Este documento presenta una introducción a los espacios vectoriales. Primero repasa conceptos básicos de estructuras algebraicas como conjuntos, relaciones binarias, correspondencias y aplicaciones. Luego define los espacios vectoriales como conjuntos con dos operaciones que cumplen ciertas propiedades. Finalmente introduce conceptos como subespacios vectoriales, intersección y suma de subespacios.

1. Tema 1
Espacios Vectoriales
1.1 Introducci´on
Estas notas se han escrito con el ´animo de facilitar al estudiante una gu´ıa para el es-
tudio de la asignatura, y no como un libro de texto o manual de ´Algebra Lineal. De
manera general se sigue el mismo orden de exposici´on que el que se realizar´a en las
clases te´oricas, aunque no se han incluido demostraciones ni ejemplos de los conceptos
explicados (aunque eventualmente pueda incluirse alguna demostraci´on especialmente
relevante). Por todo ello, no deben tomarse estos apuntes como sustitutivos de los libros
de texto, cuyo uso y consulta siempre recomendaremos al estudiante.
Dedicaremos este primer tema de ´Algebra Lineal al estudio de los Espacios Vecto-
riales, si bien se comenzar´a con un repaso de algunos conceptos conocidos relativos a
diferentes estructuras algebraicas b´asicas.
1.2 Repaso de Estructuras Algebraicas
1. Producto cartesiano de conjuntos. Dados los conjuntos A y B, se llama producto
cartesiano de A y B, y se denota por A × B al conjunto de todos los pares ordenados
constituidos por un elemento de A y otro de B, i.e.
A × B = {(a, b), a ∈ A, b ∈ B}
Es trivial generalizar la definici´on al caso de varios conjuntos: A × B × C, etc.
2. Relaciones binarias. Una relaci´on binaria en un conjunto A es todo subconjunto
G de A × A. G recibe el nombre de grafo de la relaci´on. La notaci´on habitual es:
(a1, a2) ∈ G ⇐⇒ a1R a2
Las propiedades que una relaci´on puede verificar son: Reflexiva, Irreflexiva, Sim´etrica,
Antisim´etrica y Transitiva.
1

2. 2 ESPACIOS VECTORIALES
• Reflexiva: Una relaci´on binaria R en un conjunto A verifica la propiedad reflexiva
si aRa, ∀a ∈ A.
• Irreflexiva: R es irreflexiva si ning´un elemento de A est´a relacionado consigo mismo.
• Sim´etrica: Si aRb entonces bRa.
• Antisim´etrica: Si aRb y bRa, entonces necesariamente a = b.
• Transitiva: Si aRb y bRc, entonces necesariamente aRc.
Relaci´on de equivalencia. Si R es reflexiva, sim´etrica y transitiva, se dice que es
de equivalencia. Se llama clase de equivalencia del elemento a, y se denota por: [a], al
conjunto de todos los elementos que est´an relacionados con a. El Conjunto cociente
A/R ser´a el conjunto de todas las clases de equivalencia formadas en A por la relaci´on
de equivalencia R.
Relaci´on de orden. Si R es reflexiva, antisim´etrica y transitiva, se dice que es de orden.
Una relaci´on de orden en la que todos los elementos del conjunto est´an relacionados se
dice que es de orden total, en caso contrario ser´a de orden parcial. Es decir, R es de orden
total si adem´as de ser reflexiva, antisim´etrica y transitiva, se verifica: ∀a, b ∈ A, o bien
aRb, o bien bRa. (N´otese que en esta situaci´on la propiedad reflexiva debe verificarse
necesariamente).
3. Correspondencias. Una correspondencia f entre dos conjuntos A y B es todo
subconjunto G de A × B.
G= grafo de la correspondencia = graf(f). Notaci´on: (a, b) ∈ G ⇐⇒ f(a) = b.
Im f= Imagen de f es el subconjunto de B formado por los elementos que son im´agenes
de alguno de A.
4. Aplicaciones. Es una correspondencia de A en B en la que a cada elemento a ∈ A le
corresponde un ´unico elemento de B. Es decir: todos los elementos de A tienen imagen,
pero s´olo tienen una.
