Este documento presenta conceptos fundamentales sobre relaciones entre conjuntos como contenencia e igualdad. Explica que un conjunto A es subconjunto de B si todos sus elementos también están en B, denotado como . Define igualdad entre conjuntos como tener los mismos elementos. Luego introduce operaciones básicas entre conjuntos como unión, intersección y complemento, y establece leyes algebraicas que siguen como el álgebra de Boole.

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio Del Poder Popular para la Educación
Instituto Universitario Antonio José de Sucre
Barquisimeto Estado Lara
Yinmary Y. Vásquez R.
19.482.641
Informática 78
2º semestre
Relaciones entre conjuntos
Hay dos relaciones importantes que se tienen entre conjuntos: contenencia e igualdad

2. Contenencia entre conjuntos. Sean A y B conjuntos. A es unsubconjuntode Bsi cada
elemento de A es un elemento de B. Si A es subconjunto de B escribimos . En
símbolos tenemos que,
si y solamente si
Cuando A es subconjunto de B se dice también que, A está contenido en B o que,
B contiene a A.
Ejemplo:
El conjunto P de enteros pares es un subconjunto de los enteros. Es decir,
En el sistema de los números reales se tienen las siguientes contenencias
importantes:
Si A no está contenido en, es decir, si hay un elemento que está en A y no está en B,
escribimos .
Ejemplo:
El conjunto R de números primos no está contenido en el conjunto M de números
naturales impares. Es decir
De acuerdo a la definición de contenencia, cuando la implicación
es verdadera. Utilizaremos este hecho en la demostración de las siguientes propiedades
sobre contenencia entre conjuntos.
Teorema 1.2.1 Para cualquier conjunto A, se tiene que:
(i)
(ii)
(iii)
Demostración:

3. Como no tiene elementos, la proposición es falsa. Por lo tanto la
implicación es verdadera 1.
Puesto que todo elemento pertenece a U, la proposición es verdadera. Por lo
tanto la implicación es verdadera 2.
es verdadera3.
Definición: 1.2.2 Igualdad entre conjuntos. Dos conjuntos A y B son iguales si tienen
los mismos elementos,es decir,
Ejemplo:
Cuando se quiere demostrar que A = B teniendo en cuenta la definición anterior,
debemos probar que i) y ii) .
Ilustraremos esta forma de mostrar la igualdad entre dos conjuntos en la demostración
de las siguientes propiedades sobre igualdad entre conjuntos.
Teorema 1.2.2 Dados A, B y C conjuntos, se tiene que:
A =A.
.
.
Demostración:
(i) .
Esto implica que:
.
.
Ejercicio:
Demostrar las partes (i) y (iii) del teorema anterior.
Negando la definición de igualdad entre conjuntos, deducimos que dos conjuntos no son
iguales si no tienen los mismos elementos: 5

4. Es decir,
Ejemplo:
Decimos que A es subconjunto propio de B si .
Utilizamos la notación para indicar que A es subconjunto propio de B. Por
ejemplo, .
Contenencia e igualdad entre conjuntos definidos por comprensión
En el caso que los conjuntos estén descritos por comprensión, las relaciones de
contenencia e igualdad se pueden expresar en términos de los predicados que definen
los conjuntos.
Sean,
Como:
Entonces,
Por lo tanto,
Como:
Entonces,
.

5. En otros términos,
Por lo tanto,
Ejemplo:
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
En esta sección se estudiaran varias operaciones que combinan
conjuntos dados para crear nuevos conjuntos.
Definición: 1.3.1 unión entre conjuntos. Sean A y B conjuntos. La
unión de A y B está definida como el conjunto de todos los elementos
que están en A, o están en B, o en ambos A y B. En símbolos,
Por lo tanto,
En consecuencia:
Definición: 1.3.2 Intersección entre conjuntos. Sean A y B
conjuntos. La intersección de A y B está definida como el conjunto de
todos los elementos que están en ambos A y B. En símbolos,
Por lo tanto,

