Analisis de colas

Modelación y Simulación
Unidad 2: Teoría de Colas o Líneas
de espera
Introducción
Ing. Margarita Aucancela Msc.
Docente
maucancela@unach.edu.ec

Modelación y Simulación Ing. Margarita Aucancela Msc. 2
Escuela de Ingeniería en Sistemas y Computación
Objetivo: Conocer los diferentes
tipos de problemas de colas
existentes y su formulación
matemática.

Índice:
 Introducción
 Elementos del modelo de colas
 Análisis de problemas de colas
con población infinita canal
simple.
 Análisis de problemas de colas
con población infinita canal
múltiple.

Introducción

Introducción
En las líneas de espera, existen dos costos perfectamente
identificados: el costo de las transacciones, que representa la
cuantificación monetaria de la pérdida de tiempo al esperar
recibir un servicio o la pérdida de clientes por abandono del
sistema, y el costo de proporcionar el servicio, que representa
la cantidad de dinero que hay que pagar por cuestión de
sueldos y salarios, energía, mantenimiento y depreciación del
personal o equipo.
De tal forma que en un estudio de líneas de espera el objetivo
es determinar qué nivel de servicio, ya sea por cantidad de
entidades o por la velocidad de ellas, proporcionar para
minimizar el costo total del sistema.

Definición de términos

Definición de Términos
Los modelos de tiempo discreto cuenta con los
siguientes componentes:
1. Entidades,
2. Atributos,
3. Variables,
4. Recursos,
5. Colas,
6. Contadores estadísticos y
7. Eventos

Entidades
Son objetos o individuos cuyas actividades modelamos.
Características:
 Son dinámicos es decir: son creados y se mueven por el
sistema, cambiando el valor de sus atributos, afectados
por otras entidades y por el estado del sistema.
 Puede o no abandonar el sistema
Ejemplos:
productos, clientes, documentos, transacciones pacientes.

Atributos
Son las propiedades o características de las entidades.
Características:
 Permiten describir cuantitativamente al sistema.
 Los atributos son imprescindibles para controlar el flujo
de entidades en el sistema
Ejemplos:
tamaño, precio, prioridad, etc.

Variables
Están asociadas al concepto matemático de variable.
Características:
 Pertenecen al conjunto del sistema.
 Son accesibles desde todas las entidades y pueden ser
modificadas por todas las entidades.
 Puede considerarse que cada variable es como una
pizarra colgada en la pared, en la que se escribe el valor
de la variable.
Ejemplos
El número de clientes(entidades) que hay en cada instante
en cada cola, el número de empleados (recursos)
ocupados, el estado de cada recurso (ocupado o libre), etc.

Variables
Pueden clasificarse en:
 Exógenas, de entrada o independientes: son las que
afectan al sistema, pero éste no puede modificarlas.
Pueden modificarse arbitrariamente desde el medio
ambiente.
 Endógenas o Dependientes: Son variables del sistema
que se modifican de acuerdo a relaciones, no pueden
ser modificadas arbitrariamente.

Variables
Pueden clasificarse en:
 De estado: Es el conjunto mínimo de variables
dependientes que permiten describir el sistema en t
+Δt, si se conocen sus valores más los valores de las
independientes en t.
 De salida: Es el conjunto mínimo de variables de estado
que permiten evaluar los objetivos del modelo.

Variables
Ejemplo:
Se desea analizar el inventario de piezas de tipo A. Para ello
se realiza la modelización de la evolución de la cantidad de
piezas A en el depósito.
Componentes Variables Exógenas Variables
Endógenas
Variables de Salida
Piezas A Velocidad de arribo de
piezas al depósito
Cantidad de piezas
a procesas
Cantidad de piezas
en el depósito

Recursos(Servidores)
El recurso puede ser individual o estar compuesto por un
grupo de elementos individuales, cada uno de los cuales se
llama una unidad del recurso .
Características
 Son los medios gracias a los cuales se pueden ejecutar
las actividades
 Definen quién o qué ejecuta la actividad, su número
permanece constante a lo largo de la simulación y
suelen parametrizarse por características tales como
capacidad, velocidad o tiempo de ciclo.

