Este documento presenta un resumen de un episodio de clase sobre el concepto de números naturales. El profesor les pregunta a los estudiantes "¿qué es un número?" pero ellos tienen dificultad para responder de manera precisa. El documento analiza las diferentes concepciones e historia del concepto de número, y sugiere la necesidad de adoptar una perspectiva antropológica para comprender plenamente la naturaleza de los números.
El documento presenta un episodio de una clase de formación de maestros sobre los números naturales. El profesor les pregunta a los estudiantes qué es un número, a lo que uno responde que es un signo que designa una cantidad. Sin embargo, el concepto de número es complejo y ha sido objeto de debate filosófico. El documento explora las relaciones entre las nociones conjuntistas de los números naturales y sus usos prácticos e informales versus los usos formales en las matemáticas.
Este documento presenta un resumen de un artículo académico que explora los diferentes significados de los números naturales. El artículo utiliza un episodio de una clase de formación de maestros como contexto, donde el instructor presenta la construcción lógica de los números naturales. El documento argumenta que es necesario distinguir entre los usos prácticos e informales de los números y sus definiciones formales, ya que a lo largo de la historia han existido diferentes concepciones de los números naturales dependiendo del contexto cultural y época. El artículo
Analisis ontosemiotico de una clase de suma y restaobservatorio2015
Este documento aplica el enfoque ontosemiótico de la cognición e instrucción matemática para analizar una lección sobre la suma y la resta de un libro de texto español de 5o grado. Los objetivos son ilustrar la técnica de análisis de textos matemáticos propuesta por este enfoque y identificar criterios para evaluar la idoneidad didáctica de unidades sobre estructuras aditivas en educación primaria. Los resultados pueden ser útiles para la formación de profesores.
Este documento presenta la asignatura de Cálculo Diferencial de la carrera de Logística. La asignatura se enfoca en conceptos fundamentales como números reales, funciones y límites, y su objetivo principal es enseñar a los estudiantes a derivar funciones y aplicar la derivada para resolver problemas relacionados con la Logística. El curso consta de tres horas de teoría, dos horas de práctica y cinco créditos. Su primera unidad cubre los números reales y las propiedades básicas como la tricotomía
Este documento presenta una introducción al sector de matemática en el currículum escolar chileno. Explica que el objetivo es enriquecer la comprensión de la realidad de los estudiantes y desarrollar su pensamiento crítico a través del aprendizaje de matemáticas. Luego describe los cuatro ejes principales del currículum: números, álgebra, geometría y datos y azar. Cada eje presenta los conceptos y habilidades matemáticas fundamentales que los estudiantes deben desarrollar a lo largo de su educ
El libro de texto analizado introduce los números decimales a través de una situación problema en la que un niño quiere participar en un juego cuya condición de altura mínima es de 1,32 metros, pero él mide solo 1,30 metros. La situación plantea la importancia de las centésimas para medir cantidades continuas en la vida cotidiana, lo que sugiere que el objetivo es presentar los números decimales y su utilidad.
Este documento presenta la problemática de enseñanza de los números reales en la educación secundaria y en la formación de profesores. El objetivo general del estudio es construir, experimentar y evaluar una nueva praxeología matemática para la enseñanza de los números reales que supere los problemas actuales y permita un uso funcional de los números reales.
Godino perspectiva de la investigacion en didácticasvalbuen1
Este documento presenta una perspectiva de la didáctica de las matemáticas como disciplina científica. Se define la didáctica de las matemáticas como la disciplina cuyo fin es identificar, caracterizar y comprender los fenómenos y procesos que condicionan la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. Se describen las principales líneas de investigación en didáctica, incluyendo teorías y filosofía de la educación matemática, psicología de la educación matemática, didáct
El documento presenta un episodio de una clase de formación de maestros sobre los números naturales. El profesor les pregunta a los estudiantes qué es un número, a lo que uno responde que es un signo que designa una cantidad. Sin embargo, el concepto de número es complejo y ha sido objeto de debate filosófico. El documento explora las relaciones entre las nociones conjuntistas de los números naturales y sus usos prácticos e informales versus los usos formales en las matemáticas.
Este documento presenta un resumen de un artículo académico que explora los diferentes significados de los números naturales. El artículo utiliza un episodio de una clase de formación de maestros como contexto, donde el instructor presenta la construcción lógica de los números naturales. El documento argumenta que es necesario distinguir entre los usos prácticos e informales de los números y sus definiciones formales, ya que a lo largo de la historia han existido diferentes concepciones de los números naturales dependiendo del contexto cultural y época. El artículo
Analisis ontosemiotico de una clase de suma y restaobservatorio2015
Este documento aplica el enfoque ontosemiótico de la cognición e instrucción matemática para analizar una lección sobre la suma y la resta de un libro de texto español de 5o grado. Los objetivos son ilustrar la técnica de análisis de textos matemáticos propuesta por este enfoque y identificar criterios para evaluar la idoneidad didáctica de unidades sobre estructuras aditivas en educación primaria. Los resultados pueden ser útiles para la formación de profesores.
Este documento presenta la asignatura de Cálculo Diferencial de la carrera de Logística. La asignatura se enfoca en conceptos fundamentales como números reales, funciones y límites, y su objetivo principal es enseñar a los estudiantes a derivar funciones y aplicar la derivada para resolver problemas relacionados con la Logística. El curso consta de tres horas de teoría, dos horas de práctica y cinco créditos. Su primera unidad cubre los números reales y las propiedades básicas como la tricotomía
Este documento presenta una introducción al sector de matemática en el currículum escolar chileno. Explica que el objetivo es enriquecer la comprensión de la realidad de los estudiantes y desarrollar su pensamiento crítico a través del aprendizaje de matemáticas. Luego describe los cuatro ejes principales del currículum: números, álgebra, geometría y datos y azar. Cada eje presenta los conceptos y habilidades matemáticas fundamentales que los estudiantes deben desarrollar a lo largo de su educ
El libro de texto analizado introduce los números decimales a través de una situación problema en la que un niño quiere participar en un juego cuya condición de altura mínima es de 1,32 metros, pero él mide solo 1,30 metros. La situación plantea la importancia de las centésimas para medir cantidades continuas en la vida cotidiana, lo que sugiere que el objetivo es presentar los números decimales y su utilidad.
Este documento presenta la problemática de enseñanza de los números reales en la educación secundaria y en la formación de profesores. El objetivo general del estudio es construir, experimentar y evaluar una nueva praxeología matemática para la enseñanza de los números reales que supere los problemas actuales y permita un uso funcional de los números reales.
Godino perspectiva de la investigacion en didácticasvalbuen1
Este documento presenta una perspectiva de la didáctica de las matemáticas como disciplina científica. Se define la didáctica de las matemáticas como la disciplina cuyo fin es identificar, caracterizar y comprender los fenómenos y procesos que condicionan la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. Se describen las principales líneas de investigación en didáctica, incluyendo teorías y filosofía de la educación matemática, psicología de la educación matemática, didáct
El documento analiza una lección sobre suma y resta para estudiantes de 5o grado utilizando el enfoque ontosemiótico. Identifica la estructura y objetivos de la lección, así como algunos posibles conflictos semióticos como suponer que las matemáticas pueden enseñarse solo a través de la experiencia o no considerar adecuadamente las características del razonamiento algebraico. Concluye que el análisis de textos es importante para evaluar procesos de enseñanza y que libros con baja idoneidad epistémica y semi
Los Números Primos y la Criba de Eratóstenesajaviergo
Esta presentación queremos que sirva para motivar a los alumnos al descubrimiento de las particularidades de los números primos, haciendo especial énfasis en la Criba de Eratóstenes
El documento trata sobre el pensamiento numérico y variacional. Explica que el pensamiento numérico se refiere a la comprensión de los números y operaciones, y que el pensamiento variacional implica reconocer y modelar el cambio y variación. Incluye ejemplos de cómo enseñar estos conceptos en primaria a través de situaciones de la vida cotidiana y el contexto escolar.
Este ensayo propone estrategias metodológicas para mejorar la enseñanza de la estadística en las escuelas, incluyendo la implementación de proyectos de investigación estadística y experimentación con fenómenos aleatorios. Argumenta que el pensamiento estadístico es importante para que los estudiantes puedan interpretar la gran cantidad de información en el mundo actual. También sostiene que los docentes deben aplicar herramientas metodológicas como la evaluación de pre-saberes de los estudiantes para mejorar la compre
Perspectiva educativa de las matemáticascheshirenad
Este documento presenta diferentes concepciones sobre las matemáticas, incluyendo las matemáticas como objetos independientes de la cultura humana, como un producto del ingenio humano, y como un conocimiento en evolución. También discute las relaciones entre las matemáticas puras y aplicadas, y el papel de las aplicaciones en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas.
