La programación lineal es una técnica matemática de optimización que trata de maximizar o minimizar una función objetivo sujeta a restricciones. Un problema de programación lineal consta de una función objetivo lineal y restricciones en forma de igualdades o desigualdades. La solución gráfica de problemas de dos variables implica encontrar el punto óptimo dentro del conjunto factible definido por las restricciones.

1. PROGRAMACIÓN LINEAL
PROGRAMACIÓN LINEAL.
• La programación lineal es una técnica de modelado (construcción de
modelos).
• La programación lineal (PL) es una técnica matemática de optimización, es
decir, un método que trata de maximizar o minimizar un objetivo.
• Su interés principal es tomar decisiones óptimas.
• Se usa mucho en la industria militar y en la petrolera. S i bien esos sectores
han sido quizá los principales usuarios de ella, el sector servicios y el sector
público de la economía también la han aprovechado ampliamente.
ESTRUCTURA BÁSICA DE UN PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL (PL)
Un problema de PL consta de una función objetivo (lineal) por maximizar o minimizar,
sujeta a ciertas restricciones en la forma de igualdades o desigualdades.
Conceptos clave:
Función objetivo: La función por optimizar (maximizar o minimizar)
Restricciones: Representan condiciones que es preciso satisfacer. Sistema de
igualdades y desigualdades (≤ Ó≥ )
Ejemplo:
Función objetivo
Maximizar 1.2
Sujeto a 2 Y 180
3Y 300
Restricciones
0
0
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2. PROGRAMACIÓN LINEAL
Ejemplo:
Función objetivo
Minimizar 6 8
Sujeto a
Restricciones
0
0
TIPOS DE RESTRICCIONES.
De no negatividad
Estructurales
Garantizan que ninguna variable de
Decisión sea negativa.
Reflejan factores como la limitación
De recursos y otras condiciones que
Función objetivo Impone la situación del problema.
Ejemplo:
Maximizar 5 6 Restricciones Estructurales
Sujeto a 3 2 120
4 6 260
Restricciones de no negatividad
0y 0
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3. PROGRAMACIÓN LINEAL
SOLUCIÓN GRÁFICA DE PROBLEMAS DE PL.
Cuando un modelo de programación lineal se expresa en términos de dos variables puede
resolverse con procedimientos gráficos.
Conceptos clave:
Conjunto factible: Es el conjunto de puntos que integran la región de resolución.
Solución factible: Cada punto que integra la región (plana) que resuelve el problema.
Solución óptima: Constituye la solución al problema de programación lineal.
¿Cuál es el objetivo de la solución gráfica?
Encontrar (entre todos los puntos del conjunto factible) el punto o los puntos que
optimicen la función objetivo.
Ejemplo:
Maximizar 3 2
Sujeto a 2 3Y 12
2 Y 8
0
0
Paso 1
Se igualan las restricciones:
2 3Y 12 Ecuación 1
2 Y 8 Ecuación 2
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4. PROGRAMACIÓN LINEAL
Paso 2
Se grafican las ecuaciones, se puede hacer escogiendo un conjunto de números que
nos permitan dibujar la línea (por ejemplo 0, 1, 2, 3,-1, -2, -3), es decir, para la ecuación 1
X Y
1 10/3
2 8/3
3 2
0 4
-1 14/3
-2 16/3
-3 6
Y de la misma forma se procede con la ecuación 2.
Una manera más sencilla es la siguiente:
Para la ecuación 1 Para la ecuación 2
2 3Y 12 2 Y 8
X Y X Y
0 4 0 8
6 0 4 0
Con estos puntos obtendremos la siguiente gráfica.
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5. PROGRAMACIÓN LINEAL
El área sombreada de azul es la que corresponde al conjunto factible, cada punto que
contiene el conjunto factible es un candidato para resolver este problema.
Ya que tienes graficado el conjunto factible (el área azul de la gráfica) identifica las
coordenadas de todas las esquinas (vértices) del conjunto factible:
A (0,4)
B (3,2)
C (4,0)
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6. PROGRAMACIÓN LINEAL
Nota: Para poder encontrar las coordenadas del punto B tienes que resol ver el sistema de
ecuaciones conformado por las dos ecuaciones anteriores (2 3Y 12 y
2 Y 8) puedes resolver el sistema a través de los métodos que ya debes de haber
estudiado anteriormente (suma y resta, sustitución, igualación o gráfico). En nuestro caso
utilizaremos el método de sustitución.
2 3Y 12 Ecuación 1
2 Y 8 Ecuación 2
Paso 1. Se despeja Y de la ecuación 2
Y 8 2
Paso 2. Se sustituye el valor de Y en la ecuación 1
2 3 8 2 12
Paso 3. Se resuelve la ecuación para encontrar el valor de X.
2 24 6 12
4 12 24
4 12
12/ 4
3
Paso 4. Sustituye el valor de X en el despeje que hiciste en el paso 1.
Y 8 2 3
Y 8 6
Y 2
Y con esto obtienes el resultado del vértice B (3,2)
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7. PROGRAMACIÓN LINEAL
Después de haber encontrado las coordenadas de todas las esquinas es necesario que
sustituyas el valor de cada una de ellas en la función objetivo, para que encuentres el valor
máximo (o mínimo, según sea el caso).
Sustituyendo el valor del vértice A en la función objetivo.
3 2
Vértice A (0,4)
3 2
3 0 2 4 8
Vértice B (3,2)
3 2
3 3 2 2 13
Vértice (4,0)
3 2
3 4 2 0 12
Resultados:
Vértice A (0,4) Valor 8
Vértice B (3,2) Valor 13
Vértice C (4,0) Valor 12
Observando los resultados podemos concluir que el máximo se encuentra en el vértice B.
FIN
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