Este documento presenta la regla de L'Hôpital y la fórmula de Taylor. La regla de L'Hôpital permite evaluar límites de funciones que adoptan formas indeterminadas como 0/0 o ∞/∞ mediante el uso de derivadas. La fórmula de Taylor permite aproximar funciones mediante polinomios usando derivadas sucesivas evaluadas en un punto. El documento incluye demostraciones matemáticas de ambos teoremas y ejemplos de su aplicación.

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
FACULTAD DE INGENIERIA
ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL
TEOREMA DEL’HÔPITALYLAFORMULA DETAYLOR
CURSO : ANALISIS MATEMATICO I
DOCENTE : ING.URTEAGA BECERRA, Horacio
CICLO : II

2. UniversidadNacionaldeCajamarca-facultaddeIngeniería-E.A.P.I.C
Análisis Matemático I
Cajamarca,Noviembre
LA REGLA DE L'HÔPITAL
1. INTRODUCCIÓN
En matemática, más específicamente en el cálculo diferencial, la regla de
l'Hôpital o regla de l'Hôpital-Bernoulli es una regla que usa derivadas para
ayudar a evaluar límites de funciones que estén en forma indeterminada.
Esta regla recibe su nombre en honor al matemático francés del siglo XVII
Guillaume François Antoine, marqués de l'Hôpital (1661 - 1704), quien dio a
conocer la regla en su obra Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des
lignes courbes (1696), el primer texto que se ha escrito sobre cálculo
diferencial, aunque actualmente se sabe que la regla se debe a Johann
Bernoulli, que fue quien la desarrolló y demostró.
La regla de L'Hôpital es una consecuencia del Teorema del valor medio de
Cauchy que se da sólo en el caso de las indeterminaciones del tipo ∞/∞ o 0/0
y este a su vez este es una generalización del teorema del valor medio (de
Lagrange)
Utilidad:
Es útil cuando se desea evaluar límites de las funciones F y G tal que:
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
sea de la forma
0
0
𝑣
∞
∞
TEOREMA:
Sean las funciones continuas gf  , tal que 0)()(  agaf , siendo
axxg  ,0)( . Si gf  son derivables y sus derivadas no son nulas
simultáneamente, en ax  , y si
)(
)(
lim ,
,
xg
xf
ax
existe; entonces:
)(
)(
lim
)(
)(
lim ,
,
xg
xf
xg
xf
axax 


3. UniversidadNacionaldeCajamarca-facultaddeIngeniería-E.A.P.I.C
Análisis Matemático I
Demostración:
1) Las funciones f ^ g cumplen con las condiciones de la hipótesis del
teorema de CAUCHY en [a, x] v [x, a] entonces:
𝑓( 𝑥) − 𝑓(𝑎)
𝑔(𝑥) − 𝑔(𝑎)
=
𝑓¨(𝑐)
𝑔´(𝑐)
Con c € ‹a, x› v c € ‹ x, a›
2) Como por hipótesis: 𝑓( 𝑎) = 𝑔( 𝑎) = 0 , entonces:
𝑓( 𝑥)
𝑔(𝑥)
=
𝑓¨(𝑐)
𝑔´(𝑐)
Con c € ‹a, x› v c € ‹ x, a›
3) Tomemos límites cuando x → a.
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
=lim
𝑥→𝑎
𝑓′(𝑐)
𝑔´(𝑐)
4) Como c € ‹a, x› v c € ‹ x, a› : x → a c→ x
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
=lim
𝑥→𝑎
𝑓′(𝑥)
𝑔´(𝑥)
2. REGLAS DE L'Hôpital:
A. Primera regla de L´Hospital.
Si para X =a, las derivadas de f ^ g existen y no son nulas,
simultáneamente, su cociente da el valor límite del cociente:
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
Cuando x → a; o sea: lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
=lim
𝑥→𝑎
𝑓′(𝑥)
𝑔´(𝑥)