Este documento presenta una unidad didáctica sobre lógica y sistemas numéricos reales para estudiantes de tercer grado. La unidad abordará conceptos como proposiciones lógicas, tablas de verdad, conjuntos numéricos y operaciones con números reales a través de actividades prácticas durante 4 semanas. La unidad evaluará la capacidad de los estudiantes de aplicar conceptos lógicos, comunicar matemáticamente y resolver problemas utilizando estrategias como tablas de verdad y ejemplos de la vida real
Proyecto Aleatorio Y Sistemas De Datosjaimarbustos
La evaluación escrita o gráfi ca, es un medio para evaluar o aprender. En la educación básica, los estudiantes bogotanos han incursionado en sus cursos de matemáticas, bajo el patrón de pensamientos, y es allí donde el pensamiento aleatorio [estadística o probabilidad] incursiona con elementos geométricos, métricos o numéricos, para adelantar actidudes o procesos, para conocer. Adjunto presentamos tres (3) talleres, con una complejidad adecuada a los grados quinto, sexto o séptimo.Acorde al diseño curricular, analizado en
* Ejes temáticos
* Contenidos
* Acciones observables
* Indicador de desempeño
PFPD UN Bogotá 2010 Colombia
Paradigmas, problemas y metodologías de investigación en didáctica de la mate...luzgomezgutierrez
El documento analiza diferentes concepciones de la Didáctica de la Matemática como disciplina y los paradigmas de investigación adecuados. Discute cómo estos factores determinan la definición de los problemas de investigación, que junto con la perspectiva sistémica son componentes principales de la Teoría de la Educación Matemática. Finalmente, describe la concepción surgida en Francia que considera integradora de los diferentes enfoques de esta disciplina.
En esta presentación encontrarás un análisis sobre algunas características relacionadas con las olimpiadas matemáticas aplicadas a alumnos de los grados octavo y noveno.
Este documento trata sobre las dificultades que tienen los estudiantes al resolver problemas de conteo y combinatoria, a pesar de haber estudiado estos temas. El autor plantea varias preguntas de investigación para identificar los factores que influyen en estas dificultades y analizar cómo se construye el conocimiento matemático de conteo. El objetivo es mejorar los procesos de aprendizaje en este tema a través de un enfoque socioepistemológico.
Este documento discute aspectos clave para diseñar un currículo de matemáticas para mejorar un proyecto social. Propone organizar los contenidos en torno a competencias transversales como razonamiento espacial y resolución de problemas. También destaca la importancia de contextos de aprendizaje ricos que motiven a los estudiantes y el uso de instrumentos como calculadoras. Finalmente, enfatiza que el verdadero desafío es fortalecer la preparación didáctica y disciplinar de los maestros de matemáticas.
Este documento presenta los contenidos y estándares del plan de estudios de matemáticas para el tercer grado en una escuela en Perú durante el año 2011. Los temas que se cubrirán incluyen conjuntos, el sistema de numeración decimal, figuras geométricas, medición del tiempo, operaciones aritméticas como la adición y sustracción, y la clasificación y organización de datos. La evaluación se centrará en si los estudiantes alcanzan los objetivos y logros planteados a través de criterios como la comprensión de conceptos, aplicación de
El documento describe el pensamiento matemático en diferentes etapas educativas. En preescolar, se enfoca en el razonamiento y reconocimiento de números en la vida diaria. En primaria, se desarrollan conceptos aritméticos, algebraicos, geométricos e interpretación de información. En secundaria, transita del razonamiento intuitivo al deductivo y analiza recursos para presentar información. En todas las etapas, busca que los estudiantes usen el conocimiento matemático de forma flexible para resolver problemas.
"Problemas y metodologías de investigación en el marco del Enfoque Ontosemiótico en Educación Matemática". Conferencia del Dr. Juan Díaz Godino en el XI Congreso Puertorriqueño de Investigación en la Educación
Este documento presenta cuatro secciones sobre el razonamiento lógico-matemático y la resolución de problemas. La primera sección establece el marco de referencia de la competencia matemática y el objetivo de enseñar matemáticas. La segunda sección discute consideraciones metodológicas generales. La tercera sección presenta criterios metodológicos para el razonamiento y la resolución de problemas. La cuarta sección propone programas de trabajo en el aula sobre estos temas.
El documento describe los componentes del pensamiento numérico y variacional, así como su relación con el pensamiento matemático. Explica que el pensamiento numérico implica la comprensión de los números y operaciones, mientras que el pensamiento variacional implica reconocer y modelar el cambio y la variación. Además, presenta ejemplos de cómo se enseñan y evalúan estas habilidades en diferentes grados de educación primaria.
Este documento presenta las diferentes maestrías que ofrece la Facultad de Derecho y Criminología. Describe los semestres, asignaturas y optativas de cada maestría, las cuales cubren diversas áreas del derecho y la criminología. Entre las maestrías se encuentran: Derecho Penal y Sistema Acusatorio, Derecho Procesal Constitucional, Derecho Constitucional y Gobernabilidad, Derecho Fiscal, Derecho de Amparo, Derecho del Trabajo, Derecho Corporativo, Mé
El documento describe el método simplex gráfico para la resolución de problemas de programación lineal. Explica la estructura general de un modelo de programación lineal con una función objetivo y restricciones. Luego presenta un ejemplo de producción donde se debe maximizar la utilidad determinando la cantidad óptima de mesas y sillas a fabricar, sujeto a restricciones de horas de trabajo disponibles. Finalmente, detalla los pasos para modelar matemáticamente el problema y graficar la solución en el plano cartesiano.
Campaign planning workshop for the Women's International League for Peace and Freedom (WILPF). Presented at the International Board meeting at Gujurat University, Ahmedabad, India on 5 January 2010
The document summarizes the life and achievements of several prominent Indian engineers, scientists, and leaders who have made significant contributions to India's development and advanced the fields of science and technology. It discusses individuals such as Sir Mokshagundam Visvesvaraya, Sir C.V. Raman, Homi Bhabha, Vikram Sarabhai, Abdul Kalam and others who helped establish institutions and made discoveries that have had global impact and recognition. The document emphasizes the themes of excellence through moral values and highlights how these leaders achieved success through hard work, innovation, and service to the nation.
The document discusses a business consulting firm called Setup Global based in Sao Paulo, Brazil. It provides services related to corporate setup and operations, foreign direct investment, feasibility studies, and other business consulting areas. The firm aims to help both new startups and established companies with practical solutions and measurable results.
This document outlines the process of strategic campaign planning using the Matrix method. It discusses the key principles of effective organizing and walks through the 8 steps of campaign planning: issue focus, research, goals, analysis, strategy, communications, tactics, and volunteer management. The goal is to help participants understand campaign planning and be prepared to apply the Matrix model to a real campaign situation.
El documento analiza una lección sobre suma y resta para estudiantes de 5o grado utilizando el enfoque ontosemiótico. Identifica la estructura y objetivos de la lección, así como algunos posibles conflictos semióticos como suponer que las matemáticas pueden enseñarse solo a través de la experiencia o no considerar adecuadamente las características del razonamiento algebraico. Concluye que el análisis de textos es importante para evaluar procesos de enseñanza y que libros con baja idoneidad epistémica y semi
Los Números Primos y la Criba de Eratóstenesajaviergo
Esta presentación queremos que sirva para motivar a los alumnos al descubrimiento de las particularidades de los números primos, haciendo especial énfasis en la Criba de Eratóstenes
El documento trata sobre el pensamiento numérico y variacional. Explica que el pensamiento numérico se refiere a la comprensión de los números y operaciones, y que el pensamiento variacional implica reconocer y modelar el cambio y variación. Incluye ejemplos de cómo enseñar estos conceptos en primaria a través de situaciones de la vida cotidiana y el contexto escolar.
Este ensayo propone estrategias metodológicas para mejorar la enseñanza de la estadística en las escuelas, incluyendo la implementación de proyectos de investigación estadística y experimentación con fenómenos aleatorios. Argumenta que el pensamiento estadístico es importante para que los estudiantes puedan interpretar la gran cantidad de información en el mundo actual. También sostiene que los docentes deben aplicar herramientas metodológicas como la evaluación de pre-saberes de los estudiantes para mejorar la compre
Perspectiva educativa de las matemáticascheshirenad
Este documento presenta diferentes concepciones sobre las matemáticas, incluyendo las matemáticas como objetos independientes de la cultura humana, como un producto del ingenio humano, y como un conocimiento en evolución. También discute las relaciones entre las matemáticas puras y aplicadas, y el papel de las aplicaciones en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas.