Recursos(Servidores)
Ejemplos:
 Personal (en nuestro caso, el empleado): operarios
 Máquinas (por ejemplo, si las entidades son piezas que
deben ser procesadas): ordenadores
 Espacio (por ejemplo, en un almacén).

Contadores estadísticos
A fin de calcular el valor de las variables de salida, es
preciso calcular durante el curso de la simulación el valor
de determinadas variables intermedias. Estas se llaman
acumuladores estadísticos .
Características
 Los contadores son inicializados a cero al comenzar la
simulación.
 Cuando “algo sucede” en la simulación (es decir, se
ejecuta un evento), los contadores estadísticos
afectados deben ser convenientemente actualizados.

Variables utilizadas para almacenar información sobre el
comportamiento del sistema y que al final, mediante algún
cálculo matemático, darán respuesta al objetivo del
estudio.
Ejemplos:
 el número total de clientes atendidos hasta ese
momento,
 la suma de los tiempos de espera en cola de los clientes
hasta ese momento,
 el número total de clientes que han comenzado a ser
atendidos hasta ese momento,
 el mayor tiempo de espera en cola hasta ese momento,
etc.

Eventos
Son las propiedades o características de las entidades.
Características:
 Permiten describir cuantitativamente al sistema.
 Los atributos son imprescindibles para controlar el flujo
de entidades en el sistema
Ejemplos: tamaño, precio, prioridad, etc.

Eventos
Un evento es un suceso que ocurre en un determinado
instante de tiempo (simulado) y que puede cambiar el valor de
los atributos, las variables y los acumuladores estadísticos.
Los valores de los atributos, las variables y los acumuladores
estadísticos se mantienen constantes durante el intervalo de
tiempo entre eventos sucesivos.

Eventos
Cada evento tiene asociado dos tipos de información:
 Su condición de activación, es decir, la condición que
hace que el evento pase de estar desactivado a estar
activado.
 Las acciones que deben realizarse en el instante en que
el evento es activado.
En función del tipo de su condición de activación, los
eventos pueden clasificarse en:
 eventos en el tiempo y
 eventos en el estado

Colas
Cuando una entidad no puede circular, debido a que
necesita usar una unidad de un recurso, que en ese
momento no se encuentra disponible, entonces la entidad
necesita un sitio donde esperar: este es el propósito de la
cola. Se caracteriza por el número máximo de clientes que
puede admitir. Las colas pueden ser finitas o infinitas.

Problemas que ocasionan las líneas de
espera(colas)
Pérdida de
proveedores
Pérdida de
prestigio
Pérdida de
dinero
Pérdida de
clientes

Proceso básico de colas
Los clientes que requieren un servicio se generan en una
fase de entrada. Estos clientes entran al sistema y se unen a
una cola. En determinado momento se selecciona un
miembro de la cola, para proporcionarle el servicio,
mediante alguna regla conocida como disciplina de servicio.
Luego, se lleva a cabo el servicio requerido por el cliente en
un mecanismo de servicio, después de lo cual el cliente sale
del sistema de colas.

Mecanismos de servicio

 Capacidad de la cola: Es el máximo número de clientes
que pueden estar haciendo cola (antes de comenzar a ser
servidos). De nuevo, puede suponerse finita o infinita.
 Mecanismo de servicio: El mecanismo de servicio consiste
en una o más instalaciones de servicio, cada una de ellas
con uno o más canales paralelos de servicio, llamados
servidores.
 Redes de colas: Sistema donde existen varias colas y los
trabajos fluyen de una a otra. Por ejemplo: las redes de
comunicaciones o los sistemas operativos multitarea.
 El proceso de servicio: Define cómo son atendidos los
cliente

Disciplina de la colas
Se refiere al orden en el que se seleccionan sus miembros
para recibir el servicio. Por ejemplo, puede ser:
 FIFO (first in first out) primero en entrar, primero en
salir,
 LIFO (last in first out) atendiende primero al cliente que
ha llegado el último.
 RSS (random selection of service) selecciona los clientes
de manera aleatoria, de acuerdo a algún procedimiento
de prioridad u orden.
 Tiempo de servicio mayor
 Tiempo de espera mayor
 Processor Sharing – sirve a los clientes igualmente.