Aplicaci´on Inyectiva. Si cada elemento de Im f s´olo tiene una anti-imagen en A, se
dice que f es inyectiva. Es decir:
a1 ̸= a2 ⇒ f(a1) ̸= f(a2), ∀a1, a2 ∈ A
O, equivalentemente:
f(a1) = f(a2) ⇒ a1 = a2, ∀a1, a2 ∈ A
Aplicaci´on Suprayectiva. Si Im f = B, se dice que f es suprayectiva (o epiyectiva, o
sobreyectiva).
Si f es inyectiva y sobreyectiva, entonces por definici´on ser´a biyectiva.

3. ESPACIOS VECTORIALES 3
5. Ley de composici´on interna en un conjunto C: Toda aplicaci´on de C × C en C.
Ley de composici´on externa en C sobre un conjunto K: Toda aplicaci´on de K × C
en C.
6. Grupos. Dado (G, ∗), un conjunto y una ley de composici´on interna, decimos que
tiene una estructura de Grupo si verifica las propiedades:
• 1). Asociativa: ∀g1, g2, g3 ∈ G, (g1 ∗ g2) ∗ g3 = g1 ∗ (g2 ∗ g3).
• 2). Elemento neutro: ∃e ∈ G tal que ∀g ∈ G, g ∗ e = e ∗ g = g.
• 3). Elemento sim´etrico. ∀g ∈ G, ∃g′ ∈ G tal que g ∗ g′ = g′ ∗ g = e.
Si adem´as verifica la propiedad conmutativa:
g1 ∗ g2 = g2 ∗ g1, ∀g1, g2 ∈ G
entonces se dice que (G, ∗) es un grupo conmutativo o abeliano.
Algunas propiedades de la estructura de grupo:
• i) El elemento neutro es ´unico.
• 2i) ∀a, b ∈ G, (a ∗ b)′ = b′ ∗ a′.
• 3i) ∀a ∈ G, (a′)′ = a.
• 4i) Todos los elementos de un grupo son regulares. Un elemento a es regular si
a ∗ x = a ∗ y ⇒ x = y.
7. Anillos. Dados un conjunto A y dos leyes de composici´on internas en A, que
denotaremos + y ∗, (A, +, ∗) es un anillo si (A, +) es un Grupo Abeliano y (A, ∗) verifica
la propiedad asociativa y la distributiva de ∗ con respecto a +, es decir:
a1 ∗ (a2 + a3) = (a1 ∗ a2) + (a1 ∗ a3), ∀a1, a2, a3 ∈ A
Si adem´as ∗ es conmutativa, se dice que A es una anillo conmutativo o abeliano.
Si ∗ tiene elemento unidad (el. neutro para todos los elementos de A menos el neutro
de +) se dice que es un anillo unitario.
8. Cuerpos. Un cuerpo es un anillo unitario en el que todos los elemento excepto el
neutro de la primera operaci´on tienen elemento sim´etrico con respecto de la segunda. Si
el anillo es adem´as abeliano, el cuerpo tambi´en.

4. 4 ESPACIOS VECTORIALES
1.3 Espacios Vectoriales
Definici´on: Espacios Vectoriales. Sea V un conjunto y K un cuerpo abeliano. Sea +
una Ley de composici´on interna definida en V y ·K una Ley de composici´on externa en
V sobre K:
V × V −→ V
(⃗v1,⃗v2) −→ ⃗v1 + ⃗v2
K × V −→ V
(λ,⃗v) −→ λ · ⃗v
Se dice que (V, +, ·K) es un espacio vectorial sobre K si se verifican las siguientes
propiedades:
A. (V, +) es un grupo abeliano:
(1). Asociativa: ∀⃗v1,⃗v2,⃗v3 ∈ V, (⃗v1 + ⃗v2) + ⃗v3 = ⃗v1 + (⃗v2 + ⃗v3).
(2). Conmutativa: ∀⃗v1,⃗v2 ∈ V, ⃗v1 + ⃗v2 = ⃗v2 + ⃗v1.
(3). Vector nulo. ∃⃗0 ∈ V / ⃗v +⃗0 = ⃗0 + ⃗v = ⃗v ∀⃗v ∈ V .
