Este documento presenta un resumen de los conceptos básicos del análisis de series temporales estacionarias. Explica procesos elementales como el ruido blanco, AR(1), MA(1) y el paseo aleatorio, e introduce técnicas de identificación como la estadística descriptiva, la función de autocorrelación simple y la función de autocorrelación parcial. El objetivo es inferir la estructura del proceso estocástico subyacente a partir de una serie temporal observada.
Este documento presenta la metodología Box-Jenkins para el análisis y pronóstico de series temporales. Explica los conceptos clave como la función de autocorrelación simple, los procesos autorregresivos, de media móvil y ARMA. Finalmente, describe los pasos para ajustar y validar modelos ARIMA y realizar predicciones con ellos.
Este documento describe la distribución muestral de la diferencia entre dos medias ( ̄X1 - ̄X2) cuando se extraen muestras independientes de dos poblaciones. Explica que ̄X1 - ̄X2 se distribuye aproximadamente de forma normal, y proporciona fórmulas para calcular la media y varianza muestral. Además, incluye varios ejemplos y ejercicios para ilustrar cómo aplicar este teorema estadístico para calcular probabilidades relacionadas con la diferencia entre medias m
Este documento describe las variables aleatorias continuas y la función de densidad de probabilidad. Las variables aleatorias continuas pueden tomar cualquier valor dentro de un intervalo, a diferencia de las discretas que solo pueden tomar valores específicos. La función de densidad de probabilidad generaliza el histograma de frecuencias para variables continuas y se define de tal forma que la integral sobre todo el dominio es 1.
Este documento describe la distribución normal y sus propiedades. Explica que la distribución normal es la más importante en probabilidad y estadística. Define sus parámetros de media y desviación estándar y cómo estos afectan la forma de la curva. Presenta fórmulas para la función de densidad y distribución de probabilidad normal y su representación gráfica. Además, introduce el concepto de variable normal estandarizada y cómo usar tablas para calcular probabilidades asociadas a la distribución normal.
Este documento introduce el concepto de variable aleatoria. Define una variable aleatoria como una función que asigna valores numéricos a los sucesos elementales de un espacio de probabilidad de tal forma que para cada valor real x, el suceso {ω: X(ω) ≤ x} pertenece a la σ-álgebra. Explica que la función de distribución de una variable aleatoria X es la probabilidad de que X sea menor o igual que x. Proporciona ejemplos de variables aleatorias como el número de caras en el lanzamiento de una moneda o la suma de los puntos en
Series1 - Analisis de series temporalesMiguel Jerez
Este documento presenta una introducción al análisis de series temporales, incluyendo conceptos básicos como procesos estacionarios y elementos. Describe procesos elementales como ruido blanco, AR(1), MA(1) y paseos aleatorios, e introduce métodos de identificación como estadísticos descriptivos, la función de autocorrelación simple y la función de autocorrelación parcial. El objetivo es inferir la forma del proceso estocástico subyacente a partir de las series temporales observadas.
El documento describe la distribución chi cuadrada de la varianza muestral S2. Explica que si S2 se calcula a partir de una muestra aleatoria de tamaño n de una población normal con varianza σ2, entonces la razón (n-1)S2/σ2 sigue una distribución chi cuadrada con n-1 grados de libertad. Proporciona un ejemplo numérico y explica cómo usar los valores chi cuadrados para determinar si un valor observado de S2 es consistente con la varianza poblacional supuesta σ2.
Este documento presenta el modelo de regresión lineal y el método de mínimos cuadrados ordinarios (MCO) para estimar los parámetros del modelo. Explica que el MCO minimiza la suma de los residuos al cuadrado para obtener estimaciones puntuales de los parámetros β1 y β2. También describe las propiedades de las estimaciones MCO, como que pasan por las medias muestrales y que la suma de los residuos y de los residuos multiplicados por las variables independientes es igual a cero.
Este documento presenta la metodología Box-Jenkins para el análisis y pronóstico de series temporales. Explica los conceptos clave como la función de autocorrelación simple, los procesos autorregresivos, de media móvil y ARMA. Finalmente, describe los pasos para ajustar y validar modelos ARIMA y realizar predicciones con ellos.
Este documento describe la distribución muestral de la diferencia entre dos medias ( ̄X1 - ̄X2) cuando se extraen muestras independientes de dos poblaciones. Explica que ̄X1 - ̄X2 se distribuye aproximadamente de forma normal, y proporciona fórmulas para calcular la media y varianza muestral. Además, incluye varios ejemplos y ejercicios para ilustrar cómo aplicar este teorema estadístico para calcular probabilidades relacionadas con la diferencia entre medias m
Este documento describe las variables aleatorias continuas y la función de densidad de probabilidad. Las variables aleatorias continuas pueden tomar cualquier valor dentro de un intervalo, a diferencia de las discretas que solo pueden tomar valores específicos. La función de densidad de probabilidad generaliza el histograma de frecuencias para variables continuas y se define de tal forma que la integral sobre todo el dominio es 1.
Este documento describe la distribución normal y sus propiedades. Explica que la distribución normal es la más importante en probabilidad y estadística. Define sus parámetros de media y desviación estándar y cómo estos afectan la forma de la curva. Presenta fórmulas para la función de densidad y distribución de probabilidad normal y su representación gráfica. Además, introduce el concepto de variable normal estandarizada y cómo usar tablas para calcular probabilidades asociadas a la distribución normal.
Este documento introduce el concepto de variable aleatoria. Define una variable aleatoria como una función que asigna valores numéricos a los sucesos elementales de un espacio de probabilidad de tal forma que para cada valor real x, el suceso {ω: X(ω) ≤ x} pertenece a la σ-álgebra. Explica que la función de distribución de una variable aleatoria X es la probabilidad de que X sea menor o igual que x. Proporciona ejemplos de variables aleatorias como el número de caras en el lanzamiento de una moneda o la suma de los puntos en
Series1 - Analisis de series temporalesMiguel Jerez
Este documento presenta una introducción al análisis de series temporales, incluyendo conceptos básicos como procesos estacionarios y elementos. Describe procesos elementales como ruido blanco, AR(1), MA(1) y paseos aleatorios, e introduce métodos de identificación como estadísticos descriptivos, la función de autocorrelación simple y la función de autocorrelación parcial. El objetivo es inferir la forma del proceso estocástico subyacente a partir de las series temporales observadas.
El documento describe la distribución chi cuadrada de la varianza muestral S2. Explica que si S2 se calcula a partir de una muestra aleatoria de tamaño n de una población normal con varianza σ2, entonces la razón (n-1)S2/σ2 sigue una distribución chi cuadrada con n-1 grados de libertad. Proporciona un ejemplo numérico y explica cómo usar los valores chi cuadrados para determinar si un valor observado de S2 es consistente con la varianza poblacional supuesta σ2.
Este documento presenta el modelo de regresión lineal y el método de mínimos cuadrados ordinarios (MCO) para estimar los parámetros del modelo. Explica que el MCO minimiza la suma de los residuos al cuadrado para obtener estimaciones puntuales de los parámetros β1 y β2. También describe las propiedades de las estimaciones MCO, como que pasan por las medias muestrales y que la suma de los residuos y de los residuos multiplicados por las variables independientes es igual a cero.
Este documento presenta varios temas relacionados con la teoría de muestras pequeñas. Introduce la distribución t de Student y explica cómo se puede usar para construir intervalos de confianza para una media cuando la varianza es desconocida. También describe las distribuciones Ji-cuadrada y Fisher, que se pueden usar para realizar pruebas de hipótesis sobre varianzas. Finalmente, cubre técnicas estadísticas no paramétricas como las pruebas de rango de Wilcoxon.
El documento describe los conceptos clave relacionados con el entorno macroeconómico y los ciclos económicos, incluido el crecimiento económico, la inflación, el desempleo, el déficit público y el comercio exterior. Explica las etapas de los ciclos económicos, sus causas y análisis en Colombia. También analiza variables procíclicas como el consumo, la inversión y el empleo.