Proceso de llegadas/ Patrón de arribo

Patrón de arribo
Aspectos que influyen en el patrón de arribo son:
• Configuración de la fila: 1 o mas canales de servicio
• Tramposos: clientes que se mueven a través de la cola sin seguir los
criterios de avance
• Contrariedades: ocurre cuando los clientes evitan llegar a la fila
porque perciben que esta es demasiada larga
• Reglas de prioridad: definidas por las disciplina de la cola
• Homogeneidad: Una población homogénea de clientes es aquella
en la cual los clientes requieren esencialmente el mismo servicio.
Una población no homogénea es aquella en la cual los clientes
pueden ser ordenados de acuerdo:
• A los patrones de llegada
• Al tipo de servicio requerido

Patrones de servicio
Los servidores pueden tener un tiempo de servicio
variable, en cuyo caso hay que asociarle, para
definirlo, una función de probabilidad. También
pueden atender en lotes o de modo individual.
El tiempo de servicio también puede variar con el
número de clientes en la cola, trabajando más rápido
o más lento, y en este caso se llama patrones de
servicio dependientes.

Patrón de servicio
Algunos sistemas de servicio requieren de un tiempo de
atención fijo. Sin embargo, el tiempo de atención en
muchos casos varía de acuerdo a la cantidad de clientes.
Cuando el tiempo de atención varía, se trata como una
variable aleatoria.
La distribución exponencial es usada, en algunos casos para
modelar el tiempo de atención del cliente.

Patrón de servicio
Distribución Exponencial

TERMINOLOGIA Y NOTACION
n Cantidad de clientes: Que están en el sistema
en un momento dado
L Valor esperado de clientes en el sistema
L E (n)=
W Valor esperado de tiempo de atención
cliente en el sistema
W E (w)=
de un
w: tiempo específico que tarda un cliente particular
dentro del sistema. Es una variable aleatoria

P0 : Probabilidad de que el sistema esté vacío
P1 : Probabilidad de que el sistema tenga 1 cliente
P2 : Probabilidad de que el sistema tenga 2 clientes
Pn : Probabilidad de que el sistema tenga n clientes
Probabilidad de que hayan “n” clientes en el
sistema en un instante determinado
Pn
Asimismo es posible definir:
Lq
Wq
Valor esperado de clientes en la cola
Valor esperado del tiempo en la cola

Probabilidad de que hayan “n” clientes en el
sistema en un instante determinadoPn
Esto tiene dos interpretaciones:
(1)
(2)
Probabilidad de que en un instante cualquiera se
observe el sistema y esté presente un estado n.
Por ejemplo, P3 = 0,1 indica que la probabilidad
de encontrar 3 clientes en el sistema es 0,1 o del
10%
Pn es la fracción del tiempo en que el
sistema permanece en el estado n

Valor esperado de clientes en el sistemaL
L n PnL E (n)= = n=0
8
En consecuencia:

LLEGADA DE CLIENTES AL SISTEMA
Se define:
 Tasa media de llegada de clientes al sistema
Indica el número promedio de clientes que
ingresa al sistema en un instante específico de
tiempo

1 Tiempo promedio entre llegadas
es el tiempo promedio que transcurre entre dos
llegadas sucesivas, entre el arribo de dos
clientes consecutivos

SALIDA DE CLIENTES DEL SISTEMA
Se define:
 Tasa media de prestación del servicio en el
sistema Indica el número promedio de clientes
que reciben el servicio en el sistema en un
instante específico de tiempo. Es la tasa media
del servicio, implica el concepto de velocidad de
atención del sistema

1 Tiempo promedio entre prestaciones del
servicio es el tiempo promedio que se demora
en atender a un cliente en el sistema