Este documento presenta una unidad didáctica sobre lógica y sistemas numéricos reales para estudiantes de tercer grado. La unidad abordará conceptos como proposiciones lógicas, tablas de verdad, conjuntos numéricos y operaciones con números reales a través de actividades prácticas durante 4 semanas. La unidad evaluará la capacidad de los estudiantes de aplicar conceptos lógicos, comunicar matemáticamente y resolver problemas utilizando estrategias como tablas de verdad y ejemplos de la vida real
Proyecto Aleatorio Y Sistemas De Datosjaimarbustos
La evaluación escrita o gráfi ca, es un medio para evaluar o aprender. En la educación básica, los estudiantes bogotanos han incursionado en sus cursos de matemáticas, bajo el patrón de pensamientos, y es allí donde el pensamiento aleatorio [estadística o probabilidad] incursiona con elementos geométricos, métricos o numéricos, para adelantar actidudes o procesos, para conocer. Adjunto presentamos tres (3) talleres, con una complejidad adecuada a los grados quinto, sexto o séptimo.Acorde al diseño curricular, analizado en
* Ejes temáticos
* Contenidos
* Acciones observables
* Indicador de desempeño
PFPD UN Bogotá 2010 Colombia
Paradigmas, problemas y metodologías de investigación en didáctica de la mate...luzgomezgutierrez
El documento analiza diferentes concepciones de la Didáctica de la Matemática como disciplina y los paradigmas de investigación adecuados. Discute cómo estos factores determinan la definición de los problemas de investigación, que junto con la perspectiva sistémica son componentes principales de la Teoría de la Educación Matemática. Finalmente, describe la concepción surgida en Francia que considera integradora de los diferentes enfoques de esta disciplina.
En esta presentación encontrarás un análisis sobre algunas características relacionadas con las olimpiadas matemáticas aplicadas a alumnos de los grados octavo y noveno.
Este documento trata sobre las dificultades que tienen los estudiantes al resolver problemas de conteo y combinatoria, a pesar de haber estudiado estos temas. El autor plantea varias preguntas de investigación para identificar los factores que influyen en estas dificultades y analizar cómo se construye el conocimiento matemático de conteo. El objetivo es mejorar los procesos de aprendizaje en este tema a través de un enfoque socioepistemológico.
Este documento discute aspectos clave para diseñar un currículo de matemáticas para mejorar un proyecto social. Propone organizar los contenidos en torno a competencias transversales como razonamiento espacial y resolución de problemas. También destaca la importancia de contextos de aprendizaje ricos que motiven a los estudiantes y el uso de instrumentos como calculadoras. Finalmente, enfatiza que el verdadero desafío es fortalecer la preparación didáctica y disciplinar de los maestros de matemáticas.
Este documento presenta los contenidos y estándares del plan de estudios de matemáticas para el tercer grado en una escuela en Perú durante el año 2011. Los temas que se cubrirán incluyen conjuntos, el sistema de numeración decimal, figuras geométricas, medición del tiempo, operaciones aritméticas como la adición y sustracción, y la clasificación y organización de datos. La evaluación se centrará en si los estudiantes alcanzan los objetivos y logros planteados a través de criterios como la comprensión de conceptos, aplicación de
El documento describe el pensamiento matemático en diferentes etapas educativas. En preescolar, se enfoca en el razonamiento y reconocimiento de números en la vida diaria. En primaria, se desarrollan conceptos aritméticos, algebraicos, geométricos e interpretación de información. En secundaria, transita del razonamiento intuitivo al deductivo y analiza recursos para presentar información. En todas las etapas, busca que los estudiantes usen el conocimiento matemático de forma flexible para resolver problemas.
"Problemas y metodologías de investigación en el marco del Enfoque Ontosemiótico en Educación Matemática". Conferencia del Dr. Juan Díaz Godino en el XI Congreso Puertorriqueño de Investigación en la Educación
Este documento presenta cuatro secciones sobre el razonamiento lógico-matemático y la resolución de problemas. La primera sección establece el marco de referencia de la competencia matemática y el objetivo de enseñar matemáticas. La segunda sección discute consideraciones metodológicas generales. La tercera sección presenta criterios metodológicos para el razonamiento y la resolución de problemas. La cuarta sección propone programas de trabajo en el aula sobre estos temas.
El documento describe los componentes del pensamiento numérico y variacional, así como su relación con el pensamiento matemático. Explica que el pensamiento numérico implica la comprensión de los números y operaciones, mientras que el pensamiento variacional implica reconocer y modelar el cambio y la variación. Además, presenta ejemplos de cómo se enseñan y evalúan estas habilidades en diferentes grados de educación primaria.
Este documento presenta las diferentes maestrías que ofrece la Facultad de Derecho y Criminología. Describe los semestres, asignaturas y optativas de cada maestría, las cuales cubren diversas áreas del derecho y la criminología. Entre las maestrías se encuentran: Derecho Penal y Sistema Acusatorio, Derecho Procesal Constitucional, Derecho Constitucional y Gobernabilidad, Derecho Fiscal, Derecho de Amparo, Derecho del Trabajo, Derecho Corporativo, Mé
El documento describe el método simplex gráfico para la resolución de problemas de programación lineal. Explica la estructura general de un modelo de programación lineal con una función objetivo y restricciones. Luego presenta un ejemplo de producción donde se debe maximizar la utilidad determinando la cantidad óptima de mesas y sillas a fabricar, sujeto a restricciones de horas de trabajo disponibles. Finalmente, detalla los pasos para modelar matemáticamente el problema y graficar la solución en el plano cartesiano.
Campaign planning workshop for the Women's International League for Peace and Freedom (WILPF). Presented at the International Board meeting at Gujurat University, Ahmedabad, India on 5 January 2010
The document summarizes the life and achievements of several prominent Indian engineers, scientists, and leaders who have made significant contributions to India's development and advanced the fields of science and technology. It discusses individuals such as Sir Mokshagundam Visvesvaraya, Sir C.V. Raman, Homi Bhabha, Vikram Sarabhai, Abdul Kalam and others who helped establish institutions and made discoveries that have had global impact and recognition. The document emphasizes the themes of excellence through moral values and highlights how these leaders achieved success through hard work, innovation, and service to the nation.
The document discusses a business consulting firm called Setup Global based in Sao Paulo, Brazil. It provides services related to corporate setup and operations, foreign direct investment, feasibility studies, and other business consulting areas. The firm aims to help both new startups and established companies with practical solutions and measurable results.
This document outlines the process of strategic campaign planning using the Matrix method. It discusses the key principles of effective organizing and walks through the 8 steps of campaign planning: issue focus, research, goals, analysis, strategy, communications, tactics, and volunteer management. The goal is to help participants understand campaign planning and be prepared to apply the Matrix model to a real campaign situation.
As European demand for goods like sugar and tobacco from New World colonies increased, they established vast plantations that required large amounts of labor. They turned to Africa to meet this demand, establishing the transatlantic slave trade between the 15th-17th centuries where it is estimated 12 million Africans were captured and sold as slaves. The trade had devastating impacts on African societies through depopulation and warfare aimed at taking captives. It also disrupted family and cultural structures for enslaved peoples who endured the horrific Middle Passage voyage and were then forced to work under inhumane conditions on plantations in the Americas. The slave trade system profoundly shaped the economies and societies of Europe, Africa and the Americas.
Este documento presenta información sobre un servicio de asesoría y resolución de ejercicios de diferentes asignaturas, como finanzas e internacionales. Proporciona un correo electrónico y sitio web para cotizar el servicio. Además, incluye varios ejemplos de posibles tareas o ejercicios que podrían ser resueltos como parte del servicio de asesoría.
1) Los alimentos transgénicos son aquellos cuyo ADN ha sido modificado artificialmente para cambiar sus características. 2) Se modifican cultivos como la soja, el maíz y la papa para conferirles resistencia a plagas e insectos o tolerancia a herbicidas. 3) Existen tanto beneficios potenciales como riesgos para la salud y el medio ambiente de los alimentos transgénicos, y es un tema ampliamente debatido.
This document lists the titles of 16 books along with their authors. It includes novels such as No More Dead Dogs by Gordon Korman, Cryer's Cross by Lisa McMann, and Maze Runner by James Dashner. It also provides a link to a website for summer reading information, bookshelf, and project details.