Este documento describe los principales indicadores macroeconómicos utilizados para medir la producción y el crecimiento de una economía, incluyendo el PBI, PNB, tasas de inflación, y cuenta nacionales. Explica cómo se calculan estos indicadores y qué información proporcionan sobre la riqueza generada y los ingresos de un país.
Este documento contiene ejercicios y exámenes resueltos de econometría y econometría empresarial. Incluye ejercicios de estimación de parámetros, contrastes de hipótesis, descomposición de varianza, y cálculo de elasticidades. Los ejercicios están organizados en cuatro secciones: ejercicios resueltos de econometría, exámenes de econometría, exámenes de econometría empresarial, y exámenes de principios de econometría.
La programación lineal es una técnica matemática de optimización que trata de maximizar o minimizar una función objetivo sujeta a restricciones. Un problema de programación lineal consta de una función objetivo lineal y restricciones en forma de igualdades o desigualdades. La solución gráfica de problemas de dos variables implica encontrar el punto óptimo dentro del conjunto factible definido por las restricciones.
Este documento presenta un resumen del uso de la prueba estadística chi cuadrado en el análisis del comercio exterior. Explica que chi cuadrado se puede usar para probar hipótesis sobre la homogeneidad y la independencia entre variables comerciales. También describe cómo calcular el estadístico chi cuadrado y determinar si se rechaza o no la hipótesis nula basado en su comparación con un estimador de la tabla. Finalmente, incluye ejemplos prácticos de cómo aplicar chi cuadrado para analizar datos sobre
Este documento presenta una serie de problemas de regulación automática resueltos. Consta de cuatro capítulos que tratan herramientas matemáticas para modelado de sistemas, análisis de sistemas en lazo abierto y cerrado, problemas de diseño de reguladores, y análisis de sistemas y diseño de reguladores usando el método de espacio de estados. El apéndice incluye un índice de materias.
Las variables aleatorias se clasifican en discretas, continuas y mixtas. Las variables discretas asignan valores numéricos a resultados de experimentos aleatorios con un recorrido finito o infinito numerable, como los posibles resultados de tirar un dado dos veces. Las variables continuas tienen una función de distribución continua y pueden asumir cualquier valor en un intervalo. Las variables mixtas son a la vez discretas y continuas, asumiendo valores puntuales y por intervalos.
Series2 - Analisis de series temporalesMiguel Jerez
Este documento presenta los conceptos básicos de las series temporales y su modelización mediante procesos ARMA. Explica las transformaciones de datos como la logarítmica y las diferencias para estabilizar la media y varianza de las series. También describe los operadores retardo y diferencia usados para representar los procesos estocásticos, así como las condiciones de estacionariedad. Incluye ejemplos con datos de pasajeros aéreos para ilustrar las transformaciones.
Este documento resume los modelos univariados de series temporales, incluyendo procesos estocásticos, funciones de autocovarianza y autocorrelación, procesos de ruido blanco y paseo aleatorio, y procesos AR, MA y ARMA. Explica cómo estimar los momentos muestrales de una serie temporal y analizar las propiedades de estacionariedad y linealidad de diferentes procesos estocásticos.
Este documento presenta un taller sobre distribuciones de probabilidad con 4 ejercicios. El primer ejercicio calcula la probabilidad de que el pago promedio mensual de estudiantes sea menor o entre ciertos valores. El segundo ejercicio calcula el tamaño muestral necesario para que la media de la edad de jubilación de las mujeres sea mayor a 52 años con un 90% de probabilidad. El tercer ejercicio calcula probabilidades sobre el número de estudiantes retirados. El cuarto ejercicio pide calcular los límites de confianza para la producción se
Este documento describe la distribución normal y su curva en forma de campana. Explica que la distribución normal está caracterizada por su media y desviación estándar. También cubre cómo tipificar una distribución normal para convertirla a una distribución normal estándar con media 0 y desviación estándar 1. Incluye ejemplos de cómo calcular probabilidades usando tablas de la distribución normal estándar.
El documento describe el Método Simplex para resolver problemas de optimización restringida. El Método Simplex es un proceso iterativo que comienza con una solución básica factible y mejora la solución en cada paso hasta alcanzar la solución óptima. El documento explica las fases del Método Simplex incluyendo estandarizar el modelo, determinar la solución básica inicial, construir la tabla inicial, encontrar la variable que entra y sale en cada iteración, y verificar cuando se alcanza la solución óptima.
La economía positiva analiza las reglas y mecanismos económicos de manera objetiva para explicar cómo se relacionan los factores económicos, mientras que la economía normativa incorpora juicios de valor para analizar cómo debería funcionar la economía y cumplir con sus objetivos de manera ética.
Este documento describe un proyecto para codificar un número de un dígito en exceso 3 en código Gray usando compuertas lógicas. Explica la metodología, equipos y materiales requeridos, marco teórico sobre tecnología TTL y códigos Gray y de exceso 3, tablas de resultados y el procedimiento para implementar el circuito.
Este documento presenta una introducción al modelo de insumo-producto desarrollado por Leontief. Explica brevemente los antecedentes históricos del modelo, sus objetivos, la teoría básica subyacente y las matrices utilizadas. Finaliza describiendo algunos problemas específicos del modelo con el fin de aclarar conceptos sobre el análisis de insumo-producto.
Este documento trata sobre series de tiempo no estacionarias y la metodología ARIMA para predecirlas. Explica que muchas series económicas como el IPC no son estacionarias, pero pueden volverse estacionarias después de tomar diferencias. Luego describe varios tests estadísticos como Dickey-Fuller y Philips-Perron para determinar si una serie tiene raíces unitarias o es estacionaria. Finalmente, resume los pasos de la metodología Box-Jenkins para identificar, estimar y diagnosticar modelos ARIMA en series de
La derivada de un producto de funciones es igual a la derivada del primer factor multiplicado por el segundo factor más la derivada del segundo factor multiplicado por el primero. Para derivar un producto de más de dos factores, se deriva cada factor individualmente y se suman los resultados. El documento proporciona un ejemplo numérico para ilustrar cómo derivar un producto de tres funciones.
Este documento presenta la cuarta edición del libro "Teoría básica de probabilidad" de Martha Gaitán Garavito. El libro contiene cinco capítulos que introducen los conceptos fundamentales de la teoría de probabilidad a través de ejemplos y problemas resueltos. El libro define probabilidad y variables aleatorias, y explica distribuciones de probabilidad discretas y continuas comúnmente usadas. Además, incluye apéndices sobre el uso de funciones estadísticas en Excel y métodos de enumeración. El objetivo del
Este documento presenta un resumen de los modelos univariados de series de tiempo. Introduce conceptos como procesos estacionarios y no estacionarios, ruido blanco, procesos autorregresivos (AR), de promedio móvil (MA) y ARMA. Explica cómo identificar el tipo de modelo que mejor se adapta al comportamiento de los datos mediante el análisis de las funciones de autocorrelación parcial y autocorrelación. Finalmente, resume los pasos para la construcción de un modelo ARMA según el método de Box-Jenkins.
Este documento presenta una introducción al análisis de circuitos electrónicos. Explica los objetivos de la asignatura, tipos de señales eléctricas como constantes, variables periódicas y no periódicas, y define circuitos eléctricos, electrónicos y sistemas electrónicos. También introduce conceptos fundamentales de teoría de circuitos y métodos de análisis como en continua y en el tiempo.
Este documento presenta varios temas relacionados con la teoría de muestras pequeñas. Introduce la distribución t de Student y explica cómo se puede usar para construir intervalos de confianza para una media cuando la varianza es desconocida. También describe las distribuciones Ji-cuadrada y Fisher, que se pueden usar para realizar pruebas de hipótesis sobre varianzas. Finalmente, cubre técnicas estadísticas no paramétricas como las pruebas de rango de Wilcoxon.
El documento describe los conceptos clave relacionados con el entorno macroeconómico y los ciclos económicos, incluido el crecimiento económico, la inflación, el desempleo, el déficit público y el comercio exterior. Explica las etapas de los ciclos económicos, sus causas y análisis en Colombia. También analiza variables procíclicas como el consumo, la inversión y el empleo.