Población Cola
Mecanismo
de Servicio
Clientes
servidosClientes
Sistema de Colas
ESTRUCTURA BASICA DE UN
MODELO DE COLAS
Lq,Wq
L , W

(clientes / tiempo)
1

(tiempo / clientes)
Poisson Exp

UNIDADES DIMENSIONALES
• W (tiempo)
• L (clientes)
• (clientes / tiempo)
• (clientes / tiempo)
• (tiempo / clientes)
• (tiempo / clientes)




1
1

Análisis de colas
Notación de los modelos de colas
Reconociendo la diversidad de los sistemas de colas, Kendall (1953)
propuso un sistema de notación para sistemas de servidores paralelos
que ha sido adoptado universalmente.
Una versión resumida de esta convención está basada en el formato
A/B/X/Y/Z. Estas letras representan las siguientes características del
sistema:
A = Distribución de tiempo entre llegadas o arribos.
B = Distribución del tiempo de servicio.
Los siguientes son símbolos comunes para A y B:
M = exponencial o Markov
D = constante o determinística

Análisis de colas
Notación de los modelos de colas
Ek = Erlang de orden k
PH = Tipo fase
H = Hiperexponencial
G = Arbitrario o general
GI = General independiente
X: es el número de canales de servicio
Y: es la restricción en la capacidad del sistema
Z: es la disciplina de cola

NOMENCLATURA
Un modelo de colas se caracteriza
por los siguientes símbolos:
Tiempo entre
llegadas, que se
asocia a una
distribución
exponencial (la
tasa de llegada
es poisson)
Tiempo de servicio,
que es exponencial
Cantidad de
servidores en
paralelo
Cantidad en la
población potencial
(población finita)
Cantidad admisible
en el sistema
(capacidad finita)
M / M / S / K / N

MODELOS DE COLAS
Según se combinen las diferentes características
(población finita o infinita, uno o más servidores,
capacidad admisible finita o infinita), se da origen a
una combinación de distintos modelos de colas:
• Modelo M / M / 1
• Modelo M / M / S
• Modelo M / M / 1 / K
• Modelo M / M / S / K
• Modelo M / M / 1 / N
• Modelo M / M / S / N

MODELOS DE COLAS
Por ejemplo:
M/M/1// significa un solo servidor, capacidad de cola
ilimitada y población infinita de arribos potenciales. Los
tiempos entre arribos y los tiempos de servicio son
distribuidos exponencialmente.
Cuando Y y Z son infinitos, pueden ser descartados de la
notación. M/M/1// es reducido a M/M/1.

MODELOS DE COLAS
Existe una cantidad enorme de modelos de colas que pueden
utilizarse. Nos vamos a concentrar en 4 de los modelos más usados.
Los 4 modelos de colas a estudiar asumen:
 Arribos según la Distribución de Poisson
 Disciplina FIFO
 Una sola fase de servicio.
Modelo A: Un canal, llegadas según la Distribución de
Poisson; Tiempos de Servicio exponenciales
Modelo B: Multicanal
Modelo C: Tiempo de Servicio constante
Modelo D: Población Limitada

Análisis de colas
MODELO NOMBRE N° DE
CANAL
ES
N° DE
FASES
PATRÓN
DE
ARRIBO
PATRÓN
DE
SERVICIO
TAMAÑO DE
LA POBLACIÓN
DISCIPLINA
DE COLA
A SIMPLE
M/M/1
UNO UNA POISSON EXPONEN
CIAL
INFINITA FIFO
B MULTI-
CANAL
M/M/S
MULTI
CANAL
UNA POISSON EXPONEN
CIAL
INFINITA FIFO
C SERVICIO
CONSTANTE
(M/D/1)
UNO UNA POISSON CONSTAN
TE
INFINITA FIFO
D POBLACION
LIMITADA
UNO UNA POISSON EXPONEN
CIAL
FINITA FIFO

Análisis de colas
Modelo A: M/M/1
• Proceso de llegada de Poisson
• El tiempo de atención se distribuye exponencialmente
• Existe un solo servidor
• Cola de capacidad infinita
• Población infinita

