El documento introduce las ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales, explicando que una ecuación diferencial contiene derivadas de una función desconocida. Define el orden de una ecuación diferencial y lo que significa que una función es solución de una ecuación diferencial ordinaria. Proporciona ejemplos de diferentes tipos de ecuaciones diferenciales y cómo graficar soluciones.

1. Primera lectura Outline Objetivos ¿Qué es una ecuación diferencial? Soluciones de una ecuación diferencial ordinaria Conclusión

2. Objetivos Identificar las ecuaciones diferenciales como ordinarias y parciales. Determinar el orden de una ecuación diferencial. Identificar si una función o expresión es solución de una ecuación diferencial ordinaria.

3. ¿Qué es una ecuación diferencial? Una ecuación diferencial es una ecuación (igualdad) que contiene una o más derivadas de una función desconocida (incógnita). Por tanto toda acción de derivar produce una ecuación diferencial. Ejemplo: La función

4. Produce La expresión anterior dice que la derivada de una función y (desconocida) con respecto a x es la expresión 2x . Otros ejemplos de ecuaciones diferenciales:

5. Una ecuación diferencial (ED de aquí en adelante) es ordinaria (EDO de aquí en adelante) si la incógnita depende únicamente de una sola variable. Por el contrario es parcial (EDP de aquí en adelante) si la incógnita depende de varias variables. El orden de una ED se refiere al mayor número de veces que se deriva (orden de la derivada) la incógnita.

6. Ejemplos de EDO’s ¿Cuál es su orden? Ver respuesta Ver respuesta Ver respuesta

7. Ejemplos de EDP’s ¿Cuál es su orden? Ver respuesta Ver respuesta Ver respuesta Ver respuesta

8. ¿Qué es una solución de una EDO? En otros ámbitos decíamos que una solución es cuando al sustituir y realizar las operaciones indicadas se obtiene una identidad. Por ejemplo para la ecuación si se hace x=11 se tiene, tomando la primera parte de esta ecuación

9. y tomando ahora la segunda parte: Ambas partes son iguales. Esto es se genera una identidad (9=9). Por tanto x=11 es una solución de la ecuación dada. De la misma manera, una solución de una EDO es una función (o expresión) que al ser derivada tantas veces como indique la EDO y al realizar las operaciones indicadas se obtiene una identidad.

10. Ejemplo 1. Compruebe que es una solución de Ver solución

11. Ejemplo 2. Compruebe que es una solución de Ver solución

12. Ejemplo 3. Compruebe que es solución de Ver solución Graficación en Maple

13. Conclusión EDO: ecuación que contiene la derivada de una función desconocida que depende de una sola variable. EDP: ecuación que contiene la derivada (parcial) de una función desconocida que depende de varias variables. Solución de una EDO: función (expresión) que al sustituir en la ED y realizar las operaciones indicadas produce una identidad. ¡Gracias por tu atención!

14. Primer orden. La incógnita y se está derivando una vez Regresar

15. Segundo orden. La incógnita y se deriva dos veces. Esta ecuación es la que describe el comportamiento de un sistema masa-resorte. Es una expresión de la segunda ley de Newton para oscilaciones libres. Regresar

16. Tercer orden. Las tres primas se refieren a que se deriva la incógnita tres veces. Esta es la otra manera de referirse a la derivada. Regresar

17. Esta ecuación es de primer orden. Se denomina ecuación de continuidad en mecánica de fluidos. Regresar

18. Segundo orden. La incógnita u se deriva dos veces con respecto a x ( o a y ). Esta ecuación se denomina ecuación de Laplace y aparece en algunos problemas de mecánica de fluidos. Regresar

19. Segundo orden. El subíndice indica derivada parcial, entre más subíndices juntos aparezcan indican mayor número de veces que se va a derivar. Así el subíndice t dice que se deriva una vez con respecto a esa letra y xx indica que se deriva dos veces con respecto a x . Esta ecuación se denomina ecuación de calor . Aparece en fenómenos del comportamiento de la temperatura en conductores. Regresar

20. Segundo orden. Esta ecuación se denomina ecuación de onda . Tiene que ver con el comportamiento de cuerdas vibrantes (la de una guitarra). Regresar

21. Se toma la función dada. La primera parte de la EDO te dice que hay que derivar una vez. Esta última igualdad muestra que se obtiene la segunda parte de la EDO. Por tanto la función dada es solución de la EDO. De hecho todas las soluciones son de la forma Regresar Graficación en Maple

22. Vamos a graficar en Maple algunas soluciones de el ejemplo 1, primero hay que entrar al programa y escribir en él el siguiente código. Esta parte grafica la solución cuando la constante vale cero. Al dar enter se obtiene la gráfica de la función. De esta misma manera se pueden graficar una tras otra dando valores a la constante.

24. ¿Y si quiero ver muchas soluciones en un solo gráfico? El procedimiento es el siguiente:

25. El resultado es el siguiente: Regresar

26. Se deriva la función dada: Se realiza la operación

27. Se obtiene el segundo lado de la ecuación dada. Por tanto la función es solución de la EDO dada. Regresar

28. Se tiene que derivar implíctamente la ecuación dada para obtener Regresar

29. La ecuación Cuando c es positivo representa una circunferencia. Se puede graficarla en Maple de diversas maneras, sin embargo aquí se presenta una que tiene que ver con temas que se trataron en el curso de Matemáticas III.

31. Regresar