Este documento describe los principales indicadores macroeconómicos utilizados para medir la producción y el crecimiento de una economía, incluyendo el PBI, PNB, tasas de inflación, y cuenta nacionales. Explica cómo se calculan estos indicadores y qué información proporcionan sobre la riqueza generada y los ingresos de un país.
Este documento contiene ejercicios y exámenes resueltos de econometría y econometría empresarial. Incluye ejercicios de estimación de parámetros, contrastes de hipótesis, descomposición de varianza, y cálculo de elasticidades. Los ejercicios están organizados en cuatro secciones: ejercicios resueltos de econometría, exámenes de econometría, exámenes de econometría empresarial, y exámenes de principios de econometría.
La programación lineal es una técnica matemática de optimización que trata de maximizar o minimizar una función objetivo sujeta a restricciones. Un problema de programación lineal consta de una función objetivo lineal y restricciones en forma de igualdades o desigualdades. La solución gráfica de problemas de dos variables implica encontrar el punto óptimo dentro del conjunto factible definido por las restricciones.
Este documento presenta un resumen del uso de la prueba estadística chi cuadrado en el análisis del comercio exterior. Explica que chi cuadrado se puede usar para probar hipótesis sobre la homogeneidad y la independencia entre variables comerciales. También describe cómo calcular el estadístico chi cuadrado y determinar si se rechaza o no la hipótesis nula basado en su comparación con un estimador de la tabla. Finalmente, incluye ejemplos prácticos de cómo aplicar chi cuadrado para analizar datos sobre
Este documento presenta una serie de problemas de regulación automática resueltos. Consta de cuatro capítulos que tratan herramientas matemáticas para modelado de sistemas, análisis de sistemas en lazo abierto y cerrado, problemas de diseño de reguladores, y análisis de sistemas y diseño de reguladores usando el método de espacio de estados. El apéndice incluye un índice de materias.
Las variables aleatorias se clasifican en discretas, continuas y mixtas. Las variables discretas asignan valores numéricos a resultados de experimentos aleatorios con un recorrido finito o infinito numerable, como los posibles resultados de tirar un dado dos veces. Las variables continuas tienen una función de distribución continua y pueden asumir cualquier valor en un intervalo. Las variables mixtas son a la vez discretas y continuas, asumiendo valores puntuales y por intervalos.
Series2 - Analisis de series temporalesMiguel Jerez
Este documento presenta los conceptos básicos de las series temporales y su modelización mediante procesos ARMA. Explica las transformaciones de datos como la logarítmica y las diferencias para estabilizar la media y varianza de las series. También describe los operadores retardo y diferencia usados para representar los procesos estocásticos, así como las condiciones de estacionariedad. Incluye ejemplos con datos de pasajeros aéreos para ilustrar las transformaciones.
Este documento resume los modelos univariados de series temporales, incluyendo procesos estocásticos, funciones de autocovarianza y autocorrelación, procesos de ruido blanco y paseo aleatorio, y procesos AR, MA y ARMA. Explica cómo estimar los momentos muestrales de una serie temporal y analizar las propiedades de estacionariedad y linealidad de diferentes procesos estocásticos.
Este documento presenta un taller sobre distribuciones de probabilidad con 4 ejercicios. El primer ejercicio calcula la probabilidad de que el pago promedio mensual de estudiantes sea menor o entre ciertos valores. El segundo ejercicio calcula el tamaño muestral necesario para que la media de la edad de jubilación de las mujeres sea mayor a 52 años con un 90% de probabilidad. El tercer ejercicio calcula probabilidades sobre el número de estudiantes retirados. El cuarto ejercicio pide calcular los límites de confianza para la producción se
Este documento describe la distribución normal y su curva en forma de campana. Explica que la distribución normal está caracterizada por su media y desviación estándar. También cubre cómo tipificar una distribución normal para convertirla a una distribución normal estándar con media 0 y desviación estándar 1. Incluye ejemplos de cómo calcular probabilidades usando tablas de la distribución normal estándar.
El documento describe el Método Simplex para resolver problemas de optimización restringida. El Método Simplex es un proceso iterativo que comienza con una solución básica factible y mejora la solución en cada paso hasta alcanzar la solución óptima. El documento explica las fases del Método Simplex incluyendo estandarizar el modelo, determinar la solución básica inicial, construir la tabla inicial, encontrar la variable que entra y sale en cada iteración, y verificar cuando se alcanza la solución óptima.
La economía positiva analiza las reglas y mecanismos económicos de manera objetiva para explicar cómo se relacionan los factores económicos, mientras que la economía normativa incorpora juicios de valor para analizar cómo debería funcionar la economía y cumplir con sus objetivos de manera ética.
Este documento describe un proyecto para codificar un número de un dígito en exceso 3 en código Gray usando compuertas lógicas. Explica la metodología, equipos y materiales requeridos, marco teórico sobre tecnología TTL y códigos Gray y de exceso 3, tablas de resultados y el procedimiento para implementar el circuito.
Este documento presenta una introducción al modelo de insumo-producto desarrollado por Leontief. Explica brevemente los antecedentes históricos del modelo, sus objetivos, la teoría básica subyacente y las matrices utilizadas. Finaliza describiendo algunos problemas específicos del modelo con el fin de aclarar conceptos sobre el análisis de insumo-producto.
Este documento trata sobre series de tiempo no estacionarias y la metodología ARIMA para predecirlas. Explica que muchas series económicas como el IPC no son estacionarias, pero pueden volverse estacionarias después de tomar diferencias. Luego describe varios tests estadísticos como Dickey-Fuller y Philips-Perron para determinar si una serie tiene raíces unitarias o es estacionaria. Finalmente, resume los pasos de la metodología Box-Jenkins para identificar, estimar y diagnosticar modelos ARIMA en series de
La derivada de un producto de funciones es igual a la derivada del primer factor multiplicado por el segundo factor más la derivada del segundo factor multiplicado por el primero. Para derivar un producto de más de dos factores, se deriva cada factor individualmente y se suman los resultados. El documento proporciona un ejemplo numérico para ilustrar cómo derivar un producto de tres funciones.
Este documento presenta la cuarta edición del libro "Teoría básica de probabilidad" de Martha Gaitán Garavito. El libro contiene cinco capítulos que introducen los conceptos fundamentales de la teoría de probabilidad a través de ejemplos y problemas resueltos. El libro define probabilidad y variables aleatorias, y explica distribuciones de probabilidad discretas y continuas comúnmente usadas. Además, incluye apéndices sobre el uso de funciones estadísticas en Excel y métodos de enumeración. El objetivo del
Este documento presenta un resumen de los modelos univariados de series de tiempo. Introduce conceptos como procesos estacionarios y no estacionarios, ruido blanco, procesos autorregresivos (AR), de promedio móvil (MA) y ARMA. Explica cómo identificar el tipo de modelo que mejor se adapta al comportamiento de los datos mediante el análisis de las funciones de autocorrelación parcial y autocorrelación. Finalmente, resume los pasos para la construcción de un modelo ARMA según el método de Box-Jenkins.
Este documento presenta una introducción al análisis de circuitos electrónicos. Explica los objetivos de la asignatura, tipos de señales eléctricas como constantes, variables periódicas y no periódicas, y define circuitos eléctricos, electrónicos y sistemas electrónicos. También introduce conceptos fundamentales de teoría de circuitos y métodos de análisis como en continua y en el tiempo.
SERIE DE FOURIER - UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOSluisiniallauj4
Este documento describe las propiedades de las señales periódicas y no periódicas y cómo se pueden representar mediante series de Fourier. Explica cómo cualquier señal periódica puede expresarse como una suma de senoides de diferentes frecuencias múltiplos de una frecuencia fundamental. También cubre temas como representación de señales periódicas mediante series exponenciales, propiedades de paridad de señales, y efectos de escalamiento y desplazamiento temporal.
Aplicación de la transformada de la Laplacekmjrl_unefa
El documento presenta un resumen de los conceptos básicos de los sistemas de control. Explica que un sistema de control busca cumplir objetivos mediante el monitoreo y ajuste de variables. Luego describe cómo la transformada de Laplace permite modelar matemáticamente procesos dinámicos mediante ecuaciones diferenciales y analizar su comportamiento. Finalmente, introduce conceptos clave como funciones de transferencia, diagramas de bloques y diseño de controladores PID.
