Distribución de la varianza muestral, una introducción

1. Distribución de la varianza muestral S2
MsC Edgar Madrid Cuello
Departamento de Matemática, UNISUCRE
Estadística II
Febrero 2014
MsC Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IIDistribución de la varianza muestral S2
Febrero 2014 1 / 5

2. Theorem
Si S2 es la varianza de una muestra aleatoria de tamaño n que se toma de
una población normal que tiene la varianza σ2, entonces el estadístico
χ2 =
(n−1)S2
σ2 = n
i=1
(Xi− ¯X)2
σ2
tiene una distribución chi cuadrada con ε = n − 1 grados de libertad.
Varianza/CHI2.jpg
MsC Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IIDistribución de la varianza muestral S2
Febrero 2014 2 / 5

3. Theorem
Si S2 es la varianza de una muestra aleatoria de tamaño n que se toma de
una población normal que tiene la varianza σ2, entonces el estadístico
χ2 =
(n−1)S2
σ2 = n
i=1
(Xi− ¯X)2
σ2
tiene una distribución chi cuadrada con ε = n − 1 grados de libertad.
Varianza/CHI2.jpg
MsC Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IIDistribución de la varianza muestral S2
Febrero 2014 2 / 5

4. Ejemplo
Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 25
observaciones, de una población normal con varianza σ = 6, tenga una
varianza muestral
a :
Mayor que 9.1
Entre 3.462 y 10.745
a
tomado de:
http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/estadistica1/cap03b.html
MsC Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IIDistribución de la varianza muestral S2
Febrero 2014 3 / 5

5. Exactamente 95% de una distribución chi cuadrada yace entre χ2
0.975 y
χ2
0.025. Un valor χ2 que cae a la derecha de χ2
0.025 no es probable que
ocurra, a menos que nuestro valor supuesto de σ2 sea demasiado pequeño.
Asimismo, un valor χ2 que cae a la izquierda de χ2
0.975 es improbable, a
menos que nuestro valor supuesto de σ2 sea demasiado grande. En otras
palabras, es posible tener un valor χ2 a la izquierda de χ2
0.975 o a la derecha
de χ2
0.025 cuando σ2 es correcta; pero si esto debería ocurrir, es más
probable que el valor supuesto de σ2 esté equivocado.
MsC Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IIDistribución de la varianza muestral S2
Febrero 2014 4 / 5

6. Ejemplo
Un fabricante de baterías para automóvil garantiza que sus baterías
durarán, en promedio, 3 años con una desviación estándar de 1 año. Si
cinco de estas baterías tienen duraciones de 1.9, 2.4, 3.0, 3.5 y 4.2 años,
¾el fabricante aún está convencido de que sus baterías tienen una
desviación estándar de 1 año? Suponga que la duración de la batería sigue
una distribución normal.
a :
Mayor que 9.1
Entre 3.462 y 10.745
a
tomado de: Walpole, R; Raymond M; Sharon M y Keying Ye, Probabilidad
y estadística para ingeniería y ciencias octava edición. Pearson Educación,
México, 2007
MsC Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IIDistribución de la varianza muestral S2
Febrero 2014 5 / 5