(4). Para cada ⃗v ∈ V existe elemento opuesto −⃗v ∈ V que verifica que ⃗v+(−⃗v) = ⃗0.
B. La ley de composici´on externa cumple:
(5). λ(⃗v1 + ⃗v2) = λ⃗v1 + λ⃗v2 ∀⃗v1,⃗v2 ∈ V, ∀λ ∈ K.
(6). (λ + µ)⃗v = λ⃗v + µ⃗v ∀⃗v ∈ V, ∀λ, µ ∈ K.
(7). λ(µ⃗v) = (λµ)⃗v ∀⃗v ∈ V, ∀λ, µ ∈ K.
(8). 1⃗v = ⃗v ∀⃗v ∈ V siendo 1 la unidad en el cuerpo K.
Comentarios:
1. En esta asignatura estudiaremos esencialmente los espacios vectoriales reales, es decir
el caso K = R. No obstante los resultados y propiedades que presentaremos ser´an v´alidos
(salvo que se especifique los contrario) para cualquier tipo de espacio vectorial.
2. Es habitual escribir directamente V para denotar al espacio vectorial (V, +, ·K),
d´andose por conocidas las leyes de composici´on.
3. En general no escribiremos el punto “·” al denotar la ley de composici´on externa (as´ı
se ha hecho ya en la enumeraci´on de las propiedades anteriores).
4. Los elementos de V se llaman de manera gen´erica vectores, independientemente de
que el espacio vectorial concreto sea de tipo vectorial geom´etrico o no. Por esta raz´on
hemos elegido la notaci´on t´ıpica vectorial ⃗v, que obviamente no es necesaria de manera
general. Los elementos del cuerpo se denominan escalares.
5. La suma de un vector ⃗u con el opuesto de otro −⃗v se denota con el s´ımbolo de la
resta:

5. ESPACIOS VECTORIALES 5
⃗u + (−⃗v) = ⃗u − ⃗v
6. La definici´on de espacio vectorial que hemos presentado es la m´as habitual en la
literatura, sin embargo, como curiosidad, comentaremos que la propiedad conmutativa
de la Ley de composici´on interna puede ser deducida del resto de las propiedades, por lo
que estrictamente hablando no ser´ıa necesario incluirla en la definici´on general. Ejercicio:
Demu´estralo.
Propiedades de un Espacio Vectorial.
Dado un espacio vectorial real V , se verifican las siguientes propiedades b´asicas:
• a) ∀⃗v ∈ V, 0⃗v = ⃗0.
• b) ∀λ ∈ R, λ⃗0 = ⃗0.
• c) λ⃗v = ⃗0 ⇒ λ = 0 o ⃗v = ⃗0
• d) ∀λ, ∀⃗v, (−λ)⃗v = −λ⃗v = λ(−⃗v).
1.4 Subespacios Vectoriales
Definici´on Subespacio Vectorial. Sea (V, +, ·R) un espacio vectorial real y sea U un
subconjunto de V . Se dice que U es un subespacio vectorial de V si (U, + · R) es un
espacio vectorial real, es decir si las leyes de composici´on de V tambi´en lo son para U y
adem´as se verifican todas las propiedades de la definici´on restringidas al conjunto U.
Teorema: Teorema de Caracterizaci´on de subespacios vectoriales. Sea U ⊂ V un sub-
conjunto no vac´ıo (U ̸= ∅) del espacio vectorial V . La condici´on necesaria y suficiente
para que U sea subespacio vectorial de V es que se verifique:
a) ∀⃗u1, ⃗u2 ∈ U ⇒ ⃗u1 + ⃗u2 ∈ U b) ∀λ ∈ R, ∀⃗u ∈ U ⇒ λ⃗u ∈ U
Teorema: Teorema de Caracterizaci´on de subespacios vectoriales II. Sea U ⊂ V un
subconjunto no vac´ıo (U ̸= ∅) del espacio vectorial V . La condici´on necesaria y su-
ficiente para que U sea subespacio vectorial de V es que se verifique:
∀λ, µ ∈ R, ∀⃗u1, ⃗u2 ∈ U ⇒ λ⃗u1 + µ⃗u2 ∈ U
Definici´on: Intersecci´on de subespacios. Dados dos subespacios U1 y U2 de un espacio
vectorial V , se define la intersecci´on de U1 y U2 y se denota por U1 ∩U2 como el conjunto:
U1 ∩ U2 = {⃗u ∈ V /⃗u ∈ U1, ⃗u ∈ U2}

6. 6 ESPACIOS VECTORIALES
Proposici´on: La intersecci´on de dos subespacios U1 y U2 de un espacio vectorial V es,
a su vez, un subespacio vectorial de V .