Análisis de colas
Modelo A: M/M/1
Asumimos que existen las siguientes condiciones:
1. Los clientes son servidos con una política FIFO y cada arribo espera a
ser servido sin importar la longitud de la línea o cola.
2. Los arribos son independientes de arribos anteriores, pero el
promedio de arribos, no cambia con el tiempo.
3. Los arribos son descritos mediante la distribución de probabilidad de
Poisson y proceden de una población muy grande o infinita.
4. Los tiempos de servicio varían de cliente a cliente y son
independientes entre sí, pero su rata promedio es conocida.

Análisis de colas
Modelo A: M/M/1


















1
servicio)detiempoesperade(tiempo
sistemaelenpermaneceunidadunaquepromedioTiempo
sistemadelnutilizaciódeFactor
sistemaelen(clientes)unidadesdepromedioNúmero
sistemaelenunidadesdenúmero
tiempodeperíodoporservidoscosasogentedepromedioNúmero
tiempodeperíodoporarribosdepromedioNúmero
S
S
SS
W
W
LL
n

Análisis de colas
Modelo A: M/M/1
 
 
 
 
1
2
sistemaelenesténunidadesk""demásquedeadProbabilid
11
vacía)estáserviciodeunidad(lasistemaelenunidadescerodeadProbabilid
11
sistemaelenesténclientes"n"quedeadProbabilid
colalaenesperaunidadunaquepromedioTiempo
colalaenunidadesdepromedioNúmero

































k
kn
kn
o
o
n
n
n
n
Sq
Sq
P
P
P
P
P
P
WW
LL

















Ejercicios (M/M/1)
Determinar las medidas de desempeño para este servicio:

Ejercicios (M/M/1)

Ejercicios (M/M/1)
Determinar las medidas de desempeño para este servicio:
Suponga que en una estación con un solo servidor llegan en
promedio 45 clientes por hora, Se tiene capacidad para
atender en promedio a 60 clientes por hora. Se sabe que los
clientes esperan en promedio 3 minutos en la cola.
Se solicita: a) Tiempo promedio que un cliente pasa en el
sistema. b) Número promedio de clientes en la cola. c) Número
promedio de clientes en el Sistema en un momento dado.

Ejercicios (M/M/1)
λ= 45 clientes/hora (media de llegada de los clientes)= 45/60
clientes/minutos
μ= 60 clientes/hora (media de servicio a los clientes) = 60/60
clientes/minutos=
Wq = 3 minutos (tiempo promedio de espera de un cliente en la
cola)
a) Para calcular el tiempo promedio que un cliente pasa en el
Sistema (Ws). Lo podemos calcular a partir de Wq y μ.
𝑾𝒔=𝑾𝒒+ 𝟏𝝁= 3 minutos + 𝟏𝟏=𝟑+𝟏=𝟒 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐𝒔
Es decir en promedio un cliente pasa 4 minutos en el Sistema:
distribuidos así 3 minutos pasa esperando en la cola + 1 minutos
en servicio.

Ejercicios (M/M/1)
b) Para calcular el número de clientes en la cola (Lq), usaremos la
fórmula siguiente:
Lq= λ Wq.
𝐿𝑞=𝜆∗𝑊𝑞=0.75𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠* 3 minutos = 2.25
clientes.
Es decir los cálculos nos muestran que en la cola puede haber más
de dos clientes en la cola.
c) Para calcular cual es el número de clientes en la cola (Ls). Lo
podemos hacer con la fórmula: Ls= λ Ws.
𝐿𝑆= 𝜆∗𝑊𝑆=0.75𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠∗4 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠=3 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠
Es decir en promedio hay tres clientes en el sistema, como se nos
ha dicho que solo hay un servidor, sabemos que solo un cliente
puede estar en servicio, por lo que los demás deben estar en la
cola. Esto indica que hay dos clientes en espera.Modelación y Simulación Ing. Margarita Aucancela Msc. 59

Análisis de colas
Modelo B: M/M/S
• Clientes llegan de acuerdo a una distribución de Poisson
con una esperanza λ
• El tiempo de atención se distribuye exponencialmente
• Existen k servidores, cada uno atiende a una tasa de μ
clientes
• Existe una población infinita y la posibilidad de infinitas
filas.