Master en urgencias emergencias y catastrofes sanitariasCENPROEX
Este documento presenta un máster en urgencias, emergencias y catástrofes sanitarias. El máster cubre múltiples módulos relacionados con el tratamiento de urgencias y emergencias médicas, incluyendo urgencias generales, politraumatismos, diagnósticos, urgencias pediátricas, procedimientos quirúrgicos de urgencia y más. El objetivo general es capacitar a los profesionales médicos para brindar una atención integral y de alta calidad a pacientes en situaciones críticas y de emergencia
Figurative language uses comparisons between objects or ideas to describe something beyond the literal meaning. Some common types of figurative language include similes, metaphors, alliteration, hyperbole, personification, allusions, and idioms. A simile directly compares two things using "like" or "as", a metaphor makes a comparison without using those words, and alliteration repeats consonant sounds. Hyperbole exaggerates, personification gives human qualities to non-human things, and idioms are culturally understood sayings.
Este documento presenta un episodio de clase en el que un profesor introduce la construcción lógica de los números naturales a futuros maestros. El profesor pregunta qué es un número, pero los estudiantes tienen dificultad para responder. Luego, el profesor explica la construcción lógica de los números naturales como conjuntos de clases de equivalencia de conjuntos finitos mediante la relación de equipotencia. El análisis del episodio sugiere que el profesor asume un único significado privilegiado de los números naturales, cuando en realidad
Este documento presenta un episodio de clase en el que un profesor introduce la construcción lógica de los números naturales a futuros maestros. El profesor pregunta qué es un número, pero los estudiantes tienen dificultad para responder. Luego, el profesor explica la construcción lógica de los números naturales como conjuntos de clases de equivalencia de conjuntos finitos mediante la relación de equipotencia. El análisis del episodio sugiere que el profesor asume un único significado privilegiado de los números naturales, sin considerar otras
Este documento analiza los fundamentos del uso de materiales concretos en la enseñanza tradicional de la numeración. Explica que las corrientes pedagógicas del siglo XX enfatizaron el uso de materiales variados para ir "de lo concreto a lo abstracto", pero que las investigaciones actuales muestran que esta progresión no refleja cómo se aprende realmente la numeración. También compara el sistema de numeración decimal posicional con otros sistemas como el romano, resaltando las ventajas del primero.
El documento discute la importancia de desarrollar el pensamiento matemático en los estudiantes a través de situaciones problemáticas y el aprendizaje activo. Menciona que es importante que los estudiantes se diviertan con actividades mentales y se preparen para retos tecnológicos y científicos. También destaca que el uso de contextos reales ayuda a los estudiantes a entender cómo se aplican las matemáticas y despierta su creatividad. Luego, describe algunos conocimientos básicos como el pensamiento numérico y sist
El documento analiza nociones, procesos y significados de objetos matemáticos para mejorar la enseñanza y el aprendizaje del análisis matemático. Propone justificar el uso de nuevas tecnologías, vincular conceptos aritméticos, algebraicos y analíticos, y desarrollar modelos matemáticos que permitan una comprensión significativa de los contenidos.
Este documento resume varios marcos teóricos sobre la cognición matemática, incluyendo teorías sobre la naturaleza de los objetos matemáticos, el lenguaje matemático, las representaciones internas y externas, y diferentes enfoques epistemológicos. Concluye que se necesita un enfoque unificado que estudie la cognición matemática desde perspectivas personales e institucionales, y cómo se desarrolla a través de la instrucción.
Análisis de los números decimales en un libro de textofrankyjessica
El libro de texto analizado introduce los números decimales a través de una situación problema en la que un niño quiere participar en un juego cuya condición de entrada es medir al menos 1,32 m de altura, aunque el niño mide solo 1,30 m. Esta situación busca ilustrar la importancia de las partes decimales de una unidad y motivar el estudio de los números decimales.
Descripcion temas generadores PFC para convenio IUB (1).pptxPauloCsarSalgadoDaz
El documento presenta una descripción de varios temas generadores relacionados con las matemáticas y la enseñanza de las matemáticas. Los temas incluyen fundamentos de las matemáticas, razonamiento cuantitativo, geometría, estadística, didáctica de las matemáticas y desarrollo del pensamiento lógico. Cada tema incluye unidades y contenidos específicos relacionados con conceptos y habilidades matemáticas.
Este documento presenta los objetivos y contenidos de matemática para la educación secundaria en la provincia de Córdoba, Argentina. Propone concebir la matemática como una actividad de producción que implica resolver problemas y reflexionar sobre el proceso. Los estudiantes deberán acceder a conocimientos matemáticos a través de la resolución de problemas en pequeños grupos. El documento describe los aprendizajes y contenidos esperados para cada año en temas como números, álgebra, funciones, geometría y medición.
Este documento presenta el módulo de matemáticas para el curso de ingreso 2017. Explica que el módulo contiene seis bloques con actividades para repasar contenidos matemáticos previamente estudiados y aplicarlos a la resolución de problemas. Además, busca desarrollar habilidades como el trabajo autónomo y la discusión de ideas con compañeros. El primer bloque se enfoca en los números y operaciones, revisando conjuntos numéricos, la recta numérica y ecuaciones. El documento incluye una
Este documento presenta la planificación de tres clases sobre suma y resta de números enteros. La primera clase de 40 minutos repasará los conceptos básicos de números enteros a través de actividades interactivas. Las siguientes clases de 40 y 80 minutos respectivamente profundizarán operaciones con enteros utilizando material concreto para que los estudiantes desarrollen comprensión a través de la experiencia y luego puedan entender las definiciones formales. El objetivo es que aprendan de manera significativa al vincular los nuevos conceptos con situaciones reales antes que
El documento habla sobre la formación matemática. Explica que la formación matemática se refiere a la capacidad de usar las matemáticas para comprender y resolver problemas en la vida diaria y en el mundo. Describe que la formación matemática involucra competencias matemáticas como la resolución de problemas, el razonamiento y la comunicación matemática. También involucra grandes ideas matemáticas como el cambio, el espacio y la forma.
Este documento presenta un enfoque ontológico y semiótico para analizar los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Se describe una técnica de análisis basada en un modelo que considera los significados institucionales y personales involucrados, permitiendo identificar posibles conflictos semióticos. El modelo se basa en una ontología y semiótica de la cognición matemática. Se aplica la técnica para analizar un proceso de estudio sobre la mediana en un libro de texto y las respuestas de un
Este documento presenta una unidad temática sobre los números. La unidad abarcará sistemas de numeración, campos numéricos, representaciones de números reales, orden de números reales, intervalos numéricos y valor absoluto. El objetivo es que los estudiantes comprendan la historia y necesidad de los sistemas de numeración y puedan trabajar con diferentes conceptos numéricos. La unidad se enseñará a través de clases que incluyen introducciones, trabajo individual y en grupo, y ejercicios evaluativos.
Este documento presenta los elementos del currículo de matemáticas en la Educación Secundaria Obligatoria (ESO) en España, destacando los cambios entre la LOGSE y la LOE. Resume los objetivos, bloques de contenido, y criterios de evaluación, enfocándose en desarrollar competencias matemáticas a través de la resolución de problemas y el uso de tecnología.
Didactica de matematicas - Aportes y reflexiones.pdfLuisGeroldi1
Este documento presenta tres capítulos sobre la enseñanza de las matemáticas y la resolución de problemas. Primero, describe cómo las matemáticas se han desarrollado históricamente a través de la resolución de problemas y cómo esto puede guiar el aprendizaje de los estudiantes. Luego, explica tres modelos de aprendizaje - normativo, incitativo y aproximativo - centrándose en cómo cada uno aborda los errores de los estudiantes, la evaluación y la resolución de problemas. Finalmente, analiza el papel de la
En este trabajo presentamos una síntesis del modelo teórico sobre el conocimiento y la instrucción
matemática en cuya elaboración venimos trabajando desde hace varios años.
Este documento presenta un libro de texto para el noveno grado de educación secundaria en Nicaragua. Contiene 7 unidades sobre temas de matemáticas como estadística, números reales, álgebra, polinomios, sistemas de ecuaciones, geometría y funciones. Explica los contenidos de cada unidad y cómo está estructurado el libro, con columnas para historia y curiosidades matemáticas.
La pandemia de COVID-19 ha tenido un impacto significativo en la economía mundial. Muchos países experimentaron fuertes caídas en el PIB y altas tasas de desempleo en 2020 debido a los bloqueos y restricciones. A medida que se implementan las vacunas, se espera que la actividad económica se recupere en 2021 aunque el panorama sigue siendo incierto.
Este documento presenta una ficha de evaluación para recursos digitales que incluye cuatro dimensiones: técnica, diseño gráfico, diseño didáctico y diseño instruccional. Evalúa aspectos como requerimientos técnicos, navegabilidad, interfaz, elementos multimedia, actividades, contenidos, propuesta didáctica, estrategia metodológica y evaluación. Proporciona una calificación y valoración final que determina si el recurso es recomendado, recomendado con observaciones o no recomendado.