4. UniversidadNacionaldeCajamarca-facultaddeIngeniería-E.A.P.I.C
Análisis Matemático I
Si el cociente
𝑓′(𝑥)
𝑔´(𝑥)
es también de la forma 0/0, para x=a, se puede
reiterar el procedimiento, hasta que desaparezca la forma indeterminada.
Nota:
La primera regla de L´Hospital puede aplicarse, sin ninguna modificación, al
caso
lim
𝑥→∞
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
, siempre que f(x) → 0 ^ g(x) → 0 cuando x→∞
En efecto: 𝐿 = lim
𝑥→∞
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
pueden transformarse mediante la sustitución:
1
𝑥
= 𝑧, 𝑥 → ∞ => 𝑧 → 0
𝐿 = lim
𝑧→0
𝑓(
1
𝑧
)
𝑔(
1
𝑧
)
Con la cual ya puede aplicarse la primera regla de L´Hopital:
𝐿 = lim
𝑧→0
𝑓′(
1
𝑧
)(
−1
𝑧2 )
𝑔′(
1
𝑧
)(
−1
𝑧2 )
= lim
𝑧→0
𝑓′(
1
𝑧
)
𝑔′(
1
𝑧
)
L = lim
𝑥→∞
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
Por lo tanto:
L = lim
𝑥→∞
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
= lim
𝑥→∞
𝑓′(𝑥)
𝑔′(𝑥)
B. Segunda regla de L’Hopital:
Si el cociente
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
adopta la forma: ∞/∞ cuando x → a v x →∞, también se
verifica:
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
=lim
𝑥→𝑎
𝑓′(𝑥)
𝑔´(𝑥)
En efecto: 𝐿 = lim
𝑥→∞
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
es de la forma ∞/∞ la reducimos a la forma 0/0.
𝐿 = lim
𝑥→𝑎
1
𝑔(𝑥)
1
𝑓(𝑥)
, forma indeterminada 0/0.
Luego aplicamos la primera regla de L’Hopital:

5. UniversidadNacionaldeCajamarca-facultaddeIngeniería-E.A.P.I.C
Análisis Matemático I
𝐿 = lim
𝑥→𝑎
−1
[ 𝑔( 𝑥)]2 . 𝑔′(𝑥)
−
1
[ 𝑓( 𝑥)]2 . 𝑓′(𝑥)
= lim
𝑥→𝑎
[
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
]
2
. lim
𝑥→𝑎
𝑔′(𝑥)
𝑓′(𝑥)
= [lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
]
2
.
1
lim
𝑥→𝑎
𝑓′(𝑥)
𝑔′(𝑥)
𝐿 = 𝐿2
.
1
lim
𝑥→𝑎
𝑓′(𝑥)
𝑔′(𝑥)
Si L=0 la igualdad es evidente.
L=lim
𝑥→𝑎
𝑓′(𝑥)
𝑔′(𝑥)
1/L =
1
lim
𝑥→𝑎
𝑓′(𝑥)
𝑔′(𝑥)
Si L ≠ 0
Por lo tanto:
L = lim
𝑥→a
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
= lim
𝑥→a
𝑓′(𝑥)
𝑔′(𝑥)
EJERCICIOS
a)
Solución
Hacemos un cambio de variable:
De forma que el límite queda definido como:

6. UniversidadNacionaldeCajamarca-facultaddeIngeniería-E.A.P.I.C
Análisis Matemático I
b) Hallar:
Solución

7. UniversidadNacionaldeCajamarca-facultaddeIngeniería-E.A.P.I.C
Análisis Matemático I
c) Hallar:
Solución:
d) Hallar:
Solución

8. UniversidadNacionaldeCajamarca-facultaddeIngeniería-E.A.P.I.C
Análisis Matemático I
e) Hallar:
Solucion

9. UniversidadNacionaldeCajamarca-facultaddeIngeniería-E.A.P.I.C
Análisis Matemático I
Aplicando las propiedades de los logaritmos en el segundo
miembro tenemos:
Ejercicios
1) Aplicando las reglas de L'Hôpital hallar, si existen, los siguientes
límites:
1)
senx
xee xx
x 
 