Definici´on: Suma de subespacios. Dados U1 y U2 dos subespacios de un espacio vecto-
rial V , se llama suma de U1 y U2 al conjunto U1 + U2 definido de la forma:
U1 + U2 = {⃗u ∈ V , ∃ ⃗u1 ∈ U1, ∃ ⃗u2 ∈ U2 / ⃗u = ⃗u1 + ⃗u2}
Proposici´on: La suma de dos subespacios U1 y U2 de un espacio vectorial de V es un
subespacio vectorial de V .
Definici´on: Suma directa de dos subespacios. Sean U1 y U2 dos subespacios vectoriales
de un mismo espacio V , se dice entonces que U1 y U2 forman suma directa si todo vector
⃗u ∈ U1 +U2 se descompone como suma de un vector ⃗u1 de U1 m´as otro ⃗u2 ∈ U2 de forma
´unica. Ser´a denotada por el s´ımbolo U1 ⊕ U2.
Teorema: Sea un espacio vectorial V y U1 y U2 dos subespacios de V . La condici´on
necesaria y suficiente para que U1 y U2 formen suma directa es que U1
∩
U2 = {⃗0}.
Def: Subespacios Suplementarios. Dado un espacio vectorial V y dos subespacios U1 y
U2 de V , se dice que U1 y U2 son subespacios suplementarios si forman suma directa y
adem´as dicha suma coincide con el espacio V , es decir: V = U1 ⊕ U2.
1.5 Dependencia e Independencia Lineal
Sea V un espacio vectorial real, definiremos los suguientes conceptos:
Definici´on: Sistema de vectores. Llamaremos sistema de vectores de V a todo conjunto
finito de vectores de V : S = {⃗v1,⃗v2, ...,⃗vp}.
Definici´on: Combinaci´on lineal de vectores. Se llama combinaci´on lineal de los vectores
del sistema S = {⃗v1,⃗v2, ...,⃗vp} a todo vector de la forma
⃗v = λ1⃗v1 + λ2⃗v2 + ... + λp⃗vp
donde λi ∈ R. Los escalares λi reciben entonces el nombre de coeficientes de la combi-
naci´on lineal.
Teorema: El conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores de un sistema
S es un subespacio vectorial de V .
Dicho subespacio recibe el nombre de subespacio generado por S y se denota por
L(S) o ⟨⃗v1,⃗v2, ...,⃗vp⟩,
L(S) = ⟨⃗v1,⃗v2, ...,⃗vp⟩ = {λ1v1 + λ2v2 + ... + λpup / λi ∈ R}

7. ESPACIOS VECTORIALES 7
Rec´ıprocamente el sistema S recibe el nombre de sistema generador del subespacio L(S).
Definici´on: Sistema libre y ligado. Dado un sistema de vectores de V : S = {⃗v1,⃗v2, ...,⃗vp},
se dice que S es un sistema libre, o que sus vectores son linealmente independientes, si
dada una combinaci´on lineal de los vectores de S igual al vector nulo, entonces necesa-
riamente todos los coeficientes son nulos, es decir:
λ1v1 + λ2v2 + ... + λpvp = ⃗0 ⇒ λ1 = λ2 = ... = λp = 0
En caso contrario (es decir si no necesariamente los coeficientes son nulos) se dice que
el sistema de vectores S es ligado, o alternativamente, que sus vectores son linealmente
dependientes.
Definici´on: Se dice que un vector ⃗v depende linealmente de los vectores de S =
{⃗v1,⃗v2, ...,⃗vp} si ⃗v ∈ L(S).
