El documento define los números naturales como el conjunto IN que incluye los números 1, 2, 3, 4, etc. Explica que las operaciones de suma y multiplicación son cerradas en los naturales, mientras que la resta y la división no lo son. También describe algunas propiedades algebraicas como la conmutatividad, asociatividad, elemento neutro y distributividad que se cumplen para la suma y multiplicación en los naturales.

1. NÚMEROS NATURALES

2. DEFINICIÓN El conjunto de los números naturales se representa por IN y corresponde al siguiente conjunto numérico: IN = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ........} Los números naturales son un conjunto cerrado para las operaciones de la adición y la multiplicación, ya que al operar con cualquiera de sus elementos, resulta siempre un número perteneciente a IN.

3. EJEMPLOS DE OPERACIONES CERRADAS 2 + 6 = 8, el 8 pertenece a IN. 5 · 3 = 15, el 15 pertenece a IN.

4. OPERACIONES NO CERRADAS No ocurre lo mismo con las operaciones inversas, o sea, la sustracción y la división. Ellas no son operaciones cerradas en IN. Ejemplo: 3 - 5 = -2, y -2 no es un elemento de IN. 1 : 4 = 0,25; y 0,25 no es un elemento de IN.

5. CONMUTATIVIDAD PARA LA ADICIÓN En los números naturales se cumplen la conmutatividad para la adición: a + b = b + a con a y b pertenecientes a IN Esto se puede apreciar claramente, ya que 3 + 6 = 9, es lo mismo que 6 + 3 = 9.

6. ASOCIATIVIDAD PARA LA ADICIÓN En los números naturales se cumplen la asociatividad para la adición: (a + b) + c = a + (b + c) con a, b y c pertenecientes a IN Verifiquemos que (5 + 2) + 6 = 5 + (2 + 6). Resolvamos los paréntesis: 7 + 6 = 5 + 8 13 = 13

7. CONMUTATIVIDAD PARA LA MULTIPLICACIÓN En los números naturales se cumplen la propiedad conmutativa para la multiplicación: a · b = b · a con a y b pertenecientes a IN. Esto se puede apreciar claramente, ya que 3 · 6 = 18, es lo mismo que 6 · 3 = 18.

8. ASOCIATIVIDAD PARA LA MULTIPLICACIÓN En los números naturales se cumplen la propiedad asociativa para la multiplicación: (a + b) + c = a + (b + c) con a, b y c pertenecientes a IN Verifiquemos que (5 · 2) · 6 = 5 · (2 · 6). Resolvamos los paréntesis: 10 · 6 = 5 · 12 60 = 60

9. ELEMENTO NEUTRO El neutro multiplicativo en IN es el 1 ya que todo elemento de IN multiplicado por 1, resulta el mismo elemento a · 1 = a con a perteneciente a IN. Ejemplos: 5 · 1 = 5; 9 · 1 = 9 ...

10. DISTRIBUTIVIDAD En IN se cumple la propiedad distributiva, o sea que a·(b + c) = a·b + a·c con a, b y c pertenecientes a IN. Verifiquemos que 5·(3 + 6) = 5·3 + 5·6 5·9 = 15 + 30 45 = 45