1. 37 38COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 3er. Año Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 3er Año Secundaria
La teoría de Exponentes se basa
fundamentalmente en las propiedades de la
Potenciación y de la radiación, por lo tanto, para
una mejor comprensión definiremos las
operaciones de potenciación y luego
explicaremos cada una de sus propiedades.
LA POTENCIACIÓN:
Es una operación que abrevia la multiplicación:
n
vecesn
a)a(....)a()a()a( =
  
Donde : a es la base
n es el exponente
an
es la potencia o resultado.
Ejemplos:
a) 32
= 3 x 3 = 9
b)
81
16
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
4
=























=





c) ( 0.1 )3
= ( 0.1 ) ( 0.1 ) ( 0.1 ) = 0.001
LA RADICACIÓN:
Es una operación inversa a la potenciación :
a
n
= b indice del radical
raíz enésima
signo
radical
radicando o cantidad sub radical
abba nn
=⇔=
Ejemplos :
a) 255525 5
=⇔=
b) 51288512 33
=⇔=
c)
0016.0)2.0(2.00016.0 44
=⇔=
PROPIEDADES DE LA POTENCIACION Y LA
RADICACION
1. Producto de Bases Iguales:
Es igual a otra potencia de la misma base,
cuyo exponente resulta de sumar los
exponentes iniciales. Su forma general es:
am
. an
= a m + n
Ejemplos :
a) 23
. 25
= 23 + 5
= 28
b) ( - 5 )2
( - 5 )4
= ( - 5 )2 + 4
= 5 6
c)
106464
5
1
5
1
5
1
5
1






=





=











+
2. Cociente de Bases Iguales:
Es igual a otra potencia de la misma base,
cuyo exponente resulta de restar ambos
exponentes.
Su forma general es: nm
n
m
a
a
a −
=
Ejemplos :
a) 2555
5
5 224
2
4
=== −
b)
1728)12()12(
)12(
)12( 347
4
7
−=−=−=
−
− −
c) 6425,025,0
25,0
25,0 385
8
5
=== −−
3. Potencia de un Producto:
Es igual al producto de sus factores, cada uno
afectados con el mismo exponente. Su forma
general es : ( a . b )n
= an
. bn
Ejemplos:
a) ( 5 x 3 )2
= 52
x 32
b) ( 7 . 5 )3
= 73
( 5 )3
c) ( )
444
5
2
8
5
2
8 





=





.
d)
( ) ( )23223
53.)25,0(53x25,0 =
4. Potencia de un Cociente:
Es igual al cociente de sus factores, cada uno
afectados con el mismo exponente. Su forma
general es:
n
nn
b
a
b
a
=





Ejemplos :
a)
512
343
8
7
8
7
3
33
==





b)
( )
4
44
11
3
11
3
=








c) 2
3
2
2
3
9
52
9
52





=







 ),(,
d)
( )
( ) 44
44
4
44
)2(11
)5(3
211
53
211
53
==







5. Potencia de Potencias:
Es igual a una potencia de la misma base,
cuyos exponentes se multiplican. Su forma
general es:
( a m
) n
= a m . n
Ejemplos :
a) ( ) ( ) 632
3
2 272727 ),(,, x ==




b)
15
3
5
3
1
3
1






=














c)
2
3
3.
4
1
2
3
4
1
2
2
7
2
7
2
7
−
−−








=








=
































.
NOTA:
Cuando se presentan varios exponentes, esta
propiedad recibe el nombre de cadena de
potencia, cuya forma general se representa así
:
[ ] zyxn
z
y
xn
aa =














6. Potencia de Exponentes:
Presenta la siguiente forma:
a
n
x
y
La solución de este caso especial, se efectúa
en forma progresiva de arriba hacia abajo tal
como indica la flecha.
Ejemplos:
M = 2
2
2
2
8
0
= 2
2
2
2
8
0
= 2
2
2
2
1
= 2
2
2
2
= 2
2
4
= 2
16
a)
5
4
2
- 1
= 5
4
2
- 1
= 5
4
1/2
= 5 = 5
2
= 25
4
b)
c)Hallar "E" :
1+
=
aaaE , si aa
= 2
Transformamos la expresión así :
S3RM31B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S3RM31B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
I
TEORÍA DE

2. 37 38COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 3er. Año Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 3er Año Secundaria
[ ] 4422 =⇒==== EaaE
aa aaa.a
7. Exponente Nulo:
Todo término con exponente cero, es igual a
la unidad, tal que la base sea diferente de
cero. Su forma general es : a0
= 1
Ejemplos :
a) 7 0
= 1
b) ( 3 5 ) 0
= 1
c) 12
2
3
0
3
=





d) Comprobando esta propiedad se tiene :
mm
m
m
a
a
a −
=
1 = a0
⇒ a0
= 1
8. Exponente negativo
Toda base con exponente negativo es igual a
su recíproco o inverso con exponente
positivo. Su forma general es :
nn
n
n
a
b
b
a
:también
a
a 





=





=
−
− 1
Ejemplos:
a)
9
1
3
1
3
2
2 ==−
b)
5
5 1
m
m =−
c)
64
125
4
5
4
5
5
4
3
333
==





=





−
Comprobando esta propiedad tenemos :
n
n
o
a
a
a −= 0
↓ ↑
n
nn
n a
aa
a
11
=⇒= −−
9. Exponentes fraccionarios
Todo término con exponente fraccionario es
equivalente a un radical de la siguiente
forma :
n mn
m
aa =
Ejemplo:
a) 32
3
55 =
b)
222646464 6
6
6 666 16
1
=====
c)
aaa 5
5
5 5
==
d) 55
1
10
2
20 7777 ===.
sabemos que :
52.0
77
5
1
10
2
2,0 =⇒==
10.Raíz de un Producto:
Es igual al producto de cada factor bajo el
mismo radical siendo su forma general la
siguiente :
nnn
b.ab.a =
Ejemplo:
a) 727474 == xx
b) 333
512512 xx =
c) 555
25
7
3
2
25
7
3
2
xx =
d) Comprobando esta propiedad, en su forma
general tenemos : nn )b.a(b.a
1
=
Luego por potencia de un producto, se
transforma en : nn b.a
11
Finalmente por exponente fraccionario
tenemos:
nnnnn
b.ab.ab.a =⇒
11.Raíz de un cociente
Es igual al cociente de cada término bajo el
mismo radical cuya forma general es :
n
b
n
an
b
a
=
Ejemplos:
a)
3
2
3
2
=
b)
3 10
3 73
10
7
=
c) 55
5
5
27
1
81
3
81
3
==
d)
5,0
4,0
25,0
16,0
25,0
16,0
==
12.Raíz de Raíz:
Es igual al radicando cuyo índice del radical
resultante es el producto de los índices dados.
Su forma general es :
p.n.m
a
n n p
a =
Ejemplos :
a)
30
1
8también
30
8
2.5.3
8
3 5 p
a ==
b)
16
1
162.2.2.2
5también555 ==
c)
30
1
430 42.3.5 4
5 3 2 4
5/1
3/1
2/14 ====













13.Potencia de un radical
Esta propiedad es una aplicación del
exponente fraccionario cuya forma general
es :
n ma
m
n
a =





Ejemplos:
a) 3 25
2
3 5 =





b) 2232
3
2 ==




c) 1642
4
5 52
5 432 ==








=
d) Comprobando esta propiedad tenemos:
n mn
m
n m
m
n
1
m
n
aaaaa =→=










=





PROBLEMAS RESUELTOS
01.Simplifica la siguiente expresión:
S3RM31B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S3RM31B “El nuevo símbolo de una buena educación...."

3. 37 38COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 3er. Año Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 3er Año Secundaria
m3:m23 −
Solución
Aplicando las propiedades tenemos por la
raíz de un cociente:
m
m2
3
3
M
+
=
Luego aplicamos la propiedad del exponente
fraccionario:
2
m
3
2
m2
3
M
+
=
Finalmente aplicamos la propiedad 2:
Cociente de bases iguales .
3M3333M 2
2
2
mm2
2
m
2
m2
=⇒====
−+
−
+
02.Halla el doble de E, si :
E = ( 2m + n
)- 1
( 2m + n – 1
)
Solución:
Aplicando la propiedad del exponente
fraccionario al primer factor, se tiene:
nm
1nm
1nm
nm
2
2
E2
2
1
E
+
−+
−+
+
=⇒













=
Luego, por el cociente de bases iguales y
simplificando los exponentes se obtiene :
E = 2m + n – 1 – m – n
E = 2-1
Por el exponente negativo resulta :
E = 2 – 1
= 1/2
Finalmente, como se trata de obtener el doble
de esta expresión:
1
2
1
2E =





=
03.Calcula el valor de M, si:
33 4
3.33M =
Solución:
Resolviendo el primer factor según la
propiedad 11 ( raíz de raíz ) y 8 ( exponente
fraccionario ) tenemos:
36 4
3.33M =
3126 4
3.3.3M =
2
3
12
1
6
4
3.3.3M =
Luego por el producto de bases iguales,
resulta :
4
9
2
3
12
1
6
4
3M3M =⇒=
++
04.Simplifica :
33336
abab.baba
Solución:
Este ejercicio a diferencia del anterior
empezaremos eliminando los radicales y
agrupando bases iguales, tenemos :
2
3
b2
1
a3ab
5
2
1
b2
3
a3b6a=
4
2
9
2
3
10
2
7
2
15
2
9
2
3
5
2
7
2
15
babababa ==
4
1
2
9
b2
3
a
10
1
2
7
b2
15
a




















=
Aplicando la potencia de potencia, resulta :
8
9
8
3
20
7
20
15
ba.ba=
40
59
8
9
8
9
8
3
20
7
4
3
baba.ba ==
05.Halla la mitad de la expresión P, si:
3
3
9
3
1
9
8
3
3
2
2
5
4
8P
−















 −






−
−






−
−






=
Solución:
Resolviendo primeramente las operaciones
que se encuentran en la base (corchete)
tenemos :
1
8
9
3
2
3
2
4
5
8 





−





−





=
8
9
8
27
16
25
8 −−





=
)1....(8
8
64
8
9
8
27
2
25
==−−=
Luego simplificamos el exponente:
)2(...
3
1
27
9
3
9
9
3
3
3
33
3
==





=








−
Por lo tanto la expresión P queda reducida
según ( 1 ) y ( 2 ) a:
( ) 2
3
83
1
8 ==
Finalmente, la mitad de P es:
1
2
2
2
P
==
06. Determinar el resultado de simplificar:
R = 6n88n15
41n252n3
y.x
)y()x(
−+
−+
Solución:
Teniendo en cuenta que :
1) n.man)ma( =
2) nma
na
ma −=
En el numerador efectuamos la potencia
de potencia:
R =
6n88n15
4n810n15
y.x
y.x
−+
−+
Tenemos potencia de la misma base en el
numerador y denominador.
R =
6n84n88n1510n15
y.x +−−−−+
R = x2
. y2
07.Determinar el resultado de simplificar:
S =
2n 3n3n 4n a aa.
a aa
+ ++ +
Solución:
Teniendo en cuenta que :
nma
m na =
(1) nma
m na =
(2) nma
na
ma −=
(3)
nmana.ma +=
En primer lugar eliminamos los radicales
S3RM31B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S3RM31B “El nuevo símbolo de una buena educación...."

4. 37 38COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 3er. Año Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 3er Año Secundaria
S = 2n
3n
3n
4n
a
a
a.a
a
a
+
+
+
+
Obsérvese que tenemos una división de dos
potencias de la misma base.
S =
2n3na3n4na
a.a
−−+−−+
S = aa
a.a
S = a2
a
08.Calcular el resultado de simplificar:
P = 3
xxxx
Solución:
Recordando que:
3
b6a
3
b2a =
Vamos a introducir la “x” al siguiente
radical.
P = 3
xxx.3x
P = 6
xx4x
Nuevamente repetimos la misma operación:
P = 6
xx.8x
P = 12
x.18x
12
x9x =
P = 24 19x
09. Determinar el resultado de simplificar:
1
916.964S
3212
−








−








−=
−−−−
Solución:
Recordando que:
1)
n4
1n4 =−
2)
2
112 =−
S = 13/143/19
)16).(64( −−−−−
Transformando lo que está con línea
punteada:
2
1
4
1
2/14
12/14)1 ===−
3
1
9
1
2/19
12/19)2 ===−
( ) ( ) 12/13/1
16.64S
−−−
=
2/116.
3
1
64
1
S =
16
3
64
1
S =
4.
4
1
S =
S = 1
10.Calcular el resultado de simplificar, 31 a >
2b.
b2a
1ab7
1ab7
.
a7
a5
.
b235
1a27
E −
+
−+
=
Solución:
Expresando b2b2b2
5.735 = , además
teniendo en cuenta que tenemos a la vista la
división de 2 radicales del mismo índice:
b2a
1ab7
1ab7
a7
a5
.
b25.b27
1a27
E
−
+
−+
=
Efectuando las operaciones con las potencias
de la misma base:
E=
b2a 27b2a5ab21a27
− −−⋅−−+
b2a 17.b2a5.1b2a7E
− −−+−=
E = 35
PRACTICA DE CLASE
Indicar el resultado de efectuar:
01. 2
32
)4(
)2(.)3(
−
−
= ..............................................
02. ( )
3/1
3/1
2
1
.16 





−
= .......................................
03. ( ) ( ) mnnm −
93
2
= .......................................
04. n
2
n
9
= ...................................................
05.
1n
2n4
−





 = .............................................
06. n3 nn3 n 4.4 = .......................................
07.
m 2m2
m 1m4
+
+
= .............................................
08.
2
n
n9
n)1n3(





+
= ...............................................
09.
6
2
3
xx














= ..........................................
10.
n 1n3 3x
+ = .............................................
11. Cuál es el resultado de simplificar :
n7.2
1n72n7 +−+
a) 21 b)18 c)49
d) 7 e) –1/14
12. Indicar el resultado de simplificar
n)2(
n4 n)2(
x
−
−










a) x+1 b) x c) x
d)
x
x
e)
x
x4
13.Marcar el resultado de efectuar:
n8n32
n16
n
n64
2
+
+
a) 1/4 b) 2 c) n
2
d) n 2 e) 1
14. Calcular el resultado de simplificar:
)3n2(2
)n2(24n2
+
−+
a) 1 b) 1/2 c) ¼
d) 7/8 e) 1/8
15. Determinar el resultado de simplificar .
S3RM31B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S3RM31B “El nuevo símbolo de una buena educación...."

5. 37 38COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 3er. Año Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 3er Año Secundaria
2
323
432
3
432
323
)yx(
)yx(
.
)yx(
)yx(
















−
−
−
−
−
a) 10y5x
1
b) 6xy
1
c) 3
y
x
d)
3
xy
1








e)
5
5xy
1








16. Cual es el equivalente de la expresión
n3
2n
n22n
n4
a
a
+
+
a) a b) 2
a c) n
a
d) n
a e) 1
17.Simplifica:
5/4
2/1
5
3
























−
a) 3 b) 1/3 c) - 1/3
d) - 3 e) N.a.
18.Halla el valor de E, si :
1
2
12.0 3 5 8E
−














=
a) 3 b) – 2 c) 4
d) 8 e) N.a.
19.Simplifica la expresión:
2/1
3/1
4
9b6a8aM
−









 −












=
a) ab b) b4
c) b6
d) a3
b6
e) N.a.
20.Calcular el valor de A:
6
1
na2n
a2 a4nn
A =
a) n b) 2n c) n2
d) nn e) N.a.
PROBLEMAS PROPUESTOS N° 1
01.Calcular el valor de “k”
( )
124
129
129
129
162.06427125k
−−−
−−−
−−−
−−−
+++=
a) 15 b) 21 c) 5/6
d) 18 e) N.a.
02.Simplificar:
n
nnn
nnnnnn
cba
cbbaca
Q
−−− ++
++
=
a) a + b + c b) an
+ bn
+ cn
c) 1
d) abc e) N.a.
03.Indicar el valor que se obtiene al efectuar :
1a
a1a1
1a1a
a
2a22a
1a
35
35
24
20 −
−−
−−
++
+
+
+
+
+
a) 10 b) 15a
c) 20
d) 1 e) N.a.
04.Calcular el valor de “R”, si :
3/2
3
2
2125,0R
−








=
a) 2 b) 64 c) 5
d) 125 e) N.a.
05.Calcular el valor de “S” :
S =
124964
−−−
a) 8b) 4 c) 4 2
d) 2e) N.a.
06. Efectuar:
E =
16
1/3
-6
5
-1/40 1/2
a) 8b) 4 c) 2
d) 2e) N.a.
07.Simplificar:
2
22
22
n
n15n25
n6n10
−
−
a) 0 b) 1 c) 2
d) 5 e) 2/5
08.Calcular:
M = 81
- 16
- 32
- 5
- 1
a) 1/9 b) 2 c) - 3
d) 4 e) 1/3
09.Efectúa :
P = 64
- 9
- 2 - 4 0
a) 4 b) 2 c) 1
d) 1/2 e) 1/4
10.Reducir:
26 12x...
26 3x.
26 2x.
26
xE =
a) x5
b) x4
c) x3
d) x2
e) N.a.
11.Hallar :
E = 16
- 16
- 3
- 8- 27
- 6
0
a) 1/2 b) - 1/2 c) 2
d) – 2 e) 1
12.Hallar el valor de E, si:
S3RM31B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S3RM31B “El nuevo símbolo de una buena educación...."

6. 37 38COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 3er. Año Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 3er Año Secundaria
6
2
3
5
7
7
5
E
−−






















=
a) 1b) 2 c) 4
d) 8e) N.a.
13.Calcular la octava parte de la expresión P, si
sabemos que:




 −




−+
=
1n33
n333n3
P
a) 24 b) 16 c) 4
d) 3e) N.a.
14.Efectúa:
5 (16)
4
- 5
0
- 6
a) 5b)10 c) 15
d) 20 e) N.a.
15.Halla el valor de la expresión :
1
2
3
1
4
1
1
2
1
1
8
1
M
−













 −






−
−






+
−






=
a) 2b) 4 c) 6
d) 12 e) N.a.
16.Si 2xx
x
= , calcula :
X
x
x + x
x + x
x
M =
a) 2b) 4 c) 8
d) 16 e) N.a.
17.Calcula el valor de :
E = 16
- 4
- 2
- 1
- 3
a) 64 b) 32 c) 16
d) 4 e) N.a.
18.Resuelve la expresión :
2
1
n
1n
8
1
3
2.3
E 















=
−
a) 1 b) 3 c) 6
d) 18 e) N.a.
19.Calcula el valor de M, si :
)1n4(4
)n4(43n4
M
−
−+
=
a) 32 b) 48 c) 60
d) 64 e) N.a.
20.¿Cuánto se debe aumentar a la expresión :
0
2
5
3
53




















−−
para que el resultado sea
3
5
a)
5
3
b)
3
5
c)
3
5
−
d) 5 e) N.a.
TAREA DOMICILIARIA
01.Simplifica:
265
4105
81.54.8
)5.0(.12.18
E =
a) 729 b) 81 c) 9
d) 3 e) 1/729
02.Efectúa:
2.0
6
x.
4
x
3
x.x










a) x12
b) 12 5x c) 12
x
d) 3 5x e) N.a.
03.Reduce:
3
1
2
64
1
1
−









 −






−
a) 1 b) 1/2 c) 1/3
d) 1/4 e) N.a.
04. Calcular:
P= 16
16
- 32
-125
-9
-4
-2
-1
a) 2 b) 3 c) 1
d) 5 e) 4
05. Efectuar:
6m8.9m4
8m16.7m2
++
++
a) 3 b) 5 c) 8
d) 10 e) 12
06. Reducir:
m m2m2
2m2
R
2 +
+
=
a) 1 b) 3 c) 5
d) 2 e) 7
07. Reducir:
ba
abyabx
baybax−
−+−
−+−
a) x2
b) y c) xy
d) y2
e) x
08. Reducir:
2,0
81
23/5)27(3/2)27(E
−






+−−+−−=
a) 3/2 b) 2/3 c) 4/9
d) 9/4 e) 27/8
09. Operar:
S = 1
64
-2
-1
(-27)
-3
-1
a) 1 b) 2 c) 1/2
d) 4 e) N.a.
10.Señalar el resultado que se obtiene al
simplificar
2/1
8
1
9
1
24
9
12
4
2.125
−−




















−
−−
−
−−
−
a) 2 b) 2/3 c) 2/5
d) 4/5 e) N.a.
S3RM31B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S3RM31B “El nuevo símbolo de una buena educación...."

7. 37 38COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 3er. Año Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 3er Año Secundaria
Son igualdades relativas cuyas incógnitas
aparecen como exponentes.
Se entiende por igualdad relativa a aquella que se
verifica para algunos valores que se le asigne a
sus incógnitas.
TÉCNICAS DE CONVERTIBILIDAD:
Las ecuaciones exponenciales se convierten en
ecuaciones algebraicas aplicando ciertas técnicas
que enseguida se enuncian y describen.
1° Conseguir una ecuación donde queden
igualadas dos potencias que tengan la misma
base.
yxaa yx
=⇒=
Ejemplo:
Resolver:
1x2x2
1x2x
3)3(
39
+−
+−
=
↓
=
1x4x2
33 +−
=
Entonces: 2x – 4 = x +1
x = 5
2° En aquellos casos en conde existan términos
de la forma kx
, se hace un cambio de variable
del tipo kx
= y, para obtener una ecuación
algebraica respecto a y.
Ejemplo:
Resolver: 2x
+ 2x+2
= 40
2x
+ 2x
.22
= 40
y + 4y = 40
y = 8
↓
2x
= 23
Entonces: x = 3
3° Existen casos en los que la ecuación se
consigue una igualdad en el exponente.
baba xx
=⇒=
En este caso se admitirá x=0, cuando a ≠b
Ejemplo:
Resolver: (2n)x
= (3 + n)x
Se deduce: 2n = 3 + n
Entonces: n = 3
IMPORTANTE:
Es necesario recordar estructuras que caracterizan
a cierto tipo de ejercicios, donde se aplican
criterios de la teoría exponencial y ecuaciones
exponenciales.
1° Si:
pares"n"si,nx
impares"n"si,nx
nx n
n
nx
xx
±=
=
〈=

2° Reducir:
nEnE
n
nn
nn
=⇒=
∞
3° Reducir:
1nn n n
AE...AAAE
−
=⇒∞=
4° Reducir:
1nn n n
AE...:A:A:AE
+
=⇒∞=
5° Reducir:
∞++++= ...)1n(n)1n(nE
E = n + 1
PRACTICA DE CLASE
01.Efectuar:
4x 5x
813
− +
=
a) 6 b) 5 c) 4
d) 7 e) N.a.
02.Calcular el valor de “x”:
8022 3x1x
=+ ++
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) N.a.
03.Hallar el valor de “x”:
56222 2x1xx
=++ −−
a) 1 b) 4 c) 5
d) 6 e) N.a.
04.Calcular el valor de “n”
1a.a
3 8nn
=+−
a) 1 b) 2 c) 4
d) 8 e) N.a.
05.Calcular el valor de “x”
2
1
x
4
1
24 =






a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
06.Efectuar:
x10x
25,08 =−
a) 3 b) 5 c) 6
d) 8 e) 10
07.Calcular el valor de “m”
39
1m4 =
−−
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
08.Efectuar:
125
65x35
1111 




=
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
09.Calcular el valor de “x”
1a.a.a
4 1x3 1xx
=+−−
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
10.Resolver:
6255 1x2
=−
a) 1 b) 2 c) 2,5
d) 3 e) 4
11.Determinar el valor de “n” en:
1a.a
3 2n5n2
=+−
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
12.Calcular el valor de “a” en:
69444 1a3a4a
=++ −−−
a) 1 b) 2 c) 4
d) 6 e) 8
13.Calcular el valor de “b” en:
111333 3b1bb
=++ −−
a) 2 b) 4 c) 6
d) 1 e) 8
14.Efectuar:
1x1x2
6416 −+
=
a) 5 b) -5 c) 3
d) –3 e) 8
15.Resolver:
8x
816 =
a) 5 b) 3 c) 2
d) 8 e) 6
16.Hallar “x”:
5x+1
+ 5x+2
+ 5x+3
+ 5x+4
= 780
S3RM31B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S3RM31B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
ECUACIONES

8. 37 38COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 3er. Año Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 3er Año Secundaria
a) 0 b) -1 c) 1
d) -2 e) -3
17.Hallar “a”:
3125)7a2( )7a2(
=− −
a) 4 b) 7 c) 6
d) 8 e) 3
18.Hallar “x”:
27 23x 3 322
aa.a.a =
a) 1 b) 3 c) 2
d) 1/2 e) 1/3
19.Hallar “n”:
n
455135 =
a) 1/2 b) 3/4 c) 5/2
d) 2/3 e) 3/2
20.Hallar “x”:
52222 2x3x1x
=−− −−+
a) 6 b) 4 c) -6
d) 8 e) 5
EJERCICIOS PROPUESTOS N° 02
01.Resolver:
9x
3x =
a) 27 b) 9 c) 3
d) 16 e) 1/3
02.Hallar “a”
2a
2aa
=
a) 4 b) 2 c) 8
d) 2 e) 16
03.Hallar “x”:
4x
22xx
=
+
a) 2 b) 2 c)4
d) 4
2 e) 1/2
04.Calcular “x”:
3x
3x
=
a) 3 b) 3 c) 3
3
d) 5 e) N.a.
05.Efectuar:
3xxx
x3x
xx
xx =





−
a) 3
3 b) 3 c) 4
3
d) 5 e) N.a.
06.Efectuar:
3403333 3x2x1xx
=+++ +++
a) 2 b) 1 c) -1
d) - 2 e) 1/2
07.Calcular:
2,025
1
2
x
8
=
−
−
−
−
a) 1 b) 3 c) 6
d) 9 e) N.a.
08.Efectuar:
416
124x278
=
−−−−−−
a) 9 b) 6 c) 5
d) 2 e) 12
09.Resolver:
2
1
x
5,0x =
a) 3 b) 2 c) 1/2
d) 4 e) 8
10.Hallar el mayor valor de “a”:
a2aa12a1
16
81
3
2
.
27
8
−−−








=















a) 1 b) 6 c) 4
d) 8 e) 5
11.Hallar “x”
3
1
243
x
=
−
a) 0,25 b) 0,20 c) 0,50
d) 0,28 e) 0,35
12.Resolver:
28
1
x
9
=
−
−
a) 2 b) 3 c) – 1/2
d) 1/2 e) -2
13.Hallar “x”:
2x
5
x5 x12
5
322
+−
=
a) 1 b) 3 c) 2
d) 1/2 e) 2/3
14.Hallar “x”
1x5n
n5n5
5n5n
36
32
32 −−
−−
−−
=
+
+
a) 1,3 b) 2,5 c) 1,2
d) 1,5 e) 2,7
15.Hallar “n”
( )43
8n2
2a.aaa =








−
a) 12 b) 8 c) 10
d) 16 e) 9
TAREA DOMICILIARIA
01.Resolver:
1024
64
32
8 x
4 x
=
a) 20 b) 25 c) 16
d) 8 e) N.a.
02.Resolver:
4222.2 x
=
a) 9 b) 8 c) 8/9
d) 9/8 e) N.a.
03.Efectuar:
256
1
x
1
16
x
=
−
−
a) 2 b) 2 -4
c) 2 -16
d) 2–8
e) N.a.
04.Calcular el valor de “n”:
5
55
553
3n
n9
=
+
+
a) 1 b) 2 c) 3
d) 6 e) N.a.
S3RM31B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S3RM31B “El nuevo símbolo de una buena educación...."

9. 37 38COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 3er. Año Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 3er Año Secundaria
05.Efectuar:
1x42x8
42
+−
=
a) 1 b) 2 c) 9
d) 3 e) N.a.
01.Cierto número se duplica, luego se le agrega
3, dividiéndose después entre 5, después se
resta 2, luego se eleva al cuadrado, para
después multiplicarlo por 2 y agregarle 8,
para finalmente, obtener 10 como resultado.
¿Cuál es el triple del número inicial?
a) 6 b) 12 c) 18
d) 24 e) 30
02.Cada vez que “Pirincho” se cruza con
“Mucus”, éste último duplica el dinero que
lleva consigo “Pirincho”; en retribución
“Pirincho” entrega a “Mucus” 20 soles como
agradecimiento. Si el día de hoy se han
cruzado 4 veces, luego de los cuales
“Pirincho” tiene 500 soles. ¿Cuánto tenía
inicialmente “Pirincho”?
a) S/. 60 b) S/. 80 c) S/. 50
d) S/. 100 e) N.a.
03.En un pueblo de Piura, todos veneran al
milagroso “Señor Cautivo” pues triplica el
dinero de sus fieles con la sola condición de
entregarle S/. 40 de limosna por cada milagro.
Si después de acudir a él por tres veces
consecutivas, Primitiva termina con S/. 560.
¿Cuanto tenía al principio?
a) S/. 200 b) S/. 660 c) S/. 40
d) S/. 600 e) N.a.
04.Carolo y Patricio juegan billar y acuerdan que
el que gana paga la mesa que es de S/. 4 y el
que pierde duplica el dinero del ganador. Al
final del tercer juego se dan con la sorpresa
que ninguno de los dos tenía dinero y además
Patricio ganó los tres juegos. ¿Cuánto
empezó a jugar Patricio?
a) S/. 6,5 b) S/. 5,5, c) S/. 4,5
d) S/. 3,5 e) S/. 2,5
05.“Pichicho”, “Cachiche” y “Chuchumeco” se
encuentran jugando a las cartas y convienen
en que el perdedor duplicará el dinero de los
otros dos. Cada uno pierde un juego en el
orden en que han sido mencionados; si
después de perder “Chuchumeco”, cada uno
se queda con 16 soles. ¿Con cuánto empezó
a jugar “Pichicho”?
a) S/. 20 b) S/. 14 c) S/. 18
d) S/. 32 e) S/. 26
06.Si por 5 libras te dan 10 soles, por 30 soles te
dan 25 sucre, ¿Cuánto sucres te darán por 6
libras?
a) 8 b) 9 c) 10
d) 11 e) 12
08.Si : 32 YEN < > 12 ZEN; 16 XEN < > 8
ZEN. ¿Cuánto XEN
equivalen a 20 YEN?
a) 5 b) 15 c) 25
d) 10 e) 20
09.¿Que suma necesitará un gobierno para pagar
a 4 generales, si el sueldo de 6 coroneles
equivale al de 10 comandantes; el de 5
comandantes al de 12 tenientes; el de 2
generales al de 4 coroneles; el de 6 tenientes
al de 9 sargentos y si 4 sargentos ganan 2400
soles al mes?
a) S/.28 800 b) S/.20 800 c) S/.200 800
d) S/.82 000 e) N.a.
10. En el colegio LORD KELVIN ocurre lo
siguiente: 5 profesores principales ganan
tanto como 12 profesores auxiliares; 6 jefes
de práctica ganan S/. 900 mensuales; 7
profesores auxiliares ganan tanto como 3
jefes de practica. Averigua, ¿Cuánto ganan
al mes 14 profesores principales?
a) S/. 1260 b) S/. 2160 c) S/. 2610
d) S/. 2016 e) N.a.
11.En una prueba de rapidez mental entre
personas “A” , “B” y “C” se observó que;
cuando compitan A y B, A demora 1 hora lo
que “B” lo hace en 45 minutos. Entre B y C,
B tarda media hora lo que C hace en 20
minutos. Cuando compitan A y C ¿ Qué
tiempo tardará A, si C lo haría en 90 minutos?
a) 60’ b) 1h c) 120’
d) 3 hrs. e) N.a.
12.En un país extraterrestre, la unidad de medida
de longitud es el KETI. La unidad de medida
de superficie es el GRON. Si: 1 GRON = 5
KETI2
1 KETI = 20 m.
¿Cuántos GRON hay en una hectárea ( 10
000m2
)?
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
13. En un mercado por 3 kilos de arroz, dan 5
kilos de azúcar, por 8 kilos de azúcar dan 4
kilos de frijoles; por 10 kilos de frijoles dan 2
kilos de carne de res. ¿ Cuántos kilos de carne
de res nos darán por 30 kilos de arroz?
a) 4 b) 2 c) 5
d) 8 e) 12
14.¿ El trabajo de cuántos hombres equivaldrá el
trabajo de 8 niños, si el trabajo de 4 niños
equivale al de 3 niñas, el de una mujer al de 2
niñas y el de 3 mujeres al de un hombre?
a) 5 b) 4 c) 3
d) 2 e) 1
15.En una tienda comercial se observó que 1
pantalón cuesta lo mismo que 3 camisas, 7
corbatas lo mismo que 2 polos, 3 pares de
zapatos lo mismo que 5 pantalones, 4
camisas igual que 14 pares de medias, y 3
polos lo mismo que 1 par de zapatos.
¿Cuántos pares de medias podré comprar si
cuento con dinero exacto para comprar 3
corbatas y 2 camisas ?
a) 5 b) 7 c) 12
d) 10 e) N.a.
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OPERACIONES

10. 37 38COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 3er. Año Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 3er Año Secundaria
16.3 envases de “A” es igual a 2 envases de
“B”; del mismo modo que 4 envases de “B”
es a 3 envases de “C”; 10 envases de “C”
equivalen a 8 envases de “D”; 40 litros de
agua entra en 4 envases “D”. ¿ Cuántos
envases de “A” se van a necesitar para
envasar 60 litros ?
a) 20 b) 15 c) 18
d) 16 e) N.a.
17.¿ Qué suma necesitará un gobierno para pagar
a 4 generales, si el sueldo de los coroneles
equivale al de 10 comandantes, el de 5
comandantes al de 12 tenientes; el de 6
tenientes al de 9 sargentos, y si 4 sargentos
ganan S/. 2400 al mes ? ( en soles).
a) 106
b) 14200 c) 28800
d) 12348 e) N.a.
18.Si le pago S/. 15 a cada uno de los
empleados, me faltarían S/. 400, pero si sólo
les pago S/. 8 me sobrarán S/. 160. ¿Cuántos
empleados tengo ?
a) 75 b) 82 c) 70
d) 80 e) 85
19.Pedro invita a sus amigos al cine. Si entran
todos a platea le van a faltar “a” soles pues
cada entrada vale “b” soles, pero si entran a
platea alta le van a sobrar “m” soles pues
cada entrada vale “n” soles. ¿ Cuántas
personas conforman el grupo?
a) m + a b) m – a c) m – a
n – b b – n b + n
d) m+a e) m-a
b-n n-b
20.Se trata de llenar con cilindro al cual
concurren 2 cañerías. Si abro la primera que
arroja 52 litros de agua cada 5 minutos y la
dejo funcionar cierto tiempo, logra llenar el
cilindro y se ha rebalsado 72 litros. Si abro el
2do. caño y funciona el mismo tiempo que
funcionó el 1ero, faltarían 40 litros de agua
para llenar al cilindro, debido a que este caño
arroja 20 litros de agua cada 3 minutos. ¿ Qué
capacidad tiene el cilindro (en litros) ?
a) 260 b) 420 c) 240
d) 280 e) N.a.
21.Un vendedor de uvas razona de la sgte.
Manera: Si vendo a S/. 50 los 5/6 de Kg
entonces ganaré S/. 400; en cambio si los
vendo a S/. 30 los 3/5 de Kg. Perderé S/. 160.
Si vendiese toda la uva que tengo obteniendo
de utilidad S/. 30 por kilo, entonces recibiría
en total ?
a) S/. 6300 b) S/. 3600 c) S/. 4640
d) S/. 4200 e) N.a.
22.Si a los alumnos que tengo los hago sentar de
3 en 3 los banco que poseo me sobrarían 2 de
ellos, pero si los hago sentar de 2 en 2, se
quedarían de pie 6 niños. ¿Cuántos alumnos
adicionales tendré que traer para poder sentar
a todos de 4 en 4 sin que sobre ni falte
carpetas ?
a) 30 b) 12 c) 16
d) 18 e) 8
TAREA DOMICILIARIA
01.Sabiendo que 6 varas de paño cuestan lo
mismo que 5 metros y que 2 metros valen
3000 soles . ¿ Cuánto costarán 8 varas ?
a) S/. 5000 b) S/. 10000 c) S/. 15000
d) S/. 16000 e) S/. 4000
02.En una feria agropecuaria por 3 patos dan 2
pollos; por 4 pollos dan 3 gallinas; por 12
gallinas dan 8 monos; pero 5 monos cuestan
S/. 150000. ¿ Cuánto tengo que gastar para
adquirir 5 patos ?
a) S/. 80000 b) S/. 50000 c) S/. 75000
d) S/. 90000 e) N.a.
03.En un restaurant, 4 lomos equivale a 10 cau-
cau; 9 cau-cau equivale a 3 bisteck, del
mismo modo que 8 bisteck es a 6 ceviches;
por 160 céntimos dan 4 ceviches. ¿Cuántos
platos de lomo dan por 150 céntimos ?
a) 2 b) 6 c) 5
d) 8 e) N.a.
04.4 libros de Aritmética es a 5 libros de
Geometría; de la misma manera que 9 libros
de Geometría es a 6 libros de Algebra ; del
mismo modo que 8 libros de Algebra es a 6
libros de Razonamiento Matemático.
¿ Cuántos libros de Aritmética podré comprar
con 45000, si por S/. 32000 compro 4 libros
de Razonamiento Matemático ?
a) 9 b) 8 c) 6
d) 4 e) N.a.
05.6 gotas del grifo “a” es a 4 gotas del grifo
“b”, 5 gotas del grifo “b” es a 3 gotas del
grifo “c”; 6 gotas de este grifo es a 5 gotas del
grifo “d”, del mismo modo que 15 gotas del
grifo “d” es a 4,5 litros.
¿ Cuántos litros existe en 40 gotas del grifo
“a” ?
a) 8 b) 4 c) 3
d) 2 e) 1
06.Mientras iba al mercado a vender sus
pescados, Angel pensaba: si los vendo a S/.
18 cada uno, me compraría una bicicleta y me
sobrarían S/. 6; pero si los vendo a S/. 20
cada uno, me sobrarían S/. 90, luego de
comprarme la bicicleta. ¿Cuánto cuesta la
bicicleta ?
a) S/. 7800 b) 75000 c) 800
d) 750 e) 420
07.Tengo un cierto número de amigos que se
reunieron con el fin de juntar dinero para
hacerme un obsequio. Mientras hablaban
acerca de cuánto dinero pondría cada uno,
oímos las palabras de 2 de ellos :
Carlos : Si cada uno pone “m-n” soles, nos
van a faltar “2x+3y” soles para comprarle su
obsequio.
Cinthia: Antes que nos falte, mejor es que nos
sobre y por eso sugiero que cada uno
contribuya con “m+n” soles y así únicamente
nos sobrará “3x-2y” soles. ¿ Cuántos son
mis amigos?
a)
n
yx +5
b)
n
yx
4
2+10
c)
n
yx
2
+5
d)
n
yx
2
2−5
e)
nm
yx
−
2−3
08.Vanessa y Miluska se encuentran jugando
“Dominó” y convienen en que cada vez que
una gane, la otra le pague tanto como para
duplicar el dinero de la ganado la misma
señorita, ambas tienen la misma cantidad
“2n” soles de dinero. Lo que tenían al
empezar el juego era:
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11. 37 38COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 3er. Año Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 3er Año Secundaria
a)
n
4
y
15
4
n
b)
3
4
15
4
n
y
n
c)
n
y
n
8
7
8
d)
5
8
15
8
n
y
n
e) N.a.
09.Rossy, Rocio, Rommy y Romina se
encuentran jugando “Monopolio”. Cada una
de ellas gana un juego en el orden inverso en
que han sido nombradas. El reglamento de
juego es: A la que gane en 1er lugar, las
demás le darán S/. 20 c/u. a la que gane en
2do. Lugar, las demás le darán S/. 15 c/u.; a
la que gane en 3er lugar, las demás le darán
S/. 10 c/u.; y a la que gane en 4to. Lugar, las
demás sólo le darán S/. 5. C/u. Luego de
jugarse el cuarto juego y ceñirse al
reglamento, cada una tiene S/. 70. Dígase,
¿Cuál es la diferencia entre lo que tenía
inicialmente Rossy y Romina?
a) S/. 40 b) 60 c) 80
d) 100 e) N.a.
10.Si 4 naranjas cuestan tanto como 12 plátanos,
8 plátanos tanto como 5 piñas y 10 piñas
cuestan 120 soles. ¿Cuánto cuestan 20
naranjas?
a) S/. 450 b) S/. 500 c) S/. 540
d) S/. 650 e) S/. 560
11.El país COM tiene 3 monedas. La PIM, la
POM y la PUM. Se sabe que 3 PIM. Valen
60 POM; 20 POM valen 120 PUM. ¿Cuánto
PUM hay en una PIM?
a) 100 b) 110 c)120
d) 130 e) 140
Ejemplo 01: Un tanque puede ser llenado por un
caño A en 15 horas y por un caño B en 10 horas y
puede ser vaciado por una tubería C en 12 horas.
Si A y B trabajan juntos 2 horas y luego se
cierran y se abre C; en cuanto tiempo C vaciará el
estanque.
Resolución:
A = 15h B=10h
C=12h
En una hora A y B juntos llenan:
1/15 + 1/10 = 1/6 del tanque. En 2 horas
llenarán : 2 x 1/6 = 1/3 del tanque
C vacía en 1 hora: 1/12 del tanque. Luego 1/3 del
tanque lo vaciará en: 1/3 : 1/12 = 4 horas.
Rpta: 4 horas.
Ejemplo 02: Dos personas A y B podrían
terminar juntos un trabajo en 10 días. B y C lo
harían en 12 días y A y C en 15 días. ¿Cuánto
tiempo emplearán si trabajan los tres juntos?.
Resolución:
Al día realizan:
A + B = 1/10
B + C = 1/12
A + C = 1/15
------------------
2 ( A + B + C ) = 1/4  A + B + C = 1/8
Juntos al día realizan 1/8 de la obra.
Rpta: Juntos terminarían en 8 días.
PRÁCTICA DE CLASE
01.La mitad de lo que me queda de gaseosa en la
botella es igual a la tercera parte de lo que ya
me tomé. Si tomo la cuarta parte de lo que me
queda. ¿Qué fracción de toda la gaseosa me
habré tomado?
a) 3/10 b) 3/7 c) 2/3
d) 7/10 e) 2/13
02.Se tiene un litro de vino en una botella y se
bebe la mitad, que se reemplaza por agua y
vuelve a llenarse la botella con agua. Se hace
lo mismo por tercera vez. ¿Qué cantidad de
vino queda en la botella?
a) 1/4 b) 1/8 c) 1/16
d) 3/16 e) 1/32
03.Un grifo A llena un depósito en 5 horas y otro
B en 3 horas. Además el depósito tiene un
orificio en el fondo por el que desagua en 6
horas. Suponiendo abiertos A y B y el
desagüe. ¿Qué fracción del depósito se llenará
en una hora?
a) 8/15 b) 7/15 c) 11/30
d) 19/30 e) N.a.
04.Un trabajo puede ser realizado por Carlos en
4 días, por Luis en 6 días y por Jorge en 12
días. Si a las 7 a.m. Carlos inicia el trabajo, a
las 8a.m. se le incorpora Luis y recién a las 9
a.m. se les incorpora Jorge terminando el
trabajo juntos. ¿A que hora terminaron dicho
trabajo?
a) 10:45 a.m. b) 10:30 a.m. c) 10 a.m.
d) 11 a.m. e) N.a.
05.Dos caños pueden llenar un estanque de 24
litros en 5 y 6 horas si cada uno funciona
individualmente, un desagüe puede vaciar el
estanquen en 10 horas. Si se abren los 3 a la
vez y se cierra apenas se llena el estanque,
calcular cuantos litros de agua se fueron por
el desagüe.
a) 7 b) 8 c) 9
S3RM31B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S3RM31B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
FRACCION

12. 37 38COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 3er. Año Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 3er Año Secundaria
d) 10 e) 2
06.Tres obreros hacen un trabajo en 4 días.
Sabiendo que el primero sólo lo haría en 9
días y el segundo en 12. ¿A que tiempo
tardaría el tercero trabajando sólo?
a) 16 días b) 17,5 días c) 18 días
d) 19,5 días e) 20 días
07.Un comerciante vende 1/3 de su mercancía
perdiendo 1/7 de su costo. ¿Cuánto debe
ganar en las partes restantes si en toda la
mercadería quiere ganar 1/5 de su costo?
a) 13/35 b) 17/35 c) 10/35
d) 23/35 e) 27/35
08.Los 3/4 de un carril más 7 litros es petróleo y
1/3 del barril menos unos 20 litros es agua.
¿Cuántos litros son de petróleo?
a) 123 b) 112 c) 134
d) 156 e) 124
09.Hallar una fracción que no cambia su valor al
sumar 5 unidades a su numerador y 9
unidades a su denominador.
a) 5/29 b) 15/28 c) 15/27
d) 16/27 e) N.a.
10.Encontrar un número racional comprendido
entre 2/13 y 41/52 cuya distancia al primero
sea el doble de la distancia al segundo.
a) 11/52 b) 19/52 c) 49/104
d) 15/26 e) 9/13
11.Un hombre recorre los 3/5 de su camino en
avión, 1/8 en ómnibus, 1/4 en carro y el resto
a pie. ¿Qué fracción del camino recorre a pie?
a) 39/40 b) 29/40 c) 1/40
d) 11/40 e) N.a.
12.Las 4/7 partes de los profesores de grupo
enseñan matemáticas. Si 1/3 de los profesores
de letras enseñan Historia del Perú y son 20
aquellos que enseñan los otros cursos de
letras. ¿Cuántos profesores tienen el grupo?
a) 40 b) 10 c) 30
d) 70 e) 56
13.Perdí la quinta parte de lo que no perdí, luego
gasté la quinta parte de lo que no gasté, al
cabo de 1 hora perdí tanto como gasté
anteriormente. ¿Qué parte no perdí
últimamente con respecto a lo que tuve?
a) 1/5 b) 1/3 c) 1/4
d) 5/9 e) N.a.
14.Tres socios se reparten un beneficio. Al
primero le toca las 2/5 partes, al segundo los
3/7 y al tercero el resto. Dígase ¿Cuál es la
cantidad mayor que le tocó a uno de los
socios. Si se sabe que el segundo recibió
42000 más que el primero?
a) S/. 7200 b) S/. 6200 c) S/. 7500
d) S/. 63000 e) N.a.
15.Dos grifos llenarán un depósito en 1 3/6 horas
pero la primera sólo llena el depósito los 3/9
en 1 2/4 h. ¿En que tiempo llenarían el
depósito el segundo grifo?
a) 3 h b) 1 1/2 h c) 2 h
d) 6 h e) 2 1/4 h
16.Un caño llena un estanque en 6 hrs. otro lo
llena en 2 hrs. y el mecanismo de desagüe lo
vacía en 3 horas. Si se mantiene abierto el 1°
caño, 1 hora y a partir de entonces se abre
también el 2° caño y el desagüe. ¿Cuánto
habrá tardado en llenarse el estanque?
a) 5/2 hrs. b) 7/2 hrs. c) 2 hrs.
d) 3 hrs. e) 7/3 hrs.
17.El caño A puede llenar una piscina en 12
horas, el caño B en 7 hrs. y un desagüe C la
puede vaciar en 18 hrs. Si la tercera parte de
la piscina está llena y durante la primera hora
se abre el desagüe durante la segunda hora se
abrió además el caño B y a partir de la 3ra
hora trabajan A, B y C juntos. ¿Cuánto tardó
en total en llenarse los 6/7 de la piscina?
a) 3h 57m b) 3h 54m c) 2h 52m
d) 4h 53m e) N.a.
18.Un caño “A” puede llenar un estanque en 5
minutos y otro caño “B” puede llenarlo en
20min. estando vacío, “A” empieza a llenarlo
pero cierto tiempo después es reemplazado
por “B” empleándose en total 8 minutos.
¿Cuánto tiempo llenó “B”?
a) 4’ b) 2’ c) 3’
d) 1’ e) N.a.
19.Un recipiente de 720 litros de capacidad, está
vacío y cerrado el desagüe que posee. ¿En
cuánto tiempo se llenará si abrimos al mismo
tiempo el desagüe que desocupa 24 litros en 3
minutos y otras 2 llaves que llenan; la
primera 72 litros en 12 minutos en y la otra
36 litros en 9 minutos?
a) 360 horas b) 6 horas c) 360 min.
d) 3600 seg. e) N.a.
PROBLEMAS PROPUESTOS
01.Estando un estanque lleno, se abre un
desagüe que lo vacía en dos horas y al mismo
tiempo se abre dos caños que se demorarían
cuatro y cinco horas actuando solos. ¿En qué
tiempo se vaciará el estanque?
a) 15 horas b) 16 horas c) 19 horas
d) 14 ¾ horas e) 20 horas
02.Dos caños A y B llenan de agua un depósito
en cinco y seis horas respectivamente y un
desagüe C, lo vacían en 4 horas. Se abre el
caño A alas 7 am. y a las 8 am. se abre B y
C. ¿ A qué hora aproximadamente se llenará
el depósito?
a) 2:41 pm. b) 2:45 pm. c) 2:35 pm.
d) 2:38 pm. e) 2:51 pm.
03.En un grifo había esperando 20 personas para
llenar un recipiente cada una, el grifo arroja 9
lts/m y la capacidad del recipiente es 18,000
cm3
. ¿ Qué tiempo habría esperando la última
persona para empezar a llenar su recipiente si
cuando llegó se estaba acabando de llenar el
primero ?
a) 3’ b) 1h 30’ c) 45’
d) 36’ e) 30’
04.Tres grifos A, B y C, funcionando juntos,
pueden llenar la mitad de un estanque en 4
horas. Si funcionan solo A y B pueden
llenarlo todo en 10 horas y si funcionan solo
B y C pueden llenarlo todo en 15 horas. ¿ En
cuánto tiempo llenará el grifo B solo la
tercera parte del estanque ?
a) 10 b) 6 c) 7
d) 9 e) 8
05.Un cilindro tiene un caño de llenado, el cual
puede llenar en 20 minutos y otro caño de
vaciado , el cual puede vaciar totalmente en
36 minutos.
Estando vacío el cilindro, se abre el caño de
llenado y 4 minutos más tarde, el caño de
vaciado. ¿ En cuántos minutos , se habrá
llenado totalmente el cilindro ?
a) 36 minutos b) 40 minutos c) 45 minutos
d) 44 minutos e) 46 minutos
06.Un caño llena una piscina en 3/2 h. otro lo
hace también en 3/2 h. y un desagüe la vacía
en 3h. Si todos se abren a la vez (caños y
desagüe). ¿En qué tiempo se llenará?.
a) no se llena b) 1h c) 3h
d) 2h e) N.a.
07.Un caño llena un depósito en 8 horas y un
desagüe lo vacía en la mitad del tiempo.
¿Cuánto se demorarán en llenar el tanque los
dos juntos?
a) 4 b) 6 c) 8
d) no se llena nunca e) N.a.
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13. 37 38COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 3er. Año Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 3er Año Secundaria
08.Si el depósito está lleno hasta la cuarta parte.
¿Cuánto tiempo se demorarán ambos en
terminar de sacar toda el agua ?.
a) 8 h b) 2 h c) 6 h
d) 4 h e) no se vacía sino llena
09.Dos caños pueden llenar un estanque de 24
litros en 5 y 6 h. cada uno funcionando
individualmente; mientras que un desagüe
podría vaciar el estanque en 10 h. Si se abren
los tres y se cierran apenas se llena el
estanque; calcular cuántos litros de agua
fueron por el desagüe.
a) 7 b) 8 c) 9
d) 10 e) 12
10.Dos grifos llenarán un depósito en 1 3/6 horas
pero la primera sólo llena el depósito los 3/9
en 1 2/4 h. ¿En qué tiempo llenarían el
depósito el segundo grifo ?.
a) 3 h b) 2 1/2 h c) 2 h
d) 6 h e) 2 1/4 h.
11.Un caño llena un estanque en 6 hrs. otro lo
llena en 2 hrs. y el mecanismo de desagüe lo
vacía en 3 horas. Si se mantiene abierto el 1º
caño, 1 hora y a partir de entonces se abre
también el 2º caño y el desagüe. ¿ Cuánto
habrá tardado en llenarse el estanque ?
a) 5/2 hrs. b) 7/2 hrs. c) 2 hrs.
d) 3 hrs. e) 7/3 hrs.
12.El caño A puede llenar una piscina en 12
horas, el caño B en 7 hrs. y un desagüe C la
puede vaciar en 18 hrs. Si la tercera parte de
la piscina está llena y durante la primera hora
se abre el desagüe durante la segunda hora se
abrió además el caño B y a partir de la 3ra.
hora trabajan A, B y C juntos. ¿ Cuánto tardó
en total en llenarse los 6/7 de la piscina ?
a) 3h 57m b) 3h 54m c) 2h 52 m
d) 4h 53m e) N.a.
13.Un caño “A” puede llenar un estanque en 5
minutos y otro caño “B” puede llenarlo en 20
min. estando vacío, “A” empieza a llenarlo
pero cierto tiempo después es reemplazado
por “B”, empleándose en total 8 minutos.
¿Cuánto tiempo llenó “B”?
a) 4’ b) 2’ c) 3’
d) 1’ e) N.a.
14.Un recipiente de 720 litros de capacidad, está
vacío y cerrado el desagüe que posee. ¿ En
cuánto tiempo se llenará si abrimos al mismo
tiempo el desagüe que desocupa 24 litros en 3
minutos y otras 2 llaves que llenan; la
primera 72 litros en 12 minutos en y la otra
36 litros en 9 minutos ?
a) 360 horas b) 6 horas c) 30 minutos
d) 3600 segundos e) N.a.
15. “A” hace un trabajo en 8 días, “B” hace el
mismo trabajo en 4 días. ¿ En cuántos días
realizarán la obra juntos ?
a) 3 d b) 8/3 d c) 2 d
d) 7/2 e) 9/4 d
16. El caño “A” llena un estanque en 4 horas, el
caño “B” lo llena en 6 horas y e l caño “C”
lo llena en 8 horas. ¿ En cuánto tiempo lo
llenarán los 3 caños juntos ?
a) 3 h b) 21/13 h c) 2 h
d) 24/13 h e) 21/12 h
17. Juan y Pedro hacen una obra juntos en 10
días. Juan puede hacer esa obra en 15 días.
¿ En cuántos días hará Pedro esa obra ?
a) 30 d b) 20 d c) 25
d) 15 d e) N.a.
18. Un depósito es llenado por los caños “A”,
“B” y “C” juntos en 6/5 horas. El caño “A”
lo llena en 12 horas. El caño “C” lo llena en
2 horas. ¿ En cuántas horas lo llenara el caño
“B” ?
a) 5h b) 6 h c) 2h
d) 3h e) 4h
19. “A” es el doble de rápido que “B”,
trabajando juntos hacen una obra en 6 días. ¿
En qué tiempo realizará “B” la misma obra ?
a) 12d b) 16d c) 18d
d) 9d e) 24d
20. El caño “A” llena un estanque en la mitad de
tiempo en que llena el caño “B”. Utilizando
los dos caños, el estanque se llena en 2
horas. ¿ En qué tiempo se llenará el estanque
si sólo utilizamos el caño “A” ?
a) 6h. b) 3h. c) 4h.
d) 24h. e) 12h.
10.Juan puede hacer una obra en 8 días y Pedro
lo hace en 12 días. ¿ Cuánto tiempo
demorarán en hacer la obra, si trabajan 4 días
juntos y a partir del 5to. día únicamente
trabaja Pedro ?
a) 2d b) 4d c) 3d
d) 5d e) 6d
TAREA DOMICILIARIA
01.Susana tiene S/.120 y pierde 3 veces
consecutivas 1/2, 1/3 y 1/4 de lo que iba
quedando. ¿Con cuánto se quedó?
a) S/. 20 b) S/. 40 c) S/. 30
d) S/. 48 e) S/. 36
02.Luego de perder en forma sucesiva 1/2 y 2/5
de lo que iba quedando, Alfredo gana en
forma consecutiva sus 3 últimos juegos: 1/2,
1/4 y 1/6 de la cantidad que iba acumulando
retirándose con S/.70. ¿Cuánto tenia al inicio?
a) S/. 60 b) S/. 80 c) S/. 48
d) S/. 72 e) N.a.
03.En un recipiente se tiene 40 litros de mezcla
alcohólica, donde al agua es 16 l, se extrae
1/3 del volumen total reemplazando por agua.
Luego de la mezcla resultante, se extrae la
mitad para volver a reemplazar por agua. Si
finalmente se extrajo 3/4 del resto y se volvió
suplir por agua. ¿Cuánto de alcohol quedó?
a) 2 l b) 6 l c) 4 l
d) 10 l e) N.a.
04.De una mezcla alcohólica donde 12 l es agua
y 18 l alcohol, se extrae la mitad de la mezcla
y se reemplaza por agua. Luego del resto, se
extrae la tercera parte y se vuelve a
reemplazar por agua. Finalmente, del nuevo
resto se extrae la cuarta parte y se reemplaza
por agua. ¿Cuánto de alcohol se extrajo en
total?
a) 11 l b) 12 l c) 13,5 l
d) 10 l e) 8 l
05.En un salón “Integral”, los 7/12 de los
alumnos son hombres. Si la diferencia entre
mujeres y hombres es P, hallar cuantos
alumnos hay en el salón.
P= ( )8,17,1...4,13,13,0

+++++
a) 10 b) 60 c) 40
d) 48 e) N.a.
06.Una tela de forma rectangular al lavarse se
encoge en 1/4 de su largo y los 2/5 de su
ancho. ¿Qué fracción del área inicial de tela
es la nueva área?
a) 9/20 b) 9/10 c) 1/10
d) 2/5 e) N.a.
07.Un canal llena un pozo en 4 horas y otro lo
vacía en 6 horas. ¿En qué tiempo se llenará el
pozo si se abre el desagüe una hora después
de abrir el canal de entrada?.
a) 7h b) 8h c) 9h
d) 10h e) N.a.
08.Un caño llena un tanque en 6 horas, y otro lo
llena en 2 horas y el desagüe lo vacía en 3
horas. Si se mantiene abierto el primer caño
durante una hora y a partir de entonces se
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14. 37 38
P= a% de N
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 3er. Año Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 3er Año Secundaria
abre también el segundo caño y el desagüe.
¿Cuánto habrá tardado en llenarse el tanque ?.
a) 4h b) 2h c) 3,5 h
d) 2,5h e) 4,5 h
09.Una tubería “A” puede llenar un estanque en
6 horas y otra tubería “B”, de desagüe, lo
puede vaciar en 8 horas. Estando vacío el
estanque se hace funcionar a “A” durante 2
horas, y luego se abre la otra tubería “B”,
funcionando así las dos. ¿Qué tiempo total
emplearán para llenar el estanque ?.
a) 24 horas b) 26 horas c) 23 horas
d) 22 horas e) N.a.
10.Un depósito de agua con una capacidad de
3,500 lt es llenado por una lleva en 20 horas.
Una segunda llave lo llena en 28 horas y el
desagüe lo vacía en 25 horas. Estando vacio
el depósito se abren las tres llaves que operan
normalmente por 8 horas, momento en el que
se un agujero en la parte inferior del depósito.
Hallar el número de litros por hora que salían
por dicho agujero si se sabe que el depósito
demoró un total de 23 horas para llenarse.
a) 12 b) 2 c) 10
d) 22 e) 18
TANTO POR CIENTO (%)
Es el número de centésimas partes de una
cantidad.
Ejemplo:
De 100 personas que viajan en un ómnibus; 40
son blancos.
Luego:
40 por cada 100 personas son blancas
40 por cada ciento de personas son blancas
40 por ciento de personas son blancas
40 % del N° de personas son blancas
⇒
100
40
(N° personas son blancas)
En general: 100 < > N
a < > P
de donde: P = Nx
100
a
P = El “a” por ciento de “N”
a% : tanto por ciento
N : cantidad
P : porcentaje
Ejemplos:
El 28% de 50 = 1450x
100
28
=
El 15% de 60 = 960x
100
15
=
El 25% de 40 = 1040x
100
25
=
Gráficamente:
1
100
1
100
1
100
1
100
1
100
1
100
.................
3
100
= 3%
unidad < > 100 partes iguales
En general:
A) Conversión de tanto por ciento a fracción
o decimal
1% = 01,0
100
1
=
2% = 02,0
50
1
100
2
==
15% = 15,0
20
3
100
15
==
40% = 4,0
5
2
100
40
==
60% = 6,0
5
3
100
60
==
80% = 8,0
5
4
100
80
==
120% = 2,1
5
6
100
120
==
200% = 2
100
200
=
0,6% = 006,0
100
6,0
=
004,0
250
1
500
2
100
5
2
%
5
2
====





0275,0
400
11
100
4
11
%
4
11
%
4
3
2 ===





=
EQUIVALENTES NOTABLES:
100% = 1 (total)
75% =
4
3
(tres cuartas partes)
50% =
2
1
(mitad)
25% =
4
1
(cuarta parte)
20% =
5
1
(quinta parte)
10% =
10
1
(décima parte)
200% = 2 (doble)
Luego:
“Toda cantidad representa el 100% de sí misma”
B) Conversión de fracción o decimal a tanto
por ciento
%40%100x
5
2
5
2
==
0,06 = 0,06 x 100% = 6%
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PORCENTAJ
a % =
100 % a= a

15. 37 38COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 3er. Año Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 3er Año Secundaria
5 = 5 x 100% = 500%
OPERACIONES CON PORCENTAJE:
20% a + 50% a = 70% a
80% b - 60% b = 20% b
a + 20% a = 120% a
b - 35% b = 65% b
3(20% a) = (3 x 20)% a = 60% a
20% (a + b) = 20% a + 20% b
80% b ÷ 20% b = 4
b%20
b%80
=
60% a ÷ 2 = (60 ÷ 2)% a = 30% a
%16%40
100
40
%)40(%)40(%)40( 2
=





==
5
3
10
6
100
36
%36 ===
PROBLEMAS RESUELTOS
01. ¿Cuál es el 20% de 400?
Solución:
(+) (-)
400 - 100 %
x - 20 %
x = 80
100
)20)(400(
=
A toda cantidad menor que la referencial le
corresponde un porcentaje inferior al 100%.
02.Hallar el 10% de 240.
Solución:
Una cantidad cuando no sufre ninguna
variación esta representada por su 100%,
según el ejercicio.
240 es el 100%, entonces formando una regla
de tres:
100% ......... 240
10% ......... x
De donde:
x = (240 x 10)/100 = 24
03.Hallar el 12% de 50.
Solución:
50 .......... 100%
x ........... 12%
De donde:
x = ( 50 x 12)/100 = 6
04.Hallar el 16 2/3% de 42.
Solución:
42 ........... 100%
x ........... 16 2/3%
De donde:
x = (42)(50/3)/100
x = ( 42 x 50/3)/100
x = 7
05.Calcular el 25% del 4% de 300 veces 1,333...
Solución:
=
100
25
x
100
4
x 300 x
9
12
=
4
1
x
25
1
x 300 x
3
4
=
100
300
x
3
4
= 3 x
3
4
= 4.
06.Calcular el
3
1
% de los
4
3
del triple de
120
Solución:
=
300
1
x
4
3
x 3 x 120 =
400
360
=
10
9
.
Hallar un número cuando se conoce un tanto
por ciento de él.
07. De qué número es 40 el 25%?.
Solución:
Asumimos que el número es x, luego el
100% de ese número es x, y según la
pregunta su 25% es 40. Entonces formamos
la regla de tres:
25% ......... 40
100% ......... x
x = (100% x 40)/25% = 160.
08. ¿De qué cantidad es 378 su 45%?
Solución:
378 ......... 45 %
x ......... 100 %
x = 840
45
)100)(378(
=
09.De que número es 75 el 20%?.
Solución:
20% ........ 75
100% ........ x
x = (100% x 75)/20% = 375.
10.De que número es 200 el 12,5%?.
Solución:
12,5% .......… 200
100% ……... x
x = (100% x 200)/12,5% = 1600
Dados dos números, averiguar que tanto por
ciento es uno del otro.
11. Qué porcentaje es 75 de 1250?.
Solución:
Asumimos, que x es el porcentaje buscado.
Luego: 1250 esta representado por el 100% y
75 por el x %.
Formando la regla de tres correspondiente:
1250 ...…… 100%
75 ……... x %
x = (75 x 100%)/1250 = 6%.
12. Qué porcentaje de 512 es 0,64?.
Solución;
512 ....…… 100%
0,64 ........... x %
x =
8
1
512
64
512
%100x64,0
== %
13.Qué porcentaje es la mitad de los tres
cuartos de 800, de 2400?.
Solución:
2400 .......… 100%
2
1
.
4
3
. 800 .......… x %
x = =












2400
%100.800.
4
3
.
2
1
12,5%.
14. ¿Qué porcentaje es 695 de 480?
Solución:
480 ........ 100 %
695 ........ x %
S3RM31B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S3RM31B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
R.T.
D.

16. 37 38COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 3er. Año Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 3er Año Secundaria
x = %145
480
)695)(100(
=
Si la cantidad referencial se descompone en
otras varias, entonces la suma de los
porcentajes correspondientes a las partes
deberá ser siempre 100%.
15.Un futbolista dispara 17 penales, acertando
todos ellos. ¿Cuántos debe tirar luego,
fallando, para tener una eficiencia del 85%?
Solución:
100 % = 85 % + 15 %
17 ......... 85 %
x ......... 15 %
x = =
85
)15)(17(
3 tiros
Decir por ejemplo el 72% equivale a:
72.0
100
72
=
Recordar que, en los negocios:
Precio Venta (PV) = Precio de compra(PC) +
Ganancia (G)
PV = PC + G
PRACTICA DE CLASE
Hallar:
01. El 33 1/3% de 100.
a) 32 b) 40% c) 25%
d) 33 1/3 e) 35%
02. ¿El 10% de que número es 32?.
a) 320 b) 310 c) 420
d) 240 e) 150
03. ¿El 25% de que número es 350?.
a) 1200 b) 1400 c) 1120
d) 2470 e) 1536
04. ¿El 75% de que número es 450?.
a) 677 b) 108 c) 320
d) 249 e) 600
05. ¿De qué número es 48 el 3 1/5%?.
a) 2200 b) 1040 c) 1200
d) 1324 e) 1500
06. ¿De qué número es 82 el 5 1/8%?.
a) 1234 b) 1345 c) 1220
d) 1600 e) 1500
07. ¿De qué número es 20 el 10% de 25%?.
a) 200 b) 810 c) 800
d) 624 e) 715
08. ¿De qué número es 70 el 3 ½%?
a) 2000 b) 1000 c) 2010
d) 2400 e) 1500
09. ¿De qué número es 150 el 7 ½%?.
a) 2120 b) 1070 c) 2000
d) 1240 e) 1450
10. ¿El 20% del 25% de 500 de qué número es
400?.
a) 12 b) 10 c) 20
d) 24 e) 16
11. ¿De qué número es el 25% de 6000, el 10%?.
a) 15000 b) 10000 c) 20000
d) 12400 e) 15890
12. ¿Qué porcentaje de 95 es 30,4?
a) 32% b) 10% c) 20%
d) 24% e) 45%
13. ¿Qué porcentaje de 1320 es 3.3?
a) 2,5% b) 0,25% c) 2%
d) 2,4% e) 25%
14. ¿Qué porcentaje de 1950 es 156?
a) 2% b) 1% c) 12%
d) 8% e) 5%
15.¿La mitad de los 2/5 de 2400, qué porcentaje
es de los ¾ de 3600?
a) 22% b) 17.78% c) 20%
d) 14% e) 15%
16. ¿Los 3/5 de los 4/3 de 800,qué porcentaje es
del 20% de la mitad de 100 000?
a) 2,8% b) 7,0% c) 6,4%
d) 2,5% e) 6,5%
17.¿Qué porcentaje de 18 es 0,045?
a) 0,2% b) 0,10% c) 2%
d) 0,24% e) 0,25%
18.¿Qué porcentaje de los ¾ del 60% de 400, es
la mitad de 60?.
a) 21% b) 10,67% c) 16,67%
d) 24% e) 15%
19. ¿La mitad de uno qué porcentaje es del doble
de uno?.
a) 25% b) 10% c) 20%
d) 24% e) 15%
20.¿En una canasta tenia 240 manzanas he
comido 60 manzanas, que porcentaje me
sobra?
a) 52% b) 75% c) 12%
d) 24% e) 65%
INTRODUCCIÓN
En relación con el estudio de la matemática en
nuestra sociedad, encontramos aún algunos prejuicios:
unos dicen, por ejemplo sólo las personas de gran
talento pueden dedicarse a la matemática, mientras que
otros afirman que para ello es preciso tener una
"memoria matemática" capaz de permitir recordar
fórmulas y saber cómo y cuándo aplicarlas..
Las expresiones: "soy incapaz para la
matemática", "no he nacido para los números". "me
falta memoria para aprender todas las fórmulas", etc,
etc, son un producto amargo de tipo de enseñanza
memorística y mecanizada que hemos recibido desde
nuestra infancia, debido a la falta de un sistema
educativo adecuado, objetivo y verdaderamente
científico capaz de satisfacer las expectativas de la gran
mayoría de estudiantes y no sólo de un sector, cuyo
beneficio obedece a intereses egoístas.
En consecuencia, nos corresponde revertir esta
situación, poniendo en práctica nuestra capacidad de
raciocinio y análisis objetivo. Contribuiremos con ello,
en esta parte del curso, desarrollando la parte inductiva
– deductiva de nuestro razonamiento para lograr, de esta
manera, un mayor grado de abstracción.
Quizá en algunas ocasiones, durante la
búsqueda de la solución, de una interrogante
relacionada con nuestra vida diaria o al intentar resolver
problemas netamente matemáticos, nos hayamos
encontrado un tanto desorientados sobre cómo
afrontarlos, entonces nos asaltó la duda y surgieron las
eternas preguntas. "¿Por donde empezar?, ¿Qué
estrategia platear y seguir? Parte de culpa de esta dicha
situación la tiene el hecho de no tener en claro los
conceptos de razonamiento, pensamiento creativo,
lógica deductiva, lógica inductiva , etc.
El objetivo entonces del presente capítulo será
estudiar los diversos conceptos y aplicarlos manejando
criterios adecuados, desarrollando, además ejemplo
necesarios para un mejor desenvolvimiento dentro del
S3RM31B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S3RM31B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
MÉTODO INDUCTIVO –

17. 37 38COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 3er. Año Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 3er Año Secundaria
curso de razonamiento matemático y actividades en
general.
Recomendación final: Nunca olvides que el
primer paso es comprender el problema, una vez
logrado esto debe dar el siguiente paso:; idear cómo
afrontarlo: cada problema debe ser un reto, para ello
debe leer atentamente la parte teórica y rescatar las
mayores observaciones de cada ejemplo. "Después de
haber resuelto un problema, debes valorar más el
proceso inductivo – deductivo y no tanto la respuesta,
ello te permitirá salir airoso en cada problema
siguiente?
QUÉ ES ESTRATEGIA?
Analiza atentamente las siguientes situaciones
Cinthia
?
Calcular la suma de
las cifras de A
2
cifras100
)33..33(A =
Carlos
En la primera de ellas una pelota ha caído por
un estrecho orificio, no tan profundo, pero no al alcance
de los brazos de Cinthia; él no dispone de palos ni varas
para extraerla. Renzo, que estaba sacando agua, observa
la escena y se pregunta: ¿Qué hará ella para sacar la
pelota?. En el siguiente caso Carlos está frente a un
problema que se ve muy laborioso: ¿Cómo resolverlo?.
En ambos casos será necesario pensar detenidamente
sobre la situación y elaborar un plan que les permita
conseguir sus objetivos; dicho plan recibe el nombre de
estrategia.
La palabra estrategia proviene del riesgo
"strategia" (generalato, aptitudes de general), que en el
contexto de nuestro interés se entiende como el plan o
técnica para dirigir un asunto o para conseguir un
objetivo.
En la primera situación, una posibilidad sería
buscar ayuda, traer herramientas y "ampliar el hueco lo
cual no está mal, pero sería muy trabajoso y mostraría
que no pensamos mucho sobre el asunto y estamos
procediendo de manera mecánica. Otra posibilidad sería
echar abundante agua por el orificio, la pelota flotaría y
podremos sacarla, lo cual sería una solución más
razonada, ¿no crees?
Para resolver la segunda situación, deberemos
aplicar la inducción y para ello hay que tener una idea
de lo que es razonamiento inductivo – deductivo,
nociones que estudiaremos más delante.
¿QUÉ ES INDUCCIÓN?
La palabra inducción proviene del latín "Inductio".
("in": en y "ducere": conducir); que es la acción y
efecto de inducir. Es definido como un modo de razonar
que consiste en sacar de los hechos particulares una
conclusión general; así, la inducción desempeña un gran
papel en las ciencias experimentales. Mas adelante
podremos apreciar la forma de aplicar este modo de
razonar en la resolución de problemas matemáticos.
¿QUÉ ES DEDUCCIÓN?
La deducción es la acción de deducir, también es la
conclusión que se obtiene de un proceso deductivo. La
palabra deducir , proviene del latín "deducere" que
significa sacas consecuencias. En el presente estudio
veremos como a partir de casos generales llegamos a
establecer cuestiones particulares que nos interesan para
la resolución de problemas
Podemos decir, figurativamente, que la inducción y
la deducción son las dos cara de una misma moneda,
estableciéndose como herramientas poderosas que han
permitido el avance de la ciencia en general. ¿Cómo
hizo Arquímedes para determinar, según él, el valor
aproximado del número π y el cálculo de áreas re
regiones sumamente complicadas para su época?
¿Cómo llegó Kepler a establecer sus tres famosas leyes?
¿De qué manera Galileo procedió a establecer la
relación:
2
gt
2
1
e = ? ¿Sospechas como llegó
Newton a dar la ley de la gravitación universal a partir
de hechos comunes contemplados por todos nosotros,
pero que él supo observar atentamente para enunciar tan
importante teoría? y ¿Lobatcheysky, para crear una
geometría euclideana? y ¿Einstein, con su teoría de la
relatividad? ... En fin, gran parte de lo establecido hasta
ahora por la ciencia se ha hecho en base a la
experimentación, a la aplicación de la inducción, y
deducción, y al proceso de ensayo – error con el estudio
y el análisis de todas las consecuencias que se derivan
de ellos, los cuales ha permitido el avance de la ciencia
en todos los campos.
MÉTODOS RAZONATIVOS: Lógica Inductiva y
Lógica Deductiva
¿Cuántos palitos de
fósforo conforman
el siguiente castillo?
¿Cómo resuelvo
este problema?
Al igual que Daniel, muchos estudiantes al empezar
la resolución de un problema siempre se preguntan:
¿Cómo resuelvo este problema?, ¿por donde empiezo la
resolución del problema?, ¿será éste el camino
adecuado para su resolución?; indudablemente que para
el ejemplo anterior, el contar uno por uno los palitos de
fósforos del castillo no sería una resolución adecuada ya
que sería muy tedioso y agotados realizar dicha
operación. Siempre que se busca la solución de un
problema, debemos buscar los caminos más cortos para
llegar a ella, debemos analizar nuestros datos e
incógnitas y al relacionarlos debemos encontrar una
"estrategia" de cómo afrontar el problema, "ser
creativos y analistas", para buscar esa relación de datos
e incógnitas. Justamente, a partir de estas ideas ("tener
estrategia", "ser creativo y analista") surgen dos
herramientas importantes que nos permiten afrontar un
problema ¿la lógica inductiva y la lógica deductiva
Las lógicas inductiva y deductiva representan la
base del razonamiento matemático, pilares sobre los
cuales se constituye esta hermosa disciplina, en base a
la observación y al análisis.
LÓGICA INDUCTIVA (Inducción):
Es un modo de razonar, en el que a partir de la
observación de casos particulares, nos conduce la
descubrimiento de las leyes generales, con la
particularidad de que la validez de las últimas se deduce
de la validez de las primeras.
Así:
C
A
S
O
1
C
A
S
O
2
=>
C
A
S
O
3
=>
C
A
S
O
G
=>=> ...... E
N
E
R
A
L
Casos Particulares
Razonamiento Inductivo
El método del razonamiento inductivo es un
métodos especial de demostración matemática que
permite, en base a observaciones particulares, juzgar las
regularidades generales correspondientes
Ejemplo:
(15) = 225
(35) = 1225
(85) = 7225
Casos
Particulares
(125) = 15625
"Podemos concluir
que todo número que
termina en 5, al
elevarlo al cuadrado,
su resultado termina
en 25" (...5) = ... 25
Conclusión
General
Razonamiento
Inductivo
2
2
2
2
2
Ejemplo 1:
Calcular el número total de palitos de fósforo que
conforman la torre.
1 2 3 28 3029
Ejemplo 2:
Calcular el valor de "E" y dar como respuesta la suma
de sus cifras
  
cifras101
2)334...333(E =
Ejemplo 3
S3RM31B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S3RM31B “El nuevo símbolo de una buena educación...."

18. 37 38COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 3er. Año Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 3er Año Secundaria
Calcular el valor de:
1100.99.98.97E +=
Ejemplo 4
¿Cuántos apretines de manos se producirán al saludarse
las 40 personas asistente a una reunión?
Ejemplo 5:
Calcular:
2
cifras50cifras50cifras50
333...333222...2221111...1111E  ++=
LÓGICA DEDUCTIVA (Deducción)
Es un modo de razonar mediante el cual, a partir de
informaciones, casos o criterios generales, se obtiene
una conclusión particular.
Así:
C
A
S
O
G
E
N
E
R
A
L
Razonamiento Deductivo
CASO 1
CASO 2
CASO 3
CASO 4
:
.
Casos
Particulares
Ejemplo:
- Todos los hijos
de la señora Ana
son valientes
- Pedro es hijo
de la señora Ana
Información
General
Por lo tanto
Pedro es valiente
Conclusión
Particular
Razonamiento
Deductivo
Observación:
En es parte se debe recordar las principales
conclusiones básicas, ya aprendidas con anterioridad
(criterios, generales de la adición, sustracción,
multiplicación, división, etc.), las cuales ayudarán a
verificar los casos particulares
La deducción e inducción están íntimamente
relacionadas. Generalmente, la deducción es el
complemento de la inducción, y viceversa.
Ejemplo 1:
La suma de los "n" primeros números impares es 900,
por lo tanto, ¿cuál es el valor de "n?
Ejemplo 2:
Completar las cifras que faltan en la siguiente
multiplicación, sabiendo que cada asterisco (*)
representa un dígito cualquiera.
03*8*1
5*2*
*2*3
*3*
2*3
)x(*1*
Ejemplo 3:
Calcular m, n y p; sabiendo que: m ≠ n ≠ p y además:
2664pppnnnmmm =++
Ejemplo 4:
Hallar: xyzwmnppabcdE ++=
Sabiendo que:
124xymnab
127xzmpac
160ywnpbd
=++
=++
=++
Ejemplo 5:
Si a la siguiente figura le trazamos 50 rectas paralelas a
MN, ¿Cuántos triángulos se contarán en total?
M N
Ejemplo 6:
Calcular la cantidad de esferas que hay en el siguiente
arreglo triangular
1 2 3 98 10099
Ejemplo 7:
Hallar la suma de todos los elementos de la siguiente
matriz
1 2 3 4 ... 9 10
2 3 4 5 ... 10 11
3 4 5 6 ... 11 12
4 5 6 7 ... 12 13
: : : : : :
9 10 11 12 ... 17 18
10 11 12 13 ... 18 19
Ejemplo 8:
Calcular "n" y dar como respuesta la suma de sus cifras
  
osmintér"n"
ñ...97531S +++++=
Ejemplo 9:
Calcular "E" y dar como respuesta la suma de sus cifras.
2
cifras200
333...333(E =
Ejemplo 10:
¿Cuántos puntos de contacto hay en la siguiente gráfica
de circunferencias?
1 2 3 28 3029
TAREA DOMICILIARIA
01. Calcular la suma de cifras del resultado de:
−+++++=   
cifras101
)3a)(3a)(3a)...(3a)(3a([M
2
cifras101
])5a)(3a)(3a)...(3a)(3a(    −−−−
02. En la figura, calcular el número total de "hojitas"
de la forma indicada
1 2 3 49 50 51
03. Calcular la suma de los términos de la veinte
primeras filas en el triángulo numérico siguiente:
F
F
F
F 16 16 16 16
9 9 9
4 4
1
4
3
2
1
04. A una reunión asistieron cierto número de personas,
si cada una fue cortés con los demás y en total se
contaron 1275 estrechadas de manos (saludos),
averiguar, ¿cuántas personas asistieron?
05. Dado el esquema:
S1: S2: S3: S4: ...
¿Cuántas bolitas habrá en S12?
06. Según el esquema mostrado, ¿de cuántas maneras
diferentes se puede leer la palabra
"INDUCCIÓN"?
I
N N
D D D
U U U U
C C C C C
C C C C C C
I I I I I I I
O O O O O O O O
N N N N N N N N N
07. ¿De cuántas manera distintas se puede leer la
palabra "ROMA" en el siguiente arreglo
triangular?
S3RM31B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S3RM31B “El nuevo símbolo de una buena educación...."

19. 37 38COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 3er. Año Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 3er Año Secundaria
R
R O R
R O M O R
R O M A N O R
08. Sabiendo que:

4898x3A
4999x2A
5010x1A
3
2
1
+=
+=
+=
Calcular: A20
09. Si: Ab = (-1)n
+ 1
Sn = A1 + A2 + A3 + ... + An
Hallar: S21 – S20
10. Hallar::
4
137180 SFE ÷=
Si:
S1 = 1 F1 = 2
S2 = 1 + 1 F2 = 2 + 2
S3 = 1 + 2 + 1 F3 = 2 + 4 + 2
S4 = 1 + 3 + 3 + 1 F4 = 2 + 6 + 6 + 2
: :
11. Si:
ADUUUDDAA =++
Calcular: E = A2
+ D2
– U2
12. Reconstruir la siguiente operación de división e
indicar la suma de cifras del dividendo, si cada (*)
representa un dígito cualquiera
* 2 * 5 * 3 2 5
* * *
* 0 * *
* 9 * *
* 5 *
* * *
1 * *
- - -
- -
13. Si:
8.....cbaabc
8.....cbaabc
=−
=+
Calcular el máximo valor de: a + b + c
14. Si: N2
= ... 376, calcular : a + b + c
Donde:
abc...N...NNN 90963
=++++
a) 9 b) 8 c) 7
d) 10 e) 5
15. Si:
9xy...nnn...nnn...nnnnnnnnnn
sumandos17
=+++++   
Calcular: E = (n – y )(x – y)
16. Si:
dabcd
4
=
Calcular:
c
db.a
E
+
=
17. Halla la suma de las cifras del resultado de
multiplicar " 512xabc ", sabiendo que la
suma de los productos parciales de esta
multiplicación resulta 3496
18. Si:
856cxabc
214bxabc
428axabc
=
=
=
Calcular: E = (a x b x c)2
19. Si:
__876edcbaabcde =+
Y además: a < b < c < d < e
Calcular: e = a2
+ b2
+ c2
+ d2
+ e2
20. Calcular le valor de: "2x + 5", si x ∈ Z+
y además
5(2x2
+ 30) + 420)x15(10 2
=+
GRUPO EDUCATIVO INTEGRAL
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