por xi. La
designaremos por 0 y 1) función devolverá sí (1) cuando el numero de
Y 3- Tiene las siguientes propiedades: votos afirmativos sea 3 y en caso contrario
devolverá 0.
Conmutativa respecto a la primera función: x Si x1 vota 1, x2 vota 0, x3 vota 0 y x4 vota 1 la
+y=y+x función booleana devolverá 0.
Conmutativa respecto a la segunda función: Producto mínimo (es el número posible de casos)
xy = yx es un producto en el que aparecen todas las
Asociativa respecto a la primera función: (x + variables o sus negaciones.
y) + z = x + (y +z)
Asociativa respecto a la segunda función: El número posible de casos es 2n.
(xy)z = x(yz) Siguiendo con el ejemplo anterior. Asignamos las
Distributiva respecto a la primera función: (x letras A, B, C y D a los amigos. Los posibles
+y)z = xz + yz casos son:
Distributiva respecto a la segunda función: Votos Resultado
(xy) + z = (x + z)( y + z) ABCD
Identidad respecto a la primera función: x + 0 1111 1
=x 1110 1
Identidad respecto a la segunda función: x1 =
1101 1
x
1100 0
Complemento respecto a la primera función:
1011 1
x + x' = 1
1010 0
Complemento respecto a la segunda función:
1001 0
xx' = 0
1000 0
0111 1
Propiedades Del Álgebra De Boole 0110 0
0101 0
1. Idempotente respecto a la primera función: x 0100 0
+x=x 0011 0
Idempotente respecto a la segunda función: 0010 0
xx = x 0001 0
Maximalidad del 1: x + 1 = 1 0000 0
Minimalidad del 0: x0 = 0
Involución: x'' = x
Inmersión respecto a la primera función: x + Las funciones booleanas se pueden representar
(xy) = x como la suma de productos mínimos (minterms)
Inmersión respecto a la segunda función: x(x iguales a 1.
+ y) = x
Ley de Morgan respecto a la primera función: En nuestro ejemplo la función booleana será:
(x + y)' = x'y' f(A,B,C,D) = ABCD + ABCD' + ABC'D +
Ley de Morgan respecto a la segunda AB'CD + A'BCD
función: (xy)' = x' + y'
Diagramas De Karnaugh
Función Booleana Los diagramas de Karnaugh se utilizan para
Una función booleana es una aplicación de A x A simplificar las funciones booleanas.
x A x....A en A, siendo A un conjunto cuyos Se construye una tabla con las variables y sus
elementos son 0 y 1 y tiene estructura de álgebra valores posibles y se agrupan los 1 adyacentes,
de Boole. siempre que el número de 1 sea potencia de 2.

En esta página tienes un programa para A OR B
minimización de funciones booleanas mediante A AND B.......................Primer paso para aplicar
mapas de Karnaugh el teorema de DeMorgan
A' AND B'.....................Segundo paso para
aplicar el teorema de DeMorgan
4. Álgebra Booleana y circuitos electrónicos (A' AND B')'..................Tercer paso para aplicar
el teorema de DeMorgan
(A' AND B')' = A' NAND B'.....Definición de OR
La relación que existe entre la lógica booleana y utilizando NAND
los sistemas de cómputo es fuerte, de hecho se da
una relación uno a uno entre las funciones Si se tiene la necesidad de construir diferentes
booleanas y los circuitos electrónicos de compuertas de la manera descrita, bien hay dos
compuertas digitales. Para cada función booleana buenas razones, la primera es que las compuertas
es posible diseñar un circuito electrónico y NAND son las más económicas y en segundo
viceversa, como las funciones booleanas solo lugar es preferible construir circuitos complejos
requieren de los operadores AND, OR y NOT utilizando los mismos bloques básicos. Observe
podemos construir nuestros circuitos utilizando que es posible construir cualquier circuito lógico
exclusivamente éstos operadores utilizando las utilizando sólo compuertas de tipo NOR (NOR =
compuertas lógicas homónimas NOT(A OR B)). La correspondencia entre la
Un hecho interesante es que es posible lógica NAND y la NOR es ortogonal entre la
implementar cualquier circuito electrónico correspondencia de sus formas canónicas.
utilizando una sola compuerta, ésta es la Mientras que la lógica NOR es útil en muchos
compuerta NAND circuitos, la mayoría de los diseñadores utilizan
Para probar que podemos construir cualquier lógica NAND.
función booleana utilizando sólo compuertas
NAND, necesitamos demostrar cómo construir
un inversor (NOT), una compuerta AND y una
compuerta OR a partir de una compuerta NAND,
ya que como se dijo, es posible implementar
cualquier función booleana utilizando sólo los
operadores booleanos AND, OR y NOT. Para
construir un inversor simplemente conectamos
juntas las dos entradas de una compuerta NAND.
Una vez que tenemos un inversor, construir una
compuerta AND es fácil, sólo invertimos la salida
de una compuerta NAND, después de todo, NOT
( NOT (A AND B)) es equivalente a A AND B.
Por supuesto, se requieren dos compuertas
NAND para construir una sola compuerta AND, Tablas De Verdad
nadie ha dicho que los circuitos implementados Son un medio para describir la manera en que la
sólo utilizando compuertas NAND sean lo salida de un circuito lógico depende de los niveles
óptimo, solo se ha dicho que es posible hacerlo. lógicos que haya en la entrada del circuito.
La otra compuerta que necesitamos sintetizar es En una tabla se muestra que ocurre al estado de
la compuerta lógica OR, ésto es sencillo si salida con cualquier grupo de condiciones de
utilizamos los teoremas de DeMorgan, que en entrada, los verdaderos valores de salida dependerán
síntesis se logra en tres pasos, primero se del tipo de circuito lógico.
reemplazan todos los "·" por "+" después se El número de combinaciones de entrada será igual a
invierte cada literal y por último se niega la 2 para una tabla de verdad con "n" entradas.
totalidad de la expresión: http://docencia.udea.edu.co/SistemasDiscretos/cont
enido/capitulo_04.html



CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
CCCCCCC

CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
CCC



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cccccccc

ccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc
cccccc


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