 1
2
lim
0

10. UniversidadNacionaldeCajamarca-facultaddeIngeniería-E.A.P.I.C
Análisis Matemático I
2)
 x
x
x
1
0
21lim 

LA FORMULA DE TAYLOR
1. INTRODUCCION
Los polinomios figuran entre las funciones más sencillas que se estudian
en Análisis. Son adecuadas para trabajar en cálculos numéricos por que
sus valores se pueden obtener efectuando un número finito de
multiplicaciones y adiciones. Por lo tanto, cualquier otra función que pueda
aproximarse por polinomios facilita su estudio, entre ellas las funciones

11. UniversidadNacionaldeCajamarca-facultaddeIngeniería-E.A.P.I.C
Análisis Matemático I
logarítmicas, exponenciales y trigonométricas, las cuales no pueden
evaluarse tan fácilmente.
Veremos que muchas funciones pueden aproximarse mediante
polinomios y que éstas, en lugar de la función original, pueden
emplearse para realizar cálculos cuando la diferencia entre el valor
real de la función y la aproximación polinómica es
suficientemente pequeña.
Varios métodos pueden emplearse para aproximar una función dada
mediante polinomios. Uno de los más ampliamente utilizados hace uso de
la fórmula de Taylor, llamada así en honor del matemático ingles Brook
Taylor.
Brook
Taylor
Nace en Edmonton, Inglaterra en
1685.
Fue discípulo de Newton. Continuó su obra en el campo del análisis
matemático. Su Methodus Incrementorum Directo et Inversa, la publica
en Londres en 1715, donde describe su fórmula, aunque sin demostrarlo,
cosa que hizo Mac-Laurin. (aunque esta fórmula era ya conocida por
Gregory y Leibniz, pero no la habían publicado). Allí examinó los cambios
de variable, las diferencias finitas (las cuales definió como incrementos), y
presentó el desarrollo en serie de una función de una variable.
Tales estudios no se hicieron famoso enseguida, sino que permanecieron
desconocidos hasta 1772, cuando el matemático francés Joseph Louis de
Lagrange, subrayó la importancia para el desarrollo del cálculo diferencial.
Publicó también varios trabajos sobre perspectiva, dando el primer
tratamiento general de los puntos de fuga; sobre los fenómenos de
capilaridad, sobre problemas de cuerdas vibrantes y sobre centros de
oscilación, a los que ya en 1708 había dado una solución. Fallece en
Londres en 1731.
2. LA FORMULA DE TAYLOR
Las funciones trigonométricas, logarítmicas y exponenciales no pueden
evaluarse tan fácilmente como las funciones polinomicas.En esta
mostraremos que muchas de estas funciones pueden aproximarse
mediante polinomios y que el polinomio puede usarse, en lugar de la
función original, para realizar cálculos cuando la diferencia entre el valor
real de la función y la aproximación polinomial es suficiente pequeña.

12. UniversidadNacionaldeCajamarca-facultaddeIngeniería-E.A.P.I.C
Análisis Matemático I
Existen varios métodos para aproximar una función dada mediante
polinomios y uno de los más utilizados es a través de la Formula de Taylor,
fórmula que se basa en el siguiente teorema:
TEOREMA. Sea f una función definida por )(xfy  ; tal que f y sus n
primeras derivadas son continuas en el intervalo cerrado  ba, .Además
supongamos que la derivada  
 xf n 1
existe bax , .Entonces existe un
número baz , ; tal que:
            
 
 
 
  1
1
2
,,,
!1!
...
!2!1





n
n
n
n
ab
n
zf
ab
n
af
ab
af
ab
af
afbf
Demostración
1. Consideremos las funciones F Y G definidas por:
              
 
 
 
  1
1
2
,,,
!1!
...
!2!1





n
n
n
n
xb
n
zf
xb
n
xf
xb
xf
xb
xf
xfbfxF ...(1)
 
 
 
 
 bax
n
xbf
xG
n
,;
!1
1





………………………………………………. (2)
2. De (1) y (2) se deduce     0 bGbF
3. Hallemos  xF ,
               
 
 