El documento define los números naturales como el conjunto IN que incluye los números 1, 2, 3, etc. Explica que las operaciones de suma y multiplicación son cerradas en los naturales, mientras que la resta y la división no lo son. También establece que los naturales cumplen las propiedades de conmutatividad, asociatividad y distributividad para la suma y la multiplicación, y que el elemento neutro de la multiplicación es 1.
Thales de Mileto fue un filósofo y matemático griego del siglo VI a.C. considerado uno de los siete sabios de Grecia. Es conocido por haber desarrollado el teorema de Thales, que establece que si dos rectas paralelas cortan a dos transversales, los segmentos de las transversales son proporcionales. Thales aplicó este principio para medir la altura de las pirámides midiendo la sombra de un bastón y comparándola con la sombra de las pirámides.
Este documento introduce conceptos básicos de álgebra, incluyendo números reales, operaciones algebraicas, símbolos y prioridad de operaciones. Explica que el álgebra requiere conocimientos previos de números enteros y racionales, y describe números reales como racionales e irracionales, así como propiedades clave de la adición como asociatividad, elemento neutro y conmutatividad.
El documento presenta cinco teorías del aprendizaje: conductiva, cognitiva, constructivista, ecléptica y sistémica. Describe brevemente cada una, destacando sus énfasis, estructuras y principales exponentes.
La formación del pensamiento matemático del niño 0 4 añosdanihuer70
Este documento describe el desarrollo del pensamiento matemático en niños de 0 a 4 años según las teorías de Piaget. Explica que en esta etapa los niños desarrollan la función simbólica y el pensamiento preoperacional, pudiendo representar conceptos pero sin poder ver otros puntos de vista. También describe las etapas sensoriomotora y preoperacional según Piaget y cómo los sentidos y habilidades de los niños se desarrollan en esta edad.
El documento describe la importancia de la geometría en la educación y sugiere enfoques para su enseñanza. Señala que la geometría se centra en clasificar, describir y analizar las relaciones y propiedades de las figuras. Recomienda utilizar materiales manipulables y programas de geometría dinámica, relacionar la geometría con la resolución de problemas, y evaluar procesos como la investigación y deducción en lugar de enfocarse en la memorización.
El documento describe los elementos básicos de la geometría plana, incluyendo el punto, la recta, el plano, el segmento, el ángulo y el triángulo. Define cada uno y explica sus características fundamentales, como que un punto es adimensional, una recta contiene infinitos puntos, un plano tiene dos dimensiones, un segmento es una parte de una recta, un ángulo mide la apertura entre dos líneas y un triángulo tiene tres lados y tres vértices.
El documento define los números naturales como el conjunto IN que incluye los números 1, 2, 3, 4, etc. Explica que las operaciones de suma y multiplicación son cerradas en los naturales, mientras que la resta y la división no lo son. También describe algunas propiedades algebraicas como la conmutatividad, asociatividad, elemento neutro y distributividad que se cumplen para la suma y multiplicación en los naturales.
Este documento presenta 18 problemas matemáticos relacionados con cuadriláteros (trapecios, rombos, cuadrados, rectángulos y romboides). Cada problema contiene una figura geométrica con ángulos y/o lados designados y pregunta por algún ángulo o lado desconocido. El objetivo es resolver cada problema para determinar el valor solicitado. El documento también incluye la dirección de la página web del profesor que lo creó.
Este documento contiene 30 problemas de ángulos y geometría para resolver. Cada problema presenta una figura geométrica con ángulos desconocidos y preguntas sobre las medidas de dichos ángulos. El objetivo es calcular las medidas de los ángulos dados la información proporcionada en cada figura como líneas paralelas, perpendiculares, bisectrices y relaciones entre ángulos.
Este documento explica las reglas de divisibilidad por números como 2, 3, 5, 7, 11, 4, 6, 8, 9, 10, 25 y 125. Detalla que un número es divisible por 2 si termina en 0 o un número par, por 3 si la suma de sus dígitos es múltiplo de 3, y por 5 si termina en 0 o 5. También describe métodos para determinar la divisibilidad por 7 y 11 basados en restar y sumar dígitos. Finalmente, indica que un número es divisible por 4, 6, 8, 9, 10, 25 o 125 si
Este documento discute las dificultades didácticas de enseñar la multiplicación como una suma de sumandos iguales. Propone que la multiplicación involucra dos conjuntos distintos y una relación constante entre ellos, en lugar de sólo un conjunto como en la suma. También aboga por usar el término "veces" en lugar de "por" para ayudar a los estudiantes a comprender mejor el concepto.
El documento presenta definiciones de problemas y ejercicios matemáticos de acuerdo a diferentes autores. Resume que un problema es una situación inicialmente bloqueada que requiere encontrar nuevos métodos para resolverla, mientras que un ejercicio es una situación conocida que puede resolverse a través de un algoritmo. Finalmente, ofrece ejemplos de problemas y ejercicios matemáticos.
Este documento proporciona una guía sobre números enteros que incluye 23 preguntas y ejercicios sobre propiedades de números enteros, como ubicar números en una recta numérica, identificar si un número pertenece a un conjunto de números, realizar operaciones como suma, resta, multiplicación y división, resolver problemas combinados con diferentes operaciones, y evaluar afirmaciones sobre números enteros en una recta numérica.
Este documento presenta la información de contacto de Víctor Huerta Herrera, un profesor de matemáticas, incluyendo su nombre, profesión, sitio web y correo electrónico. También menciona una "Cartilla de Equivalencias" y una página web relacionada con documentos para la cátedra.
Este documento discute las dificultades didácticas de enseñar la multiplicación como una suma de sumandos iguales. Argumenta que la multiplicación involucra dos conjuntos distintos con una relación constante, mientras que la suma involucra un solo conjunto. También señala que definir la multiplicación de manera cambiante confunde el pensamiento lógico de los estudiantes. En su lugar, propone enseñar la multiplicación a través del concepto de "veces" y el uso apropiado del lenguaje y la simbolización matemática.
Este documento presenta información sobre potencias de exponentes naturales y sus propiedades, notación científica, y actividades para practicar operaciones con potencias. El autor, Víctor Huerta Herrera, es profesor de matemáticas y ofrece este recurso en su página web y blog para apoyar la enseñanza de este tema.
1. Cátedra : Metodología de las Matemáticas
Docente: Víctor Huerta Herrera
Profesor de Matemática
Licenciado en Educación
Máster en Tecnologías de la Información.
Metodología de las matemáticas
¿Alguien sabe que es número?
(Extracto)
1. Introducción
Uno de los temas de estudio usuales en el programa de formación inicial de maestros es
“Números naturales. Sistemas de numeración”, cuyo objetivo es la profundización por parte del
estudiante del concepto de número natural y sus usos y de las relaciones con los sistemas de
símbolos que los representan. Parece razonable que cuando preguntemos a un estudiante, ¿qué
son los números naturales?, no se limiten a recitar la serie 1, 2, 3,…, sino que sean capaces
discriminar entre el concepto “número” de los símbolos y las palabras mediante los cuales se
expresan. Sin embargo, es también esperable que no sean capaces de dar una definición de la
noción de “número natural”. Esto no debe sorprendernos: el concepto de número natural ha sido
motivo de fuertes controversias filosóficas; de hecho, la conceptualización actual es relativamente
reciente (data de finales del siglo XIX y principios del XX). Asimismo, para cualquier concepto
matemático, podemos encontrar distintas definiciones coherentes entre sí, pero que resaltan un
determinado aspecto del número.
La naturaleza de los números naturales, y en particular su relación con los conjuntos, es
una cuestión que interesa tanto a las matemáticas como a la filosofía de las matemáticas. Pero
1
los números son también herramientas esenciales en nuestra vida cotidiana y profesional, por lo
que constituyen un tema de estudio imprescindible en la escuela desde los primeros niveles. El
maestro debe tener, por tanto, ideas claras sobre los usos de los números, los sistemas de
numeración, los procedimientos de cálculo, así como sobre el origen y naturaleza de los
números.
En este trabajo, a partir de un episodio de clase en la formación de maestros, abordamos
el estudio de las relaciones entre las nociones conjuntistas y los números naturales.
Consideramos necesario distinguir entre los usos prácticos e “informales” de los números
(responder cuestiones tales como, ¿cuántos elementos hay? o ¿qué lugar ocupa un objeto?), y
los usos “formales” (qué son los números y cómo se construyen los sistemas numéricos);
cuestiones estas últimas, relativas a los fundamentos de la matemática como cuerpo organizado
de conocimientos. Dentro de estos dos grandes contextos de uso es posible distinguir diversos
momentos históricos en los cuales las cuestiones se abordan con diversos recursos y desde
distintas aproximaciones, poniéndose en juego prácticas operativas y discursivas propias. Vistos
de manera retrospectiva podemos identificar ciertas invariancias que permiten hablar del “número
natural”, en singular, pero desde un punto de vista local parece necesario distinguir entre los
diversos números naturales que “manejaron” los pueblos primitivos y culturas antiguas (egipcios,
romanos, chinos,…), como también entre las prácticas numéricas que se realizan actualmente en
la escuela infantil o primaria, y las que realizan los matemáticos logicistas del siglo XIX o las
formulaciones axiomáticas hilbertianas.