Propiedades de los sistemas libres y ligados
1. Sea S un sistema libre de vectores de V y sea ⃗v ∈ L(S), entonces los coeficientes de
⃗v como combinaci´on lineal de los vectores de S son ´unicos.
2. Si ⃗v ̸= ⃗0, entonces S = {⃗v} es un sistema libre.
3. Todo sistema que contenga al vector nulo como elemento es necesariamente un sistema
ligado.
4. Si S es un sistema libre, entonces todo subsistema de vectores S′ ⊂ S tambi´en es
libre.
5. Si S es un sistema ligado, entonces todo sistema ¯S que contenga a S como subsistema,
S ⊂ ¯S, tambi´en es sistema ligado.
6. Si S es un sistema ligado, entonces al menos uno de sus vectores depende linealmente
de los dem´as.
7. Si S es un sistema libre y S′ = S ∪ {⃗v} es ligado, entonces necesariamente ⃗v ∈ L(S).
Equivalentemente, si S es libre y ⃗v no pertenece a L(S), entonces S′ = S ∪ {⃗v} ser´a
tambi´en libre.
Definici´on: Sistemas equivalentes de vectores. Dados dos sistemas de vectores de V :
S1 = {⃗u1, ⃗u2, ..., ⃗up} y S2 = {⃗v1,⃗v2, ...,⃗vq}. Se dice que S1 y S2 son sistemas equivalentes
de vectores si generan el mismo subespacio, es decir: L(S1) = L(S2).
Proposici´on: Sean S1 y S2 dos sistemas de vectores de V . la condici´on necesaria y
suficiente para que S1 y S2 sean equivalentes es que todos los vectores de S1 pertenezcan
a L(S2) y todos los de S2 a L(S1).
Transformaciones elementales. Dado un sistema de vectores S = {⃗v1,⃗v2, ...,⃗vp}, se
llaman transformaciones elementales en S a las siguientes:

8. 8 ESPACIOS VECTORIALES
1. Intercambiar el orden de dos vectores, ⃗vi y ⃗vj, en S. Denotaremos esta operaci´on
simb´olicamente por Fij.
2. Multiplicar el vector ⃗vi por un escalar λ ̸= 0. Notaci´on: Fi(λ).
3. Sumar a un vector ⃗vi del sistema S otro vector del sistema ⃗vj multiplicado por
cualquier escalar λ. Notaci´on: Fij(λ).
Proposici´on: Si un sistema de vectores S′ de V se obtiene a partir de S por medio
de un n´umero finito de transformaciones elementales, entonces, ambos sistemas son
equivalentes, es decir: L(S) = L(S′).
1.6 Bases, dimensi´on y rango
Teorema: Teorema fundamental de la independencia lineal. Sea G un sistema de genera-
dores del espacio vectorial V , G = {⃗u1, ⃗u2, ..., ⃗up}, L(G) = V , y sea S un sistema libre de
vectores de V , S = {⃗v1,⃗v2, ...,⃗vn}. Entonces necesariamente n ≤ p, es decir el cardinal
de un sistema de generadores de V es siempre mayor o igual que el cardinal de cualquier
sistema libre de vectores de V .
Demostraci´on: Demostraremos el Teorema por reducci´on al absurdo, es decir supondremos que n > p
y llegaremos a una contradicci´on, de manera que necesariamente deber´a verificarse que n ≤ p.
Por ser G un sistema generador de V podemos expresar cualquier vector como una combinaci´on lineal
de los vectores de G. En particular, el vector ⃗v1 ∈ S podr´a escribirse como:
⃗v1 = λ1⃗u1 + λ2⃗u2 + ... + λp⃗up
y adem´as necesariamente alguno de los coeficientes deber´a ser no nulo, pues en caso contrario ⃗v1 ser´ıa
nulo, y en consecuencia S no podr´ıa ser un sistema libre. Supongamos que λ1 ̸= 0 (si no fuera as´ı siempre
se podr´ıan reordenan los vectores de S para conseguirlo). Entonces podremos despejar el vector ⃗u1 de
la forma:
⃗u1 =
1
λ1
⃗v1 −
λ2
λ1
⃗u2 − ... −
λp
λ1
⃗up
y as´ı ⃗u1 es combinaci´on lineal de los vectores del sistema G1 = {⃗v1, ⃗u2, ⃗u3, ..., ⃗up}. Evidentemente el
resto de vectores de G tambi´en pertenece a L(G1), y recordemos que G es un sistema de generadores
de V , luego todos los vectores de G1 pertenecen a L(G). Seg´un la propiedad enunciada anteriormente,
entonces L(G) = L(G1) y, en consecuencia, G1 es tambi´en un sistema de generadores de V .
