Tema: Raíces de ecuaciones no lineales Curso: Simulaciones computacionales (F4002) Universidad: Tecnológico de Monterrey

1. Departamento de Física
F4002 – Simulaciones computacionales
Sergio Camacho
sergio.camacho@itesm.mx
A4-423-B
Blackboard: http://miscursos.tec.mx/
© Sergio Camacho
F4002
Simulaciones
Computacionales
 Gráfico
 Bisectriz
 Raíces de ENL
 Newton
 Secante
 Sustitución
sucesiva

2.  Supongamos que 𝑓: ℝ → ℝ es una función continua.
 Una raíz o cero de 𝒇 es una solución a la ecuación 𝒇 𝒙 = 𝟎; i.e.
• Una raíz es un número 𝑎 ∈ ℝ tal que 𝑓 𝑎 = 0.
• Si dibujamos la gráfica de nuestra función, es decir y = 𝑓 𝑥 , la cual es
una curva en el plano, una solución de 𝑓 𝑥 = 0 es la coordenada 𝑥
de un punto en el cual la curva cruza el eje 𝑥.
Raíces de Ecuaciones No Lineales: Introducción
 Raíces de ENL
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Simulaciones
Computacionales
 Gráfico
 Bisectriz
 Newton
 Secante
 Sustitución
sucesiva
Raíz en 𝑥 = 1
Raíz en 𝑥 =7

3.  Existen varias razones para encontrar la raíz de una ecuación no lineal:
• La solución a un problema físico a menudo se puede expresar como la
raíz de una función adecuada.
• Otros ejemplos incluyen ecuaciones trascendentales y algebraicas.
• Constituyen un problema, numérico o computacional, clásico, y
ofrecen una buena introducción a los temas importantes de la
matemática numérica.
o Métodos iterativos de solución
o Análisis de resultados de convergencia
o Criterios de selección del método más adecuado para un problema
particular
Raíces de Ecuaciones No Lineales: Propósito
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Simulaciones
Computacionales
𝑥 − tan 𝑥 = 0
Difracción de la luz
𝑥 − 𝑏 sin 𝑥 = 0
Órbitas planetarias de Kepler
𝑒 𝑥
+ 𝑥 = 0
Ecuación trascendental
𝑥7
+ 4𝑥5
− 7𝑥2
+ 6𝑥 + 3 = 0
Ecuación algebraica
 Raíces de ENL
 Gráfico
 Bisectriz
 Newton
 Secante
 Sustitución
sucesiva

4.  Supongamos que se desean encontrar las raíces de
𝑓 𝑥 = 𝑥 sin
1
𝑥
− 0.2𝑒−𝑥
• Por inspección podemos percatarnos de que:
o Al aproximarse 𝑥 a 0, 𝑥 sin
1
𝑥
oscila con frecuencia creciente
y se vuelve singular en 𝑥 = 0 .
o 0.2𝑒−𝑥
= 0.2 en 𝑥 = 0; además
tiende a 0 para 𝑥 > 0 y
a ∞ para 𝑥 < 0.
• Consecuentemente podemos deducir que existen tres raíces, mismas
que se encuentran cerca de
o 𝑥 = −1.5 y
o 𝑥 = ∓0.4.
 De esta forma, el método gráfico nos permite conocer el comportamiento
de la función, el número de raíces y su valor aproximado.
Método gráfico
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 Raíces de ENL
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 Bisectriz
 Newton
 Secante
 Sustitución
sucesiva

5.  El método de la bisectriz es un método numérico sencillo pero muy versátil
para encontrar una raíz real en un intervalo dado en el que se sabe que
existe una raíz.
 Sin embargo, solo debe utilizarse después de un análisis gráfico.
 Supongamos que existe una raíz de 𝑓 𝑥 en el intervalo 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑐, entonces
el signo de 𝑓 𝑥 es distinto en los dos extremos; i.e.
𝑓 𝑎 𝑓 𝑐 < 0
• 1er paso: Bisecar el intervalo [𝑎, 𝑐] en mitades [𝑎, 𝑏] y [𝑏, 𝑐], donde
𝑏 = (𝑎 + 𝑐)/2
• 2do paso: Verificar los signos de 𝑓 𝑎 𝑓 𝑏 y 𝑓 𝑏 𝑓 𝑐 para determinar en que
mitad del intervalo se encuentra la raíz.
• 3er paso: Bisecar iterativamente el intervalo que contiene la raíz.
 El tamaño del intervalo después de 𝑛 pasos de iteración es:
𝑐0 − 𝑎0
2 𝑛
donde 𝑎0 y 𝑐0 son los valores iniciales de 𝑎 y 𝑐, respectivamente.
Método de la bisectriz: Algoritmo
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 Newton
 Secante
 Sustitución
sucesiva

