Este documento trata sobre álgebra lineal y ecuaciones diferenciales. Explica conceptos como la matriz asociada a una transformación lineal, el núcleo e imagen de una transformación lineal, y los valores y vectores propios de una matriz. También cubre la diagonalización de matrices cuadradas. El objetivo es que los estudiantes identifiquen estas nociones y las apliquen a problemas del mundo real.

1. ÁLGEBRA LINEAL Y ECUACIONES
DIFERENCIALES
FORMACIÓN POR COMPETENCIAS
Núcleo e imagen de
Transformaciones lineales.
Valores y vectores propios.

2. OBJETIVOS
 Identificar la matriz asociada de una transformación
es lineal.
 Calcular el núcleo e imagen de una transformación es
lineal.
 Calcular los valores y vectores propios de una matriz.
 Diagonalizar una matriz cuadrada.
 Aplicar los métodos estudiados a diferentes
problemas de contexto real.

4. Teorema
Una transformación 𝑻: ℝ 𝒏 → ℝ 𝒎 de ℝ 𝒏 en ℝ 𝒎 es lineal si y solo
si existe una matriz 𝑨 de orden 𝒎 × 𝒏 tal que para todo
𝒙 = 𝒙 𝟏 ; 𝒙 𝟐 ; ⋯ ; 𝒙 𝒏 ∈ ℝ 𝒏 se cumple
𝑻 𝒙 = 𝑨
𝒙 𝟏
𝒙 𝟐
⋮
𝒙 𝒏
OBSERVACIÓN
Esta es una de las matrices que se pueden asociar a la
transformación lineal, precisamente aquella asociada a
las bases canónicas de ℝ 𝒏
y ℝ 𝒎
.

5. Ejemplo 1
Halle la matriz asociada a la transformación lineal
𝑻 𝒙; 𝒚; 𝒛; 𝒘 = 𝟐𝒙 + 𝟑𝒘; 𝒙 − 𝟒𝒚 + 𝟓𝒛; 𝟕𝒚 + 𝟏𝟎𝒘
Solución:
Una manera muy práctica de hallar la matriz asociada es expresar el
vector 𝑻 𝒙; 𝒚; 𝒛; 𝒘 como el producto de una matriz por el vector
(𝒙; 𝒚; 𝒛; 𝒘) expresado como una matriz columna.
Así tenemos
𝑻 𝒙; 𝒚; 𝒛; 𝒘 =
𝟐 𝟎 𝟎 𝟑
𝟏 −𝟒 𝟓 𝟎
𝟎 𝟕 𝟎 𝟏𝟎
𝒙
𝒚
𝒛
𝒘
Luego la matriz asociada es:
𝟐 𝟎 𝟎 𝟑
𝟏 −𝟒 𝟓 𝟎
𝟎 𝟕 𝟎 𝟏𝟎

7. Núcleo de una transformación lineal
Sea 𝑻: ℝ 𝒏 → ℝ 𝒎 una transformación lineal. El núcleo (o kernel)
de 𝑻 se define como el conjunto
𝑲𝒆𝒓 𝑻 = 𝒗 ∈ ℝ 𝒏 𝑻 𝒗 = 𝟎
OBSERVACIÓN
El núcleo de una T.L 𝑻: ℝ 𝒏 → ℝ 𝒎 es a su vez un espacio
vectorial con las mismas operaciones de ℝ 𝒏
, es decir es
un subespacio vectorial de ℝ 𝒏

8. Ejemplo 1
Sea la T.L. 𝑻: ℝ 𝟐 → ℝ 𝟐 definida por
𝑻 𝒙; 𝒚 = 𝒙 + 𝒚; 𝒙 + 𝒚 ; ∀ 𝒙; 𝒚 ∈ ℝ 𝟐
Determine el núcleo de 𝑻.
Solución:
Tenemos por definición que 𝒙; 𝒚 ∈
𝑲𝒆𝒓(𝑻) solo cuando
𝑻 𝒙; 𝒚 = (𝟎; 𝟎)
esto implica que 𝒙 + 𝒚; 𝒙 + 𝒚 = 𝟎; 𝟎
de donde 𝒚 = −𝒙.
Luego
𝑲𝒆𝒓 𝑻 = 𝒙; 𝒚 ∈ ℝ 𝟐
𝒚 = −𝒙
𝑲𝒆𝒓(𝑬)
𝒙
𝒚