"En vano aplicaremos nosotros, los occidentales, nuestro propio concepto científico
del número, violentamente, al objeto de que se ocupaban los matemáticos de Atenas
y Bagdad; es lo cierto que el tema, el propósito y el método de la ciencia que en
estas ciudades llevaba el mismo nombre, eran muy diferentes de los de nuestra
Web profesor: www.matematicaytic.blogspot.com
matemática. <<No hay una matemática; hay muchas matemáticas>>." (Spengler,
1918, 96).
Así pues, la comprensión de la naturaleza y significado de los números requiere adoptar
una visión antropológica sobre la matemática, como la propuesta, entre otras aproximaciones,
por el “enfoque ontosemiótico del conocimiento y la instrucción matemática” (Godino, Batanero y
Font, 2007). Esta es la razón por la que en la sección 3 incluimos algunas ideas básicas sobre
este marco teórico, las cuales son seguidamente aplicadas a discernir las características
principales de los significados informales y formales de los números.
2
Comenzamos presentando el episodio de clase mencionado , que nos va a servir de
motivación inicial para el abordaje de este problema.
2. El episodio de clase
1 Documentos para cátedra
2. Cátedra : Metodología de las Matemáticas
Docente: Víctor Huerta Herrera
Profesor de Matemática
Licenciado en Educación
Máster en Tecnologías de la Información.
Incluimos, a continuación, un extracto de una interacción profesor-estudiantes de maestro
Metodología de las matemáticas
en torno a la coexistencia, no siempre coherente, de concepciones diversas de los números
naturales. El episodio es una muestra de los conflictos semióticos tanto de los estudiantes como
del propio formador.
[El formador comienza la clase sobre “los números naturales” expresando]:
Trabajaremos primero el concepto de número, la idea, y después pensaremos en el idioma
en que podemos escribirlo. ¿Qué son los números?, por ejemplo: ¿Qué es el número cinco?
Se nos presenta un problema, utilizamos los números desde muy pequeños. Sin embargo,
se nos pregunta, ¿qué es un número?, y tenemos dificultad para responder.
[Pregunta a los estudiantes]
3
¿Alguien sabe qué es un número?
[Un alumno responde]
“Un signo que designa una cantidad”.
[El profesor vuelve a preguntar],
“¿Qué es el número cuatro?”
[Los alumnos no responden].
[El profesor escribe en la pizarra el símbolo "4" y dice]:
Esto no es más que un signo. ¿Cuál sería la idea que hay detrás de esto?, ¿Cómo podría
definirlo?
[El profesor se responde]
Si quiero comunicar qué significa el número cuatro ponemos ejemplos de grupos que
vengan de cuatro en cuatro, como por ejemplo: cuatro tizas, cuatro dedos, cuatro personas,
cuatro sillas, etc. Lo que tienen de común todos estos conjuntos es lo que llamamos la
idea de ser cuatro.
¿De qué manera se trabaja en Educación infantil y en Educación primaria? Se empieza a
mostrar los números como útiles, pero como futuros maestros, lo vamos a tomar como
objeto de estudio.
[Continúa la clase explicando la construcción logicista de los números naturales como
conjunto de las clases de equivalencia de conjuntos finitos obtenidas mediante la relación de
equipotencia o coordinabilidad de conjuntos]
[El profesor, mientras dice “vamos a partir de dos conjuntos” escribe en la pizarra]
A, B conjuntos finitos: A ≈ B ⇔ ∃ f: A → B, biyectiva
[Explica que la relación de coordinabilidad entre conjuntos es una relación de equivalencia,
es decir, cumple con las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva. Explica que la relación
de equivalencia clasifica a los conjuntos, se forman clases de conjuntos].
Web profesor: www.matematicaytic.blogspot.com
Para denotar la clase de un conjunto escribiremos Cl(A) = {conjuntos B tales que, B ≈ A}.
¿Qué tienen en común los conjuntos equipotentes con uno dado?
El número de elementos. Aquello que tienen en común es lo que se llama número
natural. Se han clasificado todos los conjuntos, y a cada una de estas colecciones de
conjuntos equipotentes es lo que se llama número natural.
El episodio muestra un modelo didáctico del tipo “mayéutica socrática”, esto es, las
preguntas del profesor son retóricas, ya que él detenta toda la carga del discurso. De hecho la
respuesta inicial dada por el alumno (“un signo que designa una cantidad”) no es considerada, ni
discutida, ni valorada… El profesor tiene una “hoja de ruta” que cumplir y en ella no se
contemplan las intervenciones de los estudiantes como “motor” del proceso instruccional. Las
intervenciones de los estudiantes cumplen una mera función fática o de contacto, esto es,
mostrar una buena disposición mutua entre emisor y receptor. Este hecho es indicador de la
2 Documentos para cátedra
3. Cátedra : Metodología de las Matemáticas
Docente: Víctor Huerta Herrera
Profesor de Matemática
Licenciado en Educación
Máster en Tecnologías de la Información.
presunción, por parte del profesor, de la existencia de un “significado privilegiado” del número
Metodología de las matemáticas
natural; a saber, aquel asociado a la definición conjuntista.
En la siguiente sección describimos algunas nociones teóricas que consideramos útiles
para entender la pluralidad de significados de las nociones matemáticas, las cuales aplicaremos
al caso de los números naturales.
3. Los significados como sistemas de prácticas
En el Enfoque Ontosemiótico del Conocimiento y la Instrucción Matemáticos (EOS)
(Godino, Batanero y Font, 2007) se concibe el significado de los conceptos matemáticos
(número, función,…), desde una perspectiva pragmático-antropológica. Según el EOS, el
significado de un objeto matemático es el sistema de prácticas operativas y discursivas que una
persona (una institución, comunidad de prácticas,…) realiza para resolver una cierta clase de
situaciones-problema en las que dicho objeto interviene. En los sistemas de prácticas intervienen
diversos tipos de objetos interrelacionados (configuración); además de la propia situación-
problema que motiva las prácticas matemáticas en el EOS se consideran como objetos
intervinientes y emergentes de las prácticas, lenguajes, conceptos, proposiciones,
procedimientos y argumentos.
Los sistemas de prácticas se han categorizado en el EOS teniendo en cuenta diversos
puntos de vista. El primero es la distinción entre las facetas personal e institucional. La primera
hace referencia a las prácticas idiosincrásicas de un individuo particular; la segunda, a las
prácticas sociales y compartidas por un grupo de personas miembros de una misma institución.
Cuando esta noción se aplica a la descripción de los conocimientos de un sujeto particular será
necesario distinguir el sistema global de prácticas que potencialmente puede poner en juego
dicho sujeto, de los subsistemas de prácticas declaradas (en un proceso de evaluación) y
logradas (al ser comparadas con unas prácticas institucionales de referencia). En cuanto a las
prácticas institucionales también es necesario distinguir entre las efectivamente implementadas
en un proceso de estudio, de las pretendidas, y de las prácticas de referencia. De esta manera, la
interpretación semiótica de las prácticas lleva a hablar de significados personales (globales,
declarados y logrados) y de significados institucionales (implementados, evaluados, pretendidos,
referenciales). La figura 1 resume los tipos de significados personales e institucionales
introducidos en el EOS.
Desde esta perspectiva se entienden los procesos de aprendizaje en términos de
acoplamiento de significados, como se indica en la parte central de la figura 1. La enseñanza
implica la participación del estudiante en la comunidad de prácticas que soporta los significados
institucionales, y el aprendizaje, en última instancia, supone la apropiación por el estudiante de
dichos significados.
Web profesor: www.matematicaytic.blogspot.com
Figura 1: Tipos de significados pragmáticos
3 Documentos para cátedra
4. Cátedra : Metodología de las Matemáticas
Docente: Víctor Huerta Herrera
Profesor de Matemática
Licenciado en Educación
Máster en Tecnologías de la Información.