Aplicaciones La Transformada De Laplaceguest31b112
El documento describe los sistemas de control y la transformada de Laplace. Los sistemas de control son importantes en diversos sectores como la industria, el transporte y el hogar para lograr objetivos de manera segura y exacta. La transformada de Laplace es una herramienta matemática útil para analizar sistemas dinámicos lineales mediante la conversión de ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas.
El documento describe los sistemas de control y la transformada de Laplace. Los sistemas de control son importantes en diversos sectores como la industria, el transporte y el hogar para lograr objetivos de manera segura y exacta. La transformada de Laplace es una herramienta matemática útil para analizar sistemas dinámicos lineales mediante la conversión de ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas.
Este documento introduce conceptos básicos sobre señales y sistemas. Explica las operaciones que se pueden realizar sobre señales como inversión, escalamiento y desplazamiento, tanto en amplitud como en tiempo. También define propiedades clave de las señales como paridad, periodicidad, valor medio y valor eficaz. Finalmente, clasifica los sistemas continuos según si son lineales o no, con o sin memoria, invertibles o no, causales o no, estables o no e invariantes en el tiempo.
Este documento define una serie de tiempo como un conjunto de datos numéricos obtenidos en periodos regulares a través del tiempo. El objetivo del análisis de series temporales es extraer el patrón de comportamiento sistemático contenido en una sucesión de observaciones para caracterizar el comportamiento del fenómeno estudiado, predecir su evolución futura y extraer componentes no observables. El tratamiento numérico de las series temporales puede ser descriptivo para detectar la dinámica generadora del fenómeno o predictivo para deducir su comportamiento futuro.
Este documento presenta un nuevo esquema de diagnóstico de fallas en motores de inducción mediante el análisis de la corriente de estator. A través de simulaciones y mediciones, se busca detectar fallas como rotura de barras en el rotor, cortocircuitos en el estator y fallas en rodamientos. La aplicación de la Transformada Hilbert permite obtener la envolvente de la señal y eliminar la componente fundamental de 50Hz, haciendo más simple el diagnóstico a través del espectro de frecuencias. El
Los modelos ARIMA responden al acrónimo de procesos AutoRregresivos, Integrados y de Medias móviles. Estos modelos permiten identificar los procesos subyacentes en una serie temporal, como procesos de integración, autorregresivos y de medias móviles, y predecir sus valores futuros. El proceso de predicción con ARIMA implica identificar los procesos subyacentes, estimar los coeficientes asociados y validar el modelo para luego cuantificar los valores futuros de la serie.
i) El análisis de series de tiempo surge en 1970 con la obra pionera de Box y Jenkins. Es una herramienta útil para el análisis económico aplicado.
ii) Un proceso estacionario en sentido amplio es aquel cuya media, varianza y autocovarianzas son invariantes en el tiempo. Los ruidos blancos y algunos otros procesos cumplen con estas condiciones.
iii) La función de autocorrelación describe cómo la variable se correlaciona consigo misma en distintos momentos de tiempo y es clave para determinar la estacionari
Este documento describe el método numérico de Runge-Kutta para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias y proporciona el código utilizado para implementar el método. Explica que Runge-Kutta extiende la idea geométrica del método de Euler utilizando varias derivadas intermedias en lugar de una sola para aproximar mejor la función desconocida. También muestra resultados obtenidos al aplicar el método a una ecuación diferencial específica y discute la representación de soluciones para diferentes condiciones iniciales.
Este documento presenta un informe de laboratorio sobre análisis de señales continuas realizado en Matlab. Contiene objetivos, representaciones gráficas de diferentes señales continuas como exponenciales, senoidales y suma de funciones, y asignaciones para generar señales como cuadrada, diente de sierra y signo. Concluye resaltando la utilidad de Matlab para graficar en 3D y representar múltiples gráficas.
Este documento presenta una introducción a las series de tiempo. Explica conceptos clave como estacionariedad, autocorrelación, estacionalidad y raíces unitarias. También describe métodos para detectar y corregir la autocorrelación, como los tests de Durbin-Watson y Breusch-Godfrey. Finalmente, introduce modelos autoregresivos y de medias móviles para modelar series de tiempo.
Este documento describe el método de las fuerzas para analizar estructuras estáticamente indeterminadas. 1) El método convierte la estructura hiperestática en un sistema estaticamente determinado mediante cortes simples que eliminan fuerzas internas redundantes. 2) Se deducen ecuaciones matriciales aplicando principios de equilibrio, comportamiento elástico y compatibilidad de desplazamientos. 3) Estas ecuaciones relacionan las fuerzas internas redundantes con los desplazamientos en los nudos de corte.
Este documento presenta métodos elementales de procesamiento de series de tiempo. Introduce el concepto de serie de tiempo y ofrece ejemplos. Explica que una serie de tiempo puede descomponerse en componentes de tendencia, estacionalidad y variaciones aleatorias. Describe métodos gráficos y estadísticos para estimar cada una de estas componentes, como regresión lineal para la tendencia y promedios por períodos para la estacionalidad. Ilustra los conceptos con ejemplos numéricos.
Este documento presenta métodos elementales de procesamiento de series de tiempo. Introduce el concepto de serie de tiempo y ofrece ejemplos. Explica que una serie de tiempo puede descomponerse en componentes de tendencia, estacionalidad y variaciones aleatorias. Describe métodos para estimar la tendencia usando regresión lineal y para estimar la componente estacional promediando valores mensuales. Ilustra los conceptos con dos ejemplos numéricos.
Este documento describe el método de ajuste por mínimos cuadrados para determinar los parámetros de una ecuación lineal entre dos variables a partir de datos experimentales. Explica que este método calcula los valores de los parámetros a y b de la recta que mejor se ajusta a los datos, minimizando los errores cuadráticos. También define conceptos como el coeficiente de correlación y cómo calcular los errores en los parámetros a y b. Finalmente, muestra cómo aplicar este método usando una hoja de cálculo como Excel.
1. Econometría II
Análisis de series temporales (I): Procesos estacionarios
Miguel Jerez y Sonia Sotoca
Universidad Complutense de Madrid
Febrero 2004
Ver. 1/16/2003, Pag. # 1
2. Índice:
• Introducción
• Conceptos básicos
• Procesos elementales
• Identificación
• Anexo: Estudio de los procesos más
comunes
Ver. 1/16/2003, Pag. # 2
3. Introducción (I)
Diferencias entre el análisis de series temporales y la econometría estudiada
anteriormente:
• Los datos están ordenados.
• No consideramos, en principio, variables exógenas.
• Se trata de construir un modelo sencillo que aproveche la inercia de los
datos económicos para predecir utilizando la información pasada.
• La econometría de series temporales contempla tres fases de análisis
• identificación,
• estimación (no lineal) y
• diagnosis,
que se recorren iterativamente.
Ver. 1/16/2003, Pag. # 3
4. Introducción (II): Ejemplos
700
15
600
10
500
Miles de personas
Puntos log x100
5
400
0
300
-5
200
-10
100
-15
0
1950 1952 1954 1956 1958 1960 1986 1988 1990 1992 1994 1996
Pasajeros de líneas aéreas, total mensual Rendimientos (logx100) del índice NIKKEI
Número de pasajeros de líneas Rendimientos del índice NIKKEI de la
aéreas. La serie muestra: Bolsa de Tokio. Los datos:
• un perfil creciente (tendencia), • fluctúan establemente en torno a una
• fluctuaciones estacionales y media nula,
• una variabilidad que crece a medida • muestran períodos de alta y baja
que aumenta el nivel de la serie. volatilidad
Los primeros y segundos momentos (media y varianza) de distintas series
temporales pueden comportarse de formas muy diferentes
Las series temporales de naturaleza similar (p. ej., financieras) a menudo
presentan rasgos comunes que son de gran utilidad para analizarlas
Ver. 1/16/2003, Pag. # 4
5. Conceptos básicos (I): Definiciones
Proceso estocástico es un conjunto de variables aleatorias asociadas a
distintos instantes de tiempo.