9. Ejemplo 2
Determine y grafique el núcleo de las siguientes
transformaciones lineales
a.- 𝑻 𝒙; 𝒚; 𝒛 = (𝒙 − 𝟐𝒚; 𝒙 + 𝒚; 𝒙 − 𝒚)
b.- 𝑻 𝒙; 𝒚; 𝒛 = (𝟑𝒙 − 𝟐𝒚; 𝒚 − 𝟑𝒛; 𝒙 − 𝟐𝒛)
c.- 𝑻 𝒙; 𝒚; 𝒛 = 𝒙 − 𝒚 + 𝟐𝒛; 𝟐𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝟒𝒛; 𝒙 − 𝒚 + 𝟐𝒛
d.- 𝑻 𝒙; 𝒚; 𝒛 = (𝟎; 𝟎; 𝟎)
Solución:

10. Ejercicio 1
Calcule los valores de 𝑎 y 𝑏 de modo que la transformación
lineal 𝑇: 𝑅2
→ 𝑅2
definida por 𝑇 𝑥; 𝑦 = 𝑎𝑥 + 5𝑦; 6𝑥 + 𝑏𝑦 , tenga
como núcleo a la recta de ecuación 𝑦 = 3𝑥
Solución:

11. Ejercicio 2
Encada caso determine el núcleo de la transformación dada
a.- 𝑇: ℝ 𝟑
→ ℝ 𝟐
definida por 𝑇 𝑥; 𝑦; 𝑧 = 𝑥 − 𝑧; 𝑦 − 𝑧
b.- 𝑇: ℝ 𝟑
→ ℝ 𝟑
definida por
𝑇 𝑥; 𝑦; 𝑧 = 𝑥 + 3𝑦 + 4𝑧; 3𝑥 + 4𝑦 + 7𝑧; −2𝑥 − 2𝑦
Solución:

12. Imagen de una transformación lineal
Sea 𝑻: ℝ 𝒏 → ℝ 𝒎 una transformación lineal. La imagen de 𝑻 se
define como el conjunto
𝑰𝒎 𝑻 = 𝒘 ∈ ℝ 𝒎 ∃ 𝒗 ∈ ℝ 𝒏 ∶ 𝑻 𝒗 = 𝒘
= 𝑻(𝒗) 𝒗 ∈ ℝ 𝒏
OBSERVACIÓN
La imagen de una T.L 𝑻: ℝ 𝒏
→ ℝ 𝒎
también es un
subespacio vectorial de ℝ 𝒎

13. Ejemplo 1
Sea la T.L. 𝑻: ℝ 𝟐 → ℝ 𝟐 definida por
𝑻 𝒙; 𝒚 = 𝒙 + 𝒚; 𝒙 + 𝒚 ; ∀ 𝒙; 𝒚 ∈ ℝ 𝟐
Determine y grafique la imagen de 𝑻
Solución:
Tenemos por 𝑰𝒎(𝑻) es el conjunto de
puntos de la forma:
𝑻 𝒙; 𝒚 = 𝒙 + 𝒚; 𝒙 + 𝒚 = (𝒙 + 𝒚)(𝟏; 𝟏)
y como 𝒙; 𝒚 ∈ ℝ son reales arbitrarios,
concluimos que
𝑰𝒎 𝑻 = 𝒕; 𝒕 ∈ ℝ 𝟐
𝒕 ∈ ℝ
𝒙
𝒚

