Una serie matemática es la suma de los términos de una sucesión. Las series pueden converger o diverger, dependiendo de si la suma tiende a un valor finito o infinito. Existen varios criterios para determinar si una serie convergerá, como el criterio del cociente, el criterio de Raabe y el criterio de comparación, los cuales analizan el comportamiento de los términos de la serie. Algunos ejemplos comunes de series son las series geométricas, armónicas y alternadas.

1. Serie matemática
En matemáticas, una serie es la suma de los términos de una sucesión. Se representa una
serie con términos an como:
Donde n es el índice final de la serie. Las series infinitas son aquellas donde i toma el
valor de absolutamente todos los números naturales, es decir, .
Las series convergen o divergen.
En cálculo, una serie diverge si no existe o si tiende a infinito;
converge si para algún .
1. Algunos tipos de series
Una serie geométrica es una serie en la cual cada término se obtiene multiplicando el
anterior por una constante, llamada razón. Ejemplo (con constante 1/2):
En general, una serie geométrica, de razón z, es convergente, sólo si |z| < 1, a:
La serie armónica es la serie
La serie armónica es divergente.
Una serie alternada es una serie donde los términos alternan el signo. Ejemplo:

2. Una serie telescópica es la suma , donde an = bn − bn+1. Se representa
de la siguiente manera:
La convergencia de dicha serie y su suma se pueden calcular fácilmente, ya que:
Una serie hipergeométrica1 es una serie de la forma , que cumple que :
= .
2.-Sumas conocidas
-Fórmula de Faulhaber
3.-Criterios de convergencia
Clasificar una serie es determinar si converge a un número real o si diverge ( u
oscilante). Para esto existen distintos criterios que, aplicados a la serie en cuestión,
mostrarán de que tipo es (convergente o divergente).

3. 3.1.-Condición del resto
Para que una serie sea divergente, una condición suficiente es que
.
Esta afirmación es muy útil, ya que nos ahorra trabajo en los criterios cuando el límite es
distinto de cero.
3.2.- Criterio de D'Alembert o Criterio del Cociente (Criterio de la razón)
Sea una serie , tal que ak > 0 ( serie de términos positivos).
Si existe
con , el Criterio de D'Alembert establece que:
si L < 1, la serie converge.
si L > 1, entonces la serie diverge.
si L = 1, no es posible decir algo sobre el comportamiento de la serie.
En este caso, es necesario probar otro criterio, como el criterio de Raabe.
3.3.-Criterio de Cauchy (raíz enésima)
Sea una serie , tal que ak > 0 (serie de términos positivos). Y supongamos que existe
, siendo
Entonces, si:
L < 1, la serie es convergente.
L > 1 entonces la serie es divergente.
L=1, no podemos concluir nada a priori y tenemos que recurrir al criterio de Raabe, o de
comparación, para ver si podemos llegar a alguna conclusión.

4. 3.4.- Criterio de Raabe
En algunas series, puede ocurrir que ni el criterio de D'Alembert ni el de la raíz nos
permitan determinar la convergencia o divergencia de la serie, entonces recurrimos al
criterio de Raabe.
Sea una serie , tal que ak > 0 (serie de términos positivos). Y supongamos que existe
, siendo
Por tanto, si L > 1, entonces la serie es convergente y si L < 1, la serie es divergente
Tened cuidado aquí, pues las conclusiones son al contrario que en los criterios de
D'Alembert y de la raíz.
3.5-Criterio de la integral de Cauchy
Si f(x) es una función positiva y monótonamente decreciente definida en el intervalo [1, ∞)
tal que f(n) = an para todo n, entonces converge si y sólo si es finita.
Más generalmente, y para el tipo de función definida antes, pero en un intervalo [N, ∞), la
serie
converge sí y sólo sí la integral
converge.
3.6.- Criterio de condensación de Cauchy
Sea una serie monótona de números positivos decrecientes. converge si y
sólo si la serie

5. converge.
3.7.-Criterio de Leibniz
Una serie de la forma (con ) se llama alternada. Tal serie converge
si se cumplen las siguientes condiciones:
a) para n par y n impar
b) La serie tiene que ser absolutamente decreciente es decir que:
Si esto se cumple, la serie es condicionalmente convergente de lo contrario la
serie diverge.
Nota:Se debe descartar primero la convergencia absoluta de antes de aplicar este
criterio, usando los criterios para series positivas.
4. Criterios de convergencia comparativos
Son aplicables en caso de disponer de otra serie tal que se conozca su condición,
tal como la divergencia para la serie geométrica. Entonces:
4.1.-Criterio de comparación directa ( de la mayorante o de Gauss )
Si
Si converge converge
Si diverge diverge

6. 4.2.- Criterio de comparación por paso al límite del cociente
Entonces:
Si L = 0 y converge converge
Si y diverge diverge
En otro caso, ambas series comparten la misma condición (ambas convergen, o bien
ambas son divergentes).
5.-Tipos de convergencia
5.1.-Convergencia absoluta
Una serie alternada an converge absolutamente si
es una serie convergente. Se demuestra que una serie que converge absolutamente, es una
serie convergente.