Repetimos ahora el proceso con el vector ⃗v2, expres´andolo como combinaci´on lineal de los vectores
de G1:
⃗v2 = µ1⃗v1 + µ2⃗u2 + ... + µp⃗up
Una vez m´as, no todos los coeficientes pueden ser nulos simult´aneamente, pero adem´as no puede darse
la situaci´on en la que ´unicamente µ1 fuera diferente de cero, pues en tal caso ⃗v2 = µ1⃗v1, y S no ser´ıa un
sistema libre. Tomemos por tanto µ2 ̸= 0, entonces podemos escribir:
⃗u2 =
µ1
µ2
⃗v1 −
1
µ2
⃗v2 −
µ3
µ2
⃗u3 − ... −
µp
µ2
⃗up
Razonado de manera similar a la anterior concluiremos que G2 = {⃗v1,⃗v2, ⃗u3, ..., ⃗up} es un sistema de
generadores de V .

9. ESPACIOS VECTORIALES 9
Dado que estamos suponiendo que n ≥ p, podremos repetir el proceso p veces, tras lo que ob-
tendr´ıamos que
Gp = {⃗v1,⃗v2, ...,⃗vp}
es un sistema de generadores de V , por tanto los vectores ⃗vp+1 . . . ,⃗vn ser´ıan al mismo tiempo linealmente
independientes de los vectores de Gp y pertenecientes a V = L(Gp), lo cual es absurdo.
Queda demostrado entonces que n no puede ser en ning´un caso mayor que p, por lo que necesaria-
mente n ≤ p. Q.E.D.
Definici´on: Bases. Se dice que un sistema de vectores B = {⃗e1,⃗e2, ...,⃗en} del espacio
vectorial V es una base de V si B es un sistema libre de vectores y adem´as es un sistema
de generadores de V .
Definici´on: un espacio vectorial es de tipo finito si est´a generado por un n´umero finito
de vectores, es decir si existen sistemas de generadores de V con cardinal finito.
Definici´on: Coordenadas de un vector en una base. Sea V un espacio vectorial de tipo
finito y sea B = {⃗e1,⃗e2, ...,⃗en} una base de V . Entonces todo vector de ⃗v ∈ V puede ex-
presarse como combinaci´on lineal de los vectores de B (por ser B sistema de generadores
de V ):
⃗v = x1⃗e1 + x2⃗e2 + ... + xn⃗en
y adem´as, por ser B un sistema libre, los coeficientes de dicha combinaci´on son ´unicos
para cada vector ⃗v. Llamaremos coordenadas del vector ⃗v en la base B a los coefi-
cientes (x1, x2, . . . , xn) de dicha combinaci´on lineal. Denotaremos habitualmente en-
tonces: ⃗v = (x1, x2, ..., xn)|B, si bien cuando se sobreentienda la base que se est´a uti-
lizando omitiremos el sub´ındice B en dicha expresi´on1.
Teorema: Teorema de la base. En un espacio vectorial V (de tipo finito) todas las
bases tienen el mismo n´umero de vectores.
A este n´umero se le llama dimensi´on del espacio V y se le representa por dim V .
Demostraci´on: Consideremos dos bases cualesquiera de V : B = {⃗e1,⃗e2, ...,⃗en} y B′
= {⃗e′
1,⃗e′
2, ...,⃗e′
n′ }.
Se tiene que,
1. B es un sistema generador y B′
es un sistema libre ⇒ n′
≤ n.
2. B′
es un sistema generador y B es un sistema libre ⇒ n ≤ n′
.
Tenemos entonces que: n ≤ n′
y n′
≤ n, por lo que necesariamente: n = n′
. Q.E.D.