14. Ejemplo 2
Determine cuál (o cuales) de los siguientes conjuntos no
puede ser la imagen de alguna transformación lineal.
a.- 𝒙; 𝒚; 𝒛 ∈ ℝ 𝟑
𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟏
b.- 𝑷 ∈ ℝ 𝟑 𝑷 = 𝒕 𝟏; 𝟐; 𝟏 + 𝒔 𝟎; 𝟏; −𝟑 ; 𝒕, 𝒔 ∈ ℝ
c.- 𝒙; 𝒚; 𝒛 ℝ 𝟑 𝒙
𝟐
=
𝒚
𝟑
= 𝒛
Solución:

15. Ejemplo 3
Dada la transformación lineal 𝑇: 𝑅2 → 𝑅3 definida por
𝑇 𝑥; 𝑦 = 𝑥 + 𝑦; 𝑥 − 𝑦; 𝑥 + 2𝑦 , determine el 𝑖𝑚(𝑇).
Solución:

16. Ejercicio 1
Sea la transformación lineal 𝑻: ℝ 𝟐
→ ℝ 𝟐
definida por
𝑻 𝒙; 𝒚 = 𝒙 + 𝟐𝒚; 𝟐𝒙 + 𝒚 ; ∀ 𝒙; 𝒚 ∈ ℝ 𝟐
a.- ¿Es cierto que el vector (0,0) se encuentra en la imagen de
la transformación 𝑇? Justifique su respuesta.
b.- Analice si los vectores de la forma donde pertenecen a la
imagen de la transformación 𝑇.
c.- Determine y grafique la imagen de la transformación 𝑇.
Solución:

18. Valores y vectores propios
Sea A = 𝑎𝑖𝑗 una matriz de orden 𝑛, y considere la ecuación
vectorial
𝑨𝒗 = 𝝀𝒗
donde 𝝀 es un escalar (número real) y 𝒗 ∈ ℝ 𝒏×𝟏
es una variable
vectorial
1. Un valor de λ para el que la ecuación anterior tiene
solución no nula se le denomina valor propio de
𝑨 (autovalor, eigenvalor o valor característico de 𝑨).
2. Las soluciones correspondientes 𝒗 ≠ 𝟎, se le denomina
vectores propios de 𝑨 (autovector, eigenvectores o
vectores característicos de 𝑨)

19. Valores y vectores propios
OBSERVACIÓN
Si 𝑻: ℝ 𝒏 → ℝ 𝒎 es una Transformación Lineal, sus valores y
vectores propios son aquellos correspondientes a su
matriz asociada respecto a las bases canónicas.
𝒙
𝒚
𝒗
𝟐𝒗
Si 𝑻 𝒗 = 𝟐𝒗 entonces 𝒗 es un
vector propio de 𝑻 y su valor
propio asociado es 𝟐
Por ejemplo

20. Ejemplo 1
Sea la matriz 𝑨 =
−𝟓 𝟐
𝟐 −𝟐
.
a.- ¿Cuál de los siguientes vectores es un vector propio de
𝑨?
𝟐; 𝟏 ; 𝟏; 𝟐 ; 𝟑; 𝟓 ; 𝟎; 𝟎
b.- Para el vector propio identificado en el item anterior,
determine el valor propio asociado.
Solución:

21. Polinomio y ecuación característica
Sea 𝑨 una matriz de orden 𝒏. El polinomio característico de 𝑨
se define como
𝑷 𝒄𝒂𝒓𝒂𝒄𝒕(𝝀) = 𝒅𝒆𝒕 𝑨 − 𝝀 𝑰
Y la ecuación característica de 𝑨 es:
𝒅𝒆𝒕 𝑨 − 𝝀 𝑰 = 𝟎
Por ejemplo para la matriz 𝑨 =
𝟏 𝟑
−𝟒 𝟏
su polinomio
característico es:
𝒅𝒆𝒕 𝑨 − 𝝀𝑰 = 𝒅𝒆𝒕
𝟏 − 𝝀 𝟑
−𝟒 𝟏 − 𝝀
= 𝝀 𝟐 − 𝟐𝝀 + 𝟏𝟑
Y su ecuación característica es:
𝝀 𝟐 − 𝟐𝝀 + 𝟏𝟑 = 𝟎