Serie temporal, es un conjunto de observaciones o medidas realizadas
secuencialmente en intervalos predeterminados y de igual, o aproximadamente
igual, duración.
• La relación entre una serie temporal y el proceso estocástico que la genera es
la misma que hay entre una muestra y la variable aleatoria de la que procede.
• Las peculiaridades de una serie temporal (frente a una muestra) y de un
proceso estocástico (frente a una variable aleatoria) son:
• las series temporales y los procesos estocásticos están referidos a
instantes de tiempo concretos, y
• los datos están ordenados desde el pasado hasta el presente.
• El objetivo del análisis de series temporales es inferir la forma del proceso
estocástico a partir de las series temporales que genera.
Ver. 1/16/2003, Pag. # 5
6. Conceptos básicos (II): Hipótesis simplificatorias
• En ciencias sociales suele ser imposible obtener varias muestras de una serie
temporal, por lo que es necesario realizar una serie de supuestos simplificatorios.
• Los supuestos más comunes son:
• Linealidad: El valor que toma hoy la serie (o el proceso) depende
linealmente de: a) sus valores pasados y b) los valores presentes y pasados
de otras series.
• Estacionariedad (débil): La media y varianza incondicional de una serie (o
proceso) son constantes, las autocovarianzas entre dos valores sólo
dependen de la distancia temporal que los separa. Formalmente:
∀ t , k : E ( zt ) = µt = µz
E [( zt − µt )2 ] = σt2 = σz
2
E [( zt − µt )( zt −k − µt −k )] = γt ,k = γ k
• Normalidad: El proceso estocástico generador sigue un modelo normal de
distribución de probabilidad (proceso “gaussiano”).
Ver. 1/16/2003, Pag. # 6
7. Procesos elementales (I): Ruido blanco.
Un proceso de ruido blanco representa una variable que:
• oscila en torno a una media constante,
• con una volatilidad constante y
• cuyo pasado no contiene información útil para predecir valores futuros.
Podemos representar esta variable como zt = µz + at con:
2 γk
E ( zt ) = µz [E (at ) = 0 ] E ( z t ) = σz = γ0 = σa ρk =
2 2
= 0 ; k ≥1
γ0
.4
.3
La figura muestra el perfil de 500 .2
observaciones simuladas del proceso .1
de ruido blanco: .0
-.1
zt = at ; at ∼ iid N(0,.01) -.2
-.3
-.4
100 200 300 400 500
Ruido blanco
Ver. 1/16/2003, Pag. # 7
8. Procesos elementales (II): AR(1).
Un proceso autorregresivo de primer orden, AR(1), representa una variable cuyo
valor actual está relacionado con su valor anterior mediante un modelo de
regresión. Esto es:
zt = c + φzt −1 + at ; φ < 1 (estacionariedad)
2
c 2 2 σa
con: E ( zt ) = µz = E ( z t ) = σz = γ 0 = 2
ρk = φ k ; k ≥ 0
1−φ 1−φ
La figura muestra el perfil de dos series generadas por un AR(1) sin constante,
con distintos valores del parámetro φ:
.4 .6
.3
.4
.2
.2
.1
.0 .0
-.1
-.2
-.2
-.4
-.3
-.4 -.6
100 200 300 400 500 100 200 300 400 500
AR(1) phi=.5 AR(1), phi=.9
Ver. 1/16/2003, Pag. # 8
9. Procesos elementales (III): MA(1).
Un proceso de medias móviles de primer orden, MA(1), representa una variable
cuyo valor actual está correlado con su valor anterior . Esto es:
zt = µz + at − θat −1 ; θ < 1(invertibilidad) ⎧ −θ
⎪
⎪ si k = 1
ρ k = ⎪1 + θ 2
2
Con: E ( zt ) = µz E ( z t ) = σz = γ 0 = (1 + θ 2 )σa
2 2
⎨
⎪
⎪ 0
⎪
⎩ si k > 1
La figura muestra el perfil de dos series generadas por un proceso MA(1) sin
constante, con distintos valores de θ :
.4 .4
.3 .3
.2 .2
.1 .1
.0 .0
-.1 -.1
-.2 -.2
-.3 -.3
-.4 -.4
100 200 300 400 500 100 200 300 400 500
MA(1), theta=.5 ma(1), theta=.9
Ver. 1/16/2003, Pag. # 9
10. Procesos elementales (IV): Paseo aleatorio.
Un paseo aleatorio representa una variable cuyos cambios son ruido blanco y,
por tanto, imprevisibles. Esto es:
y t = c + y t −1 + at
La figura muestra el perfil de dos series generadas por paseos aleatorios con
y sin deriva. Como puede observarse, la característica fundamental de este
proceso es la falta de afinidad de las series a una media estable:
1 450
400
0
350
-1 300
250
-2 200
150
-3
100
-4 50
100 200 300 400 500 100 200 300 400 500
Paseo aleatorio sin deriva Paseo aleatorio con deriva
Ver. 1/16/2003, Pag. # 10
11. Identificación (I): Estadística descriptiva
X
Para contrastar H0 : µX = 0 puede usarse el estadístico: t = ∼ t n−1
σX / n H
0
3 4
n ⎛ ⎞
1 n ⎛ Xi − X ⎞
⎜ ⎟ CK = 1 ⎜ Xi − X ⎟
Coeficientes de asimetría y kurtosis: CA = ∑ ⎜ ⎟
⎟
n i =1 ⎜ σ X ⎠
⎝ ⎟ ∑⎜
n i =1 ⎜ σ X ⎠
⎝
⎟
⎟
⎟
La hipótesis de normalidad puede contrastarse mediante el test de Jarque-Bera:
⎛CA2 (CK − 3)2 ⎞
⎟ ∼ χ2
JB = n ⎜
⎜ + ⎟
⎟
⎜ 6
⎝ 24 ⎟
⎠H
2
0
60
Series: WNOISE
Sample 1 500
El histograma muestra el perfil de una
50
Observations 500
muestra del proceso:
40 Mean 0.002643
30
Median
Maximum
0.006559
0.386147 zt = at ; at ∼ iid N(0,.01)
Minimum -0.304903
Std. Dev. 0.102973
20 Skewness -0.046988 Obsérvese que los momentos
Kurtosis 3.393006
10 muestrales se aproximan a los
Jarque-Bera 3.401768
0
Probability 0.182522 teóricos y el test de Jarque-Bera no
-0.25 0.00 0.25 rechaza normalidad.
Ver. 1/16/2003, Pag. # 11
12. Identificación (II): Función de autocorrelación simple
ρ
El coeficiente muestral de autocorrelación simple de orden k ( k ) se define como:
γk
ˆ 1 n
ρk = con: γ k = ∑ zt zt −k ; zt = zt − z , k = 1, 2,…
ˆ
γ´ 0
ˆ n t =k +1
Para hacer inferencia sobre la función de autocorrelación simple (FAS o ACF)
pueden usarse los siguientes resultados:
• Para muestras suficientemente grandes s.e.(ρ k ) n−1 / 2 K
1 2
• Si es cierto H0 : ρ1 = ρ2 = ρ3 = … = ρK = 0 entonces Q(K ) = n(n + 2) ∑ 2
ρ k ∼ χK −p
k =1 n − k H0
en donde: K es el número de retardos de la ACF
p es el número de parámetros estimados, si la serie es de residuos.
En la figura se muestra la función de
autocorrelación simple de una muestra del
proceso:
zt = at − .5at −1 ; at ∼ iid N(0,.01)
... como puede observarse su configuración se
parece, sin coincidir exactamente, a la FAS
teórica de un proceso MA(1)
Ver. 1/16/2003, Pag. # 12
13. Identificación (III): Función de autocorrelación parcial
Los procesos MA tienen una FAS finita. Por tanto en este caso la FAS resulta
muy útil, tanto para detectar una estructura MA como para identificar su orden.
Un instrumento con propiedades análogas para procesos AR es el coeficiente
muestral de autocorrelación parcial de orden k (φ kk), que se define como el k-
ésimo coeficiente de una autorregresión de orden k estimada por MCO:
ˆ ˆ ˆ
z = φ z + φ z + … + φ z + ε ; k = 1, 2,…
ˆ
t k 1 t −1 k 2 t −2 kk t −k kt
al gráfico de barras de los coeficientes φ kk frente a su correspondiente retardo se
le llama función de autocorrelación parcial (abreviadamente, FAP o PACF).
