El documento describe los sistemas de control y la transformada de Laplace. Los sistemas de control son importantes en diversos sectores como la industria, el transporte y el hogar para lograr objetivos de manera segura y exacta. La transformada de Laplace es una herramienta matemática útil para analizar sistemas dinámicos lineales mediante la conversión de ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas.

2.  ¿Qué es un sistema de control ?
› En nuestra vida diaria existen numerosos objetivos
que necesitan cumplirse.
 En el ámbito doméstico
› Controlar la temperatura y humedad de casas y
edificios
 En transportación
› Controlar que un auto o avión se muevan de un
lugar a otro en forma segura y exacta
 En la industria
› Controlar un sinnúmero de variables en los
procesos de manufactura

3.  En años recientes, los sistemas de control
han asumido un papel cada vez más
importante en el desarrollo y avance de la
civilización moderna y la tecnología.
 Los sistemas de control se encuentran en
gran cantidad en todos los sectores de la
industria:
› tales como control de calidad de los productos
manufacturados, líneas de ensamble
automático, control de máquinas-herramienta,
tecnología espacial y sistemas de armas, control
por computadora, sistemas de transporte,
sistemas de potencia, robótica y muchos otros

4.  Satélites

5.  El campo de aplicación de los sistemas
de control es muy amplia.
 Y una herramienta que se utiliza en el
diseño de control clásico es
precisamente:
La transformada de Laplace

6.  En el estudio de los procesos es
necesario considerar modelos
dinámicos, es decir, modelos de
comportamiento variable respecto al
tiempo.
 Esto trae como consecuencia el uso de
ecuaciones diferenciales respecto al
tiempo para representar
matemáticamente el comportamiento
de un proceso.

7.  El comportamiento dinámico de los
procesos en la naturaleza puede
representarse de manera aproximada
por el siguiente modelo general de
comportamiento dinámico lineal:
 La transformada de Laplace es una
herramienta matemática muy útil para
el análisis de sistemas dinámicos lineales.

8.  De hecho, la transformada de Laplace
permite resolver ecuaciones
diferenciales lineales mediante la
transformación en ecuaciones
algebraicas con lo cual se facilita su
estudio.
 Una vez que se ha estudiado el
comportamiento de los sistemas
dinámicos, se puede proceder a diseñar
y analizar los sistemas de control de
manera simple.

9.  MODELACIÓN MATEMÁTICA
Suspensión de un automóvil
Fuerza de
entrada
f(t)
∑ F = ma
z(t) f (t ) − kz (t ) − b
dz (t )
dt
=m
d 2 z (t )
dt 2
m
Desplazamiento,
salida del sistema
b
k

10. Suspensión de un automóvil
dz (t ) d 2 z (t )
f (t ) − kz (t ) − b =m
dt dt 2
Aplicando la transformada de Laplace a cada término
(considerando condiciones iniciales igual a cero)
F ( s ) − kZ ( s ) − bsZ ( s ) = ms 2 Z ( s )
[
F ( s ) = Z ( s ) ms 2 + bs + k ]
Z ( s) 1
= Función de
F ( s ) ms 2 + bs + k transferencia

11.  MODELACIÓN MATEMÁTICA
Circuito eléctrico
di (t ) 1
ei (t ) = L
dt
+ Ri (t ) + ∫
C
i (t )dt
1
C ∫ i (t )dt = eo (t )

12. Circuito eléctrico
di (t ) 1 1
ei (t ) = L
dt
+ Ri (t ) + ∫C
i (t )dt
C ∫i (t )dt = eo (t )
Aplicando la transformada de Laplace
1 1
E i ( s ) = LsI ( s ) + RI ( s ) + I (s) I ( s ) = Eo ( s )
Cs Cs
Combinando las ecuaciones (despejando para I(s))
1
E i ( s ) = Ls[ CsEo ( s )] + R[ CsEo ( s )] + [ CsEo ( s)]
Cs
[
E i ( s ) = Eo ( s ) LCs 2 + RCs + 1 ]
Eo ( s ) 1 Función de
=
Ei ( s ) LCs 2 + RCs + 1 transferencia

13.  Representa el comportamiento dinámico del
proceso
 Nos indica como cambia la salida de un
proceso ante=un cambio en la entrada
Y (s) Cambio en la salida del proceso
X ( s ) Cambio en la entrada del proceso
Y ( s ) Respuesta del proceso
=
X (s) Función forzante
 Diagrama de bloques
Entrada del Salida del proceso
proceso Proceso
(respuesta al
(función forzante o
estímulo)
estímulo)