22. TEOREMA
Sea 𝑨 una matriz de orden 𝒏.
1.- Los valores propios de 𝑨 son las raices de la ecuación
característica de 𝑨
2.- Para cada valor propio 𝝀 𝟎 de la matriz 𝑨, el conjunto
solución de la ecuación vectorial
𝑨 − 𝝀𝑰 𝑿 = 𝟎
representa el conjunto de vectores propios asociados al valor
propio 𝝀 𝟎

23. Ejemplo 1
Calcule los valores y vectores propios para cada una de las
siguientes matrices
a.- 𝐴 =
1 −1 0
−1 2 −1
0 −1 1
b.- 𝐴 =
0 0 2
0 2 0
2 0 0
c.- 𝐴 =
9
16
−
1
16
−
3
16
11
16
d.- 𝐴 =
4 1 −1
2 5 −2
1 1 2
Solución:

24. Ejemplo 2
En la figura se muestran los dos vectores propios asociados
al valor propio 𝜆 = 2 de una transformación lineal 𝑇 ∶ ℝ2 → ℝ2
Y
X
Modele la regla de
correspondencia de la
transformación 𝑇
Solución:

25. Ejercicio 1
Sea la transformación 𝑇: ℝ2
→ ℝ2
definida por
𝑇 𝑥; 𝑦 = 2𝑦; 8𝑥
a.- Determine todos los valores propios de la transformación
𝑇.
b.- Exprese el vector 𝑢 = 0,1 como una combinación lineal
de dos vectores propios no paralelos asociados a los valores
propios hallados en el ítem anterior
Solución:

27. Diagonalización
Una matriz cuadrada 𝐴 de orden 𝑛 se dice diagonalizable si
existe una matriz invertible 𝑃 y una matriz diagonal 𝑫 tal que:
𝑨 = 𝑷𝑫𝑷−𝟏
Una matriz 𝐴 de orden 𝑛 es diagonalizable si y sólo si tiene 𝑛
vectores propios linealmente independientes
Teorema

28. Ejemplo 1
Determine si la matriz 𝑨 =
𝟏 −𝟏
−𝟒 𝟏
es diagonalizable o no
Solución:
Calculemos los vectores propios de esta matriz
𝒅𝒆𝒕 𝑨 − 𝝀𝑰 = 𝒅𝒆𝒕
𝟏 − 𝝀 −𝟏
−𝟒 𝟏 − 𝝀
= 𝝀 𝟐
− 𝟐𝝀 − 𝟑
Al resolver esta ecuación obtenemos 𝝀 𝟏 = 𝟑 y 𝝀 𝟐 = −𝟏
Para estos valores propios obtenemos los vectores propios
asociados:
Para 𝝀 𝟏 = 𝟑: obtenemos el vector propio 𝒗 𝟏 = (𝟏; −𝟐)
Para 𝝀 𝟐 = −𝟏: obtenemos el vector propio 𝒗 𝟐 = (𝟏; 𝟐)
Como los vectores 𝒗 𝟏 y 𝒗 𝟐 son L.I. concluimos que 𝑨 si es
diagonalizable.

29. Ejemplo 2
Determine si la siguiente transformación lineal es
diagonalizable
𝑻 𝒙; 𝒚; 𝒛 = −𝟐𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟑𝒛; 𝟐𝒙 + 𝒚 − 𝟔𝒛; −𝒙 − 𝟐𝒚
Solución:

30. Teorema
Sea 𝑨 una matriz cuadrada de orden 𝒏
a.- Si 𝑨 tiene 𝒏 valores propios distintos, entonces tiene 𝑛
vectores propios L.I.
b.- Si 𝑨 es simétrica, entonces tiene 𝒏 vectores propios
ortonormales. (y en consecuencia L.I.)
Por ejemplo, por simple inspección podemos afirmar que las
siguientes matrices son diagonalizables:
𝑨 =
−𝟏 𝟎 𝟎
𝟎 𝟏 𝟎
𝟎 𝟎 −𝟑 𝑨 =
−𝟕 −𝟏 𝟖 𝟏
−𝟏 𝟐 −𝟓 𝟔
𝟖 −𝟓 𝟎 𝝅
𝟏 𝟔 𝝅
𝟏
𝟕