Análisis de colas
Modelo B: M/M/S
Asumimos que existen las siguientes condiciones:
1. Dos o más servidores o canales están disponibles para atender a
los clientes que arriban.
2. Los clientes forman una sola cola y se los atiende de acuerdo al
servidor que queda libre.
3. Asumimos que los arribos siguen la distribución de probabilidad
de Poisson y los tiempos de servicio son distribuídos
exponencialmente.
4. Los servicios se los hace de acuerdo a la política FIFO

Análisis de colas
Modelo B: M/M/S
    




















































Po
MM
L
L
M
M
M
Mn
P
P
M
M
S
s
M
Mn
n
no
o
2
1
0
.!.1
:sistemaelenunidadesopersonasdepromedionúmero
para
!
1
!
1
1
sistemaelenunidadesopersonasCEROexistanquedeadProbabilid
canalcadaenserviciodepromediotasa
arribodepromediotasa
abiertoscanalesdenúmero

Análisis de colas
Modelo B: M/M/S
   







q
Sq
q
SSq
q
S
M
S
s
L
WW
W
LLL
L
L
Po
MM
W
W















1
servicioporesperandocolalaendatar
seunidadopersonaunaquepromedioTiempo
serviciodeesperaencola,olínealaenunidadesopersonasdepromedioNúmero
1
!1
)(atendida)servidasiendoycolala(en
sistema,elenpermaneceunidadunaquepromedioTiempo
2

Ejercicios (M/M/k)

Análisis de colas
Modelo C: M/D/1
• Los clientes llegan de acuerdo a un proceso de Poisson con
esperanza λ
• El tiempo de atención tiene una distribución general con esperanza
μ
• Existe un solo servidor
• Se cuenta con una población infinita y la posibilidad de infinitas filas

Análisis de colas
Modelo C: M/D/1
Modelo de Tiempo de Servicio Constante
Algunos sistemas tienen tiempos de servicio constantes en lugar de
exponencialmente distribuídos. Cuando los clientes son atendidos o
equipos son procesados con un ciclo fijo como es el caso de una
lavadora de carros automatizada o ciertos entretenimientos en los
parques de diversiones, el asumir servicio constante es adecuado.

Análisis de colas
Modelo C: M/D/1
 
 







1
sistema,elenesperadepromedioTiempo
sistema,elenclientesdepromedioNúmero
2
cola,laenesperadepromedioTiempo
2
cola,ladepromedioLongitud
2






qS
qS
q
q
WW
LL
W
L

Análisis de colas
Modelo C: M/D/1
Un restaurante de papas fritas, tiene el servicio Drive-In en
la cual los clientes arriban al restaurante a una tasa de 45
por hora siguiendo una distribución de Poisson.
Las órdenes son procesadas con un modelo FIFO, y existe
un solo servidor, el cual se demora 1.2 minutos en preparar
la orden.

Análisis de colas
Modelo C: M/D/1
Determinamos el λ y μ en las mismas unidades:
λ = 45 clientes/hora
μ= 1.2 min=72 clientes/hora
Luego obtenemos las medidas de desempeño:

Análisis de colas
Modelo C: M/D/1

Análisis de colas
Modelo D:
Este modelo puede ser usado por ejemplo si estamos
considerando reparaciones de equipo en una fábrica que tiene 5
máquinas. Este modelo permite cualquier número de
reparadores a ser considerados.
La razón por la cual este modelo difiere de los otros tres es que
ahora hay una relación de dependencia entre la longitud de la
cola y la rata de arribo. La situación extrema sería si en la fábrica
tenemos 5 máquinas, todas se han dañado y necesitan
reparación; siendo en este caso la rata de arribo CERO. En
general, si la línea de espera crece, la rata de llegada tiende a
cero