En la figura se muestran las funciones de
autocorrelación de una muestra del proceso:
zt = .5zt −1 + at ; at ∼ iid N(0,.01)
como puede observarse, la FAP identifica con
claridad la naturaleza y el orden del proceso
generador de los datos.
Ver. 1/16/2003, Pag. # 13
14. Identificación (IV)
Ruido blanco: zt = at ; at ∼ iid N(0,.01)
.4
.3 Combinando
.2 instrumentos gráficos
.1
y estadísticos pueden
.0
-.1
reconocerse de forma
-.2 aproximada las pautas
-.3
de autocorrelación
-.4
100 200 300 400 500 características de los
Ruido blanco
distintos procesos.
AR(1): zt = .5zt −1 + at ; at ∼ iid N(0,.01) En análisis de series
.4
temporales, a este
.3
.2
proceso de
.1 especificación
.0
empírica se le llama
-.1
-.2
“identificación”
-.3
-.4
100 200 300 400 500
AR(1) phi=.5
Ver. 1/16/2003, Pag. # 14
15. Identificación (V)
MA(1): zt = at − .5at −1 ; at ∼ iid N(0,.01)
.4
.3 La identificación
.2 puede estructurarse
.1
.0
como una secuencia
-.1 de preguntas:
-.2
-.3 • ¿Es estacionaria la
-.4
100 200 300 400 500
serie?
MA(1), theta=.5
• ¿Tiene una media
Paseo aleatorio: y t = y t −1 + at ; at ∼ iid N(0,.01) significativa?
1
• ¿Es finita o infinita la
0 ACF?
-1
• ¿Es finita o infinita la
-2 PACF?
-3
-4
100 200 300 400 500
Paseo aleatorio sin deriva
Ver. 1/16/2003, Pag. # 15
16. Identificación (VI)
Combinando el análisis de la ACF y la PACF, la identificación de los procesos
estacionarios puede reducirse a decidir:
• ¿Cuál de las dos funciones es finita? para determinar la naturaleza del proceso
generador:
ACF
Finita Infinita
PACF Finita Ruido blanco AR
Infinita MA ARMA
• ¿A partir de qué retardo muere la ACF o PACF? para determinar el orden del
proceso.
Estas técnicas requieren usar estadísticos como la media, la varianza o la
covarianza muestrales, que sólo tienen sentido si el proceso es estacionario, esto
es, si los datos tienen una media y una varianza finitas y aproximadamente
constantes.
Ver. 1/16/2003, Pag. # 16
17. A.1. Estudio de los procesos más comunes: AR(1)
ACF PACF
zt = c + φzt −1 + at ; φ < 1
c 0 <φ <1
E ( zt ) = µz =
1−φ 1 1
2
2 2 σ
E ( z t ) = σz = γ 0 = a
1 − φ2
γk
ρk = = φk ; k ≥ 0 Retardo Retardo
γ0
Los procesos AR(1) se -1 -1
reconocen por una ACF
infinita y una PACF que −1 < φ < 0
se anula a partir del
segundo retardo. 1
1
Si los datos tienen media,
es necesario especificar
un término constante. Retardo Retardo
-1
-1
Ver. 1/16/2003, Pag. # 17
18. A.2. Estudio de los procesos más comunes: MA(1)
zt = µz + at − θat −1 ; θ < 1 ACF PACF
E ( zt ) = µz 0 < θ <1
2 2 2 2
1 1
E ( z ) = σ = γ 0 = (1 + θ )σ
t z a
⎧ −θ
⎪
γk ⎪ si k = 1
ρk = = ⎪1 + θ 2
⎨
γ0 ⎪
Retardo Retardo
⎪ 0
⎪ si k > 1
⎩
-1 -1
Los procesos MA(1) se
reconocen por una PACF
infinita y una ACF que se −1 < θ < 0
anula a partir del segundo 1
retardo. 1
Si los datos tienen media,
es necesario especificar
un término constante. Retardo
Retardo
-1
-1
Ver. 1/16/2003, Pag. # 18
19. A.3. Estudio de los procesos más comunes: AR(2)
zt = c + φ1zt −1 + φ2 zt −2 + at ACF PACF
φ2 + φ1 < 1 ; φ2 − φ1 < 1 ; φ2 < 1 φ1 > 0 ; φ2 > 0
c
E ( zt ) = µz =
1 1
1 − φ1 − φ2
ρk = φ1 ρk −1 + φ2 ρk −2 ; k ≥ 1
con : Retardo Retardo
φ1 φ12
ρ1 = ; ρ2 = φ2 +
1 − φ2 1 − φ2 -1 -1
Los procesos AR(2) se φ1 < 0 ; φ2 > 0
reconocen por una ACF 1
infinita y una PACF que 1
se anula a partir del tercer
retardo.
Retardo
Si los datos tienen media,
es necesario especificar Retardo
un término constante. -1
-1
Ver. 1/16/2003, Pag. # 19
21. A.5. Estudio de los procesos más comunes: MA(2)
zt = µz + at − θ1at −1 − θ2at −2 ACF ACF
θ2 + θ1 < 1 ; θ2 − θ1 < 1 ; θ2 < 1 θ1 > 0 ; θ2 > 0 θ1 < 0 ; θ2 < 0
E ( zt ) = µz 1 1
2
E ( z t ) = σz = γ 0 = (1 + θ12 + θ22 )σa
2 2
⎧ −θ1 (1 − θ2 )
⎪
⎪
⎪ si k = 1
⎪ 1 + θ12 + θ2
2 Retardo Retardo
⎪
⎪
γ k ⎪ −θ2
⎪
ρk = =⎪
⎨ si k = 2
γ 0 ⎪1 + θ12 + θ2
⎪
2
-1 -1
⎪
⎪
⎪
⎪ 0 si k > 2
⎪
⎪ θ1 < 0 ; θ2 > 0 θ1 > 0 ; θ2 < 0
⎪
⎩
1 1
Los procesos MA(2) se
reconocen por una PACF
infinita (no se muestra aquí)
y una ACF que se anula a Retardo Retardo
partir del tercer retardo.
Si los datos tienen media,
es necesario especificar un -1 -1
término constante.
Ver. 1/16/2003, Pag. # 21
22. Econometría II
Análisis de series temporales (II): Extensiones y metodología
Miguel Jerez y Sonia Sotoca
Universidad Complutense de Madrid
Marzo 2004
Ver. 23/3/2003, Pag. # 1
23. Índice
• Propiedades típicas de las series económicas
• Transformaciones de datos
• Operadores retardo y diferencia
• Procesos generalizados
• Extensiones
• Metodología
Ver. 23/3/2003, Pag. # 2
24. Propiedades típicas de las series económicas
700
600
Muchas series temporales económicas
500
presentan:
Miles de personas
400 • tendencia,
300
• estacionalidad,
200
100 • una variabilidad que crece con su nivel y
0
1950 1952 1954 1956 1958 1960
• componentes deterministas (valores
Pasajeros de líneas aéreas, total mensual
atípicos, ...)
Sin embargo, los procesos ARMA describen variables puramente estocásticas,
no estacionales, con media y varianza constantes. Por tanto, para modelizar
series económicas es necesario definir:
• Transformaciones de datos diseñadas para estabilizar la media y la varianza
de las series.
• Extensiones de la familia de procesos ARMA, que permitan captar tenden-
cias y fluctuaciones estacionales.
Ver. 23/3/2003, Pag. # 3
25. Transformaciones de datos (I): Box-Cox
Muchas series temporales muestran una variabilidad que cambia con su nivel.
Para eliminar esta característica se utiliza la transformación de Box-Cox:
⎧ ( y + m )λ − 1
⎪ t Cada transformación se caracteriza por un
⎪
⎪ si λ ≠ 0
yt λ ,m
=⎨ λ valor del parámetro λ. Además, puede
⎪
⎪ln( y + m )
⎪
⎪
⎩ t si λ = 0 aplicarse un cambio de origen (parámetro,
m) cuando la transformación requiere
valores positivos.