3.1. Significados informales de los números
Metodología de las matemáticas
Para comunicar a otras personas, y como medio de registrar para nosotros mismos en
otros momentos, el tamaño o cantidad de elementos de un conjunto de objetos discretos
podemos hacerlo usando diferentes recursos y procedimientos:
1) En nuestra cultura occidental actual está generalizado el uso de las “palabras numéricas”,
uno, dos, tres…, y los símbolos numéricos indoarábigos, 1, 2, 3,… Estas colecciones
ilimitadas de palabras y símbolos son las que usan nuestros estudiantes cuando
preguntamos, por ejemplo, ¿Cuántos alumnos hay en clase?, y responden “hay noventa y
un estudiantes”, o, escriben, “91”. Para ello han debido aplicar un procedimiento riguroso
de conteo, poniendo en correspondencia biyectiva cada alumno de la clase con una y solo
una palabra numérica recitadas en un orden establecido.
Podemos observar que al contar han aplicado los principios del conteo:
Principio del orden estable. Las palabras numéricas uno, dos, tres,… deben recitarse
siempre en el mismo orden, sin saltarse ninguna.
Principio de la correspondencia uno a uno. A cada elemento del conjunto sometido a
recuento se le debe asignar una palabra numérica distinta y sólo una.
Principio cardinal. La palabra adjudicada al último elemento contado del conjunto
representa, no sólo el lugar que ocupa ese objeto en el recuento efectivamente realizado,
sino también el cardinal del conjunto.
Como consecuencia de la aplicación sistemática de estos principios se tiene:
Principio de irrelevancia del orden. El orden en que se cuentan los elementos del conjunto
es irrelevante para obtener el cardinal del conjunto.
Además, en relación con el desarrollo cognitivo del niño, se tiene el:
Principio de abstracción: no importa la naturaleza de los objetos que se estén contando, ni
si la colección es un conjunto homogéneo o heterogéneo de objetos.
Principio de conservación de la cantidad: la variación de la posición espacial de los objetos
no afecta a la cantidad.
2) Si les pedimos que comuniquen el resultado del recuento sin usar las “palabras o los símbolos
numéricos” los alumnos pueden inventar otros medios de expresar el tamaño, numerosidad,
número de elementos (o cardinal) del conjunto de alumnos de la clase. Por ejemplo:
- La colección de marcas ///…, o cuadraditos, sobre el papel, tantos como elementos tiene el
conjunto.
- Una combinación de símbolos para distintos agrupamientos parciales (* para indicar diez
alumnos, / para expresar una unidad).
Web profesor: www.matematicaytic.blogspot.com
Cada uno de estos “sistemas de objetos” usados para expresar la “propiedad” de los
conjuntos “número de elementos”, o cardinal, es un “sistema numeral”. Para que efectivamente
sirvan a este fin deben cumplir una serie de reglas (axiomas de Peano):
1. Uno es número natural.
2. A cada número le corresponde otro número que se llama su siguiente o sucesor.
3. Uno no es sucesor de ningún otro elemento.
4. Dos elementos diferentes de N no pueden tener el mismo sucesor (la función sucesor es
inyectiva).
5. Todo subconjunto de N que contiene un primer elemento y que contiene el sucesor de
cada uno de sus elementos coincide con N (principio de inducción).
4 Documentos para cátedra
5. Cátedra : Metodología de las Matemáticas
Docente: Víctor Huerta Herrera
Profesor de Matemática
Licenciado en Educación
Máster en Tecnologías de la Información.
Como tenemos libertad para inventar símbolos y objetos como medio de expresar el cardinal
Metodología de las matemáticas
de los conjuntos, esto es, de responder a la cuestión, ¿cuántos hay?, la colección de sistemas
numerales posibles es ilimitada. En principio cualquier colección ilimitada de objetos, cualquiera
que sea su naturaleza, se podría usar como un sistema numeral: diversas culturas han usados
conjuntos de piedrecitas, o partes del cuerpo humano, etc., como sistemas numerales.
De esta manera, es clave aceptar la vinculación del “número” con el “sistema de
representación”, pero también hay que aceptar que el número no tiene una relación “necesaria”
con un sistema concreto de símbolos.
Asimismo, la conservación de la cantidad y del número de elementos de las colecciones de
objetos (cardinalidad) no es la única característica del número. El orden lineal, el carácter conexo
de la serie o las propiedades iterativas de los números son características consustanciales y que
configuran asimismo su significado.
3.2. Significados formales
Hemos mencionado en el apartado anterior la formulación axiomática de Peano para los
números naturales, la cual se apoya esencialmente en el uso iterado de la función siguiente S.
De hecho, la axiomática de Peano es común a todos los subconjuntos de números enteros
positivos minorados, es decir, que tienen un elemento mínimo o primer elemento. Si denotamos
por α este primer elemento, la axiomática de Peano permite definir cualquier conjunto E entero
minorado. En efecto, sea E un conjunto E entero minorado, entonces:
1. α ∈ E.
2. ∃S, S: E → E, tal que: ∀ e ∈ E, S (e) ∈ E.
3. No ∃ e ∈ E tal que: S (e) = α.
4. Sean e, u ∈ N y S (e) = S (u), entonces e = u.
5. (Principio de inducción). Sea A ⊆ E, tal que:
a) α ∈ A.
b) Si e ∈ A ⇒ S (e) ∈ A.
Entonces A = E.
De tal manera que si asignamos “α = 1, E = N” se retoma la definición empírica de los
números naturales antes introducida.
Pero en el debate “fundacional” de las matemáticas, surgido a finales del siglo XIX y principios
del XX, se introdujeron otras maneras de concebir los números naturales.
A finales del siglo XIX se fundamenta toda la matemática sobre los números naturales y esta
última sobre la teoría de conjuntos. Sin entrar en detalles formales, la idea de fondo de esta
alternativa es la que usa el formador del episodio mencionado en la sección 2: partir de un
conjunto formado por un solo elemento (y todos los equipotentes, o coordinables, con él); todos
tienen “la propiedad”, o cardinal, de tener un elemento. A continuación, se considera un conjunto
que tiene la propiedad, o cardinal, de tener dos elementos, y todos los equipotentes con él. Y así
Web profesor: www.matematicaytic.blogspot.com
sucesivamente, se construye el sistema de todos los cardinales finitos. Es claro que este sistema
de cardinales finitos cumple los axiomas de Peano. Las entidades matemáticas que se ponen en
juego en las situaciones de cardinación y cálculo aritmético son analizadas de manera formal o
estructural en el marco interno de las matemáticas. Para ello los números dejan de ser
considerados como medios de expresión de cantidades de magnitudes (números de personas o
cosas, papel que cumplen en una situación, etc.) y son interpretados, bien como elementos de
5
una estructura caracterizada según la teoría de conjuntos, bien según los axiomas de Peano . En
este contexto de formalización matemática se plantean cuestiones tales como,
- ¿Cómo se deberían definir los números?
- ¿Cómo se deberían definir las operaciones aritméticas a partir de los axiomas de Peano?
- ¿Cómo se deberían definir las operaciones aritméticas cuando los números naturales son
definidos como los cardinales de los conjuntos finitos?
5 Documentos para cátedra
6. Cátedra : Metodología de las Matemáticas
Docente: Víctor Huerta Herrera
Profesor de Matemática
Licenciado en Educación
Máster en Tecnologías de la Información.
- ¿Qué tipo de estructura algebraica tiene el conjunto N de los naturales dotado de la ley de
Metodología de las matemáticas
composición interna adición?
La respuesta a estas cuestiones requiere la elaboración de recursos lingüísticos específicos,
técnicas operatorias (recursión, operaciones conjuntistas), conceptos (definiciones conjuntistas
de adición y sustracción; definiciones recursivas; definición algebraica de sustracción),
propiedades (estructura de semigrupo con elemento neutro para la adición y multiplicación) y
argumentaciones (deductivas), en definitiva un sistema de prácticas operativas y discursivas con
rasgos o características específicas, adaptadas a la generalidad y rigor del trabajo matemático.
A pesar de las diferencias entre los significados informales-empíricos y formales de los números
siempre ha existido una fructífera relación sinérgica entre los mismos: “Los requerimientos
prácticos han inducido innovaciones de escritura como el refinamiento de los sistemas de
notación posicionales y la introducción de la notación numérica negativa. Los desarrollos
conceptuales han sustentado estas innovaciones, asegurando que las reglas de los
procedimientos reflejen las estructuras de significados subyacentes, así como desarrollando el
conocimiento de otras propiedades” (Ernest, 2006, 80).
4. ¿Qué son los números naturales?