Corolarios del teorema de la Base:
1
En particular, en el caso del espacio vectorial Rn
, existe una base distinguida de todas las dem´as, la
base can´onica: Bc = {(1, 0, . . . , 0), (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , (0, . . . , 0, 1)}, que es la ´unica base de Rn
que verifica
que las componentes de todo vector (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn
coinciden exactamente con sus coordenadas con
respecto a ella. De manera general, para cualquier espacio vectorial dado, el concepto de base can´onica
es m´as difuso, pues toda base podr´ıa ser considerada como “can´onica” con respecto a s´ı misma.

10. 10 ESPACIOS VECTORIALES
• Si S es libre y el cardinal de S es igual a la dimensi´on del espacio vectorial V
entonces S es base de V .
• Si S es un sistema de generadores de V y su cardinal es igual a la dimensi´on de
V , entonces S es base de V .
Teorema: Teorema de la Base Incompleta. Sea V un espacio vectorial de dimensi´on
finita n y sea S = {⃗u1, ⃗u2, ..., ⃗up} un sistema libre de p < n vectores de V , entonces
existe un sistema S′ formado por n − p vectores de V tal que S ∪ S′ es una base de V .
De forma equivalente puede enunciarse el Teorema diciendo que a todo sistema libre S
de un espacio vectorial V se le pueden a˜nadir n − card(S) vectores hasta completar una
base de V .
F´ormula de las dimensiones (o de Grassmann): Sean U1 y U2 dos subespacios del
espacio vectorial V . Se verifica entonces que:
dim (U1 + U2) = dim U1 + dim U2 − dim U1 ∩ U2
Demostraci´on: Sea ¯B = {⃗e1,⃗e2, ...,⃗ep} una base de U1 ∩ U2. Dado que U1 ∩ U2 es un subespacio tanto
de U1 como de U2, podemos utilizar el teorema de la base incompleta en ambos casos, de manera que
construimos las bases B1 y B2 de U1 y U2 respectivamente, de la forma:
B1 = {⃗e1,⃗e2, ...,⃗ep, ⃗u1, . . . , ⃗ur}, B2 = {⃗e1,⃗e2, ...,⃗ep,⃗v1, . . . ,⃗vm}
donde dimU1 = p + r y dimU2 = p + m. Evidentemente podemos conocer un sistema de generadores del
subespacio U1 + U2 sin m´as que unir los vectores de ambas bases (y obviamente eliminamos los vectores
repetidos):
U1 + U2 = ⟨⃗e1,⃗e2, ...,⃗ep, ⃗u1, . . . , ⃗ur,⃗v1, . . . ,⃗vm⟩
Finalmente demostraremos que este sistema de generadores en realidad es una base de U1 +U2. Suponga-
mos que no lo son, dado que los p + r primeros vectores constituyen una base de U1, al menos uno de
los vectores ⃗vi deber´ıa depender linealmente de ellos, por ejemplo ⃗v1:
⃗v1 ∈ ⟨⃗e1,⃗e2, ...,⃗ep, ⃗u1, . . . , ⃗ur⟩
pero entonces ⃗v1 pertenece simult´aneamente a U1 y a U2, por lo que pertenece a U1 ∩ U2. Si recordamos
que los vectores ⃗v1, . . . ,⃗vm constitu´ıan una base de un suplementario en U2 de U1 ∩ U2, entonces resulta
que ⃗v1 no puede pertenecer a U1 ∩ U2. Concluimos por tanto que los vectores ⃗v1, . . . ,⃗vm son linealmente
independientes de los vectores: ⃗e1,⃗e2, ...,⃗ep, ⃗u1, . . . , ⃗ur, y en consecuencia:
{⃗e1,⃗e2, ...,⃗ep, ⃗u1, . . . , ⃗ur,⃗v1, . . . ,⃗vm}
forman una base de U1 + U2. De esta forma:
dim (U1 + U2) = p + r + m = dim U1 + dim U2 − dim U1 ∩ U2
Q.E.D.
Definici´on: El rango de un sistema de vectores es por definici´on la dimensi´on del sub-
espacio generado por dicho sistema. Es trivial comprobar que el rango coincide con el
mayor de los cardinales de los subsistemas libres contenidos en dicho sistema.