 
 
   
 
  
 
 n
n
n
n
n
n
n
n
xb
n
xf
xb
n
xf
nxb
n
xf
xb
n
xf
nxb
xf
xb
xf
xbfxfxfxF









!
)(
!)!1(
!1
.1...
!2
2
!2
1
11
2
1
2
,,,,,
,,,,,
 
 
 
 
 n
n
xb
n
xf
xF 

!
1
,
4. Hallemos  xG,
……………………………………………………….(3)
Análogamente a  xF ,
se obtiene:  
 
 
 
 n
n
xb
n
xf
xG 

!
1
,
…… (4)
5. Analizando las funciones F Y G observamos que ambas son continuas en
 ba, y derivables en ba, y   baxxG ,0,
 ,por lo tanto verifican las
hipótesis del Teorema de Cauchy, entonces existe un numero baz , tal
que:

13. UniversidadNacionaldeCajamarca-facultaddeIngeniería-E.A.P.I.C
Análisis Matemático I
   
   
 
 zG
zF
aGbG
aFbF
,
,



6. Según el paso 2):     0 bGbF ,luego:
 
 
 
 
   
 
 aG
zG
zF
aF
zG
zF
aG
aF
,
,
,
,



……………………………………(5)
7. Si hacemos ax  en (2) y zx  en (3) y (4),obtenemos:
   
 
nn
n
ab
aG
!1
1




……………………………………………….. (6)
 
 
 
 
     
!
1
;
!
,
1
,
n
zb
zGzb
n
zf
zF
n
n
n



………………………. (7)
8. Reemplazando (6) y (7) en (5), tenemos:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  1
11
1
!1!1
.
!
1
! 










n
nn
n
n
n
ab
n
zf
aF
n
ab
zb
n
zb
n
f
aF ………(8)
9. Hagamos ax  en (1)
           
 
 
 
 
 
 
 
 n
n
n
n
ab
n
zf
ab
n
af
ab
af
ab
af
afbfxF 




!!1
...
!2!1
1
1
2
,,,
…(9)
10.Igualando (8) y (9) tenemos:
 
 
 
           
 
 
 
 
 
 
 
 n
n
n
n
n
n
ab
n
zf
ab
n
af
ab
af
ab
af
afbfab
n
af








!!1
...
!2!1!1
1
1
2
,,,
1
1
         
 
 
 
 
 
 
 
 n
n
n
n
ab
n
af
ab
n
af
ab
af
ab
af
afbf 




!!1
...
!2!1
1
1
2
,,,
l.q.q.d.
NOTAS:
i. Si en la tesis del Teorema hacemos 0n obtenemos:       abzfafbf  ,
       bazabzfafbf ,;,
 con lo cual concluimos que este teorema
también es una generalización del Teorema del Valor Medio.
ii. Si en la tesis del teorema hacemos xb  ,esta recibe el nombre
de FORMULA DE TAYLOR

14. UniversidadNacionaldeCajamarca-facultaddeIngeniería-E.A.P.I.C
Análisis Matemático I
            
 
 
 
  bazax
n
af
ax
n
af
ax
af
ax
af
afxf
n
n
n
n
,,
!1!
...
!2!1
1
1
2
,,,





   
 
 
 
 
 
 
 
  xazax
n
zf
ax
i
af
afxf
n
n
i
n
i
i
,,
1!
1
1
1






 ……………(1)
Siempre que f y sus n primeras derivadas sean continuas en  xa, y  
 zf n 1
exista xaz ,
iii. La fórmula de Taylor puede escribirse así:      xRnxPnxf  ……(2)
Donde:
   
 
 
 

n
i
i
i
ax
i
f
afxPn
1 !
 
