Este documento introduce el concepto de límite para funciones reales de variable real y su estrecha relación con la continuidad. Explica que un punto de acumulación α de un subconjunto A de los reales es aquel al que se puede acercar una sucesión de puntos de A distintos de α. Ilustra este concepto con el ejemplo del conjunto A = [0,1[ ∪ {2}, demostrando que su conjunto de puntos de acumulación es A0 = [0,1]. Finalmente, indica que los puntos aislados de un conjunto A son aqu

1. Límite Funcional Estudiamoseneste temael conceptode límite parafuncionesrealesde
variable real,que guardaunaestrecharelaciónconla continuidad.1.1.Puntosde acumulación
Pretendemosestudiarlanociónde límite de unafunciónenunpunto,que permite describirel
comportamientode unafunciónal acercarnosa un puntode la recta real.A diferenciade la
continuidad,noseráprecisotrabajarenun puntodonde lafunciónesté definiday,aunque lo
esté,notendremosencuentael valorque tomala funciónenel puntoconsiderado.Síserá
necesarioque efectivamentepodamosacercarnosdesde el conjuntode definiciónde la
funciónal puntoenel que pretendemosestudiarla.Estomotivalasiguientedefinición.Si A es
un subconjuntode R,decimosque α ∈ R es unpuntode acumulaciónde A,cuandoexiste una
sucesiónde puntosde A,distintosde α,que converge aα,esdecir,existe unasucesión{xn} tal
que xn ∈ A{α} para todo n ∈ N y {xn} → α. Es costumbre denotarporA 0 al conjuntode los
puntosde acumulaciónde A.Observamosque si α ∈ A 0 tenemospuntosde A arbitrariamente
próximosaα perodistintosde α.De formamás concreta,para cada δ > 0 tenemosque
]α−δ,α+δ[ ∩ (A{α}) 6= 0/, es decir,podemosencontrarx ∈ A tal que 0 < |x−α|< δ. En efecto,
si {xn} → α con xn ∈ A {α} para todon ∈ N,por definiciónde límite de unasucesiónexistirám
∈ N tal que |xn − α|< δ para n > m,en particularxm ∈ A y 0 < |xm −α|< δ. Recíprocamente,si
para cada δ > 0 se tiene que ]α −δ,α +δ[ ∩ (A {α}) 6= 0/, para cada n ∈ N podemostomarδ=
1/n y existiráxn∈A tal que 0 < |xn− α|< 1/n. Obtenemosasíunasucesión{xn} que
evidentementeverifica{xn} → α conxn ∈ A {α} para todon ∈ N.Simbólicamente,paraA ⊂ R
y α ∈ R tenemos:α ∈ A 0 ⇐⇒]α−δ,α+δ[ ∩ (A{α}) 6= 0/ ∀δ > 0 1 1. Límite Funcional 2
Consideremosporejemploel conjuntoA =[0,1[ ∪ {2}. La intuiciónnosindicarápidamenteque
A 0 = [0,1], perovamosa demostrarcon detalle estaigualdad,parailustrarlasdistintasformas
de decidirsi un númeroreal eso no puntode acumulaciónde unconjunto.En primerlugar,es
fácil verque [0,1[⊂ A 0 . En efecto,si x ∈ [0,1[, para cualquierδ> 0 podemostomary ∈ R
verificandoque x <y < m´ın{x + δ,1} y tenemosevidentemente que y ∈A, así como que 0 < |y
− x|< δ,luegox ∈ A 0 . Alternativamente,definiendoxn=n x+1 n+1 para todo n ∈ N, tenemos
evidentementeque x < xn< 1, luegoxn ∈ A {x} para todon ∈ N,y es claroque {xn} → x.En
segundolugartenemosque 1∈ A 0 , puestoque {1−1/n} esuna sucesiónde puntosde A,
distintosde 1,que converge a 1. Tenemosporahora que [0,1] ⊂ A 0 y vamosa comprobar que
se da la igualdad.Seaα ∈ A 0 y {xn} unasucesiónde puntosde A verificandoque xn6= α para
todon ∈ N y {xn} → α.Para cada n ∈ N tenemosentoncesque 06 xn< 1, o bienxn= 2. La
segundaposibilidadnopuede sermuyfrecuente,concretamente el conjunto{n ∈N : xn = 2}
ha de ser finito,puesde locontrariotendríamosunasucesiónparcial de {xn} constantemente
igual a 2, lo que implicaríaα = 2, contradiciendoel hechode que xn6= α para todon ∈ N.Por
tanto,existe m ∈ N tal que para n > m se tiene xn6= 2, luego0 6 xn < 1. Usando que {xm+n} →
α con 0 6 xm+n < 1 para todo n ∈ N,deducimosque 0 6 α 6 1. Hemoscomprobadoasí que A 0
⊂ [0,1], como queríamos.Resaltamosque enel ejemploanteriornose verificaque A 0 ⊂ A,
pues1 ∈ A 0 A,y tampocoque A ⊂ A 0 , ya que 2 ∈ AA 0 . En general, noexiste relaciónentre
serpunto de acumulaciónde unconjuntoy perteneceral conjunto.Dadounconjunto
cualquieraA ⊂ R, lospuntosde A que no sonpuntosde acumulaciónrecibenel nombrede
puntosaislados.Asípues,aes unpuntoaisladode un conjuntoA ⊂ R cuandoa ∈ A A 0 . La
caracterizaciónde lospuntosde acumulacióncomentadaanteriormentenosdaun fácil
criteriopara detectarlospuntosaislados.Concretamente,aesunpuntoaisladode un
conjuntoA cuando existe δ> 0 tal que ]a−δ,a+δ[ ∩ A = {a}.Por ejemplo,parael conjuntoA =
[0,1[ ∪ {2} estudiadoanteriormente,sabemosque 2esun puntoaisladode A.De hecho,para
0 < δ 6 1 esevidente que ]2−δ,2+δ[ ∩ A = {2}.Para estudiarotroejemplointeresante,
pensemosenel casode un intervaloI ⊂R. Cuandoel intervalose reduce aun punto,I = {a}
con a ∈ R, esevidente que aesunpuntoaisladode I. Perosi I tiene al menosdospuntos,

2. entoncesIno tiene puntosaislados,esdecir,I ⊂I 0 . En efecto,fijadoa∈ I, seab ∈ I {a} y
supongamosde momentoque a< b.Entonces,para δ > 0 arbitrario,tomandox = m´ın{a + δ,b}
tenemosque ]a,x[⊂[a,b] ⊂Iy ]a,x[⊂]a− δ,a+ δ[,de donde concluimosque ]a− δ,a + δ[ ∩ (I
{a}) 6= 0/. En el caso b < a hubiésemostomadox =max´ {a − δ,b} para tener0/ 6=]x,a[⊂]a− δ,a
+ δ[ ∩ (I {a}).En cualquiercasotenemosa ∈ I 0 como queríamos.Para cada tipode intervalo
esfácil ya adivinarel conjuntode suspuntosde acumulación.Enconcreto,si I es unintervalo
acotado de extremosα = ´ınf I, β = sup I, tenemosclaramenteI0 = [α,β],mientrasque si Ies
una semirrecta,entoncesI0 será lacorrespondientesemirrectacerrada.