31. Teorema
Si 𝐴 es una matriz diagonalizable de orden 𝑛, entonces
𝑷−𝟏 𝑨𝑷 = 𝒅𝒊𝒂𝒈(𝝀 𝟏 ; 𝝀 𝟐 ; 𝝀 𝟑 ; ⋯ ; 𝝀 𝒏)
donde
• λ1; λ2; λ3;…; λ 𝑛 son los valores propios de 𝑨
• 𝑷 es la matriz cuyas columnas son los vectores propios
asociados los valores propios de 𝐴
𝑷 = 𝒗 𝟏 𝒗 𝟐 𝒗 𝟑 ⋯ 𝒗 𝒏
Vector propio asociado a 𝝀 𝟏
Vector propio asociado a 𝝀 𝟐
Vector propio asociado a 𝝀 𝟑
Vector propio asociado a 𝝀 𝒏

32. Ejemplo 1
Diagonalice las siguientes matrices:
a.- 𝑨 =
𝟒 −𝟓
𝟐 −𝟑
b.- 𝑨 =
𝟒 𝟏 −𝟏
𝟐 𝟓 −𝟐
𝟏 𝟏 𝟐
Solución:

33. Propiedades de la matriz diagonal
Para la matriz diagonal
𝑫 = 𝒅𝒊𝒂𝒈 𝝀 𝟏; 𝝀 𝟐; 𝝀 𝟑; ⋯ ; 𝝀 𝒏
se cumplen las siguiente propiedades
1.- 𝑫 𝒌 = 𝒅𝒊𝒂𝒈 𝝀 𝟏
𝒌
; 𝝀 𝟐
𝒌
; 𝝀 𝟑
𝒌
; ⋯ ; 𝝀 𝒏
𝒌
2.- 𝑫−𝟏
= 𝒅𝒊𝒂𝒈
𝟏
𝝀 𝟏
;
𝟏
𝝀 𝟐
;
𝟏
𝝀 𝟑
; ⋯ ;
𝟏
𝝀 𝒏
Teorema
Si 𝐴 es una matriz cuadrada de orden 𝑛 diagonalizable,
entonces podemos escribir:
a.- 𝑨 = 𝑷𝑫𝑷−𝟏
b.- 𝑨 𝒌 = 𝑷𝑫 𝒌 𝑷−𝟏 para cualquier 𝒌 ∈ ℕ
c.- Si además A es invertible, entonces 𝑨−𝟏
= 𝑷𝑫−𝟏
𝑷−𝟏

34. Ejemplo 1
Sea la matriz 𝑨 =
𝟏 −𝟏
−𝟒 𝟏
. Demuestre que para cualquier
𝒌 ∈ ℕ se cumple
𝑨 𝒌 =
𝟏
𝟒
𝟐 𝟑 𝒌 + −𝟏 𝒌 −𝟏 𝒌 − 𝟑 𝒌
𝟒 −𝟏 𝒌 − 𝟑 𝒌 𝟐 𝟑 𝒌 + −𝟏 𝒌
Solución:

35. Ejemplo 2
En la figura se muestran los vectores propios asociados al
valor propio λ = 2 de una transformación lineal 𝑇: ℝ2 → ℝ 𝟐.
Diagonalice la matriz asociada a 𝑇.
Solución:

36. Bibliografía
4. Calculus – Larson Edwards
3. Introducción al Álgebra Lineal – Howard Anton
1. Algebra lineal y sus aplicaciones –David C. Lay.
2. Introducción al Álgebra Lineal – Larson Edwards.
5. Álgebra Lineal – Bernard Kolman; David R. Hill