14. Diagrama de bloques
 Suspensión de un automóvil
Entrada 1 Salida
(Bache)
ms 2 + bs + k (Desplazamiento
del coche)
-3
10 x 10
3
8
2
6
4
1
2
0
0
-2 -1
-4
-2
-6
-8 -3
-10
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000
-4
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
4
x 10

15. Diagrama de bloques
 Circuito eléctrico
Ei(s) 1 Eo(s)
(Voltaje de entrada)
LCs 2 + RCs + 1 (Voltaje de salida)
20
10
18
9
16
8
14
7
12
6
10
5
8
4
6
3
4
2
2
1
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
4
x 10 4
x10

16.  TEOREMA DE DIFERENCIACIÓN REAL
(Es uno de los más utilizados para transformar
las ecuaciones diferenciales)

17.  TEOREMA DE VALOR FINAL
(Nos indica el valor en el cual se
estabilizará la respuesta)
 TEOREMA DE VALOR INICIAL
(Nos indica las condiciones iniciales)

18. Transformada Inversa De Laplace
K1 K2 20 5007.25
Ts ( s ) = Tv ( s ) + W ( s) Tv ( s ) = W (s) =
τ 1s + 1 τ 2s + 1 s s
K1  20  K 2  5007.25 
Ts ( s ) =  +  =
τ 1s + 1  s  τ 2 s + 1  s 
0.381883  20  − 7.573947 x10 −4  5007.25  7.63766 3.792464
Ts ( s ) =  +  = −
1.712995s + 1  s  1.712995s + 1  s  (1.712995s + 1) s (1.712995s + 1) s
Expansión en fracciones parciales
4.458658 2.213928 a1 a b1 b
Ts ( s ) = − = + 2− − 2
( s + 0.583772) s ( s + 0.583772) s ( s + 0.583772) s ( s + 0.583772) s

19. Transformada Inversa De Laplace
 4.458658  4.458658
a1 = ( s + 0.583772) 
 ( s + 0.583772) s 
 = = −7.6376
  s =−0.583772 − 0.583772
 4.458658  4.458658
a2 = ( s )  
 ( s + 0.583772 ) s  = = 7.6376
  s =0 0.583772
 2.213928  2.213928
b1 = ( s + 0.583772) 
 ( s + 0.583772) s 
 =− = 3.792453
  s =−0.583772 − 0.583772
 2.213928  2.213928
b2 = ( s ) 
 ( s + 0.583772) s 
 =− = −3.792453
  s =0 0.583772
7.637670 7.637670 3.792453 3.792453
Ts ( s ) = − + + −
( s + 0.583772) s ( s + 0.583772) s
Ts (t ) = −7.637670e −0.583772t + 7.637670 + 3.792453e −0.583772t − 3.792453 + Tss (Tss = temperatura inicial de salida)
( ) ( )
Ts (t ) = 7.637670 1 − e −0.583772t − 3.792453 1 − e −0.583772t + Tss

20. Temperatura del agua de salida – Lazo abierto
(sin control)
Tv(s) K1 Ts(s)
(Aumento de la
temperatura de vapor a
τ 1s + 1 (Aumento en la
temperatura de
la entrada ) agua a la salida)
Temperatura del agua de salida – Lazo
cerrado (con control)
Valor + 0.3819 Variable
Controlador 1.713s + 1 controlad
desead - Acción
o de a
control

21.  ECUACIÓN DIFERENCIAL DE UN CONTROLADOR PID
 1 de(t ) 
m(t ) = Kc e(t ) +
 τi ∫
e(t )dt + τ d
dt 

Aplicando la transformada de Laplace
 1 
M(s) = Kc E(s) + E ( s ) + τ d sE ( s )
 τis 
M (s)  1 
= Kc E(s) + E ( s ) + τ d sE ( s )
E (s)  τis 
M (s)  1 
= Kc 1 + + τ d s
E (s)  τis 
Donde E(s) es la diferencia entre el valor deseado y el
valor medido

22. El sistema de control automático
Temperatura de agua a la salida – Lazo cerrado (con
control)
+
Valor Kc1 + τ1s + τ d s  0.3819 Variable
 
desead -  i Acción 1.713s + 1 controlad
o de a
control
6 6
5 5
X0
: .683
Y: 4.91
4 4
3 3
2 2
1 1
0 0
-1 0 1 2 3 4 5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5