λ>0
λ=0 Para elegir la transformación adecuada
λ<0 puede usarse el gráfico media-desviación
típica muestral de varias submuestras. En
la figura se muestran las configuraciones
σ λ =1
correspondientes a diversos valores de λ.
Las series económicas a menudo mues-
tran una variabilidad que crece con la
media de forma aproximadamente lineal.
µ
En ese caso, la transformación adecuada
es la logarítmica (λ=0)
Ver. 23/3/2003, Pag. # 4
26. Transformaciones de datos (II): Ejemplo Box-Cox
700 650
600
600
500
Miles de personas
400
550
300
Como muestran
200
500 los gráficos,
100
0 450
• la volatilidad
1950 1952 1954 1956 1958 1960 1950 1952 1954 1956 1958 1960
crece linealmente
Pasajeros de líneas aéreas, total mensual LAIR
con el nivel de la
3
S tandardized mean/s td. dev. plot of nº de pas ajeros de lineas aereas
3
S tandardized mean/s td. dev. plot of log nº de pas ajeros de lineas aereas serie,
2 2
• tras la
J
L
M
J
transformación, la
1 1 L M
volatilidad es
S tandard deviations
S tandard deviations
I I
H F G
H
0
F
G 0 B
E
aproximadamente
E
-1
A
B C
D
-1
D
constante.
A C
-2 -2
-3 -3
-3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3
Means Means
Ver. 23/3/2003, Pag. # 5
27. Transformaciones de datos (III): Diferencias
A menudo la tendencia de una serie puede eliminarse diferenciando los datos.
Se dice que una serie es integrada de orden uno si su primera diferencia:
zt = y t − y t −1
es estacionaria en media.
La serie de la primera figura es una muestra del proceso estocástico
y t = y t −1 + at ; at ∼ iid N(0,.01) . Por tanto, zt = y t − y t −1 será estacionaria.
1 .3
.2
0
.1
-1
.0
-2
-.1
-3
-.2
-4 -.3
100 200 300 400 500 100 200 300 400 500
Paseo aleatorio sin deriva Primera diferencia
Algunas series económicas necesitan una diferencia adicional para conseguir
una media incondicional estable. En ese caso se dice que son integradas de
segundo orden.
Ver. 23/3/2003, Pag. # 6
28. Transformaciones de datos (IV): Interpretación
La primera diferencia del logaritmo de una serie es una tasa logarítmica en tanto
por uno, alternativa a la tasa porcentual, ya que si: y t = (1 + αt )y t −1 , resulta:
ln y t − ln y t −1 = ln(1 + αt ) αt Frente a la tasa de variación convencional, la tasa
logarítmica tiene la ventaja de ser aditiva, esto es:
n n
ln y n − ln y 0 = ∑ (ln y t − ln y t −1 ) =∑ ln(1 + αt )
t =1 t =1
En el cuadro se presentan varias transformaciones comunes y su interpretación.
Serie transformada Interpretación
zt = y t − y t −1 Cambio en el valor de yt
Tasa logarítmica (en tanto por uno) de variación entre
zt = ln y t − ln y t −1
un período y el siguiente (indicador de “crecimiento”)
Cambio en la tasa logarítmica de variación entre un
w t = zt − zt −1 ; zt = y t − y t −1 período y el siguiente (indicador de “aceleración” en el
crecimiento)
Tasa logarítmica de variación acumulada en S
zt = ln y t − ln y t −S períodos. Indicador de crecimiento acumulado en un
ciclo estacional
Ver. 23/3/2003, Pag. # 7
29. Operadores retardo y diferencia
A menudo resulta práctico representar los procesos estocásticos utilizando el
operador retardo, que se define de la siguiente manera:
B / i ) Bzt = zt −1
ii ) Bk = k ; k :constante
−1
iii ) B zt = zt +1
0
iv ) B zt = zt
v ) zt = Bzt +1 = B 2 zt +2 = B 3 zt +3 = … = B l zt +l (l > 0)
El operador diferencia se define a partir del operador retardo como:
∇ / ∇y t = (1 − B )y t = y t − y t −1
En series estacionales de período S, a menudo se utiliza una variante de este
operador que se conoce como diferencia estacional:
∇S / ∇S y t = (1 − BS )y t = y t − y t −s
Ver. 23/3/2003, Pag. # 8
30. Procesos generalizados (I): ARMA(p,q)
Los procesos definidos anteriormente pueden escribirse con órdenes generales:
• AR(p): zt = c + φ1zt −1 + φ2 zt −2 + … + φp zt −p + at
• MA(q): zt = µz + at − θ1at −1 − θ2at −2 − … − θq at −q
• ARMA(p,q): zt = c + φ1zt −1 + φ2 zt −2 + … + φp zt −p + at − θ1at −1 − θ2at −2 − … − θq at −q
... y expresarse en términos del operador retardo de la siguiente forma:
• AR(p): φp (B ) zt = c + at
• MA(q): zt = µz + θq (B ) at
• ARMA(p,q): φp (B ) zt = c + θq (B ) at
... en donde:
φp (B ) = 1 − φ1B − φ2B 2 − … − φpB p (polinomio AR)
θq (B ) = 1 − θ1B − θ2B 2 − … − θq B q (polinomio MA)
Ver. 23/3/2003, Pag. # 9
31. Procesos generalizados (II): Estacionariedad
Estacionariedad: Se dice que un proceso estocástico es estacionario si todas
las raíces de la ecuación característica 1 − φ1B − φ2B 2 − … − φpB p = 0 están fuera del
círculo de radio unidad del plano complejo.
La condición de estacionariedad sólo afecta a la componente AR del proceso
ARIMA, ya que la componente MA siempre es estacionaria.
Cuando el polinomio AR tiene alguna raíz igual a uno, se dice que tiene “raíces
unitarias”.
Consecuencias del cumplimiento:
• El proceso tiene media y varianza incondicionales finitas y estables.
• El proceso puede escribirse en forma MA equivalente.
Consecuencias del no cumplimiento (raíces unitarias):
• La varianza incondicional diverge a infinito.
• Si tiene deriva, la media incondicional diverge a infinito.
• El factor AR puede factorizarse separando las raíces unitarias de las raíces
estacionarias.
Ejemplo. El proceso AR(2) no estacionario: (1 − 1.5B + .5B 2 )y t = at es equivalente
al proceso ARIMA(1,1,0): (1 − .5B )∇y t = at
Ver. 23/3/2003, Pag. # 10
32. Procesos generalizados (III): Invertibilidad
Invertibilidad: Se dice que un proceso estocástico es invertible si todas las
raíces de la ecuación característica 1 − θ1B − θ2B 2 − … − θq B q = 0 están fuera del
círculo de radio unidad del plano complejo.
La condición de invertibilidad sólo afecta a la componente MA del proceso
ARIMA, ya que la componente AR siempre es invertible.
Consecuencias del cumplimiento:
• El proceso puede escribirse en forma AR equivalente.
Consecuencias del no cumplimiento (raíces unitarias):
• El proceso podría simplificarse, bien eliminando una diferencia, bien
representando la tendencia de forma determinista.
Ejemplos.