¿Qué son realmente los números, si llamamos números tanto a „1, 2, 3…‟, como a „uno,
dos, tres,…‟, como a „one, two, three,…‟, etc.? (Ferreirós, 1998, 52). Esta cuestión es sin duda de
difícil respuesta, si tenemos en cuenta las fuertes controversias que se plantearon entre autores
de la talla de Frege, Russell, Peano, Dedekind, etc., a propósito de las diferentes formulaciones
del número natural. Según Russell, con el fin de proporcionar al concepto de número con alguna
extensión, que sea real, tenemos que comprender “el número como el número de una cantidad” y
proporcionar una aplicación para el concepto así definido demostrando la existencia de conjuntos
de cardinalidad arbitraria (Otte, 2003, 222). De esta manera la intuición aritmética se sustituye
por una intuición conjuntista, lo que no deja de ser conflictivo.
Para Frege los números son objetos perfectamente concretos que existen en un cierto
mundo ideal, y su análisis de los naturales se desarrolló de acuerdo con esa idea. Por el
contrario, Dedekind se limitó a señalar que todos los conjuntos de números (ya sean en una
lengua o en otra, ya los denotemos con cifras árabes o chinas) tienen una misma estructura, y
que esta estructura es lo que caracteriza al conjunto de números naturales (Ferreirós, 1998, 52).
El trabajo de Benacerraf (1983) ha dado argumentos de peso para cuestionar las visiones
conjuntistas de los números naturales. Benacerraf concluye que los números no pueden ser
conjuntos, o conjuntos de conjuntos, ya que existen muy diferentes presentaciones del
significado y referencia de las palabras numéricas en términos de la teoría de conjuntos. El
6
número 3 no es ni más ni menos que aquel que es precedido por 2 y 1 (y, en su caso, el 0) , y
seguido por 4, 5, etc. O, de manera más precisa, es un objeto que está precedido por dos (o tres)
objetos en un orden preestablecido y seguido por infinitos también ordenados, de tal manera que
dos elementos definidos como “contiguos” lo serán siempre. Con otras palabras, cualquier objeto
puede desempeñar el papel de 3; esto es, cualquier objeto puede ser el tercer elemento en
alguna progresión (preestablecida de manera arbitraria). Lo que es peculiar a 3 es que él define
Web profesor: www.matematicaytic.blogspot.com
ese papel - no por ser un paradigma de ningún objeto que lo juegue, sino por representar la
relación que cualquier tercer miembro de una progresión guarda con el resto de la progresión.
“Por tanto, los números no son objetos en absoluto, porque al dar las propiedades
(necesarias y suficientes) de los números simplemente caracterizamos una estructura
abstracta - y la distinción está en el hecho de que los „elementos‟ de la estructura no
tienen ningunas propiedades distintas de las que relacionan unos con otros „elementos‟
de la misma estructura” (Benacerraf, 1983, 291).
Una vez que tomamos conciencia de que, además de los símbolos indoarábigos, 1, 2,
3,…, podemos usar una infinita variedad de “objetos” (perceptibles, manipulables o mentales)
para expresar el tamaño de las colecciones finitas de otros objetos debe resultar conflictivo decir
que los números naturales son, 1, 2, 3… La única solución es aceptar que un número natural es
un elemento de cualquier sistema numeral y el conjunto de los números naturales es la clase de
sistemas numerales, no un sistema numeral particular. Ahora bien, como todo sistema numeral
6 Documentos para cátedra
7. Cátedra : Metodología de las Matemáticas
Docente: Víctor Huerta Herrera
Profesor de Matemática
Licenciado en Educación
Máster en Tecnologías de la Información.
viene caracterizado por una estructura u organización recursiva específica (los axiomas de
Metodología de las matemáticas
Peano, por ejemplo) también podemos decir que el conjunto de números naturales se caracteriza
por la estructura de cualquier sistema numeral. Cada número particular será un elemento de
dicho sistema.
En la vida cotidiana y en la práctica escolar los números naturales se asimilan al sistema
de símbolos y palabras numéricas, 1, 2, 3…, uno, dos, tres…, one, two, three…, pues estos
sistemas numerales constituyen sistemas naturalmente ordenados, sistemas que cumplen los
axiomas de Peano. Pero el maestro debe tomar conciencia de que cuando considera la serie de
símbolos, 1, 2, 3…, como los números naturales, está haciendo uso de una metonimia, esto es,
tomar la parte por el todo: no es lo mismo un ejemplar particular que la clase o tipo al que
pertenece.
El profesor de matemáticas debe conocer que la expresión “El conjunto N de los números
naturales” induce a confusión, ya que fuerza a pensar en una secuencia de objetos, identificables
de manera unívoca. Con ella se oculta la arbitrariedad de la naturaleza de los objetos que forman
los sistemas naturalmente ordenados, o simplemente a identificarlos con los símbolos numerales
indoarábigos 1, 2, 3…
Dada la abstracción que supone este discurso teórico, la enseñanza de los números en los
niveles de educación primaria deberá limitarse a los componentes operatorios (situaciones de
cardinación y ordenación, lenguajes y técnicas), evitando definiciones innecesarias para el
trabajo efectivo con los números.
La figura 4 representa la pluralidad (sin buscar la exhaustividad) de significados informales
y formales de los números naturales. Las situaciones de cardinación han sido abordadas por
diversas culturas mediante prácticas e instrumentos diferentes, dando lugar a objetos “número”
diferentes. Estas diversas configuraciones numéricas son articuladas en nuevos contextos de uso
formales dando lugar a distintas construcciones numéricas.
Web profesor: www.matematicaytic.blogspot.com
Figura 4: Pluralidad de significados de los números
Es importante resaltar que las prácticas informales no tienen una existencia meramente
“histórica”. Coexisten en el tiempo con la formalización científica en las prácticas usuales de las
escuelas y determinan el progreso de los significados personales. No son un “mal menor”, sino
7 Documentos para cátedra
8. Cátedra : Metodología de las Matemáticas
Docente: Víctor Huerta Herrera
Profesor de Matemática
Licenciado en Educación
Máster en Tecnologías de la Información.
hitos necesarios en el desarrollo cognitivo de los niños y consustanciales a los procesos de
Metodología de las matemáticas
transposición didáctica.
5. Análisis del episodio y reflexiones finales
En la respuesta del estudiante: “Un signo que designa una cantidad”, se pone de
manifiesto una manera de concebir los números, que proviene de la experiencia empírica de uso
de los números, pero que puede servir de base para describir de manera “rigurosa”, “lo que son
los números”. Cualquier sistema de signos que pueda cumplir el papel de designar cantidades
(discretas o discretizables) estará formado por un primer elemento y una función siguiente
unívoca, en definitiva, un sistema de “objetos” que cumple los axiomas de Peano, o una
axiomática equivalente (Peirce, Dedekind).
Ciertamente que el conjunto cociente asociado a la relación de equipotencia definida entre
los conjuntos finitos constituye un sistema “naturalmente ordenado”, y por tanto, cumple los
axiomas de Peano. Son también los números naturales. Pero no hay razón matemática ni
filosófica para privilegiar la configuración de objetos y significados de la construcción logicista de
los números. La comprensión de los números requiere, en particular, articular esta configuración
con la generada a partir de los axiomas de Peano, que es semejante a la construcción elaborada
por Dedekind (1888).
Además, hay que tener en cuenta que la formalización matemática no agota todos los
usos de los números. Cuando un niño pequeño solicita presionar el botón del ascensor del piso
donde vive, sabe que el número que ahí aparece representa un lugar en una botonadura, no el
número de personas que viven, ni los años que él tiene, ni ninguna otra cantidad. De manera
similar, cuando juega al juego del pañuelo y sale corriendo cuando se nombra su número
entiende que es una forma de designación de una persona, no el número de personas que deben
salir o que constituyen el equipo. Este uso como ordinal, o como código, hace que tanto la
respuesta del estudiante como del profesor formador sean restrictivas. Por ejemplo, ¿qué hubiera
dicho el profesor si un alumno contesta a la pregunta qué es el número con, “signo que designa
la posición de un objeto en una colección ordenada”?
Los números, la aritmética, es la respuesta social al problema de comunicar el tamaño o
numerosidad de los conjuntos, de ordenar una colección de objetos y de analizar procesos
iterativos-recurrentes. Pero cada pueblo, cada forma de vida comenzó dando su propia respuesta
a este problema. En principio cada sociedad, cultura, etapa histórica, tiene sus propios números,
y su propia aritmética asociada, distinguible según la configuración de objetos y significados que
la caracteriza. En cada configuración existen objetos organizados de manera recursiva, con un
primer elemento, y un siguiente determinado de manera unívoca para cada elemento. Estas
organizaciones son las que permiten solucionar los problemas genéricos de la cuantificación, la
ordenación, la iteración y la codificación. Una mirada retrospectiva a todas estas configuraciones
es la que permite identificar las regularidades que hoy describimos como número natural
(Rotman, 1988).
Web profesor: www.matematicaytic.blogspot.com
8 Documentos para cátedra