6. En consecuencia:
Ejemplo:
Sean . Entonces,
.
Ejemplo:
Conjuntos disyuntos. Si dos conjuntos no tienen elementos en
común, se dice que son disyuntos. En símbolos,
Ejemplo:
Las operaciones de intersección y unión entre conjuntos son ejemplos
de operaciones binarias: dados dos conjuntos A y B como operandos,

7. los resultados son también conjuntos, en este caso los
operadores son respectivamente.
La siguiente definición del complemento de un conjunto, es un
ejemplo de operación unaria: dado un conjunto A como operando esta
operación da como resultado un nuevo conjunto . El operador
“complemento” es denotado por „.
Complemento de un conjunto. Sea U un universo y A un
subconjunto de U. El complemento de A es el conjunto de todos los
elementos que no están en A. En símbolos,
Por lo tanto,
En consecuencia:
Ejemplo:
,
Ejemplo:
,
Ejemplo:

8. Operaciones entre conjuntos definidos por comprensión.
En el caso particular que los conjuntos estén descritos por
comprensión, las operaciones entre ellos se pueden indicar en
términos de los predicados que definen los conjuntos.
Sean
Como:
Entonces,
En este caso,
En consecuencia:
Como:
Entonces,
En este caso,
En consecuencia:
Como:

9. Entonces,
En este caso,
En consecuencia:
Ejemplo:
Sean
Entonces,

10. EL ÁLGEBRA DE CONJUNTOS
Uno de lo resultados más importantes acerca de conjuntos es que bajo
las operaciones de unión, intersección y complemento se satisfacen
ciertas leyes algebraicas a partir de la cuales podemos desarrollar un
álgebra de conjuntos. El álgebra de conjuntos es un ejemplo de una
estructura conocida como un álgebra de Boole; otro ejemplo es el
álgebra de la lógica, donde son las operaciones que actúan
sobre proposiciones.
En esta sección trataremos las leyes básicas del álgebra de conjuntos.
Teorema 1.4.1 Si A y B son conjuntos, entonces
(i)
( ii )
Demostración:
( i ) Para demostrar que debemos mostrar
que .
.Definición de

11. ( ii ) Para demostrar que debemos mostrar
que .
Definición de
Teorema 1.4.2 SiA y B son conjuntos, entonces
(i)
( ii )
Ejercicio: Demostrar el teorema anterior.
Teorema 1.4.3 SiA y B son conjuntos, entonces
(i)
( ii )
Demostración:
( i ) Hay que demostrar dos implicaciones: 8
Supongamos que . Para demostrar la igualdad
debemos mostrar las dos contenencias:
(a.1) DefiniciónU.
hipótesis
9
(a.2) Es verdadera por el teorema (1.4.4.i i ).
Supongamos que
por el teorema (1.4.4.i ).
De esta forma, reemplazando por B por la contenencia anterior
obtenemos:

12. .
Ejercicio: Demostrar la parte ( i i ) del teorema anterior.
Teorema 1.4.4 Leyes de absorción Para cualesquier conjuntos A y B,
(i) .
(i i ) .
Demostración:
(i) teorema ( 1.4.2.i )
Por lo tanto,
teorema ( 1.4.3.i )
Ejercicio: Demostrar la parte ( i i ) del teorema anterior.
Teorema 1.4.4 Leyes de absorción Para cualesquier conjuntos A, B y
C, se cumple lo siguiente:
( i ) Leyes conmutativas
(a)
(b)
( i i )Leyes asociativas
(a)
(b)
( i i i ) Leyes distributivas
(a)
(b)
( i v ) leyes idempotencia
(a)
(b)

13. ( v ) leyes deidentidad
(a)
(b)
(c)
(d)
( v i ) leyes decomplemento
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
( v i i ) leyes de Morgan
(a)
(b)
Demostración:
( i i i.a ) hay que demostrar las dos contenencias:
(1)
(2)
(1)

14. (2)
Ejercicio: Demostrar las demás partes del teorema anterior.
Usando las leyes del álgebra de conjuntos que hemos desarrollado
anteriormente, podemos probar todas las propiedades elementales
sobre conjuntos sin referirnos a las definiciones de lo
símbolos . El siguiente es un ejemplo de como tales
pruebas se pueden realizar.
Ejemplo:
o Demostrar
Demostrar