El proceso ARIMA(2,2,1) no invertible: (1 − .5B + .7B 2 )∇2 y t = (1 − B )at es equivalente
al proceso ARIMA(2,1,0): (1 − .5B + .7B 2 )∇y t = at
Diferenciando el proceso de tendencia determinista: y t = β t + at se obtiene el
proceso ARIMA(0,1,1) no invertible: ∇y t = β + (1 − B )at
Ver. 23/3/2003, Pag. # 11
33. Procesos generalizados (IV): ARIMA(p,d,q)
La tendencia estocástica de las series económicas puede captarse mediante
raíces AR unitarias. Por ello tiene interés generalizar la formulación del modelo
ARMA admitiendo en él este tipo de factores. Esta idea da lugar al modelo ARIMA
(p,d,q), que se define como:
φp (B ) ∇ d y t λ,m = c + θq (B ) at
en donde: φ (B ) = 1 − φ B − φ B 2 − … − φ B p [polinomio AR(p)]
p 1 2 p
θq (B ) = 1 − θ1B − θ2B 2 − … − θq B q [polinomio MA(q)]
B / B ± k y t = y t ∓k ∇ ≡ 1 − B [operadores retardo y diferencia]
⎧
⎪ λ
⎪ ( y t + m ) − 1 si λ ≠ 0
⎪
y t λ,m =⎨ λ [transformación de datos (Box-Cox)]
⎪
⎪ln( y + m )
⎪
⎪
⎩ t si λ = 0
Si los polinomios AR y MA tienen sus raíces en o fuera del círculo de radio unidad,
el proceso ARIMA puede escribirse de las siguientes formas equivalentes:
θq (B ) φp (B ) φp (B )
∇ yt
d λ ,m
= µz + at (∇ y t
d λ ,m
− µz ) = at ∇ d y t λ,m = c + at
φp (B ) θq (B ) θq (B )
Ver. 23/3/2003, Pag. # 12
34. Procesos generalizados (V)
Representaciones alternativas: Cuando un proceso estocástico no tiene
raíces AR ni MA dentro del círculo de radio unidad, puede escribirse de forma
equivalente como AR(∞) o MA(∞):
Ejemplo 1. Un AR(1) no explosivo puede escribirse como: (1 − φB )zt = c + at
o, alternativamente, como un proceso media móvil infinito:
c 1
zt = + at = µz + (1 + φB + φ 2B 2 + …) at
1 − φ 1 − φB
Ejemplo 2. Un MA(1) con raíces en o fuera del círculo de radio unidad puede
escribirse como: zt = µz + (1 − θB )at o, alternativamente, como:
1 µ
zt = z + at ; (1 + θB + θ 2B 2 + …) zt = c + at
1 − θB 1− θ
Esto quiere decir que el proceso ARIMA es una aproximación finita a los
procesos estocásticos generales:
• Forma “pi”: zt = c + π1zt −1 + π2 zt −2 + … + at
• Forma “psi”: zt = µz + at + ψ1at −1 + ψ2at −2 + …
Ver. 23/3/2003, Pag. # 13
35. Extensiones (I): Estacionalidad
700
600
Las series económicas a menudo muestran un
comportamiento estacional, esto es, una pauta
500
Miles de personas
que se repite con una periodicidad fija, a
400
menudo anual.
300
200
El período estacional (S) se define como el
número de observaciones necesarias para
100
recorrer todo el ciclo estacional. Por ejemplo,
0
1950 1952 1954 1956 1958 1960 S=12 para datos mensuales, S=4 para datos
Pasajeros de líneas aéreas, total mensual
trimestrales, etc.
Para captar este comportamiento, se define el modelo ARIMA(p,d,q)x(P,D,Q)S:
φp (B ) ΦP (B S )∇S ∇d y t λ,m = c + θq (B ) ΘQ (B S )at
D
... que incluye tres nuevos factores:
ΦP (B S ) = 1 −Φ1B S −Φ2B 2⋅S − … − ΦP B P⋅S [polinomio AR(P)S]
ΘQ (B S ) = 1 −Θ1B S −Θ2B 2⋅S − … −ΘQ BQ⋅S [polinomio MA(Q)S]
∇S ≡ 1 − B S [operador diferencia estacional]
Este modelo admite relaciones entre un dato y el de S períodos atrás.
Ver. 23/3/2003, Pag. # 14
36. Extensiones (II): Modelo RegARIMA
Uniendo las ideas anteriores con el análisis de regresión, resulta inmediato
formular el modelo RegARIMA (modelo de regresión con errores ARIMA) como:
λy ,my
yt = ( x tλx ,mx )T β + εt
con: φp (B ) ΦP (B )∇S ∇ εt = θq (B ) ΘQ (B )at
S D d S
De manera que los valores de la serie temporal se ponen en relación, no sólo
con su pasado, sino también con los valores contemporáneos de otras series,
que actúan como variables explicativas o “inputs”.
λ ,m
Las variables x t x x pueden ser series económicas o variables deterministas
diseñadas para modelizar:
• Efectos calendario, causados por irregularidades en la unidad de tiempo como
pueden ser: distinto número de días laborables y festivos o celebración de la
Semana Santa.
• Valores atípicos (outliers) debidos a fenómenos como, p.ej., el split del nominal
de una acción, cambios en tipos impositivo o fenómenos como inundaciones o
terremotos. En este caso se dice que el modelo es “de intervención”.
Ver. 23/3/2003, Pag. # 15
37. Extensiones (III): Inputs de intervención
Impulsos. Producen un cambio en el nivel de una sola observación de la serie.
Pueden modelizarse mediante:
⎧ 1 si t = t *
⎪
x =⎪
i
⎨
t
⎪ 0 si t ≠ t *
⎪
⎩
Impulsos compensados. Producen un cambio en el nivel de una observación,
seguido por un cambio de nivel compensatorio en la observación siguiente.
Pueden modelizarse mediante:
⎧ 1 si t = t *
⎪
⎪
⎪
⎪
xt = ⎨−1 si t = t * + 1
IC
⎪
⎪ 0 si t ≠ t * , t * + 1
⎪
⎪
⎩
Escalones. Producen un cambio en el nivel de todas las observaciones
posteriores a una fecha dada. Pueden modelizarse mediante:
⎧ 1 si t ≥ t *
⎪
x =⎪
E
⎨
t
⎪ 0 si t < t *
⎪
⎩
Ver. 23/3/2003, Pag. # 16
38. Metodología (I)
Definir los objetivos del análisis,
estudiar la información disponible
Identificación:
Seleccionar una especificación
tentativa
Los métodos de análisis de series
temporales combinan los modelos e Estimación
instrumentos anteriores en una (Métodos no lineales)
metodología sistemática para construir y
probar modelos
Diagnosis:
¿Es válido el modelo
para los fines
Previstos? no
si
Utilización del modelo
Ver. 23/3/2003, Pag. # 17
39. Metodología (II): Identificación
Parámetro Instrumento de identificación Observaciones
Se trata de conseguir que la variabilidad de los
• Gráfico media-desviación típica datos sea independiente de su nivel. En series
m, λ
• Gráfico de la serie temporal económicas es habitual λ=0, lo que supone
transformar logarítmicamente los datos.
• Gráfico de la serie temporal
d, orden de Se trata de conseguir que los datos fluctúen en
diferenciación • ACF (decrecimiento lento y torno a una media aproximadamente estable
lineal)
• Media muestral de la serie Si la media de la serie transformada es
Término diferenciada significativa, el modelo debe incluir un término
constante
• Desviación típica de la media constante
La PACF tiene p valores no nulos
p, orden del • PACF de orden p
término AR Un proceso AR finito y estacionario equivale a
• ACF infinita un MA(∞)
La ACF tiene q valores no nulos
q, orden del • ACF de orden q
término MA Un proceso MA finito e invertible equivale a un
• PACF infinita AR(∞)
Ver. 23/3/2003, Pag. # 18
40. Metodología (III): Diagnosis
Parámetro Instrumento de identificación Observaciones
• Una raíz próxima a uno en la parte AR indica que
• Raíces de los polinomios AR conviene añadir una diferencia
y MA • Una raíz próxima a uno en la parte MA indica que
d, orden de conviene quitar una diferencia
diferenciación
Si muestra rachas largas de residuos positivos o
• Gráfico de la serie de
negativos, puede ser necesaria una diferencia
residuos
adicional
• Media muestral de los
Término residuos Si la media de los residuos es significativa, debe
constante añadirse un término constante
• Desviación típica de la media
• Contrastes de significación
Permiten eliminar parámetros irrelevantes
de los parámetros estimados
• ACF y PACF residuales Detectan pautas de autocorrelación no modelizadas
Contrasta la hipótesis conjunta de que todos los
• Test Q
coeficientes de autocorrelación son nulos
pyq
• Correlaciones elevadas entre
Puede ser un síntoma de sobreparametrización
parámetros estimados
Consiste en añadir parámetros AR y/o MA, para
• Sobreajuste comprobar si resultan significativos y mejoran la
calidad estadística del modelo
Ver. 23/3/2003, Pag. # 19