Análisis de colas
Modelo D
serviciodeFactor
colalaenesperaunidadunaquepromedioTiempo
unidadlaaatencióndentosrequerimieentreservicioTiempode
promedioserviciodeTiempo
spotencialeclientesdeNúmero
serviciodecanalesdeNúmero
servicioelesperandounidadesdepromedioNúmero
serviciodesectorelenocolaenestánnoqueunidadesdepromedioNúmero
servidassiendounidadesdepromedioNúmero
eficienciadeFactor
colalaenesperarquetengaunidadunaquedeadProbabilid
:NOTACIÓN











X
W
U
T
N
M
L
J
H
F
D

Análisis de colas
Modelo D
 
   
 
HLJN
FNXH
XNFJ
XF
FT
LN
UTL
W
FNL
UT
T
X











.............PoblaciónladeCuantía
servidosiendopromedioNúmero
1entofuncionamienpromedioNúmero
1
........esperadepromedioTiempo
1........esperaenpromedioNúmero
.......................ServiciodeFactor
:FÓRMULAS

Ejercicios (Modelo D)
Hace casi tres años, Gear Tandil SA instaló un conjunto de 10 robots, que
incrementó considerablemente la productividad de su mano de obra, pero
en el último tiempo la atención se ha enfocado en el mantenimiento. La
empresa no aplica el mantenimiento preventivo a los robots, en virtud de la
gran variabilidad que se observa en la distribución de las averías. Cada
maquina tiene una distribución exponencial de averías(o distribución entre
llegadas), con un tiempo promedio de 200 horas entre una y otra falla. Cada
hora-maquina perdida como tiempo ocioso cuesta $30, lo cual significa que
la empresa tiene que reaccionar con rapidez en cuanto falla una maquina.
La empresa contrata solo a una persona de mantenimiento, quien necesita
10 horas de promedio para reparar un robot. Los tiempos de
mantenimiento real están distribuidos exponencialmente. La tasa de
salarios es de $10 por hora para el encargado de mantenimiento, el cual
puede dedicarse productivamente a otras actividades cuando no hay robots
que reparar. Calcule el costo diario por concepto de tiempo ocioso de la
mano de obra y los robots.

El modelo con la fuente finita es apropiado para este
análisis, porque solo 10 máquinas constituyen la población
de clientes y las suposiciones se han cumplid. En este caso,
λ = 1/200, o sea, 0.005 averías por hora y μ=1/10=0,10
robots por hora. Para calcular el coste del tiempo ocioso
para la mano de obra y los robots, tenemos que estimar la
utilización promedio del empleado de mantenimiento y L,
es decir, el número promedio de robots incluidos en el
sistema de mantenimiento.

OTROS MODELOS

Supuestos
• Los clientes llegan de acuerdo a un proceso Poisson con
esperanza λ.
• El tiempo de atención tiene una distribución general con
esperanza µ.
• Existe un solo servidor.
• Se cuenta con una población infinita y la posibilidad de
infinitas filas.
Modelo M/G/1

Modelo M/G/1

Formula para L de Pollaczek - Khintchine.
- Nota : No es necesario conocer la distribución particular del tiempo de
atención. Solo la esperanza y la desviación estándar
son necesarias.
 
L 
 

 




 



2
2
2 1
 






Modelo M/G/1

Modelo M/G/1
1
1
1
)1(2
0
222












w
q
qqs
qqs
PP
L
WWW
LLL

Modelo M/G/1: Ejemplo
• Un carwash puede atender un auto cada 5 min. y la tasa media
de llegadas es de 9 autos/hora,  = 2 min.
• Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo
M/G/1
• Además la probabilidad de tener 0 clientes en el sistema y la
probabilidad de que un cliente tenga que esperar por el servicio

Modelo M/G/1: Ejemplo
75.025.01
min7.8145.0
min7.13228.0
1
31.1
)1(2
06.275.31.1
0
222














w
q
q
qs
q
qs
PP
hrs
L
W
hrsWW
clientesL
clientesLL

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