6.  La ecuación 𝑐0 − 𝑎0 2 𝑛
también representa el máximo error que puede
haber cuando se aproxima la raíz con el 𝑛–ésimo punto medio.
 Por lo tanto, si la tolerancia del error es 𝑡𝑜𝑙, el número de pasos de iteración
necesarios es el entero 𝑛 más pequeño que satisface
𝑡𝑜𝑙 ≥
𝑐0 − 𝑎0
2 𝑛
o, de forma equivalente,
𝑛 ≥
log
𝑐0 − 𝑎0
𝑡𝑜𝑙
log 2
 No obstante, el método no es aplicable a todos los problemas; e.g.
Método de la bisectriz: Tolerancia del error
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 Gráfico
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 Newton
 Secante
 Sustitución
sucesiva
No hay 𝑎 y 𝑐 tal que
𝑓 𝑎 𝑓 𝑐 < 0

7.  El método de Newton, o Newton-Raphson, es un método numérico
iterativo para encontrar la raíz de una ecuación no lineal.
 Puede aplicarse en el dominio complejo para encontrar una raíz compleja, y
también puede extenderse a ecuaciones simultáneas no lineales.
 Supongamos que se desea encontrar una raíz de 𝑓 𝑥 = 0. La expansión de
Taylor truncada de primer orden de 𝑓 𝑥 alrededor de una estimación
inicial, 𝑥0, es
𝑓 𝑥 ≈ 𝑓 𝑥0 + 𝑓′ 𝑥0 𝑥 − 𝑥0
• Si igualamos a cero y despejamos para la siguiente estimación (𝑥1)
𝑥1 = 𝑥0 −
𝑓 𝑥0
𝑓′ 𝑥0
• De forma iterativa
𝑥 𝑛+1 = 𝑥 𝑛 −
𝑓 𝑥 𝑛
𝑓′ 𝑥 𝑛
 Gráficamente, esto implica que la nueva estimación de
raíz (𝑥 𝑘+1) se determina por la intersección de la línea
tangencial en el punto anterior 𝑥 𝑘, 𝑓 𝑥 𝑘 con el eje 𝑥.
Método de Newton: Algoritmo
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Computacionales
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 Bisectriz
 Newton
 Secante
 Sustitución
sucesiva

8.  Cabe resaltar que 𝑓′
𝑥 pude evaluarse con una aproximación de diferencia,
hacia adelante o hacia atrás, en lugar de analíticamente:
𝑓′ 𝑥 𝑛 =
𝑓 𝑥 𝑛+ℎ −𝑓 𝑥 𝑛
ℎ
𝑓′
𝑥 𝑛 =
𝑓 𝑥 𝑛 −𝑓 𝑥 𝑛−ℎ
ℎ
donde ℎ es un valor muy pequeño (ℎ ≅ 0.001).
• Errores pequeños en la aproximación de diferencia no tienen un efecto
perceptible en la rapidez de convergencia de la iteración Newton.
• La exactitud del resultado final no se ve afectada por el error de una
aproximación de diferencia. Sin embargo, hay que tener mucho cuidado en los
casos en que hay una singularidad cerca de la raíz.
 El método de Newton pueden divergir si 𝑥0 no está lo suficientemente cerca de una
raíz; e.g.
Método de Newton: Aproximación de diferencia
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 Secante
 Sustitución
sucesiva
(Aproximación de diferencia hacia adelante)
(Aproximación de diferencia hacia atrás)
La secuencia diverge La secuencia oscila

9.  El método de la secante es de hecho una variación del método de Newton;
en el cual se aproxima 𝑓′
𝑥 utilizando los dos valores anteriores
consecutivos de 𝑓 𝑥 (en lugar de una aproximación de diferencia).
 El esquema iterativo basado en este concepto se escribe entonces así:
𝑥 𝑛+2 = 𝑥 𝑛+1 − 𝑓 𝑥 𝑛+1
𝑥 𝑛+1 − 𝑥 𝑛
𝑓 𝑥 𝑛+1 − 𝑓 𝑥 𝑛
 Para iniciar la iteración se debe de especificar 𝑥 𝑜.
 El valor de 𝑥1 se puede fijar arbitrariamente en 𝑥1 = 𝑥 𝑜 + ℎ, donde ℎ es un valor
pequeño (ℎ ≅ 0.01).
 Gráficamente, esto implica que la nueva estimación de
raíz (𝑥 𝑘+1) se determina por la intersección de la línea
secante a la curva en los puntos anteriores 𝑥 𝑘, 𝑓 𝑥 𝑘 y
𝑥 𝑘−1, 𝑓 𝑥 𝑘−1 .
Método de la secante: Algoritmo
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 Newton
 Secante
 Sustitución
sucesiva

10.  El término método de sustituciones sucesivas, también conocido como
método de iteración de punto fijo, se refiere a una clase amplia de
esquemas de resolución iterativos para ecuaciones no lineales.
 Tanto el método de Newton como el método de la secante pueden
considerarse aplicaciones del método de sustituciones sucesivas.
 Si la ecuación a resolver 𝑓 𝑥 puede escribirse en la forma:
𝑥 = 𝑔 𝑥
entonces se podrá escribir un esquema iterativo:
𝑥 𝑛+1 = 𝑔 𝑥 𝑛
 Gráficamente, esto implica que la nueva estimación de
raíz (𝑥 𝑛+1) se determina por una evaluación de 𝑔 en el
punto anterior 𝑔 𝑥 𝑛 .
 Si queremos asegurar la convergencia de la iteración
𝑔′
𝑥 < 1
Método de sustituciones sucesivas: Algoritmo
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