 
 
 
  xazax
n
zf
xRn
n
n
,;
!1
1
1





iv. El polinomio  xPn recibe el nombre de: POLINOMIO DE TAYLOR DE n-ésimo
grado de la función f en el número a .
v.  xRn recibe el nombre de RESIDUO, TERMINO REMANENTE, TERMINO
COMPLEMENTARIO O FORMA DE LAGRANDE DEL RESIDUO.
vi. Si 0a la Formula de Taylor queda así:
   
 
 
 
 
 
 
 
  xzx
n
f
x
i
f
fxf
n
n
i
n
i
i
,0,
1
0
!
0
0
1
1
1






 ……………….. (3)
Y recibe el nombre de FORMULA DE MACLAURIN
vii. EL POLINOMIO DE MACLAURIN DE n-ésimo grado para una función f será:
   
 
 
 
 i
n
i
i
x
i
af
fxPn 

1 !
0 …………………………………………………(4)
viii. Observando (2) y (3) concluimos que una función puede aproximarse mediante
un polinomio de TAYLOR en un número ""a o por un polinomio de
MACLAURIN.
ix. Interpretación geométrica, alrededor de ax  ,la relación entre la función  xf y
el polinomio de Taylor  xPn
y

15. UniversidadNacionaldeCajamarca-facultaddeIngeniería-E.A.P.I.C
Análisis Matemático I
0 a a a x
De la figura puede apreciarse que:       aaxxPnxf ,,
OTRA FORMA DE DEMOSTRACION DEL TEOREMA DE TAYLOR
Consideremos la siguiente gráfica:
: Y F(x)
P3(x)
a X
El polinomio de Taylor es: para
         
 
 
 
 
 
 
 
 n
n
n
n
ax
n
af
ax
n
af
ax
af
ax
af
afxf 




!!1
...
!2!1
1
1
2
,,,

16. UniversidadNacionaldeCajamarca-facultaddeIngeniería-E.A.P.I.C
Análisis Matemático I
Consideremos un polinomio  xf cualquiera en torno a “a”
         n
n
n
n axaaxaaxaaxaaxf 


1
1
2
210 ...
Hallemos la primera derivada del polinomio:
            12
1
2
3
1
21
,
1...32

 
n
n
n
n axnaaxanaxaaxaaxf
             23
1
1
32
,,
121...322

 
n
n
n
n axannaxannaxaxaxf
             34
13
,,,
21321...32

 
n
n
n
n axannnaxannnaxxf
:
.
             1
1
1
2......321123.......321




nn
nn
n
axaxxnnnnaxxxxnnnxf
    n
n
axxnxnxnnxxf 1......)3()2(1 
Haciendo ax 
Obtenemos:
  0aaf 
 
1
,
!1
a
af

 
2
,,
!2
a
af

:
.
 
  1
1
!1




n
n
a
n
af

17. UniversidadNacionaldeCajamarca-facultaddeIngeniería-E.A.P.I.C
Análisis Matemático I
 
n
n
a
n
af

!
Reemplazando en el polinomio  xf obtenemos:
         
 
 
 
 
 
 
 
 n
n
n
n
ax
n
af
ax
n
af
ax
af
ax
af
afxf 




!!1
...
!2!1
1
1
2
,,,
l.q.q.d
EJERCICIOS
1. Utilizando la fórmula de Taylor hallar el polinomio de senx para 4n
0a luego interpretarlo geométricamente.

18. UniversidadNacionaldeCajamarca-facultaddeIngeniería-E.A.P.I.C
Análisis Matemático I
2. Utilizando la fórmula de Taylor hallar el polinomio de xln para 5n
1a luego interpretarlo geométricamente.
3. Utilizando la fórmula de Taylor hallar el polinomio de     2
4

 xxf
para 5n 5a luego interpretarlo geométricamente.
BIBLIOGRAFIA
Análisis Matemático I : ING.URTEAGA BECERRA, Horacio

19. UniversidadNacionaldeCajamarca-facultaddeIngeniería-E.A.P.I.C
Análisis Matemático I
Mayo - 2002
Análisis Matemático: La Integral : T. Guillen /Cajamarca – 1989
Calculo Integral : Álvaro Pinzón / Madrid – 1983
Problemas y Ejercicios de Análisis Matemático: Berman / Moscú – 1977
Análisis Matemático : Ricardo Figueroa /Lima - 2014