Este documento explica las ecuaciones de segundo grado, incluyendo cómo resolver ecuaciones de segundo grado incompletas y completas usando la fórmula general. También introduce el concepto de discriminante y cómo este determina el número de soluciones reales de una ecuación de segundo grado. Además, explica que la suma de las soluciones es el coeficiente negativo del término lineal y su producto es el término independiente.
Conoceremos que son las inecuaciones y como resolverlo...de grado uno... CON GRAFICO del conjunto solución para esto conoceremos primero El tema de Desigualdades e intervalos.
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Instrucciones del procedimiento para la oferta y la gestión conjunta del proceso de admisión a los centros públicos de primer ciclo de educación infantil de Pamplona para el curso 2024-2025.
2. Ecuaciones de segundo grado
Una ecuación con una incógnita se llama de segundo grado
si se puede expresar de la forma:
ax2 + bx + c = 0, con a ≠ 0
Las ecuaciones: x2 – 5x + 4 = 0; x2 + 1 = 0; 2x2 = 4x
Son de segundo grado
Las ecuaciones: x3 – 5x + 4 = 0; √x + 3 = 0; x-2 = 3x
No son de segundo grado
Si b = 0 o c = 0 la ecuación de segundo grado se denomina
incompleta y es más fácil calcular las soluciones
x2 + 1 = 0 y 2x2 - 4x = 0
Son ecuaciones de segundo grado incompletas
3. Resolución de ecuaciones de
segundo grado incompletas
Resolver una ecuación es calcular sus soluciones
Resolución de la ecuación ax2 + bx = 0, a ≠ 0:
Se saca x factor común: x (ax + b) = 0
Para que un producto de dos factores sea 0, uno de ellos
debe valer 0, luego x = 0 o ax + b = 0
Las soluciones son:
Ejemplo:
Las soluciones de la ecuación 2x2 + 4x = 0 son:
x1 = 0 y x2 = -2
a
b
xyx
21 0
4. Resolución de ecuaciones de
segundo grado incompletas
Resolución de la ecuación ax2 + c = 0, a ≠ 0:
Se despeja x2: x2 = - c/a
Se calcula la raíz cuadrada
Las soluciones son:
Sólo se puede calcular la raíz cuadrada si el cociente - c/a
es un número positivo. Si es negativo se dice que la
ecuación no tiene solución.
Ejemplos:
Las soluciones de la ecuación 2x2 - 4 = 0 son:
x1 = 2 y x2 = -2
La ecuación 2x2 + 4 = 0, no tiene solución
a
c
xy
a
c
x
21
5. Fórmula general de la
ecuación de segundo grado
Las soluciones de la ecuación ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0
son:
Observa que hay dos soluciones una sumando la raíz y
la otra, restándola.
Ejemplos:
Las soluciones de la ecuación x2 - 5 x + 4 = 0 son:
x1 = 1 y x2 = 4
La ecuación x2 + x + 1 = 0, no tiene solución.
a
acbb
x
2
42
6. El discriminante.
El discriminante, ∆, es la expresión que hay
dentro de la raíz en la fórmula de las soluciones
de una ecuación de segundo grado.
∆ = b2 - 4ac
Observa que:
Si ∆ > 0, la ecuación tiene dos soluciones reales.
Si ∆ = 0, la ecuación tiene una solución real.
Si ∆ > 0, la ecuación no tiene soluciones reales.
Determina el número de soluciones de las ecuaciones:
a) 2x2 + 6x + 5= 0; b) x2 + 4x + 4 = 0; c) x2 + x - 6= 0
a) No tiene solución; b) tiene una solución c) tiene 2 soluciones.
7. Suma y producto de las soluciones
Si x1 y x2 son las soluciones de la ecuación de
segundo grado x2 + bx + c = 0
x2 + bx + c = (x – x1)∙(x – x2) = x∙(x-x2) – x1∙(x-x2) =
x2 – xx2 – x1x + x1x2 = x2 – (x1+x2)x + x1x2
Por lo tanto: x2 + bx + c = x2 –(x1+x2)x + x1x2
x1+ x2 = -b y x1∙x2 = c
Este resultado permite resolver mentalmente
estas ecuaciones de segundo grado.
En general, si x1 y x2 son las soluciones de la
ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0
x1+x2 = -b/a y x1∙x2 = c/a
8. Suma y producto de las soluciones
Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones:
x2 - 6 x + 5 = 0
Soluciones: x1 = 1 y x2 = 5
x2 - 5 x + 6 = 0
Soluciones: x1 = 2 y x2 = 3
x2 - x - 6 = 0
Soluciones: x1 = -2 y x2 = 3
x2 + x - 6 = 0
Soluciones: x1 = -3 y x2 = 2
x2 + 5 x + 6 = 0
Soluciones: x